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1、概率与统计的综合运用【命题规律】概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题.【核心考点目录】核心考点一：求概率及随
2、机变量的分布列与期望核心考点二：超几何分布与二项分布核心考点三：概率与其它知识的交汇问题核心考点四：期望与方差的实际应用核心考点五：正态分布核心考点六：统计图表核心考点七：回归分析核心考点八：独立性检验核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题核心考点十：决策型问题核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【真题回归】1.(2022全国统考高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军
3、的概率；(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.2.(2022全国统考高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间140,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间
4、的概率，精确到 0.0001).3.(2022全国统考高考真题)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;准点班次数未准点班次数A24020B2103()(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附：心出,(a +b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2.k)0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0k 2.7 0 6 3.8 4 1 6.63 54.(2 0 2 2 全国统考高考真题
5、)某地经过多年的环境治理，己将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1 0 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(单位：m)，得到如下数据:样本号i1234567891 0总和根部横截面积占0.0 4 0.0 60.0 4 0.0 8 0.0 8 0.0 5 0.0 5 0.0 7 0.0 7 0.0 60.6材积量%0.2 5 0.4 0 0.2 2 0.5 4 0.5 1 0.3 4 0.3 60.4 60.4 2 0.4 0 3.910 10 10并计算得Z k)0.0 5 0 0.0 1 00.0 0 1k3.84 16.63 51 0
6、.82 8【方法技巧与总结】()涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为XX IX2 Xi PP1P2 pi Pn称 E(X)=X1”+X 2 P 2+X,P“为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称 D
7、(X)=(苦-E(X),为随机变量x 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E(X)i=l的偏离程度，其算术平方根疯方为随机变量X 的标准差.(1)离散型随机变量的分布列的性质四.0(i=l,2,n);Pl+P2+P=I(2)均值与方差的性质若 =%+%，其中a力为常数，则 y 也是随机变量，且 E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)(3)分布列的求法与排列、组合有关分布列的求法.由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列.与频率分布直方图有关分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.与互斥事件有关分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.
8、与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法.先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列.(4)常见的离散型随机变量的概率分布模型二项分布；超几何分布.2、常见的连续型概率分布模型正态分布.（-）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出
9、分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例 1.（2 0 2 2 陕西宝鸡统考一模）甲、乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1,2,3号选手与乙队的1,2,3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3 场，则获胜，否则由甲队的1 号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1 号加赛两场，胜场多者最后获 胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1 号对乙队的1,2号选手的胜率分别是0.5,0.6,甲队的2号对乙队的1,2号选手的胜率都是0.
10、5,甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5,假设每场比赛结果相互独立.（1）求甲队仅比赛3 场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得2 0 0 个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望.例 2.（2 0 2 2 春云南昆明高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史 知识测试活动,每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加.甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为:的等差数列，他第一次O1 9测试合格的概率不超过且他直到第二次测试才合格的概率为记，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为g ,每位教师参加的每次测试是否合格相互独
11、立.(1)求甲教师第一次参加测试就合格的概率P;(2)设甲教师参加测试的次数为m,乙教师参加测试的次数为，求 =机+的分布列.例 3.(2 0 2 2 春 云南曲靖高三校联考阶段练习)受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满3 0 0元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的1 0 个小球，其中：红色小球I 个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A：1 个红球2个白球；B-.3个白
12、球；C：恰 有 1 个黄球；D：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.(1)写出顾客分别获一、二、三等奖时所对应的概率；(2)已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；(3)若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X,求 X的分布列和期望.核心考点二：超几何分布与二项分布【规律方法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.一般地，在含有M 件产品的N 件产品中，任取 件，其中恰有X件次品，则事件 X=卜二”-1发生的概率为P(X=k)=(%=
13、0,1,2,，其中m=,且谶N,M,N e N*,称为超几何分布列.一般地，在次独立重复试验中，用 X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则尸(X=Q=C：P*(1-P)Y,%=0,1,2,n.此时称随机变量X 服从二项分布，记作X 8(,p),并称/?为成功概率.此时有X=,)X=p(l-p).【典型例题】例 4.(2022春.北京.高三北京铁路二中校考阶段练习)2022年 2 月 2 0 日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名
14、参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分50,60(60,70(70,80(80,90(90,100频率0.10.10.30.30.2(1)如果规定竞赛得分在(80,90 为“良好”，竞赛得分在(90,100 为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？(2)在(1)条件下，再从这10学生中抽取6 人进行座谈，求至少有3 人竞赛得分都是“优秀”的概率；(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3 人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X,求随机变量X 的分布列及
