九年级数学中考复习圆解答综合练习题.pdf

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1、九 年 级 数 学 中 考 复 习 圆 解 答 综 合 练 习 题(附 答 案)1.如 图，ABC中，Z4=45,。是 A C 边 上 一 点，。过 力、A、B 三 点，ODHBC.(1)求 证：直 线 3c 是。的 切 线；(2)OD,AB 相 交 于 点 E,若 AB=AC,O D=r,写 出 求 AE 长 的 思 路.2.如 图，是 O O 的 直 径，点 C 在 A 8 的 延 长 线 上，C D 与。相 切 于 点。，CEA.AD,交 A D 的 延 长 线 于 点 E.(1)求 证：Z B D C Z A；(2)若 CE=4,D E=2,求。的 直 径.3.如 图，A B 是 的

2、直 径，A E 是 弦，直 线 C G 与。相 切 于 点 C,CG/AE,C G 与 54的 延 长 线 交 于 点 G,过 点 C 作 CDLA8 于 点。，交 AE 于 点 F.(1)求 证：AC=CE；(2)若/EA5=30,C F=a,写 出 求 四 边 形 GAFC周 长 的 思 路.4.如 图，ABC内 接 于。，直 径。ELAB 于 点 F,交 B C 于 点 M,Q E 的 延 长 线 与 A C 的 延 长 线 交 于 点 M 连 接 AM.(1)求 证：A M=B M；(2)若 DE=8,ZN=5,求 BC 的 长.5.如 图，在 RtZAC8中，N C=90,。是 A

3、B上 一 点，以 8。为 直 径 的。0 切 A C于 点 E,交 B C于 点 F,连 接)凡(1)求 证：DF=2CE；(2)若 B C=3,sinB=名，求 线 段 8 P 的 长.56.如 图，0 A 和 是 O。的 半 径，并 且 0A L 0 B.P 是 0 A 上 的 任 意 一 点，B P的 延 长 线 交。于 点。，点 R 在。4 的 延 长 线 上，且 RP=RQ.(1)求 证：R Q是。的 切 线；(2)求 证：0怦=PB PQ+0产;(3)当 RAW 0A时，试 确 定 N B 的 取 值 范 围.7.如 图，AB=AC,A 8是 直 径，求 证：BC=2DE.B D8

4、.如 图，ABC中，A B=A C,以 边 B C 为 直 径 的。与 边 43,A C 分 别 交 于。，F 两 点,过 点 力 作。的 切 线。E,使。E_L4C于 E.(1)求 证：ABC是 等 边 三 角 形；(2)过 点 E 作 EHLBC,垂 足 为 点 H,连 接 若 BC=4,求 F H 的 长.9.如 图，ABC中，A B A C,以 A3 为 直 径 的。与 8c 相 交 于 点。，与 C 4 的 延 长 线 相 交 于 点，过 点。作。的 切 线 交 A C 于 点 F.(1)求 证：D F Y A C；(2)如 果 sinC=1,A E 的 长 为 2.求 0 0 的

5、半 径.310.如 图，AB 是。的 直 径，4 E 是 弦，C 是 劣 弧 A E 的 中 点，过 C 作 COL4B 于。，过 C作 CG AE交 8A 的 延 长 线 于 点 G.(1)求 证：C G 是。的 切 线：(2)若/AB=30,C F=2,求 AG 的 长.11.如 图，AB 为。的 直 径，0。过 A C 的 中 点。，E为。的 切 线.(1)求 证：D E L B C；(2)如 果 E=2,tanC=，求。0 的 直 径.212.如 图，在 ABC中，A B A C,以 AB 为 直 径 的。0 分 别 交 AC,BC 于 点 D,E,过 点 8作。的 切 线，交 A C

6、 的 延 长 线 于 点 尸.(1)求 证：Z C B F=Z C A B；2(2)连 接 BO,A E 交 于 点 H,若 AB=5,tan/CBF=，求 B H 的 值.13.如 图，在 ABC中，/C=90,。是 B C 上 一 点，以。为 圆 心，0 C 为 半 径 的 圆 过 4B上 一 点 D.(1)若 AD=AC,求 证：A8 是。的 切 线；(2)若 BE=4,BO=8,求 CE 和 40 的 长.14.如 图 1,E 是 正 方 形 A8C。的 边 48 上 的 一 点，过 点 E 作 O E 的 垂 线 交/A8C 的 外 角 平 分 线 于 点 F,求 证：FE=DE.小

