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1、江西省新余市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.过点C（8,4）,。（2,2）的直线的倾斜角为（）A.30 B.45 C.60 D.1352.点 以 2,5）关于直线x+y=O对称的点的坐标是A.（-5,-2）B.（2,-5）C.（5,2）D.（-2,-5）3.已知“0/0)的左，右顶点，点尸在双曲线C上，P A 4 为等腰三角形，且底角为3 0。，则双曲线C的离心率为()A.应 B.G C.2 D.7 58 .阅读材料：空间直角坐标系。-型 中，过点P(与,为)且一个法向量为 =(a,A,c)的平面a的方程为a(x%)+A(y-%)+c(
2、z -Z o)=O；过点尸伍,为*。)且一个方向向量为二=(“,叼(*0)的 直 线/的 方 程 为 宁=三 以=三 亘.利 用 上 面 的 材 料，解决下面的问题：已知平面a的方程为3 x-5 y +z-7 =0,直线/是平面x-3 y +7 =0 与4 y+2 z +l =0的交线，则直线/与平面a所成角的正弦值为()AV 1 0 口 r 7 7 n 3 1 V 7 7 3 53 5 5 1 5 7 7 3 5二、多选题9 .为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，
3、连续6天.则下列结论正确的是()A.从六位专家中选两位的不同选法共有2 0 种B.“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有6 0 0 种C.护 理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有2 4 0 种D.“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72 种1 0.安徽省新高考拟采用“3+1+2”模式,其中“3”为语文、数学、外语三门必选科目，“1”指的是物理或历史两门学科中选择一门，为“首选科目”；“2”指的是从政治、化学、生物、地理四科中选两科，即“再选科目”.现 在高一某班进行模拟选科，假设甲、乙、丙三位同学在模拟选科时对所有科目都是随机选择，下列说法正确的有()A.甲、乙
4、两名同学首选科目都是物理的概率是gB.若甲、乙两名同学首选科目都是历史，则两人再选科目全相同的概率是，C.甲、乙、丙三名同学首选科目都相同的概率是:OD.甲、乙两名同学首选科目相同，且再选科目都不相同的概率是，1 1.以下四个命题表述正确的是()A.直线y =依-2 a+4 (Q ER)必过定点(1,4)试卷第2页，共 5页B.圆/+尸=产(厂。)上有且仅有4 个点到直线/：x-y +五=0 的距离都等于1,则厂 2C.曲线6：/+丫 2+2+2丫-2=0与曲线g：/+丫 2一 4 一 2)，+4=0恰有三条公切线D.已知圆C:V+y 2=l,点 P为直线3x+4y=10上一动点，过点P 向圆
5、C 引两条切线PA,PB,A,8 为切点，四边形B4CB面积的最小值为6)1 2.设椭圆工+t=1 的右焦点为尸，直线 与椭圆交于A,8两点，则9 3()A.|AF|+忸用为定值B.的周长的取值范围是6,12C.当机=苴 时，ZXABR为直角三角形2D.当机=1时，aAB尸的面积为几三、填空题13.空间A、B、C、。四点共面，但任意三点不共线，若尸为该平面外一点且5 1PA=-P B-x P C-P D,则实数x 的值为14.若抛物线y2=ir 的焦点与椭圆匕+=1的右焦点重合，则 实 数 机 的 值 为.6 215.(2x+l)(l-L)6 的 展 开 式 中 的 常 数 项 是.X16.某
6、单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A 为“三人竞岗部门都不同”，B 为“甲独自竞岗一个部门”，则 P(A|B)=.四、解答题17.已知圆 C：x2+y2-3y+2 =0,直线/：ax+y+2 a=O.当 a 为何值时，直线/与圆C相切；当直线/与圆C相交于A,B 两点，且|AB|=2近 时，求直线/的方程.18.(1)已知A,8 两点的坐标分别是(-6,0),(6,0),直线A ,BM相交于点用，且它们的斜率之积是:求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：(2)已知过双曲线二-工=1 上的右焦点尸,，倾斜角为3 0的直线交双曲线于4 8 两3 6点,求|明.1 9.党