15、数学期望.例 5.(2022浙江模拟预测)高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2 层中间的小木块碰撞，以3 的概率向左或向右滚下，依次经过6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,，7 的球槽内.D O O)00(O O O（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6 号球槽的概率;（2）某商场店庆期间利
16、用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满 800元就能得到一次抽奖机会,如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消 费 1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入，”号球槽得到的奖金为X（元），其中X=|160-40m|.（i）求一次抽奖的奖金X（元）的分布列及数学期望E（X）；（i i）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为y（元），求 E（y）.例 6.（2022春四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，
17、超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5 户.若抽取的5 户中购买量在 3,6（单位：kg）的户数为2 户，从 5 户中选出3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在13,6（单位：kg）的户数为g，求J 的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于O$kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取1 0 户，且抽到无户为“迫切需求户”的可能性最大，试求女的值.核心考点三：概率与其它知识的交汇问题【规律方法】在知识交汇处设计试题是高考命题的指
18、导思想之一,概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇.求解此类问题要充分理解题意.根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化.这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题.求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解.2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和.【典型例题】例 7.（2 0 2 2 春.上海长宁
19、高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或 6时得2分，掷得的点数为2,3,4,5时 得 1 分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；（1）设投掷2次骰子，最终得分为X,求随机变量X的分布与期望；（2）设最终得分为的概率为证明：-%为等比数列，并求数列化 的通项公式；例 8.（2 0 2 2 春 湖南长沙高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体A 8 C Q-A 耳的顶点A出发，每 一 步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点A的概率P,.(/)分别写出Pl，P2 的值;(/)设顶点A出发经过步到达点C的概率为/，求
20、 P“+3g”的值;(/)求 P”例 9.(2 0 2 2 春山东高三校联考阶段练习)某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品a分为两类不同剂型和%.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂%和%合格的概率分别为：和g ,第二次检测时两类试剂四和%合格的概率分别为三4 和彳2.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品a才算合格.(1)设经过两次检测后两类试剂外和合格的种类数为X,求 X的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品a进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检
21、测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P(0 P 1)且相互独立，该家庭至少检测了 3 个人才确定为“感染高危户”的概率为了(P),若当P=P。时，f 最大，求见的值.核心考点四：期望与方差的实际应用【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量配的期望，当时，不应认
22、为它们一定一样好，还 需 要 用 来 比 较 这 两 个 随 机 变 量 的 方 差，确定它们的偏离程度.（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近.（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断.【典型例题】例 10.（2 0 2 2 春河南高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒,在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒.对 于 份 样 本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验”次；二是混合检验，将 k 份样
23、本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这4 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这4 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则 发份检验的次数共为&+1 次，若每份样本没有病毒的概率为后（0 1）,而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.（1）若取得8 份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为/（P）,求/（P）的最大值点儿;（2）若对取得的8 份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.若“方案二”比“方案一”更“优”，求 p的取值范围（精确到0
24、.0 1）.例 H.（2 0 2 2 春湖北高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设 X为离散型随机变量，则 P（|X-E（X）|屋I）2詈，其中彳为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件留-4”4的概率作出估计.（1）证明离散型切比雪夫不等式；（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数”.5.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为1,2,，编号为i（掇才可的箱子中装有编号为0,，的
25、1+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请”位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子V中抽取的小球号码为X,并记x =2 .对任意的“，是否总能保证P（x 京 0.1）0.01（假/1=1 1设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量X,X”X?,x“满足X=x,则有E（X）=E（X,）.1=1/=1例 12.（2022全国高三专题练习）一台机器设备由A和 8 两个要件组成，在设备运转过程中，4 3 发生故障的概率分别记作尸（A）、P（8）,假设A 和 8 相互独立.设X 表示一次运转过程中需要维修的要件的数目,若 P（
26、A）=0,P（B）=0.2.（1）求出 P（X=0）,P（X=l）,P（X=2）；（2）依据随机变量X 的分布，求 E（X）和 O（X）；（3）若 X1表示A 需要维修的数目，X?表示B需要维修的数目，写出X、X1和 X?的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求 E（X）和 D（X）.核心考点五：正态分布【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x=;（2）标准差s（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由M，b,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3b特殊区间，从而求出所求概率.注意在标准正态分布下对称轴为x=0.【典型例题】例 13.（2022春福建泉州高三
