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1、专题10 分式方程及其应用1分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。【例题1】（2020哈尔滨）方程2x+5=1x-2的解为（）Ax1Bx5Cx7Dx9【答案】D【分析】根据解分式方程的步骤解答即可【解析】方程的两边同乘（x+5）（x2）得：2（x2）x5，解得x9，经检验，x9是原方程的解【对点练
2、习】（2019黑龙江哈尔滨）方程的解为（）AxBxCxDx【答案】C【解析】将分式方程化为，即可求解x；同时要进行验根即可求解。，2x9x3，x；将检验x是方程的根，方程的解为x【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键【例题2】（2020齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（）Am10Bm10Cm10且m6Dm10且m6【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可【解析】去分母得：3xm+5（x2），解得：x=m+102，由方程的解为正数，得到m+100，且m+104，
3、则m的范围为m10且m6，【对点练习】（2019江苏宿迁）关于x的分式方程+1的解为正数，则a的取值范围是【答案】a5且a3【解析】去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a5，当x5a2时，a3不合题意，故a5且a3【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案【例题3】（2020长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同
4、设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A400x-30=500xB400x=500x+30C400x=500x-30D400x+30=500x【答案】B【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400x=500x+30【对点练习】（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快
5、完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.【答案】300套【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：，解得：x=300，经检验，x=300是原方程的解，且符合题意。【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划m天完成，有mx=9000，实际（m-5）天完成，有（m-5）2x=9000.【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元今年该型自行车每辆售价预计比
6、去年降低200元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆【解析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60a）辆，获利y元，由条件表示出y与a
7、之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x200）元，由题意，得，解得：x=2000经检验，x=2000是原方程的根答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60a）辆，获利y元，由题意，得y=a+（60a），y=300a+36000B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，60a2a，a20y=300a+36000k=3000，y随a的增大而减小a=20时，y最大=30000元B型车的数量为：6020=40辆当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一
8、次不等式的应用【对点练习】（2020广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍求建造这90个摊位的最大费用【答案】见解析。【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的
9、35这个等量关系列出方程即可（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60x+2=60x35，解得：x3，经检验x3是原方程的解，所以3+25，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90a）个，由题意得：90a3a，解得a22.5，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最
10、大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（9022）×310520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元一、选择题1（2020黑龙江）已知关于x的分式方程xx-2-4=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（）A8k0Bk8且k2Ck8 且k2Dk4且k2【答案】B【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可【解析】分式方程xx-2-4=k2-x，去分母得：x4（x2）k，去括号得：x4x+8k，解得：x=k+83，由分式方程的解为正数，得到k+830，且k+832，解得：k8且k22（2020泸州）已知关于x的分
11、式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案【解析】去分母，得：m+2（x1）3，移项、合并，得：x=5-m2，分式方程的解为非负数，5m0且5-m21，解得：m5且m3，正整数解有1，2，4，5共4个.3（2020成都）已知x2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】把x2代入分式方程计算即可求出k的值【解析】把x2代入分式方程得：k2-11，解得：k44.（2019广东省广州市）甲、乙二人做某
12、种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）ABCD【答案】【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可设甲每小时做x个零件，可得：5.（2019黑龙东地区）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（ ）Am3Bm3Cm3Dm3【答案】A【解析】知识点是分式方程的增根。由得x=m-3，方程的解是非正数，m-30，m3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，m=6不在m3内，m3.故选A.6.（2019山东淄博）解分式方程2时，去分母变形
13、正确的是（）A1+x12（x2）B1x12（x2）C1+x1+2（2x）D1x12（x2）【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果去分母得：1x12（x2）7.（2019广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（）A±1B0C1D1【答案】D 【解析】化简分式x10即可求解。x10，x1；经检验：x1是原分式方程的解。8.（2019湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）A15B15C20D2
14、0【答案】A【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程设原计划每天铺设钢轨x米，可得：9. （2019山东省济宁市）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）A45B45C45D45【答案】A【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G
15、网络快45秒得出等式进而得出答案设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：4510.（2019江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量二、填空题11（2020徐州）方程9x=8x-1的解为 【答案】x9【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可【解析】去分母得：9（x1）8x9x98xx9检验：把x9代入x（x
16、1）0，所以x9是原方程的解12（2020盐城）分式方程x-1x=0的解为x 【答案】1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】分式方程x-1x=0，去分母得：x10，解得：x1，经检验x1是分式方程的解13（2020广元）关于x的分式方程m2x-1+20的解为正数，则m的取值范围是 【答案】m2且m0【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围【解析】去分母得：m+4x20，解得：x=2-m4，关于x的分式方程m2x-1+20的解是正数，2-m40，m2，2x10，2×2
17、-m4-10，m0，m的取值范围是m2且m014.（2019甘肃）分式方程的解为【答案】x【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解去分母得：3x+65x+5，解得：x，经检验x是分式方程的解15.（2019山东省滨州市）方程+1的解是【答案】x1【解析】本题考查了解分式方程（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根去分母，得x3+x23，移项、合并，得2x2，解得x1，检验：当x1时，x20，所以，原方程的解为x116.（2019湖北黄石）分式方程：1的解为【答案】x1【解析】分式方
18、程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解去分母得：4xx24x，即x23x40，解得：x4或x1，经检验x4是增根，分式方程的解为x117.（2019四川巴中）若关于x的分式方程+2m有增根，则m的值为【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x20，得到x2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值方程两边都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最简公分母x20，解得x2，当x2时，m1故m的值是118.（2019江苏宿迁）关于x的分式方程+1的解为正数，则a的取值范围是【答案】a5且a3【解析
19、】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a5，当x5a2时，a3不合题意，故a5且a319.（2019贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为【答案】20【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良
20、后平均每亩产量为1.5x万千克，依题意，得：20故答案为：2020. (2019黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为_km/h.【答案】80【解析】分式方程的应用。设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:,解之,得x20,甲车速度为4x80.三、解答题21（2020湘潭）解分式方程：3x-1+2=xx-1【答案】见解析。【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】3x-1+2=xx-1去分母得，3+2（x1）x，解得，x1，经检
21、验，x1是原方程的解所以，原方程的解为：x122（2020陕西）解分式方程：x-2x-3x-2=1【答案】见解析。【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】方程x-2x-3x-2=1，去分母得：x24x+43xx22x，解得：x=45，经检验x=45是分式方程的解24（2020牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购
22、进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【答案】见解析。【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（
23、2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5a）个，样品中A种书包有（4b）个，根据利润销售收入成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5a），（4b）均为正整数，即可求出
24、结论【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700x=2×450x+20，解得：x70，经检验，x70是原方程的解，且符合题意，x+2090答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，依题意，得：m1870m+90(2m+5)5450，解得：18m20又m为正整数，m可以为18，19，20，该商场有3种进货方案，方案1：购买18个A种书包，41个B种书包；方案2：购买19个A种书包，43个B种书包；方案3：购买20个A种书包，45个B种书包（3）设销售利润为w元，则w（9070）m+（13090）（2m+5）100m+200k1000，w随m的增大而增大，当m20时，w取得最大值，此时2m+545设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5a）个，样品中A种书包有（4b）个，依题意，得：90×20（5a）（4b）+0.5×90（4b）+130（45ab）+0.5×130b70×2090×451370，b102aa，b，（5a），（4b）均为正整数，a=4b=2答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个