《初中中考总复习数学《圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中中考总复习数学《圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知。01 与。的半径分别为3 cm 和 4 cm 若。1。2=7 c m,则与。2的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切2.如图，A B 是。的直径,点 C、D在。上,Z B 0D=1 1 0，A C O D,则 N A O C 的度数（）A.7 0B.6 0C.50D.403.如图所示，A B 是。的直径，C D 为弦，C D LA B 于点E,则下列结论中不成立的是（）A.Z C O E=Z D O E B.C E=D E C.O E=B ED.BD=BC4.（201 5黑龙江）如图，。
2、的半径是2,A B 是。0 的弦，点 P 是弦A B 上的动点，且 1 W 0 P W 2,则弦A B 所对的圆周角的度数是（）C.6 0 或 1 20 D.30 或 1 505.如图所示，A B C 内接于圆0,N A=50；N A B C=6 0,B D 是圆0 的直径，B D 交 A C 于点E,连接D C,则N A E B 等于（）A.7 0 B.1 1 0 C.9 0 D.1 206 .小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配成与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第块 B.第块 C.第块 D.第块二、填空题7 .（201 5雁江区模拟
3、）如图，MN 是半径为2 的。0 的直径，点 A在。0 上，N A MN=30,B为弧A N 的中点，P 是直径MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为Acm.8.9.1 0.如图所示，AB与。相切于点B,A0的延长线交。0 于点C,连接BC.若/A=36,则NC=.1 1 .如图，直线PA过半圆的圆心0,交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半第 1 1 题1 2.如图所示.B是线段AC上的一点，且 AB:AC=2:5.分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆 的 面 积 之 比 为.三、解答题1 3.己知AB与。相切于点C,OA=OB.OA、OB与。0
4、分别交于点D、E.(1)如图，若0 0 的直径为8,AB=1 O,求 0A的长(结果保留根号);如图，连接CD、C E,若四边形ODCE为菱形图.求9 2 的值.图1 4.如图所示，在 RtaABC中，/C=90,0 为直角边BC上一点，以0 为圆心、0C为半径的圆恰好与斜边A B 相切于点D,与 B C 交于另一点E.(1)求证：A A O C 丝a A O D；(2)若 B E=1,B D=3,求。的半径及图中阴影部分的面积S.1 5.(201 5上城区二模)如图，已知四边形A B C D 内接于圆，对角线A C 与 B D 相交于点E,F在 A C 上,A B=A D,Z B F C=Z
5、 B A D=2Z D F C.(1)若N D F C=40,求N C B F 的度数；(2)求证：C D 1 D F.1 6 .如图，已知N A B C=9 0,A B=B C.直线/与以B C 为直径的圆0 相切于点C.点 F是圆0 上异于B、C的动点，直线B F 与/相交于点E,过点F 作 A F 的垂线交直线B C 与点D.(1)如果 B E=1 5,C E=9,求 E F 的长；(2)证明：C D FS B A F；C D=C E；(3)探求动点F在什么位置时,【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；相应的点D 位于线段B C 的延长线上，且使B C=j 3C D,请说明你的理由.W
6、【解析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距0 0 2=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.2.【答案】D；【解析】由 A B 是。0 的直径，点 C、D在。上，知 0 A=0 C,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得/A 0C=1 80-2 Z 0 A C.由A C:0D,根据两直线平行，内错角相等的性质，得/0A C=N A 0D.由A B 是。的直径，Z B 0D=U0,根据平角的定义，得/A 0D=1 80-Z B 0D=7 0.A Z A 0C =1 80 -2X 7 0=40.故选 D.3.【答案】C；【解析】由垂径定理知A、B、D都正确.4.【答案】C；【
