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1、考点0 5分式、分式方程及其应用0t命.题趋势分式在中考中的考察难度不大,考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。浙江中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！在知识 导 图基a m念分式的判断不需要化管分式的运算分式概念及其有意义的条件义的条件分式的值为0+
2、分母分式的乘除分子分母因式分解能约分的先约分加减同分四的分式相力瞌分母不变,分子相加减.最言结果要最简异分组的分式相加减-先通分，再按同分用的分式拗口减同乘最简公分段，将分式方程转化为整式方程解出整式方程代入原方程检受分式方程有增根与分式方程无解的情况是不一样的亩、设、列、等、登、答在重点考向考向一、分式有意义的条件考向二、分式的运算法则考向三、分式方程的解法考向四、分式方程的应用考向一：分式有意义的条件1.分 式：一般地，如 果A,B表示两个整 式,并且B中含有分母,那 么 式 子 号 叫做分式，分 式 抄 A叫做分子，B叫做分母。最简分式：分子分母中不含有公因式的分式2.分式有意义的条件3
3、.分盘舞罪繇隅满 足:分 式 注 意 义 时 满 足:A A=0分式值为0时 满 足）B 5*0若4 0,则A、8同 号；若4 0,则 A、B同号；若-0,则 A、B异号。B BA.1 个B.2 个,其中分式的个数有（C.3 个)D.4 个【分析】根据分式的定义可得.【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有2,L两个分a 2-n母中都含有字母，所以这两个是分式，故选：B.2.若分式 无意义，则x 的取值范围是（）2x-lA.Y B.Y 8)的正方形试验田.负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整(如图)：沿甲试验田的一边在试验田内修了 1米宽的水池，又在邻边增加了 1米
4、宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了 1米宽的小路.杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了 2 0 0千克小麦，乙试验田收获了1 5 0千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是()A.甲试验田的单位面积产量高 B.乙试验田的单位面积产量高C.两块试验田的单位面积产量一样 D.无法判断哪块试验田的单位面积产量高【分析】根据单位面积产量=产量+面积，分别表示出甲、乙的单位面积产量，再比较即可.【解答】解：甲的单位面积产量为：r 一驾一(千克/平方米)，(a+1)(a-1)a2-1乙的单位面积产量为：RO(千克/平方米)，(a-1)2.200 150a
5、2-l(a-1)2_ 200(a-l)-150(a+1)(a-1)2(a+1)-50a-350(a-1)2(a+1)则无法判断哪块试验田的单位面积产量高.故选：D.6.化 简 工+_ _ 的 结 果 是 a-l.a a-a【分析】利用分式的乘除法的法则进行运算即可.【解答】解：工 小 一 一a a-a=工，(a-1)a=a -1.故答案为：a-.7.先化简，再求值：j/吆然后从-3,-2,0,2,3中选一个合适x+3 X2+6X+9的数代入求值.【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可.【解答】解：原式=(，-三池)，(X&_x+3 x+3(x+2
6、)(x-2)=-(x+2).(x+3)2x+3(x+2)(x-2)=x+32-x3+3W0,x+2W0,x-2W0,e-3、-2、2,当x=o时，原式=2至=3,2-0 2当x=3时，原式=2里=-6.2-3考向三：分式方程的解法1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程2.分式方程的解法步骤：分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程解出对应的整式方程验根3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值;方纥枝巧：分式方程会无解的几种情况解出的x 的值是增根，须舍去，无解解出的x 的表达式中含参数，而表达式无意义，无解同时满足和，无解:求有