7、 韬 同 学 是 一 位 聪 明 好 学 而 且 有 钻 研 精 神 的 同 学，他 发 现/0七 尸=/。8尸=90,于 是 可 以 得 到 8、F、D、E 四 点 共 圆.(1)请 你 帮 小 韬 同 学 确 定 该 圆 的 直 径 为(2)请 在 图 中 作 出 该 圆.小 韬 同 学 发 现 箍 对 两 个 圆 周 角 NQBE=NFE=45,于 是 O E F 为 等 腰 直 角 三 角 形，于 是 不 用 证 全 等 就 证 明 了 F E=D E；(3)通 过 以 上 材 料 解 决 下 列 问 题，ABC是 等 边 三 角 形，。为 边 B C 上 一 点，Z A D E=60

8、,O E 交 N A C 8 的 外 角 平 分 线 于 点 E,于 是 猜 测 AD O E(”=”或“.(1)求/A P B 的 大 小；(2)当 点 尸 运 动 到 何 处 时，P D L A B?并 求 此 时 C Q：C P 的 值；(3)在 点 尸 运 动 过 程 中，比 较 P C 与 4P+P8的 大 小 关 系，并 对 结 论 给 予 证 明.17.如 图，已 知 是 ABC中 A B 边 上 的 高，以 C C 为 直 径 的。交 C 4 于 点 E,点 G 是 A。的 中 点.(1)求 证：G E 是。的 切 线；(2)若 AC_LBC,且 AC=8,B C=6,求 切

9、线 GE 的 长.c18.已 知：如 图，在 ABC中，AB=AC,以 B C 为 直 径 的 半 圆。与 边 A3 相 交 于 点 O,切 D E 1 A C,垂 足 为 点 E.求 证：(1)/XABC是 等 边 三 角 形；(2)AE-yCE-19.如 图，4B 是。的 直 径，且 点 C 为。上 的 一 点，NA4C=30,M 是 0 A 上 一 点，过 M 作 A B 的 垂 线 交 A C 于 点 N,交 B C 的 延 长 线 于 点 E,直 线 C F 交 E N 于 点 F,且 NECF=NE.(1)证 明：CF 是。的 切 线；(2)设 0 0 的 半 径 为 1,且 AC

10、=CE,求 M 0 的 长.20.如 图，A8 为。的 直 径，d A B 于 点 E,交。于 点。，OFLAC 于 点 F.(1)请 写 出 三 条 与 5c 有 关 的 正 确 结 论；(2)当/。=30,BC=1 时，求 圆 中 阴 影 部 分 的 面 积.参 考 答 案 1.(1)证 明：连 接。艮 V Z A=45,；.NDOB=90.：OD/BC,：.ZDOB+ZCBO=SO.，NCBO=90.直 线 8 c 是 O O 的 切 线.(2)求 解 思 路 如 下:如 图，延 长 8。交。于 点 F,连 接 AF.由 4B=A C,ZBAC=45,可 得 NA8C=67.5,N 4B

11、 F=90-67.50=22.5 在 RtAEOB中，由 O B=r,可 求 B E的 长 度(BE=-)；cos22.5 由 8尸 是 直 径，可 得/M B=9 0,在 Rt 砥 B 中，由 8尸=2厂，可 求 A B的 长(4B=2rX cos22.5),进 而 可 求 4 E 的 长.2.(1)证 明：连 接 OD,：。是。0 切 线，A Z O D C=90,即/O O B+/B)C=90,为。的 直 径，A Z A D B=90,即/O O B+N 4力 0=9 0,：.ZBDC=ZADO,：OA=OD,：.N 4D O=N A,.NBC=NA；(2)解：V CELAE,：.Z E

12、=ZADB=90,C.DB/EC,：.NDCE=NBDC,：.ZD CE=ZA,V C=4,DE=2,tanZA=tanZDC=,2.在 RtZvlCE 中，可 得 AE=8,.A D=6,在 RtZVLDB中 可 得 8 0=3,根 据 勾 股 定 理 可 得 AB=3代 3.证 明：(1)连 接。C,如 图.直 线 CG与。相 切 于 点 C,：.CGV0C.：CG/AE,：.AE1.0C.又 为。的 半 径，.AC=CE；(2)解：连 接 A C,如 图.由/E A B=30,C G/A E,可 得 NCG8=30,又 由 直 线 CG与。相 切 于 点 C,NAOC=60,可 推 出

