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1、江西省萍乡市安源区2022-2023学年高二上学期期中数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知直线/：y=质的方向向量为（1,8）,则直线/的倾斜角为（）A.30B.60C.120 D.1502.已知A,B,C,。为空间中的任意四点，则 通-赤+前=（）A.CDB.BCc.BD D.A D3.双曲线1=1的右焦点到其渐近线的距离为（）A.1B.五C.G D.24.已知直线/过点A（-3），且与直线x-2 y +3=0垂直，则直线/的一般式方程为（）A.2x+y+3=0 B.2x+y+5=0 C.2x+y-=0 D.2x+y-2=05.在空间直角坐标系O-型 中，一束光线从点A（2,-
2、l,3）发出，被平面yOz反射，到达点8。,1,2）之后被吸收，则光线所走的路程为（）A.2&B.5/10 C.D.V146.椭圆三+V=1 的左右焦点为、，尸为椭圆上的一点，ZFPF,=；,则4 尸 耳 F,的4 3面 积 为（）A.1 B.&C.立 D.237.在我国古代数学著作 九章算术 中，“鳖腌”是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在“鳖腌”A-8 C 3 中，AD_L平面8 8,8 c 1 平面4?。，Z B A D+Z C A D =9 0 ,AB=3,A C =4,则点。到平面4 3 c 的距 离 为（）8.已知点A（4,4）在抛物线c：y2=2 x（p 0）上，过点A 作
3、 圆/+丁-8x+15=0 的两条切线，分别交抛物线C 于点M,N,则直线MN的方程为（）A.2x+4y+15=0B.15x+30y+56=0C.5x+10y+24=0D.x+3y+6=0二、多选题9.已知双曲线C：x2-y2=l,下列说法正确的是()A.双曲线C 的离心率为2及B.双曲线C 的焦距为2后C.双曲线C 的渐近线方程为y=xD.双曲线C 的虚轴长为11 0.已知空间向量1=(1,2,-3),5=(2,2,1),下列说法正确 的 是()A.同=/1B.万在B 方向上的投影向量为C.a!lbD.1 在5 方向上的投影数量为11.将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这
4、段长与较长这段长的比值，则该比值为或，约为0.6 1 8,这个分割比例被公认为是最能引起美感的比2例，因此被称为黄金分割比.我们将离心率为避二1 的椭圆称为“黄金椭圆”已知椭圆C：2二+4=1(6 0),其离心率e=,则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有a b a()A.(3-/5)2=2C2 B.(GT ：?从C.(2-石“一/=2,2 D.(3-V5)/22=(V5-1)C212.已知圆C1：/+y2-2x=0 与圆C”/+尸-4*-2)，+4=0 相交于A,8 两点，下列说法正确的是()A.直线AB的一般式方程为x+)-2 =0B.公共弦长|4 5|=0试卷第2 页，共 4 页C
5、.过 A,13,c三点（其中点C 1 为圆C 1 的圆心）的圆的一般方程为f+y 2-3 x-y +2 =oD.同时与圆G和圆g 相内切的最大圆的方程为（x-1）2+（y _ g）2=（l *）2三、填空题1 3 .已知K，工为椭圆C：二+=1 的两个焦点，P为椭圆C上一点，则归用+仍可=1 4 .在正方体A B C。-AUG。中，E,F,G分别为棱A4，A D,8 片的中点，则异面直线E F与GG所 成 角 的 大 小 为.1 5 .在平面直角坐标系无0 y 中，圆（x-i y+（y-2）2 =4 上一点到直线m r “y+2（“一 m）=0的 最 大 星 巨 离 为.1 6 .设双曲线C：