7、增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：让最简公分母为0 确定增根；去分母，将分式方程转化为整式方程；将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；解含参数字母的方程的解。柒例引械*一 .1 一：1 .匕1.分 式 方 程 工=1的 解 是（）x-4A.x=-4 B.x=4 C.x=7 D.x=3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：x-4=3,解得：x=7,检验：把 x=7 代入得：X-4W 0,则分式方程的解为x=7.故选：C.2.对于实数a,b 定义一种运算“”，规定。/7=-,如 1X 3=-=，则方程,
8、2 1 o2 8a-b 1-3 0工（-2）=-一 的 解 是（）x-4 xA.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7【分析】利用已知新定义化简所求方程，求出解.【解答】解：根据题中的新定义规定。匕=石化简x (-2)得：_=_ 一 旦,x-4 x-4 xx=2x-3 x+1 2,解得：x=6,经检验x=6是分式方程的解，故选：C.2 23.用 换 元 法 解 分 式 方 程+1=0,如 果 设 工 那 么 原 方 程 化 为 关X 3(X2+1)X于y的整式方程是()A.3 y2+3 y-1=0 B.3 y2-3 y -1=0 C.3 y2-y+l=0 D.3 J2-j -1=0【分析】
9、由 式 L=y,原方程可化为y-_ L+l=0,去分母把分式方程化成整式方程，x 3y即可得出答案.【解答】解：设工J Z=y,X2.分 式 方 程 包-+1 =0可化为y -工+1 =0,x 3(X2+1)3y化为整式方程：3/+3.y-1=0,故选：A.4.若关于x的 方 程 必-一 里 有 增 根，实数，的值为-工 或-2 .x+1 x2+x X-3【分析】先去分母，然后将分式方程的增根分别代入2 a-(W+l)=x+l,进一步求解即可.【解答】解：去分母，得2，n x-(w+l)=x+,关于x的方 程 必 一 孚 有增根，x+1 x2+x x将增根为 x=-1 代入 2mx-(7+1)
10、=x+l,得-2切-(w+1)=0,解得m=-A,3将增根为 x=0 代入 Invc-(/w+1)=x+l,得-(卅4 )=1,解得m=-2,Am的值为-工或-2,3故答案为：-1或-2.35.解分式方程：（1）2 =-；2 x+l x-l【分析】（1）去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后对所求的根进行检验即可；（2）去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后对所求的根进行检验即可.【解答】解：（1）2=3,2 x+l x-l2 （x -1）=3 +1）,2x-2=6K+3,54检验：把 乂=上 代 入（2 x+l）（x -I）#0,x 4=是原方程的根;4(2)x+1 4A 1
11、1 11 -x2=1,原方程可化为三旦X-1(x+l)(x-l)1(x+l)(x+l)-4=(x+l)(x-l),/+2工+1 -4=/-1,x=l,检验：把x=l 代 入（x+l）（x -1）=0,*.x=l是增根，原方程无解.6.关于x的 分 式 方 程 二-一 步 一-=-A _x-2 （x+l）（x-2）x+l（1）若方程的增根为x=2,求，的值；（2）若方程有增根，求相的值；（3）若方程无解，求?的值.【分析】（1）将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得，值即可；（2）若原分式方程有增根，则（x+l）（x-2）=0,解得x的值，再分别代入（1）中的(1 -m)x=8,即可解得，”
12、值；(3)分原分式方程有增根时和(1 -，)x=8无解两种情况求得m值即可.【解答】解：去分母，得：2 (x+1)+mx=3(x-2),(1 -n t)x=8,(1)当方程的增根为x=2时，(1 -W J)X 2=8,所以，”=-3；(2)若原分式方程有增根，则(x+1)(x-2)=0,.,.x=2 或 =-I,当 x=2 时，(1 -m)X 2=8,所以?=-3；当 x=-l 时，(1-/)X (-1)=8,所以/=9,所以m的值为-3或9时，方程有增根；(3)当方程无解时，即 当1-?=0时，(l-m)x=8无解，所以?=1；当方程有增根时，原方程也无解，即/”=-3或旭=9时，方程无解所
13、以，当?=-3或 山=9或1时方程无解.考向四：分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：审，设，列，解，验，答其中，检验这一步必须有！翼网引懒1.学校需采购部分课桌，现有A,8两个商家供货，A商家每张课桌的售价比8商家的优惠3 0元.若该校花费1 8 0 0元采购款在A商家购买课桌的数量与花费2 2 5 0元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，则A商家每张课桌的售价为()A.9 0 元 B.1 2 0 元 C.1 5 0 元 D.1 8 0 元【分析】设A商家每张课桌的售价为x元，则8商家每张课桌的售价为(x+3 0)元，由题意：该校花费1 8 0 0元采购款在4商家购买课桌的数量与花费2