7、解析】作 0 D L A B,如图，.,点P 是弦A B 上 的 动 点,且 1 W0PW2,.0D=l,Z 0A B=30,.,.Z A 0B=1 20,/.Z A E B=1 Z A O B=6 O ,2V Z E+Z F=1 80,A Z F=1 20,即弦A B 所对的圆周角的度数为6 0或 1 20 .故选C.5.【答案】B；【解析】V Z A=50,.,.Z D=50,又：B D 是直径，/.Z B C D=9 0,A Z D B C=9 0-50 =40 ,Z A B D=6 0-40 =20 ,A Z B E C=500+20 =7 0 ,A Z A E B=1 80-7 0
8、=1 1 0.6 .【答案】B；【解析】因为第块含有圆周的一部分，可以找到圆心，量出半径.其他块都不行.二、填 空 题 _7 .【答案】2如;【解析】如图，作点B关于MN 的对称点B,连接0A、O B 、A B ,由轴对称确定最短路线问题可知，A B 与 M的交点即为所求的使PA+PB 的值最小的点，V Z AM N=3 0 ,.*.Z A0 N=2 Z AM N=2 X 3 0 =6 0 ,:B为弧AN的中点，./NOB =1 x 6 0 =3 0 ,2/.Z AOB,=9 0 ,.AOB 是等腰直角三角形,0 0 的半径为2,A A B,=2 7 2-即 PA+PB 的最小值为为2 M.8
9、.【答案】4；【解析】因为AC 为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得NAB C=9 0 ,则 B C=AC s i n/B AC=4(a m).9.【答案】相交；【解析】认真观察、判断可发现每两圆间不存在的位置关系是：相交.1 0 .【答案】2 7 ；【解析】如图，连结0 B,由 AB 与。相切于点B,得NAB 0=9 0 ,因为/A =3 6 ,所以/A0 B=5 4 ,所以NC=2 7 .1 1 .【答案】4；【解析】连接0 C,则由直线PC 是圆的切线，得 OC J _ PC.设圆的半径为x,则在RtZ OPC 中，PC=3,0 C=x,0 P=l+x,根据地勾股定理，OP2=OC2+
10、PC2,即(1 +x)z=X2+32,解得 x=4.即该半圆的半径为4.1 2 .【答案】4:2 5；三、解答题1 3 .【答案与解析】(1)如图，连接0 C,则 0 C=4.；AB 与。0相切于点C,A0 C 1 AB.在aOAB 中，由 OA=OB,AB=1O WAC=-A B =5.2在RtOAB 中，OA=VOC2+AC2=A/42+52=屈.图(2)如图，连接0 C,则OC=OD.四边形ODCE为菱形，二(=口。.ODC 为等边三角形.NA0C=60./.ZA=30.A OC=-O A,2-O-C-=一1 ,即Bn-O-D-=1OA 2 OA 214.【答案与解析】解:(1)V AB
11、 切。于 D,.OD1AB.*OC=OD,在 RtZXAOC 和 RtZkAOD 中，AO=AO.ARtAAOCRtAAOD(HL).设半径为r,在RtODB中，/+3 2=。+1)2,解得=4.由有 AC=AD,二 A C 2+9 2=(A C+3)2,解得AC=12,/.S=-A C.B C-r2=-x l2 x 9-x 42=54一8).2 2 2 215.【答案与解析】解：(1)Z ADB=Z ACB,Z BAD=Z BFC,Z ABD=Z FBC,又AB=AD,Z ABD=Z ADB,.Z CBF=Z BCF,Z BFC=2Z DFC=80,NCBF=1 80 一 80=5。；2(2
12、)令N CFD=a,则N BAD=N BFC=2a,四边形ABCD是圆的内接四边形，Z BAD+Z BCD=180,即N BCD=180-2a,又 AB=AD,Z ACD=Z ACB,Z ACD=Z ACB=90-a,Z CFD+Z FCD=a+(90-a)=90,/.Z CDF=90,即 CD_LDF.1 6.【答案与解析】解：(1)直线/与以B C 为直径的圆0相切于点C,A Z B C E=9 0 ,又：B C 为直径，.Z B FC=Z C FE=9 0 .A Z C FE=Z B C E.Z FE C=Z C E B,AC E F AB E C.A=.BE ECo FF 27V B
13、E=1 5,C E=9,即：=一，解得：E F=.1 5 9 5(2)证明：/FC D+/FB C=9 0 ,Z AB F+Z FB C=9 0 ,A Z AB F=Z FC D.同理：Z AFB=Z C FD./.AC D F AB AF.C D FSBAF,.里=空BF BA又AC E F AB C F,.史=生.出=笠BF BC BA BC又；AB=B C,.*.C E=C D.2(3)当 F 在。0 的下半圆上，且 BF=*B C 时,3相应的点D位于线段B C 的延长线上，且使B C=7 3 C D.理由如下:C E=C D,B C=6 C D=7 3 C E.CE 1S RtAB
14、C E 4 ,ta n Z C B E=-=,BC G，/C B E=3 0 ,CF所对圆心角为6 0 .2F在。0的下半圆上，且BF二一BC.3中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1 .（2 0 1 5 湖州模拟）在A A B C 中，C OSB=9，/C=4 5 ,AB=8,以点B为圆心4为半径的O B与以点C为圆心的。C相离，则。C的半径不可能为（）A.5 B.6 C.7 D.1 52 .如图，AB 为。0的直径，CD为弦，AB C D，如果NB 0 C=7 0。，那么N A 的 度 数 为（）A.7 0。B.3 5。C.3 0。D.2
