《2023届高中数学大题二轮复习第46讲双变量问题-解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高中数学大题二轮复习第46讲双变量问题-解析版.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 4 6讲 双 变 量 问 题 经 过 前 面 对 极 值 点 偏 移 的 学 习，我 们 对 双 元 问 题 的 解 决 有 了 一 个 深 刻 的 认 识，本 节 讲 解 一 般 的 双 元 问 题，其 核 心 思 路 和 极 值 点 偏 移 的 核 心 思 路 差 不 多，都 需 要 把 双 元 问 题 转 换 成 一 元 问 题 来 解 决，其 转 化 方 法 类 似 前 面 极 值 点 偏 移 总 结 的 方 法.韦 达 代 换 消 元 韦 达 代 换 消 元 是 解 决 双 变 量 问 题 的 常 用 方 法，其 题 目 特 征 是 所 求 的 双 变 量 占，为 一 元 二 次
2、 方 程 ax2+hx+c=O 的 两 个 解,其 一 般 解 题 步 骤 为：h r第 一 步:找 到 两 个 变 量 的 关 系,X+w=-,x,x2=-.a a第 二 步:统 一 变 量，把 要 求 解 的 双 变 量 问 题 凑 出 韦 达，把 根 与 系 数 的 关 系 带 进 去，消 掉 参 数 和 多 余 变 量，统 一 为 一 元 变 量.第 三 步:构 造 函 数 求【解 析】，构 造 一 元 函 数,即 按 照 一 元 函 数 的 方 式 求 解 问 题.【例 1】函 数/(工)=0-一 1 0(0/?),若 不 函 数/(%)有 两 个 极 值 点 不，%(X&)，求/(
3、X)-/(尤 2)的 取 值 范 围 1 2【解 析】的 定 义 域 为(O,+8)J(x)=a+：=竺 三 产.设 方 程/(x)=0,即 ax2-x+=0 得 两 根 为 3,%2,且。不 一 得 一,2 X|H=v,演 lcl x 2.X2f(x)-f(x2)=cix-In%1-ax2-lnx2芭 I Za.a.ciXy-nX-ctXy+lnX)2 ciXy-InXj,I X；2 八%.CIX：-x 4-6Z=0,.=,.有+1代 入 式 得 4)-/(%)=22 1%1 1 r-4-1nxi=2x：+l)3 鬲 穿+1 2 令 x；=f，贝 f 1,g(t)=-In r,-r l,g(
4、r)=-0.1 4 v 7 t+2 4 v 7 2r(r+l)2.g 在“上 单 调 递 减，从 而 g g g|,即 0 g(f)ln 2-：0/(A；)-/(A2)21n2-1【例 2】函 数 f(x)=e e*R.(1)讨 论 的 单 调 性.(2)若/(x)存 在 两 个 极 值 点 斗,，X(。-2乂 A 一 e).人/、(1-a ex【解 析】(1)/(x)=-ex-ex+a=-i+ex+a=-7-.c，+4 厘+二)-2.当 4 2时,尸(力 0，此 时 外 力 在 R上 单 调 递 减.当。2时，由(力=0【解 析】Wx=ln-彳 或 x=n+，；彳 y=，是 增 函 数,此
5、时/(力 在-8,lnf 心 和 in空 为 三,+8 上 单 调 递 减，在 7/始 纥 用 工 加”孚 三)上 单 调 递 增.(2)证 明 由 题 知 a2,.e*浮=1,x+x2=0,/.X)=-x2,x2=-xrx x2,:.x1 0./(玉)-/(x2)-(-2)卜*_ 1)=(/_ e+时)_-ex-+a x-(a-2)(eX i eXl)=卜 小 _ 炉+时)一(e*e _ 叫)_(4 2乂-ef)=。卜 一 1+2 不).令 g(f)=e-e，+2f(r0/（百）-/（工 2）（4-2乂 9-9）.【例 3】函 数/（力=嘉 o*不 且/）存 在 两 个 极 值 点 x，z，