13、AOC是 等 边 三 角 形，,由 AOC是 等 边 三 角 形，NAB=30,CF=a,可 得 NCAF=NACF=30,CF=AF=a,D F=-a,2/利 用 CG A E,可 得 到 尸 s/G O C,从 而 推 出 4 6=代 4,GC=3a.故 计 算 出 四 边 形 GAFC的 周 长 为 5a+M a.E4.(1)证 明：直 径 O E L A B于 点 R：.AF=BF,(2)连 接 AO,B O,如 图，由(1)可 得 AM=BM,：.Z M A F=Z M B F=4 5,：./C M N=N B M F=4 5,U：AO=BO,D E LAB,./AOF=NBOF=N

14、AOB，N N=15,:NACM=NCM N+NN=60,即 N A C8=60,VZACB=|ZAOB-A Z A O F=Z A C B=6 0.VZ)=8,：.A O=4.方 法 1：在 RtZ4。尸 中，。尸=*A 0=2,A F=,J42.22=2 7 3-在 RtZvAM尸 中，A M=B M=H 际=2).在 RtZXACM 中，A C C M A M2,即(2CM)2 C M2+(2 7 6)2,解 得 CM=2，BC=CM+BM=2V 2+2V 6.方 法 2：在 RtZA。/中，由 s in/A O F=鲤，得 4尸=入 耳，A0在 RtZAMF 中，A M=B M=yf2

15、 AF=2 7 6.在 RtZXACM 中，由 t a n N A Q l M，得 C A/=3，BC=CM+BM=2V 2+2 A/6.5.(1)证 明：连 接 0 E 交 O F于 G,AC 切。于 E,NCEO=90.又 B。为。的 直 径，：/D F C=/DFB=90.V ZC=90,四 边 形 CEG尸 为 矩 形.:.CE=GF,ZEGF=90,：.DF=2CE.(2)解：在 RlZA8C 中，VZC=90,：.AB=5f设 OE=x,.：OE BC,：./XAOE/XABC.OE _=A0,BC AB x 5-x,3 5.15 x.8。=耳 4BC=3,sinB=&5在 尸 中

16、，:NDFB=90,sinB=4E，T 嘲 1B5FTQ；,BF=.46.证 明：(1)连 接 O。；V O B=O C,P R=R Q；.N O B P=/O Q P,N R P Q=N R Q P；,:N O B P+N B P O=9 0,/B P O=N R P Q；：.Z O Q P+Z R Q P=9 0；即 N O Q C=9 0,RQ是。的 切 线.证 明：(2)延 长 A O O O交 于 点 C；：Z B P C=Z Q P A,N B C P=N A Q P,：.B C P/A Q P,:.P B P Q=P C*P A=(O C+O P)(O A-O P)=(O B+O

17、 P)(O B-O P)O B2-OP2,：.O B1=PB*PQ+O P.解：(3)当 RA=OA 时，N R=3 0,易 得/B=I 5,当 R 与 A 重 合 时，N 8=4 5；是。4延 长 线 上 的 点，.R与 A 不 重 合，NBW45；又：.ZB45,.15 W B45.7.证 明：连 接 A。、DE为 O O 的 直 径 N A D B=9Q J.A D L B C：A B=A C/B A D=Z D A C；BC=2BD=2DC由 圆 周 角 定 理 可 知：BD=DE：.BC=2DE.8.解：（1）证 明：如 图 1所 示：连 接。Q.QE是。的 切 线，J OD LD

18、E.D E L AC,：.OD/AC.：.Z A=Z O D B.,:OB=OD,：.Z O B D=Z O D B.：.Z A=ZOBD.：.AC=BC.*：AB=AC,：.AB=AC=BC.*ABC是 等 边 三 角 形.(2)解：连 接 8 F,作 尸 于 点 G,连 接 D CAYBC是。的 直 径,A ZBFC=90Q.VAABC为 等 边 三 角 形，：.C F=A C=BC=2.2 2同 理；BD=AD=2.V ZC=60,NFGC=9U,；.FG=-FC=43,CG=L FC=I.2 2VDEAC,BFAC,J.DE/BF.：.AE=EF=.：.CE=3,CH=1.5.：.HG

19、=.2在 RtZXFG 中，由 勾 股 定 理 可 得/77=JFG2_GH2=*3 Q F是 O O 的 切 线,:.OD1DF.OB=OD,:/B=N O D B.9AB=AC.：,Z B=Z C.：O D B=N C.OD/AC.：.DF1.AC.(2)解：连 接 BE,AD.E AB是 直 径，ZADB=ZAEB=90：AB=AC,：.BD=CD.VDFAC,：.FD/BE.可 得 点/是 CE的 中 点.设 O。的 半 径 为 八 则 AB=AC=2几 则 CE=2什 2,:.F C=m,：.A F=r-1.*.NABD=Z C=/AD F,.sin/ABO=sinNACB=sinN