14、 2 5 0元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，列出分式方程，解方程即可.【解答】解：设A商家每张课桌的售价为x元，则8商家每张课桌的售价为(x+3 0)元，根据题意得：1800=2250,x x+30解得：x=1 2 0,经检验：工=1 2 0是原分式方程的解，且符合题意，即A商家每张课桌的售价为1 2 0元.故 选:B.2 .喜迎党的二十大胜利召开，某校八年级全体师生前往栖霞市抗大爱国教育基地研学，活动当天，大家在学校集合，1 号车先出发，0.5 小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地.已知学校到栖霞市抗大爱国教育基地的路程是1 5 0 h ，2号车的平均速度是1 号车平
15、均速度的倍，求 1 号车从学校到目的地所用的时间.4【分析】根据题意可知：1 号车所用时间-0.5=2 号车所用时间，即可列出相应的方程，然后求解即可.【解答】解：设 1 号 车 的 速 度 为 则 2号车的速度为旦而?，4由题意可得：&-0.5=善，x 57X解得x=60,经检验，x=6 0 是原分式方程的解，Al号车从学校到目的地所用的时间为1 5 0 4-60=2.5 （小时），即 1 号车从学校到目的地所用的时间是2.5 小时.3 .泰安市在2 0 2 1 年 1 2 月迎接全国文明城市复检工作中，全市人民积极参与，身穿红马甲的创城志愿者分布在城乡的各个角落，为文明城市创建贡献自己的一
16、份力量.幸福社区为了进一步美化小区环境，要在小区内建造一座假山，需要租用车辆运送泥土.租用甲、乙两车运送，两车各运1 2 趟可完成，需支付运费4 8 0 0 元.已知甲、乙两车单独运完用土量，乙车所运趟数是甲车的2 倍，且乙车每趟运费比甲车少2 0 0 元.（I）求甲、乙两车单独运完用土量各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？【分析】（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运趟，根据“租用甲、乙两车运送，两车各运1 2 趟可完成”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲车单独运完用土量所需趟数，再 将 其 代 入 中，可求出乙车单独运完用土量所需趟数
17、；（2）设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为（y-2 0 0）元，根据两车各运1 2 趟需支付运费4 8 0 0 元，即可得出关于），的一元一次方程，解之即可得出y值，将其代入1 8 y及 3 6 （y-2 0 0）中，可分别求出单独租用甲、乙两车所需运费，比较后即可得出结论.【解答】解：（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运公趟，根据题意得：+2=1,x 2 x解得：x=1 8,经检验，工=1 8 是所列方程的解，且符合题意，.2 x=2 X 1 8=3 6.答：甲车单独运完用土量需运1 8 趟，乙车单独运完用土量需运3 6 趟.(2)设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟
18、运费为(y-2 0 0)元，根据题意得：1 2)，+1 2 (-2 0 0)=4 8 0 0,解得：)二3 0 0,；.1 8 y=1 8 X 3 0 0=54 0 0,3 6 (y-2 0 0)=3 6 X (3 0 0-2 0 0)=3 6 0 0.；54()0 3 6 0 0,.若单独租用一台车，租用乙车合算.在 跟 踪训练1.(2 0 2 2 怀化)代数式&,A,2 7-2,1,左 1中，属于分式的有()5 7 1 X2+4 3 X x+2A.2个 B.3个 C.4个 D.5 个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，2表示两个整式，并 且 B中含有字母，那1,X+1-,X x+2么式
19、A 叫做分式判断即可.B【解答】解：分式有：X2+4整式有：lx,5元1 f分式有3个,故选：B.2.（2 0 2 2 山西）化简1 .6a-3 a2-A.-J-a+3B.a-3的 结 果 是()C.”+3 D.a-3【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答.【解答】解：a-3 a2 _9=a+3 _ 6(a+3)(a-3)(a+3)(a-3)=a+3-6(a+3 )(a-3)_ _a-3 _ _ _ _ _ _ _(a+3)(a 3)=1故选：A.3.(2 0 2 2济 南)若m-=2,则代数式处2 一1 1 2 Q的 值 是()m m+nA.-2 B.2 C.-4 D.4【分析