6、求 证：/（百）+/仇）e2亨+【解 析】证 明 由/（6=岛(x)=/+1)-ex lax/(a?2奴+1)ax1+ax2+1)/（尤）存 在 两 个 极 值 点,，4 2-4a 0,:.a l.令/（=0 得 以 2-2奴+1=0,不,”2是 方 程 以 2-2dX+l=0的 两 个 根.:.xx+x,=2,XM=e(O,l),a且 竭+1=2axlyax+1=2ax2.不 妨 设 再 毛,则 0%1%2,_)_ _ _ _II _ _ _ _IIax；+1 2or,2ax2 2a1%x2?=-+-=1-X*x；*=+XC)=；(2-xje”+&e2f 1.令/z(x)=(2-x)ex 4
7、-xe2-x(0 x 0./?（x）在（0,1）上 单 调 递 增./?（%）/?（!）=2e.，+p-_1_ 1/(%)+/(%)又 已 万 一.,/(%)+/()一.【例 4】函 数/(太)=,工 2 一+4 地 工,。).(1)若。0 时/(在 l,e 上 的 最 小 值 是 1 ln2,求.若 a.e,且 不,工 2是 x)的 两 个 极 值 点.证 明：/(芭)+/(工 2)；储+W)-2e(其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 642.71)【解 析】X)定 义 域 是(O,+8)J(x)=/-a+=上 卷 土 幺.令 g(x)=x?2改+2。,对 称 轴 左=。,(1)=10
8、,二 当 x l,e 时,g(X)0.(X)=0.,./(%)在 1 0 上 单 调 递 增./L,=/(1)=；一。+掘 2=：-1112,解 得。=-1.(2)证 明 由 f(x)有 两 个 极 值 点 a z，则 广(=o在(o,+8)上 有 2 个 不 等 的 实 根，即/一 2利+勿=0 在(0,+8)上 有 2 个 不 等 的 实 根，则，=4/-8。0,解 得。2.4 0 x,+x2=2a,xx2=2a,xf+x；=(x,+x2)2-2xx2=4a2-4a.当。，时,/(5)+/(尤 2)-3解+x；)+2e=aln4XX2+天)一；(工；+考)+2=cdnSa-2a2-4a2
9、一 4)+2e=an8a-3a2+a+2e.令 g=anSa-3a2+2e(a.c),g(。)=ln8-6a+2(.e),令 ha)=ga)=ln8a-6a+2,hf(a)=-6=-a当 a.e时,“(a)0,(a)在 e,+oo)单 调 递 减 h(e).即 g(a),g(e)=ln8e_ 6e+2=(1+31n2)-6e+2=31n2-6e+33-6e+3=6-6e0.g(a)在 e,+oo)上 单 调 递 减.g(a),g(e)=eln8e-3/+3e=e(l+31n2)-3e?+3e=e(31n2-3e+4)e(3-3e+4)=e(7-3e)0.g(a)0.,.原 式 成 立，即 xJ
10、+/(W)；(x：+)-2e.差 式 引 参 消 元 所 谓 差 式 引 参 消 元 就 是 找 玉-这 样 的 作 差 的 式 子，整 体 代 换 从 而 实 现 统 一 变 量,其 一 般 解 题 步 骤 和“极 值 点 偏 移”的 类 似，通 过 变 形/(内)=),构 造 出 玉-X?,令 玉-赴=f,引 人 参 数 r,用 参 数 f表 示 出 变 量 进 而 构 造 出 一 元 函 数.=g。)【例 1】己 知 函 数/(工)=入 1,若 0X 3.解 析 证 明 由 0 0),则，-.t te13/td可 得 X=!，w=-.要 证 3%+x,3,即 证-只 e-l e-l e-
11、1 e-I需 证 Q-3)3+3r+3 0.设 g(r)=Q _ 3)e+3r+3(/0),贝 iJg1/)=6 2)d+3.令 g)=(r-2)d+34ij(f)=(f-l)d.当 re(0,l)时,(/)0,/?单 调 递 增./?(?)./?(l)=3-e0,BR g()0 g(。在(0,+8)上 单 调 递 增.g(r)g(0)=0.3Xj+x2 3.例 2 已 知 函 数/(x)=me-x-l,若 x)的 两 个 零 点 为 再,当 且 当 0),g(/)=1r(/0)._e2/_1又 g()=-1。，g 在(0,+8)上 单 调 递 减.g g(o)=0.(3+1)-.-.g(f)