15、 0。3 .已知A B 是。的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过 P 作。0的切线，切点为C,N A P C 的平分线交AC 于点D,则/C D P等 于（）A.3 0 B.6 0 C.4 5 D.5 0 A.5 B.4 C.3 D.25 .如图所示，四边形AB C D 中，D C/7 AB,B C=1,AB=AC=AD=2.则 B D 的 长 为（）A.7 1 4 B.V 1 5 C.3&D.2 7 36 .如图，。为原点，点/的 坐 标 为（3,0）,点 6的坐标为（0,4）,。过A B、。三点，点。为 AB O上 一 点（不 与 0、力两点重合），贝 c o s C 的 值
16、为（）X二、填空题7 .已知。的半径为1,圆心0到直线/的距离为2,过/上任一点4作。的切线，切点为B,则线段AB 长度的最小值为.8 .如图，AD,A C 分别是。0的直径和弦.且NC AD=3 0 .OB AD,交 A C 于点B.若 0 B=5,则 B C 的长等于.9 .如图所示，己知。中，直径M N=1 0,正方形AB C D 的四个顶点分别在半径OM、0 P 以及。0上，并且Z P0 M=4 5 ,则 AB 的长为.第 8 题第 9题第 1 0 题1 0 .如图所示，在边长为3 c m 的正方形A 8CO 中，储与。?相外切，且（。分别与边相切，02分别与BA,B C边相切，则圆心
17、距。2 =c m.1 1 .如图所示，E 8,E C 是。的两条切线，B,C 是切点,是。上两点，如果NE=4 6 ,Z D C F=3 2 那么/A 的度数是.1 2 .（2 0 1 5 广元）如图，在。0中，AB 是直径，点 D是。0上一点，点 C是 AD 的中点，C E L AB 于点E,过点D的切线交E C 的延长线于点G,连接A D,分别交C E、C B 于点P、Q,连接A C,关于下列结论：/B AD=NAB C；G P=G D；点 P 是/A C Q 的外心，其 中 正 确 结 论 是 （只需填写序号）.EB三、解答题DR13.如图所示，A C 为。0 的直径且P A A C,B
18、 C 是。0 的一条弦，直线P B 交直线A C 于点D-（1）求证：直线P B 是。的切线;(2)求 co s/B C A 的值.14 .如图所示，点 A、B在直线M N 上，A B =11厘米，OA、0 B的半径均为1 厘 米.OA以每秒2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，OB的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r=l+t（t 20）.（1）试写出点A、B之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数关系式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？M y A15.（2014 秋津南区期末）已 知 的 直 径 A B=10,弦 B C=6,点 D在。上（与点C在 A
19、 B 两侧），过 I）作。0 的切线P D.（1）如图，P D 与 A B 的延长线交于点P,连接P C,若 P C 与。0 相切，求弦A D 的长；（2）如图，若 P D A B,求证：C D 平分N A C B；求弦A D 的长.16 .如 图 1 至图4中，两平行线A B、C D 间的距离均为6,点 M为 A B 上一定点.思考如 图 1,圆心为0 的半圆形纸片在A B,C D 之 间（包 括 A B,C D）,其直径M N 在 A B 上，M N=8,点 P为半圆上一点，设/M O P=a.当。=度时，点 P 到 C D 的距离最小，最小值为.探究一在 图 1 的基础上，以点M为旋转中
20、心，在 A B,C D之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2,得到最大旋转角N B M O=度，此时点N到 C D 的距离是.探究二将如图1 中的扇形纸片N O P 按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片M O P 绕点M在 A B,C D 之间顺时针旋转.(1)如 图 3,当 a =6 0时，求在旋转过程中，点 P到 C D 的最小距离，并请指出旋转角N B M 0 的最大值；(2)如图4,在扇形纸片M O P 旋转过程中，要保证点P能落在直线C D 上，请 确 定 a的取值范围.3 3 3(参考数据：s i n 4 9 =,co s 4 1=，t a n 37=.)【答案与解析】
21、一、选择题1.【答案】C；【解析】过 A作 ADXBC于 D._在 R t A A B D 中，易知N B=30,则 A D=4,BD=4；在 RSACD 中，N C=4 5,贝 UC D=A D=4；B C=B D+C D=4 V 3+4=10.9；当。B与。C外离时，(设OC的半径为r)则有：r+4 V B e=10.9,即 0 r B C=10.9,H P r 14.9；综合四个选项，只有C选项不在r的取值范围内，故选C.【解析】如图，连接O D,A C.由/B O C =70 ,根据弦径定理，得N D 0C =14 0 ；根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得N D A C =70从