20、】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把团的值代入计算即可.解答解：原式=(mF)(m-n).里m m+n=2 (m-n).当 m n=2 时.原 式=2 X 2=4.故选：D.4.(2 0 2 2玉 林)若x是非负整数，则 表 示 红 土 的 值 的 对 应 点 落 在 如 图 数 轴 上 的x+2(X+2)2范 围 是()-1.1 0.1 1.3 2.5A.B.C.D.或【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断.【解答】解：原式=2-1 狂2)(占 二 2)x+2(x+2)2_ 2x _ x2x+2 x+2=2x-(x-2)x+2_ 2xx+2x+2=
21、x+272=1,2则表示 2-上土的值的对应点落在如图数轴上的范围是.x+2(x+2)2故 选:B.5.(2 0 2 2南充)已知 a b 0,且/+/=3 ,贝ij(A+A)24-_L)的值是()a b 2 k 2&D a bA.娓 B.-V5 C.逅 D.-2 Z L5 5【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由a2+h2=3ab,得出(a+6)2=5,(a-b)2=a b,由 a%0,得出 a+b=/五，a-b=y/,代入计算，即可得出答案.【解答】解：(1+1)24-(工)a b a2 b2(a+b)2 b2-a2-272 2,2a b a b;(a+b)2.a2b2
22、a2b2(b+a)(b-a)=a+ba-b:心毋=3必/.(a+b)2=5。,(a-b)2=a bf：ab0,+b=j5 a b，*=Vab._ a+b=_ =-V s，a-b Vab V ab故选：B.故选：B.6.(2022通辽)若关于x的分式方程：2-上 生=，的解为正数，则k的取值范围为()x-2 2-xA.k2 B.k-1 D.%-1 且 ZW0【分析】先解分式方程可得x=2-匕再由题意可得2-左0且2-Z W 2,从而求出k的取值范围.【解答】解：2-k=,x-2 2-x2(x-2)-(1-2k)=-1,2x-4-l+2k=-1,2x=4-2k,x=2-k,方程的解为正数，2-Q0
23、,:k2,W 2,2-3 2,且 k#0,故选：B.7.（2 0 2 2内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为立力/从 下列方程正确的是（）A.也-改=2 0 B.也-1 2=2 0 x 2 x 2 x xc_io _ jo=2 D_ io _o=i2 x x 3 x 2 x 3【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2 xh/3利用时间=路程+速度，结合汽车比骑车学生少用2 0 而，即可得出关于x的分式方程，此题得解.【解答
24、】解：.骑 车 学 生 的 速 度 为 且 汽 车 的 速 度 是 骑 车 学 生 速 度 的2倍，二汽车的速度为2xkmlh.依题意得：1 0-1 0 =2 0,x 2 x 6 0即 成-改=工x 2 x 3故选：D.8.（2 0 2 2阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前2 0天完成了这项工作.设原计划每天接种x万人,根据题意，所列方程正确的是（）A.毁-_=2 0 x 1.2 xC.乱）一-毁=2 01.2 x xB.毁-一 孔）-=1.2x x-2 0D.一 W。-殁=1.2x-2 0 x【分析】由实际接种人数与原
25、计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2 x万人,再结合结果提前2 0天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解.【解答】解：实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人,二实际每天接种I.Z r万人，又：结果提前2 0天完成了这项工作，.毁-30 .=2 0.x 1.2 x故 选:A.2 29.（2 0 2 2温州）计算：土+包+衍 X尸 2xyxy【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可.2 2【解答】解：原式=+xy+xy-x,xy=2 xyxy=2.故答案为：2.1 0.（2 0 2 2 永州）解分式方程2-_=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是一x
