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1、第28讲弦过定点【例 1】设。为直线y=-2上的动点，过。作抛物线C:f=4 y的两条切线，切点分别足E,F.证明：直线及 过定点.【解析】证明：由 题 意 可 设 点 点 刈 百，%),点,%)由题意知切线O E,。尸的斜率都存在，由-=4,得看，则y，/，.坛=五.4222直线的方程为丫-凶=(工-再)，即y-y=一5.2E(X,yJ 在公=4y 上，.X；=4%,即5=2,.将代入得X/-2y-2y=0,；.直线D E的方程为中-2凹-2y=0.同理可得直线D F的方程为超-2%-2丫 =0.,点 O(f,-2)在直线 D E上，/历-2%+4=0.又点DQ,-2)在直线D F上,/.蛆
2、-2y2+4=0.直线所的方程为a-2 y +4=0,故直线斯过定点(0.【例 2】在平面直角坐标系xOy中，M 为直线y=x-2上动点，过点M 作抛物线C 2 =y的 两 条 切 线,MB,切点分别为A,B,N为A B的中点.证明：M V J_ x轴.(2)直线4 3是否线过定点?若是，求出这个定点的坐标.若不是，请说明理由.【解析】证明：设切点A(X,引,网，引,y=2x,切 线 的 斜 率 为2占，切线M 4:y-x：=2x1(x-xj.设点 M(r,t-2),则有 f-2-x；=2X(f-%)，化简得k-2为+f-2 =0.同甥可得君-2%+-2 =0./.xx,巧是方程f-2 r x
3、 +t-2 =0的两根，X+巧=2r,王巧=t-2.xN=-t =xM 9*M N _L x 轴，(2).+君)=4-X7)入 工2=2 广 -1+2,N(f,2f2 f+2).2.2kAB=x+x2=2t 9/.直线 AB 的方程为：y-(2产 T +2)=2t(x-1),即y-2=2tx-.二直线/W过定点(g,2).顶点在定直线【例 D 过抛物线。公=2)，的焦点P的直线/交抛物线于P,。两点，过尸，。分别作抛物线的切线，两切线交于点A.求顶：点A在定直线y=-g.【解析】证明：抛物线f=2 y的焦点为F(0/)，二设过抛物线#=2 y的焦点的2直线为y=kx+.2设直线与抛物线的交点分
4、别为点*百，%),点。(超，为)，x2=2y联立,1 ,消去y得f 一2 6-1 =0.根据韦达定理得百巧=-1.抛物线f=2 y,即二次函数y=对函数求导数，得y =x.抛物线在点尸处的切线斜率为勺=历，可得切线方程为y-y =再G-再)，化简得 y=X M-.1 2同理，得到抛物线在点。处切线方程为尸x-g君.A的纵坐标yA=土乜.为巧=-1,%，点A在定直线y=-;上.【例 2】已知抛物线C:f =2py(p0)的焦点为尸，交点尸的直线分别交抛物V=X;,得交点y=XX-石联立线于A,5两点，过点A,8分别作抛物线的切线小4.证明：，4的交点在定直线上.X _再+电2，即直线4,/,的交
5、点坐标为、V2 Y【解析】证明:设点A（z ,X：）,B（巧,用,由f=2 p y，得y =,定y=直线/的方程为y-y =（x-X ）,直线4的方程为y-乃=（-电）.y-y i=（x-xi）联立 P 解得y-y 2=x-x2）AB过焦点尸（0,5），由题意知直线A3的斜率存在，故可设直线AB方程为y =kx+，2代入抛物线 f=2 p y 中，x2-2pkx-p2=0,.,.xx2=-p2,.2p 2,%的交点在定直线丫=上.切线垂直【例 1】已知抛物线C的方程为f=4y,点P是抛物线C的准线上的任意一点.过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,求证：切线R 1和P B互相垂直.【解