22、而再根据弦径定理，得NA的度数为35 .故选B.3.【答案】C；【解析】连接0C,V 0C=0A,P D 平分N A P C,Z C P D=Z D P A,Z C A P=Z A C 0.；P C 为。0 的 切 线,.,.0C 1P C.V Z C P D+Z D P A+Z C A P +Z A C 0=9 0,A Z D P A+Z C A P =4 5,即 N C D P=4 5.故选 C.4.【答案】C；【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段0 M 长的最小值为点0 到弦A B 的垂直线段.如图，过点0 作 0 M 1A B 于 M,连接0A.根据弦径定理
23、，得 A M=B M=4,在 R t A A O M中，由A M=4,0 A=5,根据勾股定理得0 M=3,即线段0M 长的最小值为3.故选C.A5.【答案】B；【解析】以 A为圆心，A B 长为半径作圆，延长B A 交。A于 F,连接D F.根据直径所对圆周角是直角的性质，得N F D B=9 0；根据圆的轴对称性和D C A B,得四边形F B C D 是等腰梯形.V 42-l2=V 15.故选 B.6 .【答案】D；【解析】如图，连接4 6,由圆周角定理，得/俏 N4 80,在位。中，的=3,0B=4,由勾股定理，得/庐5,/.cos C=cos Z.ABO=4AB 5二、填空题7.【答
24、案】百.【解析】如图所示，0A11,4?是切线，连 接。6,V OAX.I,；.0 A=2,又：力 6 是切线，：.OBVAB,在 RtAAOB中，yJOA2-O B2=l22-I2=6.A8.【答案】5；【解析】.,在Rt Z ABO 中，AC.AD=2 A0=1 0 x/3 .连接 C D,则N AC D=90 .,在 R S ADC 中，AC=ABC=AC-AB=1 5-1 0=5.9.【答案】/5；【解析】设正方形ABC D边长为:.0 B=2 x,连接 0 A,/.X=y/5.)25 5=5AB-0B=5tanZCADC tan 30 八 sinZCAD sin30AD cos ZC
25、AD=1 0/3 cos 30=1 5,x,ZPO M=45 ,；.O C=C D=x,在 Rt ZXO AB 中,X2+(2X)2=52为一边构造直角三角形.过01作CD的平行线，过。2 作8 C的平行线，两线相交于1 0.【答案】6-34 2.【解析】本题是一个综合性较强的题目,既有两圆相切，又有直线和圆相切.求 G O?的长就要以G O 2是 0,和。2 的 半 径 之 和，设 为 d，则O.M =O2M =3-d,在Rt 0XM02中(3-d)2+(3-=I?,解得&=6 士3 7 2.由题意知6+3后不合题意，舍去.故填6-3庭.1 1 .【答案】99；【解析】由 6 =E C,N
26、E =46 知 N E C B=67,从而/B C D=1 80。一 67 32。=81。,在 中,N 8C O 与 NA互补，所以4 4 =1 80-81 =99.故填99。.1 2.【答案】；【解析】；在。0 中，AB是直径，点 D 是。0 上一点，点 C 是弧A D 的中点，AC=C D*BD，Z BADHN A B C,故错误；连接0D,则 OD_LGD,Z 0AD=Z ODA,G ：Z ODA+Z GDP=90,N EPA+N FAP=N FAP+N GPD=90,N GPD=Z GDP；G P=G D,故正确；玄邑江飞、弦 CEAB 于点 F,；o .A为在的中点，即官=M，又 为
27、 俞 的 中 点，*,AC=C DAE=C D .Z CAP=N ACP,AP=CP.:A B为圆O 的直径，Z ACQ=90,Z PCQ=Z PQC,/.PC=PQ,/.A P=PQ,即 P 为 R S ACQ斜边AQ 的中点，二P 为 RIA ACQ的外心，故正确；故答案为：&.三、解答题1 3.【答案与解析】(1)证明：连接OB、0P.里=匹=2且/D=/D,ABDC-APDO.DP DO 3ZDBC=ZDPO.Z.BC/70 P.A ZBC O=ZPO A,ZC BO=ZBO P.V O B=O C,A Z0 C B=ZC B0./.ZB0 P=ZP0 A.又；O B=O A,O P=
28、O P,.,.BO P AAO P(S AS).N PBO=N PAO.又；PA_ L AC,.ZPB0=90o.直线PB是。0的 切 线.(2)由(1)知N BC O=N PO A.设 P B=a,则 BD=2 a,又?PA=PB=a,：.AD=2 x/2 a.又；BC O P,A =2.A D C=CA =-x 2/2 =V 2 a./.O A=.，o p5CO 2 2 2c o s N BC A二 c o s N PO A 二立.31 4.【答案与解析】(1)当 0 Wt W5.5 时,当 t 5.5 时,函数表达式为d=l l-2 t；函数表达式为d=2 t-l l.(2)两圆相切可分
