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1、江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题学校:姓名：班级:考号：一、单选题1.已知|集合A=x|14xV3,3=X 2 x/2 D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家 遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面、，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面邑，地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为()A.B.2 y/s C.5 3 +/?)(邑+/?)D,2j(S1+R)6 +R)a-兀-)l +cosa=3,贝n li jcos2a+A.B.
2、25 256.已知随机变量X 服从正态分布N(Q2),甲：P(Xm+1)P(X tn)=0.5；丙：P(X nt)=0.5；丁：P(z?i 1 X m)Pm 4-1 X 所成的角为4 5D.三棱锥C-8OG的体积为:1 0 .函数/（x）=s i n（0 x +9）（0 O，M ）的部分图象如图所示，则（）y1y /i-A.CD2e 兀B.（p=-oc.X）的图象关于点（1,o）对称D.x）在区间卜，学）上单调递增1 1.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件8,则（）A.P（A）=1
3、B.A,8为互斥事件C.P（B|4）=g D.A,B 相互独立1 2.已知抛物线V=4y 的焦点为尸，以该抛物线上三点A,B,C为切点的切线分别是试卷第2页，共 5页IM，直线4,4 相交于点。4与4，4 分别相交于点R。.记4。的横坐标分别为孙孙占，则（）A.DA DB=OC.AF-BF=DFB.%|+x2=2X3D.|叫 卬=阳即三、填空题1 3 .已知函数=则(-2)=.1 4 .写出一个同时满足下列条件的等比数列 q 的通项公式q=.4 ,“。；0),设直线x+b y _ 7 i =()与两坐标轴的交点分别为4,8,若圆。上有且只有一个点尸满足I M=忸，贝卜的值为.1 6 .已知正四
4、棱锥S-458的所有棱长都为1,点E在侧棱S C 上，过点E且垂直于S C的平面截该棱锥，得到截面多边形，则 的边数至多为,的面积的最大值为.四、解答题1 7 .在工应同成等比数列，g=24+2,S L S 4 +S 7-2 这三个条件中任选两个,补充在下面问题中，并完成解答.已知数列%是公差不为0的等差数列，其前几项和为3,且满足,(1)求 4 的通项公式;,I 1 1 1(2)求-+-+-+-.12。2。3%”,+1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.1 8.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(F/Wbr/C pQ“S r2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.
5、某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数据如表所示:喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和1 名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为:，女生进球的概 率 为 每 人 射 门 一 次，假设各人射门相互独立，求3 人进球总次数的分布列和数学期望.K三一 _(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z+d)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.6351
6、0.82819.在中，A,B,C的对边分别为a,6,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.(1)若 c=G ，求 cosB 的值；(2)若b=l,28A C 的平分线A。交 BC于点。，求 AD长度的取值范围.20.如图，在 ABC中，AD是 BC边上的高，以A。为折痕，将，ACD折至APO的位置，使得尸试卷第4 页，共 5 页(1)证明：P B _ L 平面(2)若A D =PB=4,BD=2,求二面角B-P A-D的正弦值.2 1 .已知双曲线C:l(a 0,b 0)的左顶点为A,过左焦点尸的直线与C交于P,Q两 点.当 轴 时，1 P A i =而，P A。的面积为3.(1
7、)求 C的方程；(2)证明：以P。为直径的圆经过定点.2 2 .已 知 函 数 司=言 和 8(力=竺?竺有相同的最大值.求实数。；(2)设直线y =与两条曲线y =/(x)和 y =g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为玉,演，玉(西匕)，证明：XlX4=X2X3 参考答案:1.A【分析】根据交集概念计算出答案.【详解】A 8 =x|2 )G .1 39 1.以 s i n a +c os a =,2 2 5答案第1 页，共 17 页所以 sina+V=,(c 兀、J 兀)c .兀)c 9 7cos 2 a+=cos2 a+=l-2sin-a+=l-2 x =一,25 25故选:B.6.