6、析】证明：设点P坐标为（乙-1）,切线斜率为心过点P的切线方程为y =Z（x-f）-l.联 立 卜-4）,y =k（xT）_ 消去y得-4日+4（公+1）=0.由 =1 6 d-1 6（公+1）=0得/-米-1 =o.记关于人的一元二次方程炉一很-1 =0的两根为左，则4，B分别为切线的，依的斜率,由根与系数的关系知k&=-l ,二切线必和P B互相垂直.【例 2】设直线丫=h+1交抛物线f=4 y于A（z ,y j ,以超，为）两点，分别过A,B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为点P,求证：PF AB.【解析】证明：把直线丫=履+1代入/=4y,消去），得X 2一4 6-4 =0,又A
7、=1 6 A:2+1 6 0,由韦达定理得 百+%2=由 题 意 设 切 线 的斜率为丽A,切线心的蚪率为即B，I 入 X =4点P坐标为（m，n），由抛物线方程：y=+2,可得 y.=g x.：,kpA=；X ,kpB=；x2，则切线心的方程为:y-=；X (x-，”)，切线 的方程为：y-n=x2(x-m)|一 =；%（一，）为一,石仁-则式一式并利用韦达定理化简整理得利=2%,把m=2%代入上式整理得1 2,12y2-M 1 2 =-W 再 +在 1 =H-X|=X+1 2 1 24石一尸X=W*IX2=，贝”P(2k,-1),F(0,1),kP F-kAli=l -x k =-,则A
8、0-2k三角形面积问题【例1】点Q为直线y=-g上的动点，过点。作抛物线C:f=2 y的两条切线，切点分别为。，E,求AODE面积的最小值.【解析】设 点 由 题 可 知 切 线 的 斜 率 存 在 且 不 为0,.可设切线方程为 y+g=k（x-，）kO.联立“+5=/一，消去y得d-2奴+2袖+1=0.由直线与抛物线相切可得A=0,了=2y：.k2-2km-l=0,即 2=2版+1,：.x1-2kx+k2=0,解得x=A.可得切点坐标为k,故可设O kt A,E&2，生.I 2 J I 2J I 2JEfcl42-2 一1 =0,可得勺+&=2 5，k&=T，QDYQE,:.AQDE 为直
9、角三角形.，AQE的面积S=；3IQE|.令切点k,y 到点。的距离为d,2 2则 d2=(k-m)2+(廿+14忆2 -8km+4m2+Qkm+2)22)4=1c+nr+k2n+1=(%?+1)(苏+4,IQD|=亚：+1乂4+1)，QE=财+1)+).:.5=1(2+1)&+片+&超+1 =;(/+1)/(&+砧：2kk2+2=(，+12_ 3+4=(m2+币当利=0,即点。的坐标为（0,-小时,QLE的面积S取得最小值1.【例 2】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在），轴的正半轴上，直线I:mx+y-g=0经过抛物线C的焦点.（1）求抛物线C的方程.（2）若直线/与抛物线C相交于A,8
10、两点，过A,8两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求4的 面积的最小值.【解析】设抛物线C的方程为f=2 p y（p 0）.直线/:,nr+y-3 =0经过抛物线C的焦点，.mx0+-3 =0,解得p=3,.抛-2 2 2物线C的方程为/=6y.,2=6设点A（X1,）,点8（孙乃）联立（3 得-9=0.Iznr4-y-=0A=36m2+36 0,再+巧=6相，百二 9,AB|=A/I+w2,V36/n2 4-36=6(1 +m2由=6y得y=6 3.抛物线C经过点A的切线方程是yf将J丫%=9代入上式整理得、=五6 3x-K .同理可得抛物线c经过点3的切线方程为6y=-X9x 君-3 6X _内+无2联立v 乜）一3X2y=3x-6x君 X-6x=-3m，3,/.P-3m,y=k2高到直线3得mx+y-=0 的)26距离3 3ni x(-3加)-d=3/，+1.2+1)2 lm*2+1AABP 的面积 S=g|A 8|d=；x6*(1+如卜3/根+1=9(回V/n2+lffl,.-.S 9.当加=0时，S=9,，AABP面积的球小值为9.