26、x+1（x+1）.【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案.【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是X（X+1）.故答案为：X（X+1）.1 1.（2 0 2 2 荷泽）若2-2 -1 5=0,则代数式（a-虻 生）堂-的值是 1 5.a a-2【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可.【解答】解：（“-4 a-4）.1a a-2=a 2-4 a+4a a-2=（a-2）2 p a2a a-2=a2-2ch.a1-2a-1 5=0,：.a1-2a=i5,，原式=1 5.故答案为：1 5.1 2.（2 0 2 2 宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,h
27、,a 0 b=+l.若（x+1）a bG）x=2_,则 X的值为.X2-【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案.【解答】解：根据题意得：工+工=红 包，x+1 X X化为整式方程得：x+x+l=（2 x+l）（x+1）,解得：x=-,2检验：当 工=-工时，x（x+1）W0,2.原方程的解为：x=-L.2故答案为：2213.（2022连云港）化简_J_+2-二x-1 x2-l【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可.【解答】解：原式=x+1 x2-3x(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)=12-2X+1(x+1)(x-1)=(x-1),(x+1)(x-1)X-1x+1214.（
28、2022内蒙古）先化简，再求值：（2-x-l）#-4x+4,其中*=3.X-1 X-1【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将I=3 代入计算即可.2 解答解：原式=3-(x 7)x-1x-1(x-2)2_ _ (x+2)(x-2).x-1xT(x-2)2_ _ x+2当x=3 时,原式=_ 老23-2=-5.15.（2022锦州）先化简，再求值：其中x+1 x-2 x-2【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可.【解答】解：原式=2x-4 x+1 .x-1(x+1)(x-2)+(x+l)(x-2)x-2_ 3x-3_.x-l(x+1)(x-2)x-2=3(x-l)x-2(x+1)(
29、x-2)x-1_-3-x+1当x S-l时，原式:丁 色 一=73.V3-1+1216.(2022辽宁)先化简，再求值：(x-2 x+l-J)+空 三，其中=6.2 1 x+1 2,x-1 x 1 x+x【分析】利用分式的相应的运算法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可.2【解答】解：(x-2 x+l 一上 与 支X2-l x+1 X+x=(-),2(x-2)x+1 x+1 x(x+1)=x-2.x(x+1)x+1 2(x-2)2当x=6时,原式=22=3.217.(2022营口)先化简，再求值：(4 7+1 -里 至)+至+4 a+4,其中=向+|-刁-(1)a+1 a+1 2-1【分析
30、】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式=3二2,然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数辱的意义计算a+2出的值，最后把的值代入计算即可.解 答 解：原式=(a+1)-(5+2 a).a+1a+1(a+2)2=a2+2a+l-5-2a.a+1a+1(a+2)2=&2-4.a+a+1(a+2)2=(a+2)(a-2)a+1a+1(a+2)2=a-2a+2V a=V 9+|-2|-(A)r=3+2-2=3,2原式=生2=工.3+2 51 8.(2 0 2 2荆州)先化简，再求值：(一-)+-其中“=(A)a 2 -bk 2 4a +b a2 -n2
31、aub-L+ub 0Qh=(-2 0 2 2).【分析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将4、b的值代入即可得到答案.【解答】解：原式一A一-bl(a+b)(a-b)a+b b=a (a-b)._ .(a-b)2(a+b)(a-b)b a+b b=a 2-a b _ 软2-2 a b+b 2b(a+b)b(a+b)_b(a-b)b (a+b)_.a-ba+b,:a=(A)r=3,b=(-2 0 2 2)O=1,3二.原式=2 z l3+1=工21 9.(2 0 2 2宜昌)求代数式3*+2丫+_ x _的值，其中x=2+y.2 2 2 2x-y y-x【分析】根
