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1、初中数学第二十八章圆与直线的位置关系28.1点 与圆的位置关系一.确定圆的条件：圆共有两个要素：圆心与半径。因此，要确定一个圆，需要同时确定圆心和半径：i .圆心（定点），确定圆的位置；2 .半径（定长），确定圆的大小。注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。二.点与圆的位置关系：圆与直线的区别在于圆是封闭图形，因此点与圆的位置关系共有3种：1 .点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定。2.设。的半径为7，点P到圆心。的距离为d,则有：点在圆外Odr：点在圆上o d =r ；点在圆内u d r。如下表所示（其中d =OP）：
2、位置关系图形定义性质及判定点在圆外(点在圆的外部点P在。0的外部点在圆上点在圆周上d =ro点P在。的外部点在圆内点在圆的内部点P在。0的内部初中数学例1：在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,0 A的半径为2。下列说法中，不正确的是（A.当a 5时，点8在。A内C.当时，点8在。A外）B.当l a 5时，点8在。A外三.过已知点的圆：两点确定一条直线，对于圆来说，也有类似的结论：1.经过点4的圆：以点A以外的任意一点。为圆心，以Q4的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个（如下图）。2.经过两点A、B的圆：以线段A 8中垂线上任意一点。作为圆心，以Q4的长为半径,即可
3、作出过点A、6的圆，这样的圆也有无数个（如下图）。3.过三点的圆：若这三点A、B、。共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与8 c的中垂线的交点，而这个交点。是唯一存在的，这样的圆是唯一的（如下图）。-2-初中数学四.从上面的分析可以得到如下定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。1.“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆;2.“确定”一词的含义是“有且只有，即“唯一存在”。例 2：如图，四边形 AB C O 中，A B =A C=A D,若 N C 4 Z)=7 6。，N B D C =13。,贝 l N C 8 D=,ZBAC
4、=-例 3：如图，在平面直角坐标系中，。与两坐标轴分别交于A、B、。、)四点,已知：A(6,0),8(0,2),C(3,0),求点。的坐标。总结：1 .判断点与圆的位置关系的方法，是通过距离和半径间的关系，这与判断直线与圆的位置关系的方法是类似的；2 .注意通过中垂线找圆心的方法，这也是作三角形外接圆的方法。练 习11.已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7,最小距离是5,则该圆的半径是()A.2 B.6 C.12 D.7-3-初中数学2 .个已知点到圆周上的点的最大距离为5 c 7，最小距离为1 c,加，则 此 圆 的 半 径 为。3 .定义：定点A 与。上的任意一点之间的距离的最小值称为点
5、A与。0 之间的距离。现有一矩形A6CO如图，A B =4rcm,BC=2cm,OK与矩形的边A A BC、CD 分别相切于 点 区F、G,则点A与。K的距离为。4 .如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ,B,C,其中B点的坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心的坐标为5 .在平面直角坐标系内，以原点。为圆心，5为半径作0。，已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,4),3(-3,-3),C(4,-7 1 0),试判断A,B,C三点与。0 的位置关系。6 .已知 A 4 B C 中，Z.C=9 0,A C =2,B C =3,A B 的中点为何。(1)以C为圆心，2 为半径作。C,则点A,8
6、,例 与 0 c的位置关系如何？(2)若以C为圆心作。C,使 4,B,M 三点至少有一点在。C内，且至少有一点在OC外,求。C半径r 的取值范围。-4-初中数学28.2直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系，可以按照它们的交点个数来分类。总共有三种情况：o个交点、1个交点、2个交点：1 .直线和圆没有公共点，称直线和圆相离；2.直线和圆有唯一公共点，称直线和圆相切。直线称为圆的切线，公共点称为切点；3 .直线和圆有两个公共点，称直线和圆相交。直线称为割线。二.直线与圆的三种位置关系的判定：判定圆与直线的位置关系，可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断：设。半径为r,圆心为。到直线/距离