6、力 0）的左、右焦点分别为尸，区，以尸2 为圆心的圆与C的左支在第二象限交于点M,与C的右支在第一象限交于点N,若 M,N,K三点共线，且 NMN=9 0。，则双曲线C的 离 心 率 为.四、解答题17 .已知直线/：x-G y-2 G =0,点A（26,1）关于/的对称点为8,过点A作斜率大于0 的直线机，交直线/于点C,若.|A C|=&；点C在直线x+石 y+石=0（1）求点B的坐标；（2）从条件，中任选一个填入题中横线处，并求的一般方程.（参考数据:t a n 15。=2-力）（注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分.）18.已知圆心为C（a,0）3 .求证：A D J.B C
7、；(2)若 M 是棱D4 上一点，且两三角形的面积满足S 通皿=2S,8M“求 直 线 与 平 面A C。所成角的正弦值.2 220 .己知椭圆C：5+与=1(。6 0)的长轴长为4,C的两个顶点和一个焦点围成等a b-边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线y=H+2(&0)与椭圆c相交于A,8 两点，O为坐标原点，若 的 面 积 为4p求 4 的值.21.如图，在长方体A8 CO-AAGA 中，AB=2,A D =AA,=,E 为AB上一点，F为CD的中点.(1)若 E 为 AB的中点，求证：五平面(2)若 E 为异于4，8 的一点，且二面角E-AF-4 的平面角的余弦值为立，求四棱
8、锥3E-A B C F的体积.22.已知双曲线C：-f-Ka。/0)的离心率为正,其左、右顶点分别为A，4,右焦点为工，尸为c的左支上不同于A的动点，当P的纵坐标为1时，线段 鸟的中点恰好在y 轴上.(1)求双曲线c的标准方程；(2)若点用(2,0),连接MP交 C的右支于点。，直线P A 与直线Q4 相交于点T，证明：当尸在C的左支上运动时，点T在定直线上.试卷第4 页，共 4 页参考答案:1.B则右焦点(6,0)到它的渐近线y=土 第 的 距 离 为d【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线/：V=履的方向向量为(1,6),则直线/的斜率A =石，直线/的倾
9、斜角a*90,于是得 tana=g,a e 0,7 r),解得夕=601所以直线/的倾斜角为60.故选：B2.D【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.【详解】己知A,B,C,。为空间中的任意四点，则 而 丽+丽=而+肥+丽=万.故选：D.3.A【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.【详解】双曲线可得 b=,c=，=1 故选：A.4.B【分析】由题意设直线/方程为2x+y+w=0,然后将点(-3,1)坐标代入求出机，从而可求出直线方程【详解】因为直线/与直线x-2)，+3=0垂直，所以设直线/方程为2x+)，+机=0,因为直线/过点(-3,1),所以-6+1
10、+?=0,得加=5,所以直线/方程为2x+y+5=0,故选：B.5.D【分析】首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果.【详解】空间直角坐标系。-型 中，一束光线从点A(2,-l,3)发出，被平面yOz反射，答案第1页，共14页所以点A（2,-l,3）关于平面y O z的对称点的坐标为C（-2,-l,3）,故光线所走的路程等于忸=7（-2-1）2+（-1-1）2+（3-2）2=714,故选：D6.C【分析】由椭圆方程可得|制+归 用=4,结合余弦定理求得|尸制忖周=g,最后根据三角形面积公式求 的面积.【详解】.点户是椭圆E+y 2=l上的一点，尸|、鸟是焦点，4.归
11、曰+归周=4,即信用+俨/勖二房，.在 尸 片 中/片 8 二?，.|用|”-2|P耳HP周 cosq=（2 G=12，-得：|尸周疗局g 5防=；阀 卜|明 呜=；x：x =J乙 D N D N D故选：C.7.A【分析】将绕AO顺时针旋转90。，使得V437）与AACD共面，首先计算长度关系,然后利用等体积法求出点。到平面ABC的距离.【详解】将。绕入。顺时针旋转90。，使得丫河）与4 4 8 共面，如图所示，因为 N84L+NC4=90。，在 RtZsABC 中，43=3,AC=4,可得 AO=5,8 7)=3=*,C=*B C =设点。到平面ABC的距离为人，由 A-BCD=O-ASC