27、福建省南安国光中学校考阶段练习）某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了 300名同学的物理成绩（均在50100分之间），将抽取的成绩分组为50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100,得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这3 0 0 名同学物理平均成绩元与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）（2）已知全年级同学的物理成绩服从正态分布N（，e r?）,其中取（1）中的5 ,经计算，。=1 1,现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间（6 2,9 5）的概率（结果精确到0.1）；（3）根 据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选
28、取名同学的物理成绩，若他们的成绩都在（6 2,9 5）的概率不低于1%,求的最大值（为整数）.附：l g 2 0.3 0 1,若a2）,则尸（-b J +b）*0.6 8,尸（-2 cr g +2 cr）=0.9 6 .例 14.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知某高校共有1 0 0 0 0 名学生，其图书馆阅览室共有9 9 4个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1.（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求 X 的期望和方差；（2）1 8 世纪3 0 年代，数学家棣莫弗发现，当“比较大时，二项分布可视为正态分布.此外
29、，如果随机变量y N（,4），令Z=芸，则Z N（0,l）.当Z N（0,l）时，对于任意实数。，记（a）=P（Z ；=90,立-t1=152a =24,7L71.3；若随机变量X 服从正态分布N（，b2），则/=1P（一 cr X +b）*0.6827,P（-2cr X +2。）=0.9545,P（4 -3b v X +3o 卜 0.9973.核心考点六：统计图表【规律方法】1、制作频率分布直方图的步骤.第一步：求极差,决定组数和组距，组距=极差菽第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间;第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第四步：画频率分布直方图.2、解
30、决频率分布直方图问题时要抓住3 个要点.（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；(2)直方图中纵轴表示频率,故每组样本的频率为组距x 频率X 觥（3）直方图中每组样本的频数为频率x 总体个数.3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法.（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标;（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标;（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.【典型例题】例 16.（2022云南昆明昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次
31、网络模拟考试，从中抽取了 100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间110,120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3 个人，记抽取的3 人成绩在100,130）内的学生人数为X,求 X 的分布列与数学期望.例 17.（2022.贵州贵阳.贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛,成绩分成5 组：50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100,得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a,b,c 成等差数列，成绩
32、落在区间60,70）内的人数为400.（1）求出直方图中a,b,c 的值:（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）若用频率估计概率，设从这1 0 0 0 人中抽取的6人，得分在区间 9 0,1 0 0 内的学生人数为 X,求 X的数学期望.例 18.（20 22全国高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在 7 5/0 0）内,再 以 5为组距画分数的频
33、率分布直方图（设“藉=）时，发现 丫 满足：y =n e N,5n X 5(+l).（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于8 5 分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在 95,1 0 0）内的同学评为一等奖；分数在 90,95）内的同学评为二等奖，但通过附加赛有1 的概率提升为一等奖；分数在 8 5,90）内的同学评为三等奖，但通过附加赛有g的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和 8均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.求学生B最终获奖等级不低于学生A最终
34、获奖等级的概率；已知学生A和 B都获奖，记 A,B两位同学最终获得一等奖的人数为，求J的分布列和数学期望.核心考点七：回归分析【规律方法】线性回归分析的原理、方法和步骤:（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测.在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值.（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数.（3）相关指数内 与相关系数，在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量（店=，），都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量.（4）利用换元法，可以将一元非线性回
35、归转化为线性回归.【典型例题】例 19.（2 0 2 2 春河南高三信阳高中校联考期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携、工作效率高、环保、可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2 0 1 7 2 0 2 1 年的研发人数作了相关统计,如下图：2 0 1 7-2 0 2 1 年公司的研发人数情况（年份代码1 5 分别对应2 0 1 7 2 0 2 1 年）研发人数M
36、人）2680489920432222345 年份代码X（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x的相关系数r，并由此判断其相关性的强弱；（2）试求出y 关于X的线性回归方程，并预测2 0 2 3 年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：（y-1）2=5 5 9 6 0,V 1 3 9 9 3 7.4.参考公式：相关系数i=l.线性回归方程的斜率3=截距 k)0.0500.01 00.005k3.8 4 16.6 3 57.8 7 9例23.（2022重庆江北校考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机
37、抽查了男女生各1 00名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常4 0男生20（I）0依据a =0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出,每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.bc)(a +)(c+d)(a +c)3 +d)附：Z2a0.01 00.0050.001%6.6 3 5