32、据分式的加法法则把原式化简，把x=2+)，代入计算即可.【解答】解：原式=.取+2y_-x-(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)-2(x+y)(x+y)(x-y)_-2,x-y当x=2+y时，原式=-=1.2+y-y2 0.（2 0 2 2 贺州）解方程：32=-2.x-4 4-x 分析应用解分式方程的方法进行计算即可得出答案.【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母（x-4）,得 3-x=-1 -2 （x-4）,去括号，得 3 -x=-1 -2%+8,解方程，得 x=4,检验：当x=4 时，x-4=0.，x=4不是原方程的解，原分式方程无解.2 1.（2 0 2 2 烟台）扫地机器人具备敏
33、捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱.某商场根据市场需求，采购了 A,B两种型号扫地机器人.已知B型每个进价比A 型的2倍少4 0 0 元.采购相同数量的A,B两种型号扫地机器人,分别用了 96 0 0 0元 和 1 6 8 0 0 0 元.请 问 A,8两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？【分析】设每个4型扫地机器人的进价为x元，则每个8型扫地机器人的进价为（2 x-4 0 0）元，利用数量=总价+单价，结合用96 0 0 0 元购进A 型扫地机器人的数量等于用1 6 8 0 0 0 元购进8型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A
34、型扫地机器人的进价，再将其代入（2 X-4 0 0）中即可求出每个B 型扫地机器人的进价.【解答】解：设每个A 型扫地机器人的进价为x元，则每个8型扫地机器人的进价为（2 x-4 0 0）元，依题意得：96000=168000,x 2x-400解得：x=1 6 0 0,经检验，x=1 6 0 0 是原方程的解，且符合题意，：.2x-4 0 0=2 X 1 6 0 0 -4 0 0=2 8 0 0.答：每个A 型扫地机器人的进价为1 6 0 0 元，每个8型扫地机器人的进价为2 8 0 0 元.2 2.（2 0 2 2 百色）金鹰酒店有1 4 0 间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装
35、，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有8 0 台，两队同时安装.问：（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于2 6 ,每台空调每小时耗电1.5 度；据预估，每天至少有1 0 0 间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约 8小时.若电费0.8 元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？【分析】（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，根据甲、乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于x的分式方程
36、，解之经检验后即可得出结论：（2）设每天有“（1 0 0 0,随胆的增大而增大，.,.9.6 X 1 O 0 W W W 9.6 X 1 4 0,即 9 6 0 W W W 1 3 4 4.答：该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围为不少于9 6 0 元且不超过1 3 4 4 元.2 3.（2 0 2 2 衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.燃油车油箱容积：4 0 升油价：9元/升续航里程：“千米每千米行驶费用：蛇 元新能源车电池电量：6 0 千瓦时电价：0.6 元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：元（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.（2）若
37、燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5 4 元.分别求出这两款车的每千米行驶费用.若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4 8 0 0 元 和 7 5 0 0 元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可.【解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：60X 0.6=逝（元），a a即新能源车的每千米