20、4OF=2Zl3.3哈：sin Z AD F=-=-AD 3r-12V33 rr=3.10.(1)证 明：连 接。C 4 E是 弦，C是 劣 弧 4 E 的 中 点,OCJLA E.,：CG/XE,：.OCGC,；.C G是。的 切 线.(2)解：连 接 ACV ZEAB=30,CG/AE,：.ZG=ZEAB=30,CG是 O O 的 切 线，：.ZGCO=90Q,：.ZCOA=60,：OA=OC,AOC是 等 边 三 角 形，：.ZCAO=60,A ZCAF=30,可 求 N4CQ=30,：.AF=CF=2f NE4B=30,：.DF=,A D=M，：CG/AE,.DF=ADCP 而.1=V

21、3 5 市；.AG=2 代.为 A C 的 中 点，。为 A 8 的 中 点,为 ABC的 中 位 线，OD/BC,为。0 的 切 线，C.DEVOD,:.DE1BC；(2)解：连 接 8。，如 图，为 直 径，；.NADB=90,:.NBDE+NCDE=90,而 NCDE+NC=90,：.ZC=ZB D E,在 RtzCDE 中，VtanC=,CE 2：.CE=2DE=4,在 RtZBQE 中，V tan Z B D E=ADE 2：.B E D E=,2:.BC=BE+CE=5,为 ABC的 中 位 线，OD=BC,2：.AB=BC=5,即。的 直 径 为 5.是 圆 的 直 径，：.AE

22、1BC,：AB=AC,.AE 平 分 N84C,NBAE=ZCAE=-ZCAB,2是 O O的 切 线，:.NCBF=NBAE,:.NCBF=L NCAB.2(2)解：,?tanZCBF=lanZEAB=,2.B E 1AE 2：AB=5,B2=BE2+AE2,/.25=BE2+4BE2,:.B E=NBAE=A CAE,NEBD=A CAE,:.NEBD=NEAB,.,.ta n/E B Z)=，EB 2:.EH=,2B/=V BE2+EH2=-1 13.(1)证 明：连 接 o n,如 图，在 AO C和 A。中 0=A0 AC=AD-OC=OD A O C d A。，.N A C O=N

23、 A O O=90,：.OD1.AB,.AB是。的 切 线；(2)解：设 0 0 的 半 径 为 r,则 0B=r+4,在 RtAOBD 中，OD+BD2=OB2,r+S2(r+4)2,解 得 r=6,：.CE=2r=2,:/XAOC/XAOD,：.ACAD,设 在 RtAACB 中，AC2+BC2A B2,.,./2+162=(r+8)2,解 得 f=12,即 AD=2.14.解：(1)，；NDEF=NDBF=90，产 是 直 径.故 答 案 为：DF.(2)如 图，.四 边 形 ABCC是 正 方 形，:.NDBE=45,:.NDFE=NDBE=45,OF是 直 径，；.NDEF=90,：

24、.NEDF=NEFD=45,；.FE=DE；(3)AD=DE.理 由：如 图 2,连 接 AE,V ZADE ZACE=60,D,C,E 共 圆，.NAEZ)=NACB=60,又,.,/AOE=60,.ADE是 等 边 三 角 形，：.AD=DE.补 充 方 法：作。M AC交 AB 于 证 明 8DW是 等 边 三 角 形，之 QEC即 可.故 答 案 为：=.，ZAB=/AOC=90,：ZB=ZCAD,Z C=Z C,：.AADCABAC,：.ZBAC=ZAD C=90c,：.BA1.AC,.AC是。的 切 线.(2)：BD=5,CD=4,，BC=9,V/A D C/B A C(已 证)，

25、AA C=C D(即 4 c 2=B C X C O=36,BC AC解 得：AC=6,在 RtZXACD 中，A D=d耽 2 _ g 2=2遥,：ZCAF=ZCAD+ZDAE=ZABF+ZBAE=NAFD,；.CA=CF=6,：.DF=CA-CD=2,在 RtAED中，.=加 2+人 0 2=2遍.1 6.解：(1)：AB=AC,NR4C=60,*/A B C是 等 边 三 角 形，V ZAPB+ZACB=1SO,A ZAPB=20；(2)当 点 P 运 动 到 会 的 中 点 时，PDLAB,如 图 1,连 接 PC,OA,O B,设 O。的 半 径 为 八 则 CP=2八 又;。为 等