29、为如下四种情况:当两圆第一次外切，由题意,可得 l l-2 t =l+l+t,当两圆第一次内切，由题意,当两圆第二次内切，由题意,当两圆第二次外切，由题意,可得 2 t T 1 l+t-l,可得 2 t-l l =l+t+l,t =3 ；1 1t=3t =l l；t =1 3.可得 l l-2 t =l+t-l,所以，点 A 出发后3 秒、1 秒、1 1 秒、1 3 秒两圆相切.31 5.【答案与解析】(1)解：/A B 是是0的直径,A ZAC B=90 ,*,AC=7AB2-BCVlO2-62=8，；PD、PC 是。的切线，/.PD=PC,ZAPC=ZAPD,在A A P C 和A A P
30、 D 中，PD=PC N APC=N APD，PA=PA/.APC AAPD(S AS),，AD=AC=8.(2)证明：连接O D、BD,.,PD是。0的切线,r.O DPD,V PD/7AB,A0 DAB,AD=BE)，AD=BD,ZAC D=ZBC D,AC D 平分 N AC B.；AB是。的直径，A ZADB=90 ,在 R M A D B 中，AD2+BD2=AB2,.,.2 AD=1 02,；.AD=5 加.1 6.【答案与解析】解：思考：90,2.探究一：3 0,2.探究二：(1)当 PM J _ AB时，点 P 到 AB的最大距离是M P=0 M=4,从而点P 到 C D 的最
31、小距离为6-4=2.当扇形M O P在 AB,C D之间旋转到不能再转时，弧 M P与 AB相切，此时旋转角最大，N B M 0 的最大值为90 .(2)如图4,由探究一可知，点 P 是弧M P与 C D 的切线时，a大到最大，即 O PL C D,此时延长P0 交 AB于点H,a 最大值为N 0 M H+N 0 HM=3 0 +90 =1 2 0 ,如图5,当点P 在 C D上且与AB距离最小时,M P1 C D,a达到最小,连接M P,作 H0 L M P于点H,由垂径定理，得出M H=3.在 Rt Zk M O H 中，M 0=4,.*.s i n ZM 0 H=-./.ZM 0 H=4
32、9.OM 4V a =2 ZM 0 H,a 最小为 98 ./.a的取值范围为：98 Wa 1 2 0 .的取值范围是98 a 1 2 0 .中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系一知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活.【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1.圆的有关概念圆
33、、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性.3.圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.4.垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：在图中直径C D,(2
34、)C D A B,(3)A M=M B,(4)AC=BC,(5)A D=B D.若上述5 个条件有2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.注意：(1)(3)作条件时，应限制A B 不能为直径.5 .圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.6 .圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推 论 1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半圆(或直径)所对的
35、圆周角是直角；9 0。的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.考点二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设。的半径为r,点 P到圆心的距离O P=d,则有:点 P在圆外 d r；点 P在圆上Od=r；点 P 在圆内O d r.要点诠释：圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示.经过在同一直线上的三点不能作圆.不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.B2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交图形O(公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系d=rdR+r外切Od=R+r相交R-r d 厂)要点诠释：相切包括内切
36、和外切，相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.同心圆是内含的特殊情况.圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.“R-r”时，要特别注意，R r.【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系I D:4 1 2 0 7 4 经典例题1】C 1.已知：如图所示，在。0中，弦 AB 的中点为C,过点C的半径为0 D.若 A B=2 6,O C=1,求 C D 的长;若 半 径 O D=R,/A0 B=1 2 0 ,求 C D 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若N A0 B=2 n ,O D J _AB 于 C,O A=R,O C=h,则
