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1、中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系一知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活.【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1.圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.要点诠释：等
2、弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性.3.圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.4.垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：在图中直径C D,(2)C D A B,(3)A M=M B,(4)AC=BC,(5)A D =B D.若上述5个条件 有 2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二
3、三定理”.即知二推三.注意：(1)(3)作条件时，应限制A B 不能为直径.5 .圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.6 .圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推 论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；9 0。的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.考点二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设。的半径为
4、r,点 P到圆心的距离0 P=d,则有：点 P在圆外 Odr；点 P在圆上Od=r；点 P在圆内O d rd=rdR+r外切O0d=R+r相交OR r Z d 冷内含0&d厂)要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.同心圆是内含的特殊情况.圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.“R-r”时，要特别注意，R r.【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系I D:4 1 2 0 7 4 经典例题1】1.已知：如图所示，在中，弦 A B 的中点为C,过点C的半径为0 D.(1)若 A B=2 6,O C=1,
5、求 C D 的长；(2)若半径 OD=R,Z A 0 B=1 2 0 ,求 C D 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若/A 0 B=2 n ,OD LA B 于 C,OA=R,OC=h,则 A B=2 R s i n n 2 n ta n n -2 JR2 /i2;C D=R h；A Z)的长=.1 8()【答案与解析】解：.半径0 D 经过弦A B 的中点C,半径 OD J _ A B.(1)VAB=25/3,AC=BC=A/3.V O C=1,由勾股定理得0A=2.CD=ODOC=OAOC=1,即 CD=1.(2)V0D1AB,OA=OB,ZA0D=ZBOD.ZA0B=120,./A0
6、C=60.VOC=OA cosZAOC=OA cos60=%,2CD=OD-OC=R-R=-R.2 2【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题.举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？(不考虑其他因素)【答案】解：过 M、N、B三点作圆，显然A 点在圆外，设 MA交圆于C,则ZMAN ZMCN.而/MCN=ZM BN,，ZMANr；点P在圆上Od
7、=r；点、P在圆内O d rd=rdR+r外切Od=R+r相交QR-r d r)内含QO&dVR-r(R 厂)要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.同心圆是内含的特殊情况.圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.“R-r”时，要特别注意，R r.考点三、与圆有关的规律探究1.和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述.(1)圆中最长的弦是直径.如图，A B 是。的直径，CD 为非直径的弦，则 A B C D,即直径A B 是最长的弦.过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，