38、行驶费用为通 元；a（2）,燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，.吟 -强=0.54,a a解得=600,经检验，4=600是原分式方程的解，.也1 9=0.6,理-=0.06,600 600答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；设每年行驶里程为xkm,由题意得：0.6x+48000.06x+7500,解得 x 5000,答：当每年行驶里程大于5000h”时，买新能源车的年费用更低.在真里 过 关1.（2022凉山州）分式 一有意义的条件是（）3+xA.x=-3 B.-3 C.D.xWO【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0,可得3+xW O,
39、然后进行计算即可解答.【解答】解：由题意得：3+无 W0,-3,故选：B.2.（2022德阳）下列计算正确的是（）A.（a-b）2=a2-b2 B.（_ ）2=1C.aJra9=a D.（-ab1）3=-a 2 6【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，塞的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断.【解答】解：人(o-b)2=a2-lab+b2,故A选项错误，不符合题意；8.(-1)2=百=1,故B选项正确，符合题意；c.工=1 x _!=!,故c选项错误，不符合题意；a a aD.(-Lg 2)3=_ 1 3心，故。选项错误，不符合题意.2 8故选：B.3.(2 0 2 2杭州)照相
40、机成像应用了一个重要原理，用公式工=1+工(vf)表示，其 中ff u v表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，口表示胶片(像)到镜头的距离.已知 力V,则 =()A.q B.旦 C.互 D.Z Z 1f-v f v v-f f v【分析】利用分式的基本性质，把等式上丁+工(V#/)恒等变形，用含/、V的代数式f U V表示U.【解答】解：1=1+1f U V1-1.1f U V1 1 1u=F V1.V-fU-f V )一 上.v-f故选：C.4.(2 0 2 2营口)分式方程S=_ 2 _的 解 是()x x-2A.x=2 B.x=-6 C.x=6 D.x=-2【分析】方程两边都乘x
41、 (x-2)得出3 (x-2)=2 x,求出方程的解，再进行检验即可.【解答】解：旦=，-,x x-2方程两边都乘X(X-2),得3(X-2)=2%,解得：x=6,检验：当 x=6 时，x(x -2)W0,所以x=6是原方程的解,即原方程的解是x=6,故选：C.5.（2 0 2 2毕节市）小 明 解 分 式 方 程 工=2 x -的过程如下.x+1 3 x+3解：去分母，得3=2 x-（3 x+3）.去括号，得3=2 x-3 x+3.移项、合并同类项，得-x=6.化系数为1,得x=-6.以上步骤中，开始出错的一 步 是（）A.B.C.D.【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案.
42、【解答】解：去分母得：3=2 x-（3 x+3），去括号得：3=2 x-3 x-3，.开始出错的一步是，故选：B.6.（2 0 2 2牡丹江）若关于x的 方 程 蹩 支=3无解，则?的值为（）X-1A.1 B.1 或3 C.1 或2 D.2或3【分析】先去分母，再根据条件求江【解答】解：两边同乘以（x -1）得：-l=3 x -3,（m-3）x=2.当3=0时，即?=3时，原方程无解，符合题意.当桁-3 W0 时，x=4-,m-3 方程无解，.*.X-1=0,.x=l,m-3=-2,tn f综上：当根=1或3时，原方程无解.7.（2 0 2 2绥化）有一个容积为2 4。的圆柱形的空油罐，用一根
43、细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用3 0分钟.设细油管的注油速度为每分钟x/,由题意列方程，正确 的 是（）A.H+=3 0 B.为 +匹=24x 4x x 4xC.毁+地=24 D.丝+丝=30 x 2x x 2x【分析】设细油管的注油速度为每分钟X-,则粗油管的注油速度为每分钟以加，利用注油所需时间=注油总量+注油速度，即可得出关于X的分式方程，此题得解.【解答】解：244-2=12（m3）.设细油管的注油速度为每分钟皿广，则粗油管的注油速度为每分钟4xm依题意得：乌2=3 0.x 4x故选：A.
