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1、上饶市20222023学年度上学期期末教学质量测试高二数学试题卷命题人：注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.第卷（选择题）一、选择题1：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列与直线平行的直线的方程是（ ）.A
2、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.【详解】直线斜率为，纵截距为，A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；故选：A.2. 展开式中的系数为（ ）A. B. C. 20D. 10【答案】D【解析】【分析】直接由二项式定理求解即可.【详解】由二项式定理直接可得展开式中的系数为故选：D.3. 在平面直角坐标系中，圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】B【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两
3、圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.【详解】圆，圆心，半径，圆，即，圆心，半径，所以两圆心距离，故两圆的位置关系是外切故选：B.4. 为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，基本事件有种，由于选修劳
4、动教育的人数可能是人或人，所以甲选修劳动教育包括的基本事件有，所以甲同学选修劳动教育的概率为.故选：B5. 已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，求出即可得渐近线方程.【详解】由已知可得，则，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.6. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.九章算术.商功：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4
5、）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.【详解】，A选项正确.，B选项正确.，C选项正确.，D选项不正确.故选：D7. 某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）A. 0.16B. 0.32C. 0.42D. 0.84【答案】A【解析】【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案
6、.【详解】此人是癌症患者的概率为.故选：A8. 是抛物线上一点，点，是圆关于直线对称曲线上的一点，则的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】由题意可知曲线是半径为1的圆，设圆心，圆的圆心坐标为，则有，显然是抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，当在线段上时，有最小值，最小值为，所以当在线段上时，如下图所示：有最小值， 最小值为，故选：C【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.二、选择题2：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
7、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. B. 事件为必然事件，则事件、是互为对立事件C. 设随机变量服从正态分布，若，则D. 甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12【答案】AC【解析】【分析】根据组合数的性质可判断选项；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项；由正态分布的性质可判断选项；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项.【详解】对于，由组合数的性质可得：，故选项正确；对于，事件为必然事件，若互斥，则事件是对立事件；若不互斥
8、，则事件不是互为对立事件，故选项错误；对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项正确；对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故选项错误，故选：.10. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（ ）A. B. 该正方体的内切球的表面积为C. D. 平面截正方体所得的截面是五边形【答案】ABD【解析】【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.【详解
9、】A选项，设是的中点，连接，由于，所以，所以，即，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以，A选项正确.B选项，正方体内切球的半径为，表面积为，B选项正确.C选项，根据正方体的性质可知，所以与不平行，C选项错误.D选项，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，由此得到的五边形，即时平面截正方体所得图象，所以D选项正确.故选：ABD11. 2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数
10、如图所示：若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）A. 的可能取值为0，1，2，3B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为，则，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：ACD.12. 若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，则下列说法中正
11、确的是（ ）A. 的最小值为B. 直线恒过定点C. 的最小值为0D. 当最小时，直线的方程为【答案】ABC【解析】【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.【详解】设，因为，点满足，所以，即，化简得，所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.对于A，因为直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，设圆心到直线l的距离为d,所以，故A正确；对于B，设，则，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，因为为，由，相减,得直线，即，由，得，所以
12、直线恒过定点，故B正确；对于C，因为，根据几何性质可知，在中，因为，所以，所以此时，为全等的等腰直角三角形，所以，即有，所以，所以的最小值为0，故C正确；对于D，因为四边形的面积为，此时四边形为正方形，所以直线的方程为，故D错误.故选：ABC.第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，向量，若，则实数为_.【答案】【解析】【分析】直接由数量积为零列方程求解.【详解】,，解得.故答案为：.14. 共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有_种（请用数字作答）.【答案】【解析】【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.【详解】必须相
13、邻且在右边,可将捆绑在一起并且不用排序，则6人的排列方法种数共有种.故答案为：.15. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为_.【答案】#【解析】【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.【详解】如图所示正四棱锥，则平面.设正四棱锥外接球的半径为，则，设正四棱锥底面边长，高为，则，由整理得，由解得，由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，.故答案为：16. 已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,则的方程为_.【答案】【解析】【分析】设出点坐标,根据直线与椭
14、圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.【详解】解:由题知,设,所以直线的斜率为,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:因为,轴,轴,所以,所以有,即,解得:,因为在上,所以,两式相减可得:即,两边同时除以,将代入可得:,即,因为,所以,联立可得: ,因为,所以,即,根据截距式直线方程可得:,化简可得:.故答案为：.【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路
15、为:(1)设出点的坐标;(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 求下列问题的排列数:（1）3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;（2）3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.【答案】（1）480 （2）504【解析】【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置,再给甲找位置,另
16、4人全排,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.【小问1详解】解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,将4人全排共种,4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,所以男生甲和女生乙不能相邻共种【小问2详解】由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,当乙不排排头,因为乙不能排排尾,所以乙只能排中间4个位置中,共种,因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,还有4个位置,选一个位置给甲,有种,此时还有另4人,没有限制,全排列有种,故当乙不排派头时有种,所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:种.18. 已知圆过点，.（1）求
17、圆的方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.【小问1详解】设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为，即；【小问2详解】当过点的直线斜率不存在时，此时，弦长为，不符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线l的方程为，即，所以，解得或，所以直线的方程为或，即或.19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角
18、坐标系，利用向量法求得二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】因为PA平面ABCD，且BD平面ABCD，所以， 又因为底面是正方形，所以， 且，平面，平面.所以BD平面PAC 【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，得，取，得，取，所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.20. 已知为原点，线段的端点在圆上运动.（1）求线段长度的取值范围；（2）点在线段上，且，求动点的轨迹方程.【答案】（1）|OA| （2）【解析】【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.【小问1
19、详解】圆的圆心为，半径，则，由于，所以|；【小问2详解】设,由点在线段上，且，可得， 则有可得，因为点在圆上，代入得，整理可得点的轨迹方程为.21. 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到国民体质测定标准合格以上的人数比例达到90%以上健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一小王每天17001800都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加
20、各类运动项目的概率如下表所示：前一天当天篮球羽毛球篮球0.40.6羽毛球0.60.4（1）已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？（2）已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：运动项目篮球羽毛球能量消耗（卡）500400问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）【答案】（1）打篮球 （2）打篮球【解析】【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动
21、项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解【小问1详解】设分别表示打篮球，打羽毛球运动项目，分别表示第天进行运动项目的概率，小王第一天打篮球，小王第二天所做运动项目的概率分别为：，小王第三天所做运动项目的概率分别为：，故小王第三天打篮球的可能性较大【小问2详解】若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1500，1400，1300，故(卡)；若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1400，1300，1200，故(卡)，故小王第一
22、天应该参加打篮球体育运动22. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1） （2）证明详见解析，定点坐标【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及求得定点坐标.【小问1详解】由题意可得：，解得：故椭圆方程为：.【小问2详解】设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得， 因为，所以，即，根据有整理可得： ， 所以，整理化简得，则有，得或，若，则直线MN的方程为：，恒过， 若，则直线MN的方程为：，过A点，舍去.所以直线MN过定点P， 当直线MN的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合，解得： 或（舍去），此时直线MN方程为,过点P.综上，直线MN过定点P.