8、D【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙、丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.【详解】因为只有一个假命题，故乙、丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，所以乙、丙一定都正确,则=z,P(X m+l)=P(X P(X m-2),故甲正确，根据正态曲线的对称性可得尸(?-1 v X m)=P(s X +1 X 0,r 1 或 r 1或，一3送，)=一左用,当f 0,当，1 时，g c o时，g(r)0,当t f+o o时，g )+8,所以 g(r)w(y,0)u(0,4 e-2),即 x%G(-a ,0)o(0,4 e-2).故选：D.9.A B D【分析】根据线面平行判定
9、定理判断A,利用线面垂直判定定理判断B,利用线面夹角的定义判断C,根据等体积法判断D.【详解】:A D J g,AR U平面BOR,8 G u平面BOG,.-4/平面B O G ,A 对；答案第3页，共17页因为 B D _ L C O,又 CC _ L 平面 A B C D,B D u 平面 A B C D,所以 3 O J _ C C i，C O C C,=C,CD,CCt u平面C O Q,.比 ，平面COG，B对;因为G。，平面A B C D,C P与平面A B C D所成角为/C_ _ _ _ 2因为 l a n/C =-=H 1./C 0 C W 4 5,C 错;1 1 2S K-
10、BOC,=,-ao c=-x-x 2 x l x 2 =-1 D 对.故选：A B D.10.A C D【分析】根据三角函数的图象，先求得。，然后求得夕，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.详解4=3兀 _ 弓=，7 =n =&,r.O =2,/（x）=s i n（2 x+9），/m =s i n 0 7 t +9 =l,2 6 3 2 co 3 7 V 3 ）上十 兀 兀兀 2兀 7兀由于一彳夕彳,工*+-二，2 2 o 3 b所以。+；2 7 r =WIT，S =-TTF，所以A选项正确，B选项错误.3 2 6/（x）=s i n|2 x-=Z：7 C,x =+G Z ,I 6）6
11、12 2当=0时，得*靖，所 以 关 于C对称，c选项正确，兀 c,c 兀 兀 兀 I 7 t .5 +2k 兀 2 x -+2k 7 i,-+j c x +7 C,K j Z ,当匕=1时，得/（X）在（渭兀）上递增，则“X）在区间卜与上 单 调 递 增，所以D选项正确.故选：A C D1 1.A C【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.答案第4页，共1 7页【详解】P（A）=,A 正确;A 8 可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A,B不互斥，B 错误;在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为g,C 正确;/（8）=曰 1+；、0=
12、；,尸（4 3）=；、|=/（4 8）.尸（4）尸（8）,二4 3 不独立,3 2 3 3 3 2 0D 错误:故选；AC.12.BCD【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出。的坐标可判断A,根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.【详解】设 小,x旬l,8l卜 2,句x,lCl b，力x l ）/=/I 温=/|%，所以/|:y-=-x1（x-xI）,即 y=，4 2 2 4同理 4-y =Z x2x 一 二 ，2 4一再十 一2,即 当=土 也，也即占+兑=2汽，B 正确;y _ 中2 2X +X,X；Xy X2 V Xi+x2%2%工2）
13、_ 丁 产一丁 7一 丁%一 赴 斗（西一）Y 2-x,%（-西）2 4-司一天）2（百一%）216（4+X1X2）不 定为0A 错误;16D f 2 =（*+-2）+（X|九2 _）_ 5+25+毛 +X 上2 _ X|:2 +-（丁）4 16 2二|A耳忸尸|,C 正确;答案第5 页，共 17页CQ=2、4,%2 一%2+卡2-艰4+年4亨+4 J4PD=(%-X2)X|丫 1 2一 娟 4+芭2*2-%221 +44APCQ=PCPD,D 正确,故选:BCD.13.4【分析】根据分段函数的定义求解即可.【详解】由/(*)=l+log2(2-x),x 所以/(-2)=l+log2(2-(2