12、 得：S.BCD A0=AliC J l x3x/z,答案第2 页，共 14页解得力=J.故选：A8.B【分析】设 M&，x）,N（x2,y2）,根据条件求出15占+30%+56=0,15%+30%+56=0,即可得直线MN的方程.【详解】因为点A（4,4）在抛物线C：y2=2px（0）上，所以16=8p=p=2,所以为抛物线C：y2=4x,设M(XQI),2 2因为抛物线C：y 2=4 x,则玉=,%=&4 4则 AM：i斜(),即 4 x-(y+4)y+4M=0,-44|16+4y.|由 AM 与圆(-4)2+9 =1 相切得：/不 印，即 15y：+120%+224=0,J16+(y+4
13、又 犬=4%,则15凡+3。凹+56=0；同理 15匹+30%+56=0,所以“a，y）,N（w，%）都在直线 15x+30y+56=0 上，所以直线MN的方程15x+30y+56=0,故选：B.9.BC【分析】由双曲线的标准方程求出a，），c 的值，进而判断选项即可.【详解】因为双曲线C：x2-y2=l,所以”=1,b=,c=J L双曲线的虚轴长为=2,故D 不正确；双曲线的焦距2c=2式，故B 正确；离心率为 =血，故A 不正确；a双曲线C 的渐近线方程为 =2*=，故C 正确.故选：BC.答案第3 页，共 14页10.ABD【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向
14、量的投影分别判断即可.【详解】已知空间向量 =（1,2,-3）,5=（2,2,1）,对于A：同=1I2+2?+（3.=yA,故A 正确；对于 B：由于 1=（1 2-3）,=（2,-2,1）,所以同=J 值，1。+（一 2）2+仔=3,a-b=2-4-3 =-5,则哂儡=/去，a 在日方向上的投影向量为同,cos（哂 缸（彳 空，高，故 B 正确；1=22对于C：空间向量牛=。,2,-3）,5=（2,2,1）,使=万，2=2 则不存在实数力,故C 错-3=2误；对于D：口在B 方向上的投影数量为同.cos他 与=胃=一|,故 D 正确.故选：ABD.11.ABD【分析】分别计算A,B,C,D
15、选项中椭圆的离心率，即可求解.【详解】解：A 选项，由（3-新）a=2/,得 =匕 叵，解得 =且 二 1,A 正确;V7a2 2 a 2B 选 项,由 a-l）/=2 凡 得（6-1.=2（标-/）,整 理 得（3-司/=2,2,即 _=_且，解得 =必二1,B正确；a2 2 a 2C 选 项,由（2-6）/_ 从=2心 得（2-逐）/_（、2_。2）=2/,整理得（1-6）/=0 2,无解，C 错误;D 选 项,由 卜-百）/=（石-I p,得（3-石）（片-。2）=a-,2,整理得（3-6）a2=2c，即，=三 叵，解得6=（=与1,D 正确.故选：ABD.答案第4 页，共 14页1 2
16、.A B C【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于2 户二厂即可求得弦长；设过A,8两点的圆的方程将G（1,O）代入，即可求解；同时与圆G，圆C 2,相内切的圆没有最大，可判断A B C D.【详解】将圆 G：X?+2 _ 2 x=0 与圆 c2 ：x2 +y2-4 x-2 y+4 =0 相减得 x+y-2 =0,所以直线AB的一般式方程为x+y-2 =0,A正确；圆心G（1,O）,半径等于1,圆 心 到 直 线 中-2 =0 的距离为2 =乍=%V 2 2|A B|=2VF=J 1 _（争=叵,B 正确；过 A,8两点的圆的方程可设为（f+J-2 x