7、的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3 道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6 道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为1,且甲、乙两人各题是否答对相互独立.(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为久 求彳的分布列及E(2J-1).2 0.某
8、兴趣小组有9 名学生.若从9 名学生中选取3 人，则选取的3 人中恰好有一个女生的概率是(1)该小组中男女学生各多少人？(2)9 个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队，问有多少种重新站队的方法？(要求用数字作答)(3)9 名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)2 1.如图，在四棱锥P 4 B C O 中，底面A B C D 为矩形，%_ L 平面A 8C D,AB=PA=,AD=6 F是 PB 中 点,E 为 BC 上一点.(1)求证：A F _ L 平 面 PBC；(2)当 B E 为何值时，二面角C-P E
9、-O 为4 5；(3)求三棱锥P A C F 的体积.试卷第4页，共 5 页2 2.已知抛物线。：/=2 4(0)的焦点为尸，点尸&2)在抛物线C上，。为坐标原点，O PF是直角三角形.(1)求抛物线C的方程.(2)若点尸在第一象限，直线/与抛物线C交于异于点尸的A 8两点，以线段A B为直径的圆经过点P.直线/是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由.参考答案:1.B【分析】计算心=1，得到倾斜角.【详解】%)=上 土 义=1，故直线的倾斜角为45。.3 8-2故选：B2.A【分析】设点户关于直线x+y=O对称的点为产，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.【详解
10、】由题意，设点 2,5)关于直线x+y=O对称的点为P 5,y),则 山 一 ，解得玉=-5,%=-2,9+色=0I 2 2即点。(2,5)关于直线x+y=O对称的点为尸 (-5,-2),故选A.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.A【分析】根据题意结合两直线平行求得a=-2,再代入两平行线间距离公式运算求解.【详解】若直线4：or+2y+l=0 与直线ax+(a+l)y-4 =0平行，则a(a+l)2=0,解得 a=1 或 a=-2,当a=l 时，直线4：x+2y+l=0 与直线乙：x+
11、2 y-4 =0 平行；当a=2 时，直线(：2 x-2 y-l=0 与直线4：x-y _ 4 =0 平行；综上所述：若直线4 与直线4 平行，则a=l 或a=-2.V ac；C；x C；对 B,甲乙两名同学首选科目都是历史，则两人再选科目全相同的概率鸟=则6B正确;对 C,甲 乙 丙 三 名 同 学 首 选 科 目 都 相 同 的 概 率=(,则 C错误；对 D,甲乙两名同学首选科目相同，且再选科目都不相同的概率R=C；X()=则 D正确.故选：B D.I I.B D【分析】A.直线过定点(2,4),所以A错误；B.圆心。到直线/的距离为d =l,故/2,所以B正确；c.|G G|=JBa+
12、4,两圆相离，故有4条公切线，所以C错误；D.当C P 垂直直线3 x +4 y=1 0 时，四边形2 4 c B 面积最小.此时四边形B 4 C B 面积=有，所以 D正确.【详解】A.由题得a(x 2)+4 y=0,所以直线过定点(2,4),所以A错误;B.圆心。到直线/的距离为4 =火与=1,故圆x2+y2=产上有且仅有4个点到直线/的距离为1,则厂2,所以B正确;答案第4页，共 1 3 页C.圆G，C?的圆心为(一1,一 1),(2,1),半径4=2,4=1,|C G 卜 至 4+4,两圆相离,故有4 条公切线，所以C 错误；D.当。垂直直线3x+4y=10时，四边形PAC3面积最小.