26、 边 ABC的 外 接 圆，AZOAB=30,在 RtZQ4O 中，：O D=O A=,2 2证 明：方 法 一：如 图 2,在 A P 的 延 长 线 上 取 点。使 P Q=P B,连 接 3Q,V Z A P B=n O 0,：.Z B P Q=6 0,8 P Q是 等 边 三 角 形，：P B=B Q,Z C B P=N C 8A+N A B P=60+N ABP,/A B Q=NQBP+/A B P=6 0+NABP,J N A B Q=N C B P,在 A 3。和 C8P 中，P B=Q B,/C B P=/A B Q,C B=A B,：.B Q 也 C8P,C P=A Q=4P

27、+P Q=A P+P 8,B P PC=AP+PB；方 法 二：如 图 3,3 为 圆 心，3 P 为 半 径 画 圆 交 C P于 点 M,连 接 3M,V Z C P B=6 0,是 等 边 三 角 形，V Z C M B=120,:/C M B=/A P B,：.L A P B会/C M B,：.PC=AP+PB；方 法 三：（略 证）如 图 4,以 A 为 圆 心，A 为 半 径 画 圆 交。尸 于 M 连 接 A M先 证 A A P N是 等 边 三 角 形，再 证 4 V C g/A P 8,从 而 PC=AP+PB.1 7.解：（1）证 明：连 接。E,0 G；（1分）:A G

28、=G D,CO=O D,；.0 G 是 A C D的 中 位 线，J.O G/A C.（2 分）；.N O E C=N G O E,Z A C D Z G O D.（3 分）O E=O C,：.Z A C D Z O E C.：.Z G O D=Z G O E.（5 分）：O E=O D,O G=O G,.,.O E G/A O D G.（6 分）；.N O E G=N O D G=9 0.；.G E是 O O 的 切 线.（7 分）（2）：A C=8,B C=6,：.A B=d 62+。2=10.（8 分）：.O D G D.G O也 是 圆 O 的 切 线.：.G D=G E.（9 分）设

29、 B O=x,贝 ljA=1 0-x,在 RtACDA 和 RtACD B 中，由 勾 股 定 理 得：CD2=82-（1 0-X）2,CD1=61-x2/.82-（1 0-x）2=6 2-/（10 分）解 得 X，5.。=1 0-殁=留.5 5.*.GE=G=A O=K.2 5即 切 线 G E的 长 为（12分）：.Z B D O=Z A；又 OB=OD,：.ZOBD=ZODB；：.Z O B D Z A；：.BC=AC；又：A8=AC,.ABC是 等 边 三 角 形;(2)如 上 图，连 接 C。，则 CDLAB；.)是 A B中 点；2 4；.EC=3AE；：.AE=C E.319.(

30、1)证 明：如 图，连 接 0C,是。的 直 径,；.N 4 C B=90,ZBAC=30,；./A 8 C=60；在 RtZkEMB 中，：ZE+ZMBE=9O,；./1=30；N E=NECF,：.ZE C F=30Q,NECF+NOCB=90；V Z E C F+Z O C B+Z O C F=,A ZO CF=90,；.C F为。的 切 线；(2)解：在 Rt/VICB 中，ZA=30,NACB=90,：.AC=ABcos30=,BC=ABsin30=1；：AC=CE,：.B E=B C+C E=l+y/3,在 RtZEMB 中，ZE=30,ZBM E=90Q,.MB=Bsin3002

31、2 0.解：(1)答 案 不 唯 一，只 要 合 理 均 可.例 如：B C=B D；O F/B C-,N B C D=/A；/B C E/O A F；BC2=BEAB；BC2=C 2+B2；ABC是 直 角 三 角 形；BCD是 等 腰 三 角 形.(2)连 接 O C,则 OC=OA=OB,；/)=30。,BC=BC，A Z A=Z D=3 0,.,.N C O 8=2/A=6 0 A ZAOC=120,；A B为。的 直 径，.NACB=90,在 RtZABC 中，B C=,，AB=2,A C=y/3,：OFLAC,：.AF=CF,：OA=OB,：.O F是 ABC的 中 位 线，O F=B C=,2 2.SAA O C=2 A U O F=2 X X=2&,2 2 2 4Sa/i(7C=nXOA2=,3 3.c _ c 八 八 c 八 _ 兀 S 阴 影 一 S 扇 形 AOC-S A O C-.-