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1、第 23讲 存 在 性 问 题 探 究 所 谓 存 在 性 问 题 是 指 圆 锥 曲 线 中 存 在 某 个 量(点、线 或 参 数 等)使 得 某 个 几 何 关 系 成 立，这 种 问 题 有 两 种 常 考 题 型：题 型 一：存 在 点 P或 者 参 数，使 得 某 个 量 为 定 值.解 题 思 路：这 类 问 题 的 解 题 思 路 是 运 用 参 数 无 关 性 来 消 参，即 存 在 某 点 使 得 某 个 量 和 所 设 的 参 数 无 关，从 而 得 到 定 值.题 型 二：存 在 点 在 曲 线 上.解 题 思 路：设 出 点，带 锥 曲 线 方 程，看 方 程 是 否
2、 有 解.解 决 存 在 性 问 题 的 一 些 技 巧：(1)特 殊 值(点)法：对 于 一 些 复 杂 的 题 目，可 通 过 其 中 的 特 殊 情 况，解 得 所 求 要 素 的 必 要 条 件，然 后 再 证 明 求 得 的 要 素 也 使 得 其 他 情 况 均 成 立.(2)假 设 法：先 假 设 存 在，推 证 满 足 条 件 的 结 论.若 结 论 正 确，则 存 在；若 结 论 不 正 确，则 不 存 在.存 在 点 使 向 量 点 积 为 定 值 2【例 1】过 点(1,0)作 直 线/交 C:+y2=1于 P,。两 点，试 问：在 X 轴 上 是 否 存 在 一 个 定
3、 点 M,使“尸 为 定 值？若 存 在，求 出 这 个 定 点 M 的 坐 标.若 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】(1)当 直 线/不 与 x轴 重 合 时，可 设 直 线/的 方 程 为：*=妙+1,。仇,必).联 立 卜 2旷=2,整 理 得(&2+2)y+2公,-1=0,x=ky+1则 A=(2k)2-4(3+2)(-1)=8公+8 0,1假 设 存 在 定 点 M(?,0),使 得 M Q 为 定 值,M P-MQ=(X,(x2-m,y2)=(x,-m)(x2-m)+yy2=(如+-rn)(k y2+-m)=(公+1)/%+%(1-初)(乂+必)+(1-2=_：)_ 2)
4、,丁+(而 K+，K,+L=+5产+2(2%-3 也 2+2)+(5-痴)5-4？2.5-4 w=-；-F(1-m)=2m 3+(1 my；-=m 2d；-&2+2 k2+2 k2+25 uiiu uur 7(5、当 且 仅 当 5-4%=0,即，=时,M P.M Q=(为 定 值)，这 时 M,0,4 16(3,0)且 斜 率 不 为 零 的 直 线 交 椭 圆 C:二+丁=1于 A B 两 点，在 x 轴 上 是 否 存 4在 定 点。，使 得 直 线 AQ,BQ的 斜 率 之 积 为 非 零 常 数?若 存 在，求 出 定 点 的 坐 标.若 不 存 在，请 说 明 理 由.解 析】依
5、题 意 可 设 直 线 A B的 方 程 为 x=my+3,A Q,y),%).联 立 了+x=my+3,得(4+加 2)9+6灯+5=06/ny+y 2=A 2，A=36m2 _ 4 X5(4+/?)O-M,XX=二 54+nv则 x+x,=m(yx+y2)+6=5-,XjX2+3机(+y2)+9=34+m 4+m假 设 存 在 定 点 Q(r,O),使 得 直 线 A Q,B Q 的 斜 率 之 积 为 非 零 常 数，则(玉 t)(W/)=玉 工 2，(，1+/)+厂 3 6-4/24 2(产-4)/+3 6-2 4 1+4/=-1-t=-4+/n2 4+机 2 4+m25 k,k 二