13、此时，|C=2,|A =6,四边形 丛 CB面积=25 6 =2、；、6乂 1 =6,所以D 正确.故选：BD12.ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由|AF|+|8 F|为定值以及|A B|的范围判断B；求出A 8 坐标，由数量积公式得出4尸.8尸=0,得出AAB尸为直角三角形判断C；求出A B 坐标，由 面 积 公 式 得 出 的 面 积 判 断 D.【详解】设椭圆的左焦点为F ,则IAk IH8FI所以|4 尸|+|B F H I +|AF|=6为定值,A 正确；A3尸的周长为IA8I+IAFI+I8尸|,因为|AF|+|3 F|为定值6,所以IABI的范围是(0,6
14、),所以AAB尸的周长的范围是(6,12),B 错误；将了=孝与椭圆方程联立，可解得4(_岁,当)，B除 与又因为尸(而,0),AF-BF=(屈+当%屈-号)+吟?=。所以ABE为直角三角形，C 正确；将 丫 =1与椭圆方程联立，解得_ 布,1),B(瓜1),所以SA M=；X2 X1 =，D 正确.故选：ACD13.-3【分析】先设AB=zAC+“A O,然后把向量AB,AC,AD分别用向量PA,PB,PC,PD表示,再把向量以用向量P3,PC,PO表示出，对照已知的系数相等即可求解.【详解】解：因为空间A,B,C,。四点共面，但任意三点不共线，则可设 48=,AC+AO，又点尸在平面外，则
15、PB-PA=m(PC-PA)+n(PD-PA),B P (-+m+n)PA=-PB+mPC+nPD,答案第5 页，共 13页则 PA=PB+-PC+-PD,m+n m+n 又 PA=3 p B-xP C-L p D,3 3-1 _ 5m+n-3所以mm+n-x=.3解得?=(,n _ 1in3故答案为：g.1 4.8【分析】分别求出椭圆和抛物线的焦点坐标即可出，值.【详解】由椭圆方程+二=1 可知，/=6,吩=2,则c 2=/-b 2=4,6 2即椭圆的右焦点的坐标为（2,0）,抛物线心 的焦点坐标为（彳,0）,.抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，/.=2,即m=8 ,4故答案为：8.1 5.-
16、1 1【分析】利 用 二 项 式 定 理 求 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为 1,r 1 项的系数为-C：=-6,从而得解.【详解】因为（1 的展开式通项为小=晨 1 j f-l Y=（-l）r晨 产，所以。-gj展开式中的常数项为1,一项的系数为-C=-6,所 以 的 展 开 式 中 的 常 数 项 是 2X（-6）+1 =-11.故答案为：1 1.1 6.-#0.5【分析】根据给定条件求出事件B和 AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.答案第6页，共 1 3 页【详解】依题意，尸 传)=竽=右P(叫=李=|,所 以*忸)=黯总故答案为：y31 7.(i)a=；4(2)x-y +2
17、 =0 或7x-y +1 4 =0.【分析】(1)由题设可得圆心为C(o,4),半径r =2,根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数的值即可.(2)根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数小 即可得直线方程.【详解】(1)由圆C：x2+y2-8 y +1 2 =0,可得V+&-4=4,其圆心为C(0,4),半径=2,若直线/与圆C相切，则圆心C到 直 线/距 离 2 g=r =2,即4 a =-3,可得：a=-.V l+4(2)由(1)知：圆心到直线的距离4 =案驾，Vl +2因为 弊)+建=,，即(苧)+d2=2?，解得：4 =3，所以d,|=叵,整理得：a2+8 a+
18、1=0 解得：a =-1 或a =-7,J 1 +/贝 IJ 直线/为工-+2 =。或7x-y +1 4 =0.2 21 8.(1)轨迹方程为工-E =1(X H6),轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点；(2)【分析】(I)设M(x,y),根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；(2)求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.【详解】(1)设M(x,y),答案第7 页，共 1 3 页因为A（F。），8（6,。），所以32余,3的，2 2整理得三一2 1 =1(一6),3 6 8 )2 2故点M 的轨迹方程为-=l(x*6
19、),3 6 8 )轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.（2）由工一二=1 得，/=3,方=6,所 以/=/+从=9,即。=3,3 6所以右焦点鸟（3,0）,因为直线A B的倾斜角是3 0，且直线经过右焦点5（3,0）,所以直线AB的方程为y =*二（一 3）y =由，,可得：5/+6X-27=0,厂y 13 6山2 6 2 7所以占+=一,，所 以|阴=卜 得 卜 而3 62 52 72 2 4 1 6 后J3X5=2 3 6 .x.l 4x1 9.（1）甲、乙两人进入正赛的概率分别为1，与1 Q 7分布列见详解，E（2 g-i）=稳【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解;（2