8、如图，P是。0内任意一点，过点P作。0的直径A B,过 P 作弦CD LA B 于 P,则 CD 是过点P的最短的弦.(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上.如图所示，P 在。0外，连接P 0 交。0于 A,延长P 0 交。于 B,则在点P与。0上各点连接的线段中，P B 最长，P A 最短.(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上.如图所示，P为。内一点，直径过点P,交。0于 A、B两点，则 P B 最长、P A 最短.2.与三角形内心有关的角如图所示，I 是 的 内 心，则N B I C=9()+!N A.(2)如图所
9、示，E是A A B C 的两外角平分线的交点，Z B ：C=9 0-Z A.(3)如图所示，E是A A B C 内角与外角的平分线的交点，ZE=-Z A.2(4)如图所示，。是A A B C 的内切圆，I)、E、F分别为切点，则N D 0E=18 0-Z A.(5)如图所示，。是a A B C 的内切圆，D、E、F为切点，ZDFE=90-Z A.(6)如图所示，。是a A B C 的内切圆，I)、E、F为切点，P 为D E 上一点,则NOPE=90+,NA.【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用C 1.已知：如图所示，。0 中，半径0 A=4,弦 B C 经过半径0A的中点P,Z 0P
10、C=6 0,求弦B C 的长.【思路点拨】要用好6 0角，构造直角三角形.在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形.【答案与解析】解:过 0 作 O M J _B C 于 M,连接0C.在 R t Z O P M 中，Z 0P C=6 0,0P Q A =2,2；.P M=1,OM=G在 R t AO M C 中，B C=2 M C=2-j0C2-0 M2=2 7 13 .【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题.如图所示，在。0 中，弦 AB 与 C D 相交
11、于点M,A D =B C,连接AC.(1)求证：M AC 是等腰三角形；(2)若 AC 为0 0 直径，求证：AC2=2 AM AB.【思路点拨】(1)证明Z M C A=Z M AC；(2)证明AO MSAB C.【答案与解析】证明：A D =C B,二/M C A=/M AC./.M AC 是等腰三角形.连接 O M.：AC 为。0 直径，./AB C=9 0.：M AC 是等腰三角形，O A=O C,A M O AC.；./A0M=/AB C=9 0 .Z M AO =Z C A B,，A A O M AAB C,A()AJ)：.=，A AO -AC=AM AB,A M A CA AC2
12、=2 AM AB.【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中.举一反三：【变式】如图所示，在。0 中，AB=2 C D,则()A.A B 2 C D B.A B AE=C D.,.AF C D.A 2 A F 2 C D ,即 A B 2 C O.答案A.【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系11):4 12 07 4 经典例题2】3.已知：如图所示，/X AB C 内接于。0,B D J _半径A0于 D.（1）求证：Z C=Z A B D；4 若 B D=4.8,s i
13、 n C=-,求。的半径.5【思路点拨】过 0 作 O E L AB 于 E,连接B 0,再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：（1）过 0 作 O E L AB 于 E,连接B 0（如图所示），则NC=NBOA=NAOE.又,:B D AO,A Z AB D+Z B AD=9 0.V Z A0E+Z B AD=9 0 ,N AB D=N AO E=N C.An（2）在 R t Z X AB D 中，sinZABD=,AB设 A D=4 k,则 AB=5 k,B D=3 k=4.8,k=1.6./.AB=8,AE=4.Ap 4 4V sin ZAOE=,:.A0A=5.O