6、1 一 0 为-0 _ _ 4+疗 _=_ 5_AQ BQ X j-t x2-t(r2-4)/H2+36-24Z+4/2(r2-4)/n2+3 6-2 4 r+4r24+/要 使 K o山 地 为 非 零 常 数，当 且 仅 当 卜 一 一 4 二，解 得 f=2,即 3 6-2今+4/X0=2 时 心 2/。=3=-2 时，.存 在 两 个 定 点 Q(2,0)和 2,(-2,0)，使 直 线 AQ,BQ的 斜 率 之 积 为 常 数.当 定 点 为 0(2,0)时，直 线 A Q,8Q的 斜 率 之 积 为 常 数 m.当 定，点 为。2(-2,0)时，直 线 AQ,HQ的 斜 率 乘 积
7、 是,.存 在 点 使 角 度 相 等 例】l 设 过 椭 圆:三+X=1右 焦 点 F2的 动 直 线 I与 椭 圆 交 于 A,B两 点，试 问 在 x轴 上 是 否 存 8 4在 与 点 F2不 重 合 的 定 点 T,使 得 ZATF2=NBTF?恒 成 立?若 存 在，求 出 定 点 T 的 坐 标.若 不 存 在,请 说 明 理 由.解 析】假 设 存 在 与 F2不 重 合 的 定 点 T,使 得 ZATF2=N 84 恒 成 立，设 T（巧.,（）,且 r。2,4（5,凹），3（,%），则/A=一，勉=王 一*x2-xTQ ZATE=/BTF,kTA+kTB=0,即 乂+必=o
8、.整 理 得 工=斗 必 王 一 巧“f x+%x=my+2设 直 线/：X=J 2+2.联 立 f+丫 2 消 去 X,整 理 得（nr+2)9+4my-4=0.8 4A=(4/n)2-4 x(，2+2)X(-4)=32/n2+3 2 0,-4m-4玉%+毛 y=（加 乂+2）%+（皎 2+2）X=2 g%+2（x+%）-4=2+2回+必）=2“+2=2帆*+2=2?，+2=4.Y+%M+%乂+丫 2 T=mT T l?+2 存 在 与 工 不 重 合 的 定，点 7,使 得 4 隼=/8 有 恒 成 立，且，点 T坐 标 为（4,0）【例 2】过 椭 圆 C:+/=1 的 右 焦 点 F
9、作 直 线/与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 A,B，试 问 在 x轴 4上 是 否 存 在 定 点 M 使 得 NOM4=/O M 8（O为 坐 标 原 点）?若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标.若 不 存 在,说 明 理 由.x=my+【解 析】（1）当 直 线/非 X轴 时,可 设 直 线/的 方 程 为 x=/m，+道,联 立 得 L,+/=1整 理 得（4+nr）V+2-3my 1=0.由=（2 6 a）2+4（4+m2）=16（济+1）0,设 4（x”y）,8（*2，%），定 点 M，）且 工 玉 二 2，由 韦 达 定 理 可 得%+必=-芋 勺，%=-1 4+2
10、4+机 由 NOM4=NQMB,可 知 等 价 于 AM,8 M 的 斜 率 互 为 相 反 数.Ly+-y=0=乂(一/)+%(占-。=0,即 y(6+班 2-。+%(6+根,-f)=0,整 理 得(百-f)(x+%)+2?xy,=0.从 而 可 得-(G-r)+2?.-1=0,4+m 4+m一 即 2/n(4-/)=0,当=迪，即 加 3时,NOMA=NOMB（2）当 直 线/为 x轴 时,M 也 符 合 题 意.综 上，存 在 x轴 上 的 定 点 M，满 足 NOM4=NaW8.存 在 点 使 等 式 恒 成 立【例 1 1过 椭 圆 C：+y2=l 的 左 焦 点 尸 的 直 线/交