38、7.8 7 91 0.8 28例24.（2022春四川成都高三校考阶段练习）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：患病未患病总计没服用药2 03 050服用药Xy50总计MN1 0 0设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为鼻 从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过P(g =o)=方尸(=0)(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值：(2)求4与的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义:(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？(参考公式,其中”=a +c +d)(a +6)(c +d)(a +c)(b +d)P（烂X）0.1 00.0
39、 50.0 1 0 0.0 0 1k2.70 63.84 16.63 51 0.82 8核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题【规律方法】1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合.对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用.2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“三局两胜制问题”“五局三胜制问题”“七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“五局三胜制 等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率
40、，在分类时要注意“不重不漏”.3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小.4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布.【典型例题】例2 5.(2 0 2 2春湖北十堰高三校联考阶段练习)为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级
41、两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、8部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛4部获胜的概率为夕（0。1）,每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.（1）记第一天需要进行的比赛局数为X,求 E（X）,并求当E（X）取最大值时p 的值；（2）当p 时，记一共进行的比赛局数为匕求p（y 5）.例26.（2 0 2 2江苏盐城江苏省滨海中学校考模拟预测）甲、乙两人组成“虎队”代表班
42、级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得 3 分；如果只有一个人投中，则“虎队”得 1 分；如果两人都没投中，则“虎队”得 0分.已知甲每轮投中的概率是乙每轮投中的概率是彳；每轮活动中甲、43乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3 个的概率；（2）设“虎队”两轮得分之和为X,求 X的分布列；设“虎队”轮得分之和为X,求 X”的期望值.（参考公式E（x+y）=EY+Ey）例 2 7.（2 0 2 2.陕西西安.长安一中校考模拟预测）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一
43、组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3 次称为“优秀小组小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为网,小.2 1（1）若 巧=3 ,p2=,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若 R +生=W则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为1 6 次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时P P 2 的值.核心考点十：决策型问题【规律方法】求解决策型问题的求解流程为：第一步：先确定函数关系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根据期望进行最后的决策.【典型例题】例 28.（20 22春云南高三校联考阶段练习）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取
44、有效防控措施，时常采用1 0 人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有I人核酸检测呈阳性，为了能找出这1 例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将 这 1 0 人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.方案乙：将 这 1 0 人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为
45、止，检测的次数记为X.（1）求 X的数学期望E（X）；（2）如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？例 29.（20 22春广东广州高三广州市第十七中学校考阶段练习）20 22年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.己知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为=,甲与丙比赛，41 3甲赢的概率为人其中（1）若第一场
46、比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金1 3 万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4 万元.在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求 X的数学期望E（X）的取值范围.例30.（2 0 2 2春四川南充高三四川省南充高级中学校考阶段练习）2 0 2 0年1月1 5日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（
47、也称“强基计划”）,意见宣布：2 0 2 0年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为;，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为:26 3其中0 机 1.2（1）若，=分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学
48、期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求加的取值范围.核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【典型例题】例31.（2 0 2 2.全国.高三校联考阶段练习）2 0 2 2年1 0月1日，女篮世界杯落幕，时 隔2 8年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参 加 过 的1 0 0场比赛进行统计：甲在前锋位置出场2 0次，其中球队获胜1 4次：中锋位置出场3 0次，其中球队获胜2 1次；后卫位置出场5 0次，其中球队获胜4 0次.用该样本的频率估计概率，则:（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；（2）现有小组赛制如下：小
49、组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X,求X的分布列和数学期望.例 3 2.（2 0 2 2全国高三专题练习）某品牌汽车厂今年计划生产1 0 万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M,其中由本厂自主生产的配件M可以满足2 0%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购.已知本厂生产配件M 的成本为5 0 0 元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为6 0 0 元/件和8 0 0 元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为6 4 0 元/件.（1）分别求该汽车厂需要
50、从甲厂和乙厂订购配件M的数量；（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%,2%和 1%,求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为1 4 0 0 0 元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？例 3 3.（2 0 2 2全国高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%.王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共7 8 人逐一进行核酸检测.（1）设X为这7 8 名密切接触者中