37、AB=2 R s i n n =2 n ,t an n =2A/R2 h1；C D=R h；的长二 180【答案与解析】解：.半径0 D 经过弦A B 的中点C,半径 O D L AB.；A B=2 百，A C=BC=GV O C=1,由勾股定理得0 A=2.；.C D=O D-O C=O A-O C=1,即 C D=1.(2)V 0 D 1 AB,O A=O B,.Z AO D=Z B O D.；.N A0 B=1 2 0 ,.N A0 C=6 0 .V O C=O A cos Z AO C=O A cos 6 0 R,2CD=OD-OC=RR=LR.2 2【总结升华】圆的半径、弦长的一半、
38、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题.举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙己跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？(不考虑其他因素)【答案】解：过 M、N、B三点作圆，显然A 点在圆外，设 M A交圆于C,则N M AN V N M C N.而 Z M C N=Z M B N,Z M AN r；点 P在圆上Od=r；点 P 在圆内O d rd=rd R +r外切Od=R +r相交R-r d r)内含O&dV R-
39、r(R 厂)要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.同心圆是内含的特殊情况.圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.“R-r”时，要特别注意，R r.考点三、与圆有关的规律探究1.和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述.(1)圆中最长的弦是直径.如图，A B是。的直径，C D 为非直径的弦，则 A B C D,即直径A B是最长的弦.过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图，P是。0内任意一点，过点P作。的直径A B,过 P 作弦C D _ L A B于 P,则 C
40、D 是过点P的最短的弦.(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上.如图所示，P 在。0外，连接P 0 交。于 A,延长P 0 交。于 B,则在点P与。上各点连接的线段中，P B最长，P A 最短.(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上.如图所示，P为。内一点，直径过点P,交。于 A、B 两点，则 P B最长、P A 最短.2.与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是A BC 的内心，则N BI C =9 0 +，N 4.2(2)如图所示，E是4 A B C 的两外角平分线的交点，ZB EC=9 0 -Z A.2E(3)如
41、图所示，E是A A BC内角与外角的平分线的交点，Z E =N A.2(4)如图所示，。0是A A BC的内切圆，D、E、F分别为切点，则N D 0 E=1 8 0。-Z A.(5)如图所示，。是a A BC的内切圆，D、E、F为切点，A D F E =9 G -Z A.2(6)如图所示，。是A A BC的内切圆，D、E、F为切点，P为。E上一点，则N O P E =9 0 +，N 4.2【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用.已知：如图所示，。0中，半 径0 A=4,弦BC经 过 半 径O A的 中 点P,/0 P C=6 0。，求 弦BC的长.【思路点拨】要 用 好60角，构造直角三
42、角形.在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形.【答案与解析】解：过 0 作 O M _ L B C 于 M,连接0C.在 R t Z k O P M 中,Z 0P C=60 ,QP=-O A =2,20 M=6.在 R t A O M C 中，B C=2 M C=2y0C2-0 M2=2A/13.【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题.匕.如图所示，在中，弦 A B 与 C D 相交于点M,A D =B C,连接A C.(1)求证：M A C 是等腰三角形；
43、(2)若 A C 为。0 直径,求证：A C2=2 A M A B.【思路点拨】(1)证明 Z M C A-Z M A C；(2)证明A A O M s A B C.【答案与解析】证明：（1）A D C B ,Z M C A =Z M A C./.M A C 是等腰三角形.连接 O M.Y A C 为。0 直径，.N A B C=90.M A C 是等腰三角形，O A=O C,.M O 1 A C./.Z A 0M=Z A B C=90 .,/Z M A O=Z C A B,A A O M A A B C,/.A C2=2 A M A B.【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的