11、 椭 圆 C于 A 8 两 点 为 坐 标 原 点，问 椭 2LlLfll U L I ULIU圆 C 上 是 否 存 在 点 P,使 得 OP=OA+08?若 存 在，求 出 直 线/的 方 程.若 不 存 在,请 说 明 理 由.X=-1【解 析】（1）当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，直 线/的 方 程 为 x=-l,联 立/，x=-I五，或 J-_T得 x=-l/拉 厕 点 A-1,y=T I-用 小 用uur uun故。4+。8=(-2,0)此 时 椭 圆 C 上 不 存 在 这 样 的 点 P.U U UCll L L(2)当 直 线/的 斜 率=0 时,04+08=(-V2
12、,0)+(V2,0)=(0,0),此 时 椭 圆 C 上 不 存 在 符 合 题 意 的 点,P.(3)当 直 线/的 斜 率 Z 不 为 0 时，设，点.小 西,斗),8(,%)，户(如 九)，y=攵(工+1)直 线/的 方 程 为 y=&(x+l).联 立.丁 2，消 去 y 得(1+2/)/+4 公 x+2(公 一 1)=0,、万+一.4k2故=8K+80,x+x,=-7.1+2公 LILU m J tiLiu/则 OP=OA+OB=(玉+x2,y,+)?)=(&+x2,k(xt+x2+2)=-4公 2k1+2公 I+2kz则 点/2k+2k24公 又 点 在 椭 圆 上 则 有 卜 卷
13、 卜(吾 力=2,1+2公 整 理 得 公=解 得 2=也.2 2LlLUl U L I LIL11椭 圆 上 存 在 点 P,使 得 OP=OA+OB,此 时 直 线/的 方 程 为 y=变(x+1).2 2【例 2】已 知 动 直 线/过 椭 圆 C:土+匕=1右 焦 点 尸，且 与 椭 圆。分 别 交 于 M,N 两 点.试 问 大 16 12u u u i UU1I 1 a、轴 上 是 否 存 在 定 点 Q,使 得 Q M.QN=-U 2 恒 成 立?若 存 在 求 出 点。的 坐 标.若 不 存 在，说 明 16理 由.uuur uiiur ia【解 析】假 设 在%轴 上 存 在
14、 定 点 Q(见 0)液 得 Q M QN=.16U U U UUU 当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，则 A/(2,3),N(2,-3),QM=(2-2,3),Q N=(2-皿-3),uuir uuur 13s S i,由 Q M Q N=(2-机)2_9=_ 上，解 得 7=己 或 加.16 4 4U U U UUU(2)当 直 线/的 脾 率 为 0 时，则 M(T,0),N(4,0),QM=(-4-z,0),QV=(4一 机,0),uun*miffi I%11 11由 Q M Q N=m2-16=-，解 得 m=-或 z=.16 4 4由(2)可 得 机=,即 点。的 坐 标 为
15、,0)11 uuir uu国 当 机 二 U 时,QM.QN=-恒 成 立.4 16当 直 线/的 斜 率 不 存 在 或 斜 率 为 0 时，由(1)知 结 论 成 立.当 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 0 时，设 其 方 程 为 y=k(x-2)(k x 0),M(%,)，J,N(&,力).直 线 与 椭 圆 方 程 联 立 得(3+4公 产-16公 x+16(公 3)=0.直 线 经 过 椭 圆 内 一 点，一 定 与 椭 圆 有 两 个 交 点，且 不 4K I.+J 4/C+Jyy2=kxx-2)-A：(x,-2)=2x,x2-2k?(%+x2)+4X:2阳 状 r ii
16、v ii i I、.(2A/-27V=I x!-,y,l-l x,-(y2 I=xix2-x+x2)+yy2+Ak16 仔-3)4k2+316k2 121，门 1354 r+3 16 16,.、uuur m w r n s综 上 所 述，在 X轴 上 存 在 点 Q 上,0,使 得 QM-QN=-恒 成 立.1 4)16=(1+公 卜 2 T x1 142)I例 3 已 知 椭 圆 y+=l，过 右 焦 点 F2的 直 线 I交 椭 圆 于 例,N 两 点,若 直 线 I的 斜 率 存 在,U U U UUU1在 线 段 O h 上 是 否 存 在 点 P(G,0)，使 得|PM|=|PN|,