44、8.（2022湖北）若分式2有意义，则x的取值范围是 x4 1 .x-1【分析】根据分式有意义的条件可知X-1 W 0,再解不等式即可.【解答】解：由题意得：x-1#0,解得：xW l,故答案为：9.（2022广西）当=0时，分式2-的值为零.x+2【分析】根据分式值为0的条件：分子为0,分母不为0,可得2%=0且X+2W 0,然后进行计算即可解答.【解答】解：由题意得：2%=0 且 x+2#0,/.x=0 且 为W-2,.当x=0时，分式圆 的 值 为零，x+2故答案为：0.10.（2022湖州）当a=l时，分式史11的值是 2.a【分析】把。=1代入分式计算即可求出值.【解答】解：当。=1
45、时，原式=上 包=2.1故答案为：2.11.（2022内江）对于非零实数a,b,规定。=2-1.若（2 r-l）2=1,则x的值a b为.一6一【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论.【解答】解：由题意得：2 x-l 2解得：x=S.6经检验，x=上是原方程的根，6.,.x=5.6故答案为：5.612.(2022常德)方程2+,1.=至_ 的解为 x=4.x x(x-2)2 x【分析】方程两边同乘标(X-2),得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案.【解答】解：方 程 两 边 同 乘(x-2),得 4x-8+2=5 x-10,解得：x=4,检验：当 x=4 时
46、，2x(x-2)=16W0,A x=4 是原方程的解，.原方程的解为x=4.13.(2022张家界)有一组数据：ai=&-及=，。3=1 X2 X3 2 X 3 X 473 X4 X5,=-记 S=41+42+43+而，贝!l S12=义&n(n+l)(n+2)-1 8 2【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算.【解答】解：a=_3-=X=l x +X-l x -1 X2 X3 2 2 2 2 1+2_ 5 _ 5 _lxl+.1-3x12 x 3 x 42 4 2 2 1+2 2 2+2_ 7 _ 7 _1 x1+1-3x213 X 4 X 56 0 2 3 3+13+2,_ 2 n+l
47、 _ 1 v U 1 _ 3 v 1n(n+l)(n+2)2 n n+1 2 n+2当=12时，原式=工(1+-1+-1.+.+_!_)+(A+A+.+_l_)-3 x (-1+A+.+_!_)2 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3 4 1 4=201夜，故答案为：2 0 11821 4.（2 0 2 2 黄石）已知关于x 的方程上+-=广+a的解为负数,则。的取值范围是 口x x+1 X （x+1）1 且 a W O .【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0.【解答】解：去分母得：x+1+xx+a,解得：xa-1:分式方程的解为负数，：.a-K O
48、f i a-1 -1,且 a W O,.的取值范围是a3600-72X20,解得：，36.答：以后每天改造管网至少还要增加36 米.2 4.（2 0 2 2 河南）近日，教育部印发 义务教育课程方案和课程标准（2 0 2 2 年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的5倍，用 3 0 0 元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3 捆.4（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是3 0 元.学校决定在菜苗基地购买A,8两种菜苗共 1
49、0 0 捆，且 A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对 A,B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.【分析】（1）设菜苗基地每捆4种菜苗的价格是x 元，根据用3 0 0 元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3 捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是2 0 元；（2）设购买A种菜苗加捆，则购买B种 菜 苗（1 0 0 -?）捆，根据A种菜苗的捆数不超过 5种菜苗的捆数,得忘5 0,设本次购买花费w 元,有 w=2 0 X0.9 m+3 0 X 0.9 （1 0 0-/n）-9 m+2 7 0 0,由一次函数性质可得本次购买最少花费2 2 5 0 元
50、.【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x 元，根据题意得：3 0 0=-1+3,x$x4解得x=2 0,经检验，x=2 0 是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是2 0 元：（2）设购买A种菜苗烧捆，则购买B种 菜 苗（1 0 0-/）捆，A 种菜苗的捆数不超过R种菜苗的捆数，.ZHW 1 0 0 -in,解得，W 5 0,设本次购买花费w 元，.-.w=2 0 X0.9/n+3 0 X0.9 （1 0 0 -/n）=-9/n+2 7 0 0,；-9 0,随m的增大而减小，=50时,卬取最小值,最小值为-9 X5 0+2 7 0 0=2 2 5 0 （元），答：本次购买最少