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1、线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 mmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa322112222212111212111 其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等.线性方程组的解是一个 n 维向量它满足:当每个方中的未知数 xi 都用ki 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)
2、和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解法 mmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。（2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。（3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。（4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数 r。如果 r=n，则方程组有唯一解；如果 rn，则方程组有无穷多解。（5）把第二步得到的阶梯形矩阵
3、通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。（6）根据简化阶梯形矩阵，给出线性方程组的一般解或解集。一些特殊的矩阵（1)行矩阵只有一行的矩阵。（2)列矩阵只有一列的矩阵。（3)零矩阵所有元素都等于 0 的矩阵。（4)当mn时称()ijn nAa为n阶方阵；1122,nnaaaL所在的对角线称为方阵的主对角线。（5）主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为 上（下）三角阵。（6)主 对 角 线 以 外 的 元 素 全 为 零 的 方 阵 称 为 对 角 阵，记 为ndddD00000021，简记为),(21nddddiagD。（7)单位阵记以E。注（1）只有 1 列或 1 行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，
4、也被称为列向量或行向量。这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”。（2）nn矩阵也称为n阶方阵或n阶矩阵，而 1 阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作 1 阶矩阵来对待的。（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。对线性方程组(1)mnmnaaaaA1111称为(1)的系数矩阵，mmnmnbaabaaA11111称为(1)的增广矩阵。矩阵的行(列)初等变换：(1)对换矩阵的两行（列），用()ijijr c表示对换,i j两行（列）的行（列）初等变换，即
5、ijrr（ijcc）；的解是一个维向量它满足当每个方中的未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解的线性方程组称为齐次线性方程组维零向量总是齐次线性方线性方程组的每个方程的常数项都换成所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组简称导出组线性方程组的解法写出线性方程组的增广矩阵用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵看阶梯形矩阵的最后一个非零行如果则方程组有唯一解如果则方程组有无穷多解把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵根简化阶梯形矩阵给出线性方程组的一般解或解集一些特殊的矩阵行矩阵只有一行的矩
6、阵列矩阵只有一列的矩阵零矩阵 (2)用非零数乘矩阵的某一行（列），用()()iir k c k表示以0k 乘矩阵的第i行（列）的行（列）初等变换，即()iiiirkr ckc；(3)将矩阵的某行(列)乘以数k再加入另一行（列）中去，用()()ijijr k ck表示k乘矩阵的第i行（列）后加到第j行（列）的行（列）初等变换，即()jijirkr ckc。4、矩阵的等价 定义 将矩阵A的行经有限次初等变换化为B，称A与B等价，记作AB。5、行阶梯形矩阵与最简形矩阵 定义 3 若矩阵A的零行（元素全为零的行）位于A的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的
7、递增而严格增大，则称A为行阶梯形矩阵。定义 4 若行阶梯形矩阵A的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称A为最简形。6、用初等变换线性方程组的解 1)将(1)的增广矩阵A用行初等变换化为最简形；2)由最简形对应的方程组得到解。矩阵的秩 矩阵秩的求法（1）定义法 找出矩阵A中不为零的最高子式，算出它的阶数（2）初等变换法 用初等变换（行、列均可）将矩阵A化为标准形rEOOO，即可得出()R Ar；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩 矩阵秩的性质（1）()()TR AR A 的解是一个维向量它满足当每个方中的未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷
8、多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解的线性方程组称为齐次线性方程组维零向量总是齐次线性方线性方程组的每个方程的常数项都换成所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组简称导出组线性方程组的解法写出线性方程组的增广矩阵用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵看阶梯形矩阵的最后一个非零行如果则方程组有唯一解如果则方程组有无穷多解把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵根简化阶梯形矩阵给出线性方程组的一般解或解集一些特殊的矩阵行矩阵只有一行的矩阵列矩阵只有一列的矩阵零矩阵（2）AOROB=()()R AR B（3）max(),()(,)()()R A R BR A
9、 BR AR B（4）()()()R ABR AR B（5）若AB:，则()()R AR B 即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本 （6）()R AB min(),()R A R B（7）若m nn lABO，则()()R AR Bn（8）A为任意矩阵，则()()TR A AR A 的解是一个维向量它满足当每个方中的未知数都用替代时都成为等式线性方程组的解的情况有三种无解唯一解无穷多解对线性方程组讨论的主要问题两个判断解的情况求解的线性方程组称为齐次线性方程组维零向量总是齐次线性方线性方程组的每个方程的常数项都换成所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组简称导出组线性方程组的解法写出线性方程组的增广矩阵用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵看阶梯形矩阵的最后一个非零行如果则方程组有唯一解如果则方程组有无穷多解把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵根简化阶梯形矩阵给出线性方程组的一般解或解集一些特殊的矩阵行矩阵只有一行的矩阵列矩阵只有一列的矩阵零矩阵