17、若 存 在，求 出 a 的 范 围.若 不 存 在，请 说 明 理 由.解 析】当 直 线 I的 斜 率 存 在 时，设 M(x,y)N(&,%)，直 线 I的 方 程 为 y=&(x-1)，又 椭 圆 的 方 程 为 r土 2+匕 V2=1,5 4由 可 得(5公+4产-10公 x+5氏-20=0,10公 5k2-20，%+丫 2=%(百+&)-2女=1.设 M N的 中 点 为 Q|%+当 y+刈)2，-)U U U UUIU，即。5k2*2+4假 设 存 在 点 P(,0)，使 得 I PM=P N I,即 P 在 M N 的 中 垂 线 上，则 k,.Q-kMN=-1,解 得 a=k2
18、5k2+4一 4&5公+4当 力=0时,M N 为 椭 圆 长 轴 的 两 个 端 点，则，点 P 与 原 点 重 合.当 丘 0时,综 上 所 述,存 在 点 P 且 a e 0,1 j.例 4 过 点 0(5,-2)作 直 线/与 抛 物 线 E：V=4 x交 于 不 同 的 两 点 B,C,设 3 c 的 中 点 为。,问 曲 线 E 上 是 否 存 在 一 点 A,使 得|A Q|=；1 8 c l恒 成 立?如 果 存 在,求 出 点 A 的 坐 标.如 果 不 存 在，说 明 理 由.【解 析】由 题 意 B,C两 点 在 抛 物 线 V=4 x上，设 点 8冷 沙 点(7件 巴.
19、广/|y设 直 线/的 方 程 为 x=m(y+2)+5.联 立 厂 一 得 V _ 4股-8加-20=0,x=w(y+2)+5y+必=4m,x y2=8/n 20.设 满 足 条 件 的 点 A存 在，设%.j u i l u u若 抛 物 线 上 的 点 A满 足|A。|=|B C|,则 点 4 在 以 8 c 为 直 径 的 圆 上.即 BA CA=0.巡,乱 住 4，为 r)(耳 为-卜 与 中+也-%)=(J 5 f)(岩 中+(为-6(为-必)小 魄-8=2(%-乂(%-%(%+4?+2)(%-2)1 OU U UL1由 题 意 即 是 BA-C4=0恒 成 立，可 得%=2.；.
20、A(l,2),，抛 物 线 r=4 x上 存 在 点,A(l,2)满 足 I A。1=5 1 BCI.【例】是 否 存 在 斜 率 为 2 的 直 线，使 得 当 直 线/与 椭 圆 C:1+丁=1有 两 个 不 同 交 点 M,N 时,S U U U UUU能 在 直 线 y=：上 找 到 一 点 P,在 椭 圆 C 上 找 到 一 点 Q,满 足 PM=N Q?若 存 在，求 出 直 线/的 方 程.若 不 存 在,请 说 明 理 由.【解 析】设 直 线/的 方 程 为 y=2x+f,设 M(4,%),N(w，%)，,Q(S，”),M N 的 中 点 为。(%,%),联 立 消 去 x得
21、 9 9 _ 2 疗+/_8=0,/.yl+%=?且 A=4 产-36(r-8)0,故%=且-3vfv3.U U U UUU由 尸 M=NQ,知 四 边 形 PMQN为 平 行 四 边 形.而 点,D 为 线 段 M N的 中 点，因 此 点,D 为 线 段 5电 的 中 点,.%弓=+%=，t 可 得 以=2勺/-1拒 5，7又-3 v r 3，可 得-：%v T，因 此 点,Q 不 在 椭 圆 上，故 不 存 在 满 足 题 意 的 直 线/.存 在 性 使 线 段 关 系 式 为 定 值【例 1】椭 圆:=+E=13 匕 0)的 一 个 焦 点 到 直 线 x-3y=0 的 距 离 为