12、(-,0).(*-e*)，/:-，)的 取 值 范 围 为(F,0).齐 次 分 式 引 参 消 元 所 谓 齐 次 分 式 引 参 消 元，其 步 骤 与“极 值 点 偏 移”的 类 似，先 根 据 已 知 条 件 变 形 出 土，然 x2后 令，用 参 数 f表 示 出 变 量，:W，进 而 构 造 一 元 函 数,将 关 于 待 求 的 问 题 转 化 为 r的 函 数 问 题.【例 1】已 知 函 数/(力=山 一 无+。.求 函 数/的 最 大 值.若 函 数/(x)存 在 两 个 零 点 百,工 2(内).证 明：21叫+lnx2 0.【解 析】函 数 定 义 域 是(0,+8),
13、由 题 意/)=上 一 1=.X X当 0 v x 0,/(x)单 调 递 增.当 x l 时 单 调 递 减.:.x=l时,取 得 唯 一 的 极 大 值，也 是 最 大 值，即/=-1+。.证 明 由(1)题 知 1)=。一 10,即 4 1 时,/(x)有 两 个 零，点 X，W，(X|V“2)，则 3 G(O,1),X2 e(l,+oo).由 liW-x+a=Inx 电+a=0 得/一 X=lnx2-lnx=ln-=-.A令/=上 x、，贝 ni,卜 l1,四-%)=lnz,Xj=-,xrlnr2=%,/=-X t-t-21nxi+g 0 In()0 0 鼎 41,片 9)0 显 然
14、成 立.要 证 21nxl+lnx2 0,即 证 否 1,只 要 证 1,即 证 tin3r 1).-1，,令 g(f)=fl/r-(f-1)，,g(1)=0.g(f)=In3t+31112f _ 3 _ if,g，(1)=0令(t)=g(f),则+竿 一 6(r_l)=；ln2/+21m_2/+2q,(l)=0.令=ln2r+21nr-2t2+2t,mt=+y-4r+2=y(Inr+1 r+=0.令/?(/)=lnr+l-2r+r,，)=1 一 4/+1/0 时,(r)是 减 函 数，二(1时,(/)=-2 0.是 减 函 数，九=0,即 加(/)1)./.?(/)是 减 函 数,7(f)/
15、n(l)=0./1时 是 减 函 数,确/?(1)=0,即 g(f)0.二.g(。在(1,+8)上 是 减 函 数,g)g(l)=o.li?，-Q-Ip 0,即 fl!?，。一 Ip.综 上,21叫+lnx2 0 成 立.【例 2】已 知 函 数/(x)=四、-白 2-匕 有 两 个 极 值 点，设 函 数 的 两 个 极 值 点 分 别 为 百,马,且 是.2,求 实 数 a 的 取 值 范 围.%【解 析】fx)=aex-x.由 f(x)=0 得 oe*=大,枇 叱=X2(0 玉 vic/).两 式 相 除 可 得=至.令 三=r(r.2)，则=txx:.*-以=乙 则 7=里/1.1-I
16、n/令 的）=”.2）,小）=与 广/.(pQ)在 2,+oo)上 单 调 递 减.,.夕”。(2)=；-ln20,即 力(。0,因 此 力(/)在 2,+00)上 单 调 递 减./啜 收(2)=皿 2,0 e?,即 证 1叫+lnx2 2.In%)-blnx2=+/)，二 即 证 a-.%!+x2原 命 题 等 价 于 证 明 西 二 处 二 一,即 证 In五 土 山.由-X2 Xj+X2 x2 X+x2令=1,设 函 数/7(。=1皿-二。11,则/0=1-学 学 a=立 匕 0,“r+1 t(r+1)2 t(t+1)2为(i,+上 的 增 函 数.注 意 到=o,因 此,/2=o.于
17、 是，当 t 1 时，有 于.Inx+lnx 2 成 立,x,x,e2.t+法 二:参 变 分 离 换 分 式 引 参 消 元 1 lnx2 Iru x2a=-,x,%lnx(xx设 X 1 1)，则*2=tX，-1=t 11V+lllX|=t-%InXj InXj反 l i e解 出-：I、nX Inr f i Inr tint=-,lnx9=ntx,=lnr+-=-,I r-1 t-故 XjX2 e 2=1 叫+lnx2 2 Inr 2.转 化 为 一 元 函 数 求 解，同 上，略.【例 2】设*(x)=a ln x-x,若 夕(x)有 两 个 相 异 零 点 否,工 2,且 X Z，求