14、A 5 OA解法二：（1）延长AO 交。于 C .（如图所示）A总JcZC1=N C.AC 为。的直径，/.Z AB C/=9 0.Z CZ+Z B AD=9 0.V Z B AD+Z AB D=9 0,.*.Z AB D=Z C,=Z C.(2)在 R t Z s B D C 中，s i n C =s i nC =B DB C4 83 c =6.().8在 RSA BC 中，V s i n C =A B 4AC7-5.,.设 A B=4 k,则 AC =5 k,B C =3 k=6.；.k=2.OA=-A C =-xlO =5.2 2【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周
15、角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心.类型二、圆的切线判定与性质的应用C c (2 014 秋兴化市月考)如图，AB 是。0 的直径，点 C是。上一点，AD 与过点C的切线垂直，垂足为点D,直线D C 与 AB 的延长线相交于点P,弦 C E 平分/A C B,交 AB 于点F,连接B E.(1)求证：AC 平分N D AB；(2)求证：4 P C F 是等腰三角形；(3)若 AC=8,B C=6,求线段B E 的长.【思路点拨】(1)根据切线的性质可得结论；(2)连接0 E,根据圆周角定理得/AC B=9 0,进而可推导得出4 P C F 是等腰三角形;
16、(3)先在R t Z i AC B 中，根据勾股定理计算出AB=10,最终算得B E 的值.【答案与解析】(1)证明：P D 为。0 的切线，.0C D P,V AD 1D P,，O C AD,ZDAC=ZOCA,VOA=OC,.ZOAC=ZOCA,:.ZOAC=ZDAC,AC平分NDAB；(2)证明：TAB为。的直径，A ZACB=90,YCE 平分NACB,A ZBCE=45,AZB0E=2ZBCE=90,A Z0FE+Z0EF=90,而 NOFE=NCFP,NCFP+N0EF=90,VOCPD,A Z0CP=90,即 N0CF+NPCF=90,而 NOCF=NOEF,NPCF=NCFP,
17、A A P C F是等腰三角形；(3)解：在 RtZACB 中，VAC=8,BC=6,AB=VAC2+BC 2=101AOB=5,V ZB0E=90,BOE为等腰直角三角形，,BE=我0B=5我.【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.举一反三：【变式】（2015毕节市）如图，以I2ABC的B C边上一点O为圆心的圆，经过A,B两点，且与B C边交于点E,D为B E的下半圆弧的中点，连接A D交B C于F,AC=FC.（1）求证：A C是回0的切线；（2）已知圆的半径R=5
18、,E F=3,求D F的长.A【答案】(1)证明：连结OA、0 D,如图,团 D 为 B E 的下半圆弧的中点，0OD0BE,团 HD+团 DFO=90,团 AC=FC,团 团 CAF二 团 CFA,团 团 CFA二 团 DFO,团 团 CAF=I3DFO,而 OA=OD,盟 OAD 二 回 ODF,团 团 OAD+团 CAF=90,BP0OAC=9O,OA0AC,团 AC是 团 0 的切线；(2)解：团圆的半径R=5,EF=3,团 OF=2,在 Rt0ODF 中，0OD=5,OF=2,类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用F.如图所示，。是 R t ZABC 的外接圆，A B 为直
19、径，ZABC=3 0 ,C D 是。的切线，E D L A B 于(1)判断A D C E 的形状;(2)设。0的半径为1,且。产=-,求证4 D C E会/XO C B.2【思路点拨】(1)由于 AB 是直径，那么 NAC B=9 0 ,而/ABC=3 0 ,易求NBAC=6 0 ,结合 O A=O C,易证a AO C是正三角形，于是/0 C D=6 0 ,结合C D 是切线，易求/D C E=3 O ,在 R t a AEF中，易求NE=3 0 ,于是Z D C E=Z E,可证4 C D E 为等腰三角形；(2)在 R t ABC 中，由于NA=6 0 ,AB=2,易求 AC=AO=1
20、,利用勾股定理可求 B C=6,C E=AE-AC=百，那么 BC=C E,而/0 BC=N0 C B=/D C E=ND EC=3 0 ,从而可证(：段z D C E.【答案与解析】解：(1)V ZABC=3 0 ,A ZBAC=6 0 .又O A=O C,.AO C 是正三角形.Y C D 是切线，.,.Z0 C D=9 0o.ZD C E=180o-6 0 =9 0 -3 0 .ZD C E=ZD EC 而 ED AB 于 F,，NC ED=9 0 -ZBAC=3 0 .故4 C D E 为等腰三角形.(2)证明：在ABC 中，V AB=2,AC=AO=1,/.BC=A/3.=2 z l
