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1、 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词：曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2
2、第二型曲线积分 例 1 求sincosxxIeyb xy dxeyax dy，其中 a，b 为正的常数，L为从点 A（2a，0）沿曲线 y=22axx到点o（0，0）的弧.方法一：利用格林公式法 LDQPPdxQdydxdyxy，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数在 D 上连续，L是域 D的边界曲线，L是按正向取定的.解：添加从点o（0，0）沿 y=0 到点 A（2a,0）的有向直线段1L,11sincossincosxxL LxxLIeyb xydxeyax dyeyb xydxeyax dyU 记为12III ，则由格林公式得：1coscosxxDDQPIdxdyeyaeybd
3、xdyxy 22Dba dxdyaba 其中 D为1LLU所围成的半圆域，直接计算2I,因为在1L时，0y，所以dy=0 欢迎下载 1 因而：222Ibx dxa b ，从而 22231222222IIIabaa ba ba 方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解 （1）若 PQyx（与路径无关的条件），则 11110000,01,A x yxyB xyxyPdxQdyP x y dxQ x y dy （2）,xtyt ,ABPdxQdyPtttQtttdt 是起点 是终点 解：sincosxxLIeyb xydxeyax dy sincosxxLLeydxeydyb xy dxax
4、dy 记为12III ,对于1I，积分与路径无关，所以 0,02,0sincossin0 xxxaeydxeydyey 对于2I，取 L的参数方程sinsinxaatyat，t 从 0 到，得 22223230223sinsin cossincoscos11222Lb xy dxaxdya bta btta btatat dta baa 从而 23222Ia ba 对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdxQdyRdz 若 L闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续 答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积
5、分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中为所围成的半圆域直接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到 欢迎下载 2 LdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR 若 L非闭，其参数方程为 ,P x ty tz tx
6、tQ x ty tz ty tR x ty tz tz tdt 其中：xx tyy tzz t，分别为 L的起点，终点参数值.例 2 计算空间曲线积分 I=yz dxzx dyxy dz ，其中曲线 L为圆柱面222xya与平面1xzah 的交线0,0ah，从 X轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用 0,2上三角函数的正交性.解：令 cos,sinxat yat，则 cos111 cosxatzhhhtaa 于是 I=sin1 cossin1 coscoscoscossinsin2athtathtatatatatht dta ah 方法二：解：
7、2dydzdzdxdxdyIdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy 21,1,1,0,1212xyDDhhdxdydxdya haaa 3 第二型曲面积分 答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中为所围成的半
8、圆域直接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到 欢迎下载 3 例 3 计 算 曲 面 积 分 2zx dydzzdxdy，其 中为 旋 转 抛 物 面2212zxy 介于平面 z=0 及 z=1 之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系 coscoscosPdydzQdzdxRdxdyPQRds 1 其中cos,cos,cos是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦.解：,1nx yv，0222222cos,cos,cos,111nxyzxyxyxyr 222
9、222111xzx dydzzdxdyzxzdsxyxy 222222211z xxzxzdsxyxy 22222221211Dxxyxy dxdyxy 22212Dxxydxdy 222200cos82rdrdr 方法二：分面投影法 如果由,zz x y给出，则 ,xyDR x y z dxdyR x y z x ydxdy 2 如果由,xx y z给出，则 答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并
10、结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中为所围成的半圆域直接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到 欢迎下载 4 ,yzDP x y z dydzP x y zy z dydz 3 如果由,yy z x给出，则 ,.,zxDQ x y z dzdxQ x y z xz dzdx 4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程
11、 ,xx z yyy x zzz x y 所给出的曲面上（前，右）侧，应取“”，否则取“”.解：22zx dydzzdxdyzx dydzzdxdy 222zx dydzzx dydzzx dydz后前 222222yzyzDDzzydydzzzydydz 222220222424yzyDzy dydzdyzy dz 2212xyDzdxdyxy dxdy 22300142dr dr 所以 28zx dydzzdxdy 方法三：合一投影法 前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁
12、琐.事实上，如果的方程,zz x y，,xyx yD，（xyD是在xoy面上的投影区域），函数,P Q R在上连续时，则单位法向量为 neu u rcos,cos,cos 答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中
13、为所围成的半圆域直接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到 欢迎下载 5 2222221,111yxxyxyxyZZZZZZZZ 由于投影元素 cosdydzds，cosdzdxds，cosdxdyds，于是得到 coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscosxydydzdsdsdxdyZ dxdydzdxdsdsdxdyZ dxdy 所以 ,xyxyxyDxyDP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y z
14、x yZx yQ x y z x yZx yR x y z x ydxdyPZQZR dxdy 等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”，否则取“”.当可用显示方程,yy z x或,xx y z表示时，只需注意到此时的法向 量为,1,xxyyy 或1,yzxx，可得相应公式.上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：2212zxy，在xoy面上的投影区域：xyD=22,4x y xy，又的下侧，xzx，故由上式可得：2222222222222200114212cos82xyxyDDzx dydzzdxdyxyxxxydxdyxxydx
15、dyrdrrdr 方法四：高斯公式 ,PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz 解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z 的上侧，则答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中为所围成的半圆域直
16、接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到 欢迎下载 6 用高斯公式 1200zx dydzzdxdydv 所以 122zx dydzzdxdyzx dydzzdxdy 又 112028xyDzx dydzzdxdyzdxdydxdy 所以 28zx dydzzdxdy 4 小结 从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动
17、.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用.（指导教师：吕国亮）参考文献 1 华东师大数学系.数学分析(下)M，第三版.高等教育出版社，2001，224-231.2 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)M，第四版.高等教育出版社，2003，375-388.3 林源渠，方企勤.数学分析解题指南M.北京大学出版社，2001，338-362.4 陈文灯.数学复习指南M.世界图书出版社，2000，276-287.5 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析M.机械工业出版社，2002，175-188.6 华中科技大学数学系.考研特别快车数学M.华中科技大学出版社，2001.204-212.7 孙一生.第二
18、型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧J.哈尔滨师范大学自然科学学报，1989，5（2）：106-112.8 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧J.科技信息（学术版），2007(1):12-15.答第二型曲线积分的题目以及利用曲面积分的联系分面投影法合一投影法高斯公式解答第二型曲面积分的题目关键词曲面积分曲线积分引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节是整本教材的重点和难点掌握其基曲面积分的计算题目进行了认真分析并结合具体实例以及教材总结出其特点得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义第二型曲线积分例求其中为正的常数为从点沿曲线到点的弧方法段记为则由格林公式得其中为所围成的半圆域直接计算因为在时所以欢迎下载因而从而方法二应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解若与路径无关的条件则是起点是终点解记为对于积分与路径无关所以对于取的参数方程从到