7、为d,则：1 .直线/和。相交=d八如下图所示：例 4：菱形对角线的交点。，以。为圆心，以。到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为（）A.相交 B.相离C.相切 D.不能确定例 5：如图，ZACB=6 0 ,半径为I s 的。切 BC于点C,若将。在 CB上向右滚动，则当滚动到。与 C4也相切时，圆心。移动的水平距离是 c m。-5-初中数学总结:判定圆与直线的位置关系的主要方法就是判断圆心到直线的距离与半径的关系，因此在判断时作出圆心到直线的垂线段是常用方法。练习21.。0的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与。的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.内含2.在平面直
8、角坐标系中，以点（3,2）为圆心、3为半径的圆，定（）A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相交C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交3.若NQ4B=30,O A =10cm,则以。为圆心，6CT?7为半径的圆与直线4 8的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定28.3切线的性质与判定切线的定义：一条直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线，公共点叫作切点。切线的判定方法：i.定义法：直线和圆有唯公共点时，这条直线就是圆的切线；2.定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；3.判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。-6-初
9、中数学例 6：证明上面的判定定理(2)、(3)o三.切线的性质：1 .切线和圆只有一个公共点；2 .切线和圆心的距离等于圆的半径；3 .切线垂直于过切点的半径；4 .经过圆心垂直于切线的直线必过切点;5 .经过切点垂直于切线的直线必过圆心。例 7：证明切线的上述五条性质。四.切线长定理：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长。过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如下图所示，尸是。外 一一点，PA,P 3分别切。于A、B,则=且 尸。平分Z A P B。-7-初中数学例8：证明切线长定理。例9：已知：如图，A是。
10、上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点O C =B C,AC=-OBo2(1)求证：A8是。的切线；(2)若 448=4 5,求 N E X9 C。例1 0：如图，AB是。的直径，尸是。上一点，AE平分入BAE,交。于点、E,过点E作直线E O _ L A F,交AF的延长线于点F，交AB的延长线于点C。(1)求证：8 是。的切线；(2)若C 6 =2,CE=4,求 A E 的长。-8-初中数学总结：1.切线的判定与性质的三个关键词：切点、半径、垂直，连接圆心与切点，则其垂直于切线，反之亦然；2.切线长定理体现的是图形的对称性，应用切线长定理时应注意利用对称性。练 习3i.下列说法正确的
11、是（）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.如图，AB与。O切于点C,3=0 3,若。的直径为8cm,那么。4的长是（）A.历 B.V40 C.V14 D.2V153.如图，直线M P B是。的两条切线，A 3为切点，AC是0 0的直径，如果ZBAC=35,那么 N P=()-9-初中数学4.如图，在ZVLBC中，AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边A3相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是（）A.4.75 B.4.8 C.5D.4725.如图，是
12、。的直径，点。在AB的延长线上，过点。作。的切线，切点为C,若NA=2 5,则/。=。6.如图，PA、PB切。于点A、3,点C是。O上一点，且NACB=6 5 ,则NP=。7.如图，在AABC中，AB=2,AC=4 2,以A为圆心，1为半径的圆与边3C相切,则/BA C的度数是8.若。的外切等腰梯形的中位线的长为5C7?Z,梯形两底长的差为6c?n,则。的半径长为 cm o-10-初中数学9.。中直径AB与弦A C的夹角是30。，过。点 的 切 线 交 的 延 长 线 于O,如果O D=30cm,那么。半径的长为 c m。10.PA,分别切。于A、B,PO交。于C,过。作。O的切线分别交PA、