21、,.A b =AO+OF=3 EX V ZAEF-3 00,.AE=2 AF=g +l.,.C E=AEAC=6=BC.而/0 C B=NAC B-NAC 0=3 0 =NABC,故C D Eg/C 0 B.【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明AO C 是正三角形.举一反三:【变式】如图所示，P Q=3,以 P Q 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABC D 的顶点A、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与C D 切于点Q,则 AB=【答案】解：连接P Q 并延长交AB 于 E,设大圆的圆心
22、为0,连接0 A.设 A B=2 x,则 AE=x,0 B=2 x-2.在 R t Z0 AE 中,0 A=5,V 0 A2=0 E2+AE2,BP 52=(2X-2)2+X2,；.x =3.；.AB=6.CG.如图所示，。的直径A B=4,点 P是 AB延长线上的一点，P C 切。0于点C,连接AC.P M平分ZAP C 交 AC 于 M.(1)若/C P A=3 0 ,求 C P 的长及/C M P 的度数；(2)若 点 P在 A B 的延长线上运动，你认为N C M P 的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出/C M P 的度数；(3)若 点 P在直径B A 的延长线上，
23、P C 切。0于点C,那么N C M P 的大小是否变化？请直接写出你的结论.【思路点拨】(1)作辅助线，连接0 C,根据切线的性质知：0 C P C,由/C P 0 的值和0 C 的长，可将P C 的长求出；(2)通过角之间的转化，可知：ZC MP=1(ZC 0 P+ZC P 0),故N C M P 的值不发生变化.2【答案与解析】解：连 接 0 C,则N0 C P=9 0 .:0 A=0 C,/C 0 P=2 NC AP=6 0 .C P=0 C t a n 6 0 =-AB t a n 6 0 0 =2 百，2C P=2 6.P M 平分/C P A,Z M P A=g Z C P A=
24、；(90-Z C O P)=1 (90。-6()=15 .AZCMP=30+15=45.设 N CPA=a,V PM 平分NCPA,ZMPA=-!-ZCPA=l a .2 2ZOCP=90,ZC0P=90-a.ZCMP=ZCAP+ZMPA=-(9 0 -)+-z=45.2 2(3)/CMP的大小没有变化V ZCMP=ZA+ZMPA=1 ZCOP+-ZCPO=-(ZCOP+ZCPO)=-X90=45.2 2 2 2【总结升华】解第(2)小题时，引 用“设/CPA=a”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度.本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用.举一反三：【变式】如图所示，A
25、B是。0 的直径，C 是 A E 的中点，CDJ_AB于 D,CD与 AE相交于F.(1)求证：AC2=AF,AE；(2)求 证:AF=CF.【答案】证明：(1)如图所示，连接C E,延长CD交。于 G,连接AG.AB 是。0 直 径,CD1AB,AC=AG.*.Z 2=Z 3.又=AAAFCAACE.AC AEAF AC：.AC2=AF AE.（2）由（1）得 AC=AG.又 （：是 AE的中点，AC=AG=CE.Z.Z2=Z1.AF=C F.中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2 0 15 湖州模拟）在A A B C 中，cos B
26、=乎，NC=4 5 ,AB=8,以点B 为圆心4为半径的OB 与以点 C为圆心的。C相离，则。C的半径不可能为（）A.5 B.6 C.7 D.152.如图，AB为。0的直径，C D为弦，AB1C I）,如果/B0 C=7 0。，那么/A 的 度 数 为（）A.7 0。B.3 5。C.3 0。D.2 0 3 .已知AB是。0的直径，点 P是 AB延长线上的一个动点，过 P 作。0的切线，切点为C,/A P C 的平分线交AC 于点D,则N C D P 等 于（）A.3 0 B.6 0 C.4 5 D.5 0 4.如图，。的半径为5,弦 AB的长为8,M 是弦A B 上的动点，则线段0 M长的最小
