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1、线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解：(1)若齐次线性方程组()r An，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r An.（注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()nr A.2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对
2、应的同解方程组。由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（1）当mn时，()r Amn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A；（3）当mn且()r An时，此时系数矩阵的行列式0A，故齐次线性方程组只有零解；（4）当mn时，此时()r An，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“mn”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.xxxxxxxxxxxxxxxx 解法一：将系数矩阵 A化为阶梯
3、形矩阵 显然有()4r An，则方程组仅有零解，即12340 xxxx.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即mn）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即mn），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵 A的行列式：23153121327041361247A，知方程组仅有零解，即12340 xxxx.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：将系数矩阵 A化为简化阶梯形矩阵 可得()2r An，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523455,226.xxxxxxxx（其中3x，
4、4x，5x为自由未知量）令31x，40 x，50 x，得121,2xx；令30 x，41x，50 x，得121,2xx；令30 x，40 x，51x，得125,6xx，于是得到原方程组的一个基础解系为 112100 ，212010 ，356001 .所以，原方程组的通解为 1 12233Xkkk（1k，2k，3kR）.例 3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.xxxxxxxxxxxx的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解.解：将系数矩阵A化成简化阶梯形矩阵 可得()2r An，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 12342,0,xxxx（其中2x,3x为自由
5、未知量）令21x，30 x，得142,0 xx；令20 x，31x，得141,0 xx，于是得整下面是解线性方程组各种情况的标准格式请同学们以此为准进行练习一齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解若齐次线性方程组则只有零解齐次线性方程组有非零解的充要条件是注当时齐次线性方程组有非零解的充齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组简称导出组为齐次线性方程组所对应的同解方程组由上面的定理可知若是系数矩阵的行数也即方程的个数是未知量的个数则有当时此时齐次线性方程组一定有非零解即齐次方程组中未知量数矩阵的行列式故齐次线性方程组只有零解当时此时故存在齐次线性方程组的同解方程组使例解线性方程组解法一将
6、系数矩阵化为阶梯形矩阵显然有则方程组仅有零解即解法二由于方程组的个数等于未知量的个数即注意方程组的个到原方程组的一个基础解系为 12100,21010 所以，原方程组的通解为 1 122Xkk（其中1k,2k为任意实数）.二、非齐次线性方程组的解法 唯一解：()()r Ar An 线性方程组有唯一解 例 解线性方程组12312312321,224,442.xxxxxxxxx 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346rrrrAA B 可见()()3r Ar A，则方程组有唯一解，所以方程组的解为1231,2,0.xxx 无解：()()r Ar A线性方程组无解
7、（或若阶梯形方程组出现100rd，则原方程组无解）例 解线性方程组12312312321,22,24.xxxxxxxxx 解：1212132(1)21111212()1212033311240336rrrrrrAA B 23rr 121203330003，可见()3()2r Ar A，所以原方程组无解.无穷多解：()()r Ar An线性方程组有无穷多解 整下面是解线性方程组各种情况的标准格式请同学们以此为准进行练习一齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解若齐次线性方程组则只有零解齐次线性方程组有非零解的充要条件是注当时齐次线性方程组有非零解的充齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组简
8、称导出组为齐次线性方程组所对应的同解方程组由上面的定理可知若是系数矩阵的行数也即方程的个数是未知量的个数则有当时此时齐次线性方程组一定有非零解即齐次方程组中未知量数矩阵的行列式故齐次线性方程组只有零解当时此时故存在齐次线性方程组的同解方程组使例解线性方程组解法一将系数矩阵化为阶梯形矩阵显然有则方程组仅有零解即解法二由于方程组的个数等于未知量的个数即注意方程组的个例 解线性方程组123412413423,231,22104.xxxxxxxxxx 解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410rrrrAA B 可见()()24r Ar A，则方程组有无穷
9、多解，其同解方程组为 13423425,527.xxxxxx （其中3x,4x为自由未知量）令340,0,xx得原方程组的一个特解2500 .又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.xxxxxx（其中3x,4x为自由未知量）令31x，40 x，得121,2xx；令30 x，41x，得125,7xx，于是得到导出组的一个基础解系为 11210 ，25701 。所以，原方程组的通解为 1 122Xkk（1k，2kR）.例 求线性方程组 的全部解.解：21111()1211211213AA B 121213(2)(1)rrrrrr 121120333301121 可见()()34r A
10、r A，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 整下面是解线性方程组各种情况的标准格式请同学们以此为准进行练习一齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解若齐次线性方程组则只有零解齐次线性方程组有非零解的充要条件是注当时齐次线性方程组有非零解的充齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组简称导出组为齐次线性方程组所对应的同解方程组由上面的定理可知若是系数矩阵的行数也即方程的个数是未知量的个数则有当时此时齐次线性方程组一定有非零解即齐次方程组中未知量数矩阵的行列式故齐次线性方程组只有零解当时此时故存在齐次线性方程组的同解方程组使例解线性方程组解法一将系数矩阵化为阶梯形矩阵显然有则方程组仅有零解即解
11、法二由于方程组的个数等于未知量的个数即注意方程组的个14243431,23,211.2xxxxxx （其中4x为自由未知量）令40 x，可得原方程组的一个特解1010.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2xxxxxx （其中4x为自由未知量）令42x （注：这里取-2 为了消去分母取单位向量的倍数），得，1233,3,1xxx，于是得到导出组的一个基础解系为3312 .所以，原方程组的通解为 Xk （kR）.整下面是解线性方程组各种情况的标准格式请同学们以此为准进行练习一齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解若齐次线性方程组则只有零解齐次线性方程组有非零解的充要条件是注当时齐次线性方程组有非零解的充齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组简称导出组为齐次线性方程组所对应的同解方程组由上面的定理可知若是系数矩阵的行数也即方程的个数是未知量的个数则有当时此时齐次线性方程组一定有非零解即齐次方程组中未知量数矩阵的行列式故齐次线性方程组只有零解当时此时故存在齐次线性方程组的同解方程组使例解线性方程组解法一将系数矩阵化为阶梯形矩阵显然有则方程组仅有零解即解法二由于方程组的个数等于未知量的个数即注意方程组的个