17、）+X（x2+y2-4 x-2 y+4）=0,将 G（1,0）代入，可得2 =1,所以过A,B,G三点（其中点C 1 为圆C 1 的圆心）的圆的一般方程为V+y2-3 x-y+2 =0,C正确；同时与圆C 1,圆C 2,相内切的圆没有最大，D错误.故选：A B C.1 3.6 /2【分析】根据椭圆的定义可知|产甲+俨国=2。，即可求解.【详解】由题意得，a =30，P为椭圆C上一点，则忸用+|尸周=2 =6 点.故答案为：6&1 4.L2【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线E 尸与C。所成角的大小.【详解】在正方体A B C。A4GA中，E,F,G分别为棱44，A D,的中点，设
18、棱长为2,建立空间直角坐标系。-外z,如图所示：答案第5页，共 1 4 页故 E（2,l,2）,尸（1,0,0）,G（O,2,2）,G（2,2,l）,所 以 方=（1,1,2）,束=（2,0,1）,故 西 布=-2+2=0,所以EFLCQ,所以异面直线EF与GG所成角的大小为:7r.故答案为：21 5.3【分析】由于直线侬一引+2（一m）=0恒过点（2,2）,则圆心（1,2）与点（2,2）连线与 直 线 松-做+2（-相）=0垂直，进而可得答案.【详解】圆5-1）2 +（尸2）2=4的圆心为（1,2）,半径为2,因 为 直 线 侬-政+2（-m）=0为0 1（-2）+（2-，）=0,所以直线向
19、一犯+2（鹿 一 根）=0恒过点（2,2）,若圆（-1）2 +（丫-2）2=4上一点到直线侬-），+2（-加）=0的距离最大，则圆心（1,2）与点（2,2）连线与直线侬-利+2（-加）=0垂直，又圆心与（2,2）距离 d =J（i 2）2+（2 2）2 =1 ,所以最大距离为d +r =l +2 =3,故答案为：3.1 6.6【分析】设因M=|g N|=f,则=由已知可得r =2伍，进而可得c=6，可求答案第6页，共1 4页离心率.【详解】设|玛必=|甲V|=f,则|例=,由 双 曲 线 的 定 义 得 忻 2a=2，,M=l 玛M+2a=t+2a,MN=忸叶|耳叫=4。=，.-.t =2y2
20、a，在NFE 中，|KN|=2缶+北，|玛 N|=2夜 4,|优|=2c,哂=45。，由余弦定理得(Ze)。=(2&+2)+(2 6 a)-2(2x/Ja+2a).2&a.cos45。，c2=3 a2,c=Ga,，双曲线C 的离心率为6.故答案为：上J 5 g 。17.(1)8(2)答案见解析【分析】(1)设 3 小,为)，表达出线段AB的 中 点 怨),根 据 斜 率 乘 积 为-1及 D 点在直线/上，列出方程组，解得点B 的坐标；(2)若选，由|A C|=6,|4。|=且，可得ZACD=30。，由直线/的斜率为半，进而可得直线也的斜率，即可得出直线机的方程；若 选 ，可求得C 点的坐标，
21、进而可得直线，”的一般方程；若 选 ，由邑g=3,斗仁。|=殳芋，解得|C。，再计算tanNACO=慨，进而可得48=15。，得到直线，”的倾斜角，斜率，从而求出用的一般方程.【详解】(1)设 8(与,券)，则线段A 8的 中 点 /叵，号k 2 2)上后X。2y 3所以 厂 厂,、，x0+2/3 (y0+1)2,0I 2 2解得：y=2,答案第7 页，共 14页所以8 若 选 ，M=M一丝也且,1 1 7173 2由|A C|=6,AD=-,可得N4CO=30。,因为直线/的斜率为且，3所以直线/的倾斜角为30。，因为直线，”的斜率大于0,所以直线机的倾斜角为60。，斜率为6,所以直线?的一
22、般方程为6-,-5 =0；若 选 ，联立，工_3 _ 2 6 =0 x+3y+!?=0，解得：x=23y=2可得C因为A（2G,1）在直线加上,3所以直线，的一般方程为上2X-整理得：5x-9y-21=0；若 选 ,|AM =2|A0 =后,S.ACB=B-CD=XCD =得|CD|=3+；石,所以 tanNACD=2,即 NACZ)=15。,因为直线/的倾斜角为30。，机的斜率大于0,所以直线?的倾斜角为45。，即加的斜率为1,答案第8 页，共 14页所以直线的一般方程为x-y +1-2G=0.18.(1)(x+5)_+y2=(2)2 7 7【分析】（1）由题知，点C（a,0）（a 0）到两