27、值为（）A.5 B.4 C.3 D.25 .如图所示，四边形ABC D 中，D C A B,B C=1,A B=A C=A D=2.则 B D 的 长 为（）A.y/14 B.y/15 C.3 0 D.2 G6 .如图，。为原点，点 1 的坐标为（3,0）,点 8的坐标为（0,4）,。过4 B、。三点，点 C 为A 8 0上 一 点（不 与。、1 两点重合），则 c o s t的 值 为（）二、填空题7 .已知。的半径为1,圆心0到直线/的距离为2,过/上任一点/作。0的切线，切点为B,则线段A B长度的最小值为.8 .如图，A D,A C 分别是。0的直径和弦.且N C A D=3 0 .0
28、 B A D,交 A C 于点B.若 0 B=5,则 B C 的长等于.9 .如图所示，已知。0中，直径M N=1 0,正方形A B C D 的四个顶点分别在半径O M、0 P 以及。0上，并且Z P 0 M=4 5 ,则 A B 的长为_.I)cc m 的正方形A88中，OQ 与0。2 相外切，且 OQ 分别与边相切，0。2 分 别 与 边 相 切，则圆心距0 0 2=c m.11.如图所示，EB,E C 是oo 的两条切线，氏C是切点，AD是 O上两点，如果N E=4 6 ,Z D C F=3 2 那么NA的度数是.12 .(2 0 15 广元)如图，在00中，A B 是直径，点 D 是。
29、0上一点，点 C是菽的中点，C E LA B 于点E,过点D的切线交E C 的延长线于点G,连接A D,分别交C E、C B 于点P、Q,连接A C,关于下列结论：/B A D=N A B C；G P=G D；点P是N A C Q 的外心，其 中 正 确 结 论 是 (只需填写序号).三、解答题DR DC 213 .如图所示,A C 为。0的直径且P A A C,B C 是。0的一条弦，直线P B 交直线A C 于点D,DP DO 3(1)求证：直线P B 是。的切线;(2)求 c o s N B C A 的值.14 .如图所示，点 A、B 在直线MN 上，A B=11厘米，OA、0B的半径均
30、为1厘 米.OA以每秒2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，0B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=l+t（teO）.（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式;（2）问点A出发后多少秒两圆相切？15 .（2 0 14 秋津南区期末）已知。0的直径A B=10,弦 B C=6,点 D 在。0上（与点C 在 A B 两侧），过D作G0的切线P D.（1）如图，P D 与 A B 的延长线交于点P,连接P C,若 P C 与。0相切，求弦A D 的长；（2）如图，若 P D A B,求证：C D 平分N A C B；求弦A D 的长.16
31、.如 图 1 至图4中，两平行线A B、C D 间的距离均为6,点 M 为 A B 上一定点.思考如图1,圆心为。的半圆形纸片在A B,C D 之 间（包括A B,C D）,其直径MN 在 A B 上，MN=8,点 P为半圆上一点，设N MO P=a.当 a=度时，点 P到 C D 的距离最小，最小值为.探究一在 图 1 的基础上，以点M 为旋转中心，在 A B,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2,得到最大旋转角/B MO=度，此时点N到 C D 的距离是.探究二将如图1 中的扇形纸片N O P 按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片MO P 绕点M 在 A B,C D 之间
32、顺时针旋转.（1）如 图 3,当 a =6 0。时，求在旋转过程中，点 P到 C D 的最小距离，并请指出旋转角/B M O 的最大值;（2）如图4,在扇形纸片MO P 旋转过程中，要保证点P能落在直线C D 上，请 确 定 a的取值范围.,3 3 3（参考数据：s i n4 9 =,c o s 4 1=,ta n3 7 =一.）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】过 A作 A D 0 B C 于 D.在 R tl SA B D 中，易知E I B=3 O。，则 A D=4,B D=4 ；在 R tE A C D 中，回 C=4 5,则 C D=A D=4；E）B C=B D+C
33、D=4 6+4 川 0.9；当回B与 C 外离时，（设 国 C的半径为r）则有：r+4 V B e=1 0.9,B P 0 r B C=1 0.9,即 r 1 4.9；综合四个选项，只有C选项不在r 的取值范围内，故选C.【解析】如图，连接0 D,A C.由N B 0 C =7 0 ,根据弦径定理，得N D O C =1 4 0 ；根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得N D A C =7 0 .从而再根据弦径定理，得NA的度数为3 5 .故选B.3 .【答案】C；【解析】连接O C,V 0 C=0 A,P D 平分N A P C,；./C P D=N D P A,Z C A P=Z A C