22、巫，离 心 率 为 ar bL 5亭,抛 物 线 6:/=2 用(0 0)的 焦 点 与 椭 圆 的 焦 点 重 合,斜 率 为 左 的 直 线/过 6 的 焦 点 与 E 交 于 A 8,与 G 交 于 C,O.(1)求 椭 圆 及 抛 物 线 G 的 方 程.(2)是 否 存 在 常 数 2,使 得 总+品 为 常 数?若 存 在，求 出 入 的 值.若 不 存 在,请 说 明 理 由.【解 析】设 椭 圆 E,抛 物 线 G 的 公 共 焦 点 为 F(c,O).dr_,Vio=c=2.椭 圆 E:+y2=l;.y2=8x.设 直 线/：丫=/（%-2）,4（再,）,8（,%）（*3，%
23、）,（匕,以）.联 立 n（5二 4-lJx2 一 2（）公 龙+2（后 一 5=0,20公 20公-5/.X1+苍=-T,西 其=-丁.2 1+5公,2 1+5公/.|AB|=J1+攵 2+&y _4XX,=2石 伊+i）1+53联 立4攵 2+8 8（公+1）/.毛+%=*C D 是 焦 点 弦,；.|C。|=七+%+4=2.K K.1/-1+5/-2 _ 4+20-2+&7 2 4+（20+&）42,|AB|+|CD|-2/5（2+1）+S（k2+1）-8石 俨+1）-8石（公+1）若,+上 为 常,数，则 20+百 2=4,，4=一 处 AB CD 5【例 2】在 平 面 直 角 坐
24、标 系 x y中，椭 圆 C:0+=1（“%O）的 离 心 率 为 逆，直 线/与 x轴 a b 3交 于 点 E,与 椭 圆 C 交 于 A 3 两 点,当 直 线 I垂 直 于 x轴 且 点 E 为 椭 圆 C 的 右 焦 点 时，弦 A B 的 长 为 还.3（1）求 椭 圆 C 的 方 程.（2）是 否 存 在 点 E,使 得 F+J7 T为 定 值?若 存 在，请 求 出 点 E 的 坐 标，并 求 出 该 定 值.若 不 存 EA2 EB2在,请 说 明 理 由.【解 析】依 题 意 可 得 e=如,.:b:c=g：l:及.a 3当/与 x 轴 垂 直 且 E 为 椭 圆 右 焦
25、点 时 A B|为 通 径.A 3 1=-=各 生,a=/6,h=/2.椭 圆 C 的 方 程 为 土+上=1.a 3 6 2 假 设 存 在 点 及 设 点 E（xo,O）.若 直 线”与 x 轴 重 合，则 A（-痴,0）,B（瓜 0）.小+闽,3 小 一 年.春+患+方 甲 制 若 直 线 I AB|与 x轴 垂 直，则 A,8 关 于 x轴 对 称.设 淇 中 y 0,代 入 椭 圆 方 程 可 得+?=l n y=、2-号 6 2 V 3.-.|A|=|E B|=J 2-二 春 十 册=啖=六 二|=搭=2（片+6）（6-%）=6伐 一 6 可 解 得 I BA I I 匕”1 2
26、6 天）（片 6）。不 x0=G,二+1=-T=2.0|EA|2|E B|2 6一 片 若 存 在，点 E,则 耿 6,0）.i.若 E（百,0）,设 A（xl9yl）9B（x29y2）.设 直 线 4 3:x=my+G,与 椭 圆。方 程 联 立+3-y 2 _ 6,.l,消 去 y 可 得（fny+/3）2+3y2=6 n（nr+3）y2+2/3my-3=0 x=my+I3中=一 审 i i-凹+%=-126 加 3|4|2 一（右 _ j+y：-苏 y；+y；（川+1）才同 理,1 1l W-（/n2+l）.+=+=犬+=（一+%）2-2 力|4|FBI2（二+l）y；（/+l）y；（苏+l）y；y；（病+l）y：y；将 X+必=一 2 c m代 入 式 可 得 为 定 值，定 值 为 2.12/+6（，/+3）（w2+3）9（/n2+1）（m2+3y 8=29（/w2+l）1EAl+EB|23源+3ii.若 E(-g,O),同 理 可 得 七+为 定 值 2.I 4 12|E B 综 上 所 述，存 在，点 E(g,O),使 得-为 定 值 2.|E4F EB-