20、）根 据（1）中的数据，求分布列和期望ER）,再根据期望性质求E（2 J-1）.【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为X、Y,则 y：8（4,|）,可得甲进入正赛的概率4 =哭*=白乙进入正赛的概率七p（y=3）+p（y=4）=c：x ）mj卷，故甲、乙两人进入正赛的概率分别为|,称.（2）由题意可得：4的可能取值为0,1,2,则有：吆=。）=。-耳）（1 44急,/q=1）=（1 一 6）+（1 -4）6=：x +；x =|,答案第8页，共 1 3 页r x -*3 1 6 1 6尸(g =2)=R E =-x =,、1 2 5 2 7 4 5则4的分布列为:012P2 2T 3 51
21、 32 71 64 5m u r r/z、c 2 2 ,1 3 。1 6 1 6 1贝 ij E (4)=0 x-F1 x F 2 x =,V 7 1 3 5 2 7 4 5 1 3 51 R 7故 E(2 J-1)=2 E -1 =历.2 0.(1)男生有 6 人，女生有 3 人.(2)60 4 8 0 (3)1 7 2 8 0【分析】(1)设男生有x人，表示出其概率，然后得到男女生人数；(2)方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对 9人全排，然后对3名女生除序；(3)先对6 名男生分成3组，再对3名女生全排后，将 3组男生插空，每组男生全排，得到答案.【详解】解
22、：(1)设男生有x 人，则 笔】=巳即 x(x 1)(9 x)=9 0,解之得，x=6故男生有6 人，女生有3人.(2)方法一：按坐座位的方法，第一步：让 6 名男生先从9个位置中选6 个位置坐，共 有 蜀=60 4 8 0 种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1 种选择；故，一共有60 4 8 0 x 1 -1=60 4 7 9 种重新站队方法.方法二：除序法第一步：9名学生站队共有A；种站队方法；第二步：3名女生有A；种站队顺序；故一共有4 =60 4 8 0 种站队方法，答案第9页，共 1 3 页所以重新站队方法有60 4 8 0-1 =60 4 7 9C
23、：c：c；(3)第一步：将 6 名男生分成3组，共有=1 5 种;第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有A；x A；=1 4 4 种第三步：3组男生中每组男生站队方法共有(左丫=8 种故一共有：1 5 x 1 4 4 x 8 =1 7 2 8 0 种站队方法.【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.2 1.(1)证明见解析 也6喈【分析】(1)通过证明8 =(6,0,-l),答案第1 0 页，共 1 3 页设平面P Q E 的法向量为n=（x,y,z）,则n-DE=(q-6)x+y =0n-PD=y/3x-z=0故可设 =（l，G-a,6）,平面PCE
24、的法向量为AF=（o，g，|由于二面角C-P E-。的大小为4 5。,所以 c o s 4 5 =n-AFffiM5/3 ci27L交2 2 (3)V p-A C F =%-A P F 序/X A )=X -X j X 5/3 =.2 2.f=8y；过定点（T 1 0）.【分析】（1）当N O P F 为直角时，由心.原尸=-1 和 P在抛物线上可构造方程组求得。（）,不合题意；当N O F P 为直角时，由=2 可求得人从而得到抛物线方程；（2）设/：丫=履+根，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由P 4 P B =0,根据向量数量枳的坐标运算，代入韦达定理的形式进行整理化简可得加=必+1
25、 0 或加=U+2,代回直线验证即可得到所求定点坐标.【详解】（1）由题意知：N P O F 不是直角.答案第1 1 页，共 1 3 页当 NOPF为直角时，kO P-kP F=-,则 一2 /一，=-1B P r=p-4.点 P（f,2）在抛物线C上，:.t2=4p,:Ap=p-4,解得：p=-0矛盾，不符合题意；当NOFP为直角时，1 =2,解得：。=4,符合题意.抛物线C的方程为：d=8）,.（2）设直线/：y=Ax+m,AQ,%）,3（%,%），I y /cX-I？联立整理得：X2-8 kx-8 m=0,则 A=64X+32?0,B P k2 -m,x2=8），2则 xx+x2=8&,
26、七=8/w .由（1）可知：P（4,2）,则 a =（用-4,乂-2）,PB=（x2-4,y2-2）.以线段AB为直径的圆经过点尸，.月4 J_ P 8,即P4PB=0，则（不一4）（-4）+（、-2）（%2）=0,即（k2+1）西9 +（Am-24-4）（X 1 +）+m2-4,+20=0.将X 1 +x2=8 ,百 超 =-8，”代入得：（公+1）一（一8，”）+（左 加 一2k一4）-8%+加2 -4，w+20=0,整理得：6k2+32 k nr 12w+20 即 16（4+1）-=（?-6）一，解得：/”=4女+10或机=-4k+2.当 机=必+1（）时，直线/：y=Mx+4）+1 0
27、,过定点（Y,10）,经验证此时A。，符合题意；当?=-U +2时，直线/：y=A（x-4）+2,此时点P在直线/上，则点P与点A或点B重合,与A,8异于点尸矛盾，不符合题意.综上所述：直线/过定点（T,10）.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；答案第12页，共13页利用A 0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.答案第13页，共 13页