14、)=l+log24=3,所以/(1(_2)=/(3)=2 3T=2 2=4.故答案为：4.14.(-2)【分析】可构造等比数列，设公比为夕，由条件，可知公比q 为负数且1 6 1,再取符合的值即可得解.【详解】可构造等比数列，设公比为夕,由见4+i 0,可知公比0 为负数,因为同1，所以4 可取-2,设=-2,则q =-2(-2广=(-2).故答案为：(-2)”.答案第6 页，共 17页15.-#0.5【分析】根据|阴=|冏 可得尸在A 5的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.【详解】A（0）,B（0,l）,PA=P8,，P在A 3的垂直平分线上,心B=-且，所以中垂线的斜率为，3A 3
15、的中点为J,由点斜式得y-g =6（工一等），化简得y=J K-1 ,尸在圆O:/+V =/满足条件的P有且仅有一个,，直线y=百工-1与圆相切,故答案为：“叵1 6.3-3SF【分析】空1,数形结合，作平面与平面3。/平 行，即可解决；空2,令 吟=九,得SrEP=A,SP=A,PB=l-Z B Q =l-，PQ=l-，NQ=MP=2BD=g,得2cosX-DFB=,sin/D F B S=S+SPMNQ=V2A2+V2A,即可解决.3 3 4【详解】取SC中点BF_LSC,O尸，SC,.5。_1平面3。尸，作平面与平面3）尸平行，如图至多为五边形.答案第7页，共17页:.EP=ABF=-S
16、 P =ASB=A,：.PB=-A,BQ=-A,P Q =-A,N Q =MP=ABD=向,所以 c o s/DFB=3 3-+-24 4j_3所以 sin/OFB=R Z.3所以S W=-x 2-因为MN与 NQ的夹角为以与BD夹角，而 SA与8。垂直,=/2A(l A),所以S=&（1 -幻+立 公=-3&储+&,7 4 4当4=3 时，S取最大值立.3 3故答案为：5；走317.选 ，或 均 可 得=4-2n 4(2+)【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差,得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到 一=（丁1-4，利用裂项相消法求和.aa+l
17、 81 0.828,答案第9 页，共 1 7页.有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关（2）3 人进球总次数J 的所有可能取值为0,1,2,3,-）制飞/尸（曰）=呜 抬+3（步得=2）=C；.|.l.l+（|J x i U,P（=3）=|J x l =1的分布列如下:自0123P1185184929苫的数学期望:E =l x q5 +2 x4+3 x9 =1 1.19.(1)524(K)【分析】（1）由正弦定理得出。=助，再由余弦定理求得结果；（2）设N 瓦。=6,把一A3C表示成两个三角形的面积和，表示出A O,再求其取值范围;【详解】（1）已知acos3-2acosC=（2 c
18、-）cosA,由正弦定理可得 sinAcosB 2sinAcosC=（2sinC-sinB）cosA,sinAcosB+cosAsirtS=2sinAcosC+2cosAsinC,/.sin(A+B)=2sin(A+C),/.sinC=2sin8,/.c=2b,c=j3a,即万=/.cosB=2 r 2 3 2Y+c i =.lac24(2)由(1)知c=,由b=l,贝 ijc=2.设NBA=9,5 ABC=-2-sin26=-2/lD sin 6 +-lM D sin 6 ,22答案第10页，共 17页AD=gcos6,【分析】(D先证明出线面垂直，得到A D _L P B,进而证明出P3
19、L平面A 8 D；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】(1)证明：是B C边上的高，P D L A D,A D L B D,:P D c B D =D,尸 ),3。u 平面 P B D,平面出步，,/P8 u平面 P 8),:.ADVPB,又.P 8_ L A8,A,A8u平面 A8r,AO c AB=A,二 P B_ L 平面 43；(2)以D为坐标原点，D A所在直线为x轴，D B所在直线为y轴，垂直A D B平面为z轴,建立空间直角坐标系，A D =PB=4,BD=2,则 5(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),0(0,0,0)
20、,答案第I I页，共1 7页BP =(0,0,4),PA=(4,-2,-4),D 4 =(4,0,0),设平面B/X与平面PA D的一个法向量分别为4=(%,凶，4),%=(,22),%BP=4z.=0故，解得：4=0,令玉=1,得：y =2,n PA=4 x-2y-4 zt=0则 4 =(1,2,0),4 ,PA=4 x9-2 M-4Z9=0-2 2,解得：X2=O,令Z 2=l,则%=-2,nA D A =4X2=0故 4=(0,-2,1),设二面角3-%-。平面角为凡 显然为锐角,-1|(1,2,0)-(0,-2,1)|4 471 +4x71 +4si n，=J i -c o s2 9=