23、直线的距离相等，即 口 穿 =1,解得“，进而可得圆的半径,，即可得出答案.（2）当直线/与直线C P 垂直时，线段AB的中点恰好为尸（-2,-1）,又b p*,可得直线/的斜率，进而可得直线/的方程，计算点。（-5,0）到直线/的距离d,进 而 可 得 弦 长|相|,再 计 算 的 面 积.【详解】（1）由题知，点C（a,0）（。0=0,4 0,。/3ax-百az=0取x=l可得万=设直线8M 与平面4。所成的角为6,则sin”反(两 用卜筋=噜.所以直线B M与平面A C D所 成 角 的 正 弦 值 为 亚.10 人 半 或 E【分析】(1)由已知可得。，b,可求椭圆C 的标准方程;答案
24、第10页，共 14页（2）设4（%,乂），8（孙力），将椭圆方程与直线方程联立，可 得%+%=-L条1 1 TK与 =7 7，由 己 知可得生画1 =3,求解即可【详解】（1）由题知，2 a=4,得。=2,要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形.两顶点只能在短轴上,则 a=2 Z?=2,：,b=l,故椭圆C的标准方程为+/=1；4（2）设A（x”y）,将椭圆方程与直线方程联立 了+）一，y=kx+2化简得（l +4X）f+16 h+12 =0,其中 =（16 2）2 4 8（1 +4 公）。，即公 （,口 16k 12目 一 X,+X?=T，XiX-f-T1 +4/1-1 +4 公UB|=J1
25、+&2 X J(x,+X?)2-4XXX,=Jl+、2 X J(-16k,一)2 _ 4 8；=Ji +q?x 二 ,1 1 V-V l+4 k2 1+4&2 1 +4/r2原点到直线的距离“二 小 二，S 4。5 2 阴 =4*;3=收+1 21 1 1 +4/5化简得4/_2 3 +19 =0,解得公=:或 2 =1，4又A 0 且 公 3，./=胆 或 k =l.4 22 1.(1)证明见解析【分析】（1）取 AA的中点G ,连接G D,G E,通过证明G E F D为平行四边形，得到E F H G D,即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角E-A 尸-A的平面角的余弦值求得E
26、点的坐标，进而求得四棱锥E-4 J C F的体积.【详解】（1）取 AA的中点G,连接GO,G E,因为E 为48的中点，所以GE/AB,且G E =gA B,因为尸为C。的中点，AB/CD,所以GE/DF,且G E =OF,答案第I I 页，共 1 4 页即G E F D为平行四边形，故EFHGD,又 防 二 平 面A A。，G O u平面例所以。平面（2）以A为坐标原点，4 5,柏,4 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,A（，O，1），8（020）,*1,1,0）,设E(x,y,z),则 AE =(x,y,z-l),5=(0,2,-1),且 AE
27、 =2 A B(0 2 （U O）的方程得：从=,故双曲线C的标准方程/-丁=；（2）设点Q（毛,%）,7（%,%）,其中占 1,由题意知，直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为 0 ,设 M P：y=k（x-2）,代入 2-丁=1,得（1 一公）1+4公x-4 公一 1 =0,=1 2 公+4 0,4 k2 A 4 4 k2+A 5贝!|玉1+x2=r=4+F,X.X,=-3-=4+F,2 k2-l k2-k2-l k2-则 X-=|（X,+X2）-1 ,由题意知，直线?4：y=h（x+i）,直线O&：J=*（X-I）相交于点T,所 以*（%+1）=*7（与-1）,-|+I%2-答案第1 3 页，共 1 4 页即 包 宁（/+i）=华a&f,X +1 X 2 -1解得X ：_ 3 芭 f _ 2（丹 +&）_ 2 _ 3 再-2 +3%_ 4 _ 1 ,0 X j +3 x -4 -%+3 x -4 2 -玉+3%2 4 2故当P 在 C的左支上运动时，点T在直线X =；上.答案第1 4 页，共 1 4 页