18、 证:1n xi+1哇 21na 0.【解 析】证 明 力,&是 方 程 山 四-=0 的 两 个 不 同 的 实 数 根,，alnx 一 X=0alnx2-x2=0，两 式 相 减 得(l g-In)-入 2)=。,解 得=二&I1 nX-1 L要 证 InXj+lnx2-21na a2，即 证 西 元 2-.(i Hl X2)即 证 仇 五 区-=五 一 2+七.(x2)占 毛 X?X,令 土=z(0,1).0 X 九 2厕 只 需)1证 h r r f 2+-.t设 g=ln2r-/一；+2,g)=工 In/-1+!=!(2hv-t+-i 2 1令 6(。=21nr+ht)=1-=0./
19、./2(f)在(0,1)上 为 减 函 数.令 g，(x)=0 得 x=J,可 得 g(x)在 0,上 单 调 递 增，在 2 2/A(1)=O.0,g)在(0,1)上 为 增 函 数,g(。g(l)=O.即 ln=/-2+l 在(0,1)上 恒 成 立，In%,+lnx2-2lna：.%x2 e【解 析】函 数 8(力=3-彳 2 Y+(/?)的 定 义 域 为(0,+8),g(x)-=之.x e e x2 J,+8 上 单 调 递 减.2)又 当 X-0 时,g(x)-00；当 X f+8 时,g(x)f-oo,故 欲 使 g(x)有 两 个 零 点，只 需 g+=In-1+r=1-ln2
20、+r 0,EPr ln2-1.1 2 J 22(2)证 明 不 妨 设%，则 由(1)题 可 知 0 玉/J 即 证 _L+_L陋 1.芭 x2 e 芭 x2 432设 立=fQ 1)，则 即 证/1 21nr(z 1).构 造 函 数/=/21nz(r 1),xx t t则 加)=1+/_：=铝 210,.,.”)在(1,+8)上 单 调 递 增,故。/(i)=o.:.t-2nt(t 1)，原 不 等 式 得 证.例 4 设 函 数/(x)=x2+(2-a)X-alnx(4eR),若 2且 方 程 f(x)=b,be L,在(1,+8)上 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 内，马，求
21、证：4 玉+X2.【解 析】证 明 方 程=即 f+(2-)x-Hnx=d 在(1,+8)上 有 两 个 不 等 实 根%和 不 妨 设 1X x2,则 X；+(2-a)%1-aln%=，芯+(2-)无 2=b-得 叫 X：+2”-2X2,X+In%1-x2-lnx2欲 证 a xi+x2,只 R 需-i、止 T X-+-2-x!-x；=-2-X-2.iM+x,.x x+Inx x,+m,X+InXj-x2-lnx2 一 则+nx-x2-nx2(xt+X2)-(x,+-x2-lnx2),/X2%-1整 理 得 1叫-1眸 20-2)，即 证 ln 0，显 然 在(0,1)上 半 调 递 增.力
22、 1，求 实 数。的 取 值 范 围.百 一 占【解 析】(工)=2-(。+1)+1n x，对 于 任 意 的 石，工 2(。,+8),取 M&，则 不 一 9 1 可 得 6)_ h(x2)xt-x2,变 形 得 人(%)-%(为)-王 恒 成 立，令 F(x)=/?(x)-x=x2-(a+2)x+lnx则 f(x)=f-(a+2)x+lnx在(0,+8)上 单 调 递 增.故 F(x)=2x(a+2)+L.O 在(0,+oo)上 恒 成 立.2犬+：.。+2在(0,+8)上 恒 成 立.-.2X+J.2a,当 且 仅 当 x=1 时，等 号 成 立,20-2.【例 2】已 知 函 数/(*
23、)=，2-卜+：)+成,若“10,3),证 明:对 任 意 石,9-,iK,*%)，可 一,但)恒 成 立.2 2【解 析】证 明 因 0 a；,，f(x)在 1,1上 是 构 函 数.区 工，不 妨 设 g部;x2 1，则 X；X；.于 是“为)一/,(3);犬;一;君，即 X1);X；/(*2)；考 令 g(x)=/(x)-gx2=Inx-(a+.x(x 0).g a)=L-i+n 在 上 是 减 函 数，x a)2从 而 g(x)在 g,l上 是 减 函 数.,.对 任 意;部,g(x2)，即/(西)一(才/&)；.当 0,；卜 寸，对 任 意 内,工 2G；，1(X尸 马),等 恒 成 立.