13、P B于E和 尸，若。4=6,O P =1 0,则APE/的周长为。11.若。O外一点尸与点。的距离为4,从P向。作切线，切线长与圆的半径之差为2,则 圆 的 半 径 为。12.等腰梯形各边都与。O相切，。的直径为6 c m,等腰梯形的腰等于8 c m,则该等腰梯形的面积为 c m2 o13.P T切。于T,PA8为经过圆心O的割线，交。于A、B两点，若PT=4,PA=2,则N B P T的 余 弦 值 为。14.过。0外一点P作。的两条切线PA,P B,切点为A和B,若A5=8,AB的弦心距为3,则PA的长为。15.如图，以等腰AABC中的腰A 8为直径作。O,交 底 边 于 点 过 点。作
14、D E 1 A C,垂足为E。(1)求证：D E为。的切线；(2)若。的半径为5,ZBAC=60,求。E的长。-11-初中数学1 6.如图所示，AB是。直径，0 _ 1 _弦3。于点尸，且交。0于点E,若ZAEC=/ODB。(1)判断直线BO和。的位置关系，并给出证明；(2)当 A B =1 0,6 C =8 时，求 BO的长。28.4三角形的内心和外心三角形的内切圆：与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。角形内心的定义及性质：i.三角形的内心是内
15、切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，圆心到三角形各边的垂线段相等；2.三角形面积公式5 =(/表示三角形的周长，r表示内切圆半径)。2例 1 1：如图，。是边长为2的等边三角形A6C的内切圆，则图中阴影部分的面积为 oAB-12-初中数学例12：&AABC中，NC=90,AC=6,BC=8。求 AABC的内切圆半径。三.三角形的外接圆：1.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；2.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的泮）；钝角
16、三角形外接圆的圆心在它的外部。四.三角形外心的性质：1.三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等：2.三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。例 13：等边三角形的外接圆的半径等于边长的（A.B.C.V3 D.-2 3 2）倍例14：如下图所示，A A 8 的外角平分线C8交其外接圆于8,连接BA、BD,求证：BA=B D。-13-初中数学练习41 .内心与外心重合的三角形是（）A.等边三角形 B.底与腰不相等的等腰三角形C.不等边三角形 D.形状不确定的三角形2 .给出
17、下列命题：任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中真命题共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3 .设用A A 6 c的两条直角边长分别为3、4,则 此 直 角 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 为,外接圆半径为 o4.A A 6 C是。O的外切三角形，。是8C边上的切点，已知8 0 =4,D C =3,A A 6 c的周长是1 8,那么A8的长是。5 .A 48 C中，A B =A C =1 0,B C =2
18、,求其外接圆的半径。6 .如图，不等边A A 8 C内接于。，/是其内心并且A/L O/。求证：A B+A C =2BC.-14-初中数学综合练习选择题：I.已知。的半径为10cm,如果一条直线和圆心。的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离2.如右图，4 8是 上 的 两 点，AC是O O的切线，N6=70。，则N6AC等于（）A.70 B.35 C.20 D.103.如图，PA切。于A,PB切。于B,O P交。于C,下列结论中，错误的是（）A.ZAPO=ZBPO B.PA=PB C.AB LO P D.PA2=PC-PO4.如图，已
19、知。的直径AB与弦A C的夹角为30。，过C点的切线PC与A 6的延长线交于P,PC=5,则。的半径为（）56 5百 八,A.-B.-C.10 D.53 6-15-初中数学5.AD.AE和BC分别切。0于。、E、F,如果AD=2 0,则AABC的周长为（)A.20 B.30 C.40 D.35-2二.填空题:6.。的两条弦45、8相交于点P,已知AP=2,BP=6,CP:PD=1:3,则DP7.4B是。的直径，弦CDJ_AB,垂足为E,P是8 4的延长线上的点，连结PC,交。O于 尸，如果/=7,FC=1 3,且R4：A：EB=2：4：1,则CD=8.点A、B、a。在同一圆上，AD.BC延长线相交于点Q,A B,。延长线相交于点P,若NA=50。，NP=3 5 ,则NQ=。-16-初中数学三.解答题:9 .如图，为。的直径，切。于B,AC交。于P,CE=BE,E在5 c上。求证：P E是。的切线。1 0 .AB,8是两条平行弦，B E A C,交C D于E,过A点的切线交DC的延长线于P。求证：AC2=PC C O-17-