21、21.(l)x2-=l3（2）证明见解析h2【分析】根 据 题 意，可 得 阳=亍(小 阿1 2b2 z 、,/一丁=3,进而求解;,2 f oc-=a+b-（2）设P。方程为x=m y-2,P（X 1,y J,Q（孙）,联立直线和双曲线方程组，可得答案第1 2页，共1 7页(3 -1)/-1 2 +9 =0,以P Q 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 xj +(y y)(y 丫 2)=。，由对称性知以P Q为直径的圆必过x 轴上的定点，进 而 得 到 丁-(占+*卜+%吃+%必=0,进而求解.【详解】(1)当轴时，P,Q两点的横坐标均为-c,代入双曲线方程，可得 nJ,为=-，即|P F|
22、=J，j +(c-a)2=(/1 0)I 2b2由题意，可得-(c-a)=3 ，解得 =1,/?=百，c=2,2 ac2=a2b2(2)方法一：设尸。方程为x=m y-2,尸(均,),色,必),x=m y-232 _ 2=3 =3(加于-4my+4 j _ y2=3 n(3m2-1)y2-1 2?y+9 =0,以P。为直径的圆的方程为(x f)(x-%)+(y-M)(y-%)=0,/一(玉+西 电+/一(*+%方+乂%=，由对称性知以P Q 为直径的圆必过x 轴上的定点，令=0,可得%2-(%(+x2)x+xx2+yyy2=0,7 7 s/、/12/TJ2.4f n xI+x2=/n(yl+y
23、2)-4 =-4 =-3m-1 3m-1x,x2=(myt-2)(my2-2)=m2yy2+y,)+4=-4,答案第1 3 页，共 1 7 页x2-y x+-4-+7 =0=（3m2-l）x2-4 x+5-3m2=03m2-1 3/-l 3 m Ji I n （3/-l）x+3 5（x 1）=0 对 V/neR 恒成立，.，.x=l,，以PQ为直径的圆经过定点（1,0）；方法二：设PQ方程为x=冲 2,尸（占,y）,Q（%，%），；=（3疗 _ 1卜2_12冲+9=0,由对称性知以也为直径的圆必过 轴上的定点.设以尸。为直径的圆过E&0),EP-EQ=0=a _。（工2 T）+y%=0=&T（
24、X+）+/+12=0，而用刍=（阳 I-2）（冲 2 -2）=m2y,y2-2 m（yl+y2）+429.12m.-3m2-4=ivr-；-2m-；+4=-；-3m-1 3m2-1 3/H2-1/、.2nv 4%+%2=研%+%卜 4=24=2 3m-1 37H-12 9 八x-+r +已=0,3 -1 3/H2-1 3ni2-1-37n2-4 4t（3 1）厂 4/+5 3w=0,即（3/）+3，5（f 1）=0 对 Vm e R 恒成立,即以尸。为直径的圆经过定点(LO).22.0且在(0,1)上单调递增;(1,+8)上单调递减，答案第14页，共 17页/(X)m ax =/()=-a=l
25、 时，g，(x)=下，当0 c x e 1时，g(x)0,g(x)单调递增;当x l时，g(x)Y-Z?=。，由 g(x)=Z?=-h =0,令F(“)=击一(x)=M,当0 x0,当xl 时，Fr(x)0,当xl 时，G1(x)0,所以G(x)在(0,1)上单调递增；(1,一)上单调递减；.G(x)至多两个零点.令 F(x)=G(x)n MT=0,当x j o 时，ln x 0；I ej e x、“(i%Inex Inex当x l，E)时，由；7=二，e ex e1 x-1设m(x)=x-nex,mx)=1 =-,x x所以当xe(l,+8)时，(x)=l-=0,所以皿x)=x-lner在x
26、e(l,M)单调递增，所以a(x)加=0,所以xlner,filnex lne=l,所以 jolnexA l,设3 5)=十 (=詈 当O vxvl时，”(x)0,当xl 时，(x)0,所以e(x)在(I,”)上单调递减，.1(x)v(lner)方程无解，当时，由 后 2山5 4(力=2在(0 上单调递增，答案第15页，共17页.,.9(x)W e(lner)方程有唯一解x=l,当0 6 1 时,注意至IJ尸(0)=-匕 0,7 y_2设 )=x-2 n x(x 2),n(x)=1 一 一 =-0 对 x 2 恒成立,所以(x)(2)=2-2 1 n 2 0,所 以 当 2 时，x21nx,即
27、e 产,因为 O v O v l,所以 丁 1,+1 2,所以 e%(+1)2,b h b/1 F 2所以尸%+2卜丁“2,(x)=20,即函数(x)在(2,讨)上单调递减,因 止 匕 (x)“(2)=2 1 n 2 _ 3 0,即有G(*)X=lner,n r.e L =，e由，(七)=g(x4)=券 二 巨 詈=二 黑1，而七 41答案第16页，共 17页五A玉=三冬得是干而9（月=/在（1,+00）上单调递减，由9（&）=以111%）=七=111%,，6,厂=七，a毛.%=工=%七MX?*?,证毕！【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键厂（司=6（%）=言-卓竺=0,进而可得同构等式=蚂=始，根据函数9（x）=的单调性分类讨论证明.e e*x e e答案第17页，共17页