44、判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中.举一反三：【变 式】如图所示，在0 0中，A B=2 C D,则()A.A B 2 C DB.A B A E=C D.A F C D.A 2 A F 2 C D ,即 A B 2 C .答 案A.【高清课堂：圆的有关概念、性 质 及 与 圆 有 关 的 位 置 关 系I D:41 2 074 经 典 例 题2】3.已知：如图所示，Z X A B C 内接于。0,B D _ L 半径A 0于 D.（1）求证：Z C=Z A B D；4 若 B D=4.8,s i n C=一,求。的半径.【思路点拨
45、】过 0 作 O E _ L A B 于 E,连接B 0,再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：过。作 0E L A B 于 E,连接B 0（如图所示），则=2又,:B D A O,A Z A B D+Z B A D=90 .V Z A 0E+Z B A D=90 ,Z A B D=Z A O E=Z C.(2)在 R t Z A B D 中，sinZABD=9AB.A D.厂 4 -=s i n C =1 AB 5设 A D=4 k,则 A B=5k,B D=3k=4.8,k =1.6.，A B=8,A E=4.AP：s i n N A O E =O A4 4-=.0A
46、=5.5 O A解法二：（1）延长A O 交。0 于 C.（如图所示）AZC,=Z C.VAC,为。的直径，A ZABC;=90.：.Z C +ZBAD=90.VZBAD+ZABD=90,.Z A B D=Z Cz=Z C.BD(2)在 RtzBDC中，sin C =sin C =-BCR C嚏=6.An 4在 R t A B C 中，V sinC =-,A C 5.设 A B=4 k,则 AC=5k,BCZ=3 k=6.k=2.OA=-A C =-x lO =5.2 2【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边
47、经过圆心.类型二、圆的切线判定与性质的应用 4.(2014秋兴化市月考)如图，AB是。0的直径，点C是。上一点，AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/A C B,交AB于点F,连接BE.(1)求证：AC平分NDAB；(2)求证：4 P C F是等腰三角形；(3)若AC=8,B C=6,求线段BE的长.【思路点拨】(1)根据切线的性质可得结论；(2)连接0 E,根据圆周角定理得NACB=90,进而可推导得出4 P C F是等腰三角形;(3)先在RtZXACB中，根据勾股定理计算出AB=10,最终算得BE的值.【答案与解析】(1)证明：PD为。0的切线,
48、AOCIDP,VADXDP,；.0CAD,ZDAC=ZOCA,VOA=OC,ZOAC=ZOCA,/.ZOAC=ZDAC,A AC 平分 NDAB；(2)证明：T A B为。的直径，A ZACB=90,CE平分NACB,A ZBCE=45,.ZB0E=2ZBCE=90,NOFE+NOEF=90,而 NOFE二 NCFP,/.ZCFP+Z0EF=90,VOCPD,/.Z0CP=90,即 NOCF+NPCF=90,而 NOCF=NOEF,ZPCF=ZCFP,PCF是等腰三角形；(3)解：在 RtZACB 中,VAC=8,BC=6,AAB=VAC2+BC2=10,；.0B=5,V ZB0E=90,.B
49、OE为等腰直角三角形，.BE=MOB=5 我.【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.举一反三：【变式】(2015毕节市)如图，以 A B C的B C边上一点O为圆心的圆，经过A,B两点，且与B C边交于点E,D为B E的下半圆弧的中点，连接A D交B C于F,AC=FC.(1)求证：A C是。0的切线；(2)已知圆的半径R=5,E F=3,求D F的长.AD【答案】(1)证明：连结OA、O D,如图，D 为 BE的下半圆弧的中点，.ODBE,Z D+Z DFO=90,J
50、AC=FC,二 Z CAF=Z CFA,/Z CFA=Z DFO,/.Z CAF=Z DFO,而 OA=OD,Z OAD=Z ODF,Z OAD+Z CAF=90,即N OAC=90,OAAC,A C是。O 的切线；(2)解：圆的半径R=5,EF=3,.OF=2,在 RQODF 中，/OD=5,OF=2,.DF=4 5 2+2 8类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用C5.如图所示，。是 RtZXABC的外接圆，AB为直径，/ABC=3O,CD是。的切线，ED_LAB于 F.(1)判断4DCE的形状;(2)设。的半径为1,且。尸=6-12，求证4DCE岭OCB.【思路点拨】(1)由于