34、 0.：P C 为0 0 的切线，；.O C _ L P C.V Z C P D+Z D P A+Z C A P +Z A C 0=9 0 ,A Z D P A+Z C A P =4 5 ，即 N C D P=4 5 .故选 C.4 .【答案】C；【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段0 M 长的最小值为点0到弦A B 的垂直线段.如图，过点0作 0 M L A B 于 M,连接0 A.根据弦径定理，得 A M=B M=4,在 R t A A O M中，由 A M=4,0 A=5,根据勾股定理得0 M=3,即线段0 M 长的最小值为3.故选C.5 .【答案】B；【解析
35、】以A为圆心，A B 长为半径作圆，延长B A 交。A于 F,连接D F.根据直径所对圆周角是直角的性质，得N FD B=9 0 ；根据圆的轴对称性和D C A B,得四边形FB C D 是等腰梯形.，D F=C B=1,B F=2+2=4.B D=/BF2-D F2=J 4:一/=屈.故选 B.6 .【答案】D；【解析】如图，连接力6,由圆周角定理，得在 应 A 4 8 0 中，6 1 4=3,仍=4,由勾股定理，得 4 9=5,cos C=cos 乙ABO-AB 5二、填空题7 .【答案】V 3 .【解析】如图所示，O A I,是切线，连接数,V 0A1.1,A 0 A=2,又：血是切线，
36、：.0BVAB,在以/仍 中，AB-y/OA1-O B2=V 22-I2=V 38 .【答案】5；【解析】I在Rt Z W O 中,AO=OBtanZCADC tan 305 A B =OBsinZCAD sin3055=1 0 ,.-.A D=2 A 0=1 0 V 3 .连接 C D,则 N A C D=9 0 .在 R t A A D C 中，A C =A D co s Z C A D =1 Oxf3 co s 3 0 =1 5 ,/.B C=A C-A B=1 5-1 0=5.9 .【答案】V5；【解析】设正方形A B C D 边长为x,；N P 0 M=4 5 ,0 C=C D=x,
37、0 B=2 x,连接 0 A,在 R t Z O A B 中，x2+(2 x)2=521 0 .【答案】6-3 7 2 .【解析】本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线和圆相切.求0 0 2 的长就要以。2为一边构造直角三角形.过。作C 的平行线，过0?作 8C的平行线，两 线 相 交 于 是O Q 和 0。2的 半 径 之 和，设 为 4 ,则0 M =0?M =3-d,在R t 2 M。2中(3-4)2+(3-)2=筋,解得4 =6 3&.由题意知6+3 百不合题意，舍去.故填6-3a.1 1 .【答案】9 9 ；(解析 由 =E C,N E=4 6。知 N E C B=6 7
38、,从而/B C D=1 8 0 -6 7 -3 2 =8 1 ,在中，N B C Z)与 NA互补，所以44=1 8 0。一8 1。=9 9。.故填 9 9 .1 2 .【答案】；【解析】回 在 回 0中，AB是直径，点 D是 回 0上一点，点 C是弧AD的中点，0 A C=C D*B D 00BAD*0ABC,故错误；连接0D,贝 lj OD0GD,ElOAD=iaODA,00ODA+0GDP=9O,0EPA+0FAP=I2FAP+0GPD=9O，00GPD=0GDP；13Gp=GD,故 正确；El弦 CEHAB于点F,IS A 为母的中点，B P A E=A C 又 回 C 为标的中点，0
39、AC=CD畴=而，ffl0CAP=0ACP,0AP=CP.团 AB为圆O 的直径，00ACQ=9O,00PCQ=0PQC,回 PC=PQ,0AP=PQ,即 P 为 RtEIACQ斜边A Q 的中点，OP为 Rti3ACQ的外心，故 正确；故答案为：.三、解答题1 3.【答案与解析】(1)证明：连接O B、0 PDB DC 2 l=一且N D=/D,A B D C A P D O.DP DO 3A Z D B C=Z D P 0./.B C Z/O P.A Z B C 0=Z P 0 A ,Z C B O=Z B O P.V 0 B=0 C,/.Z 0 C B=Z C B 0.A Z B 0 P
40、=Z P 0 A.又：O B=O A,O P=O P,A A B O P A A O P (S A S).A Z P B O=Z P A O.X V P A 1 A C,A Z P B 0=9 0 ./.直线P B 是。0的 切 线.(2)由(1)知N B C 0=N P 0 A.设 P B=a,则 B D=2 a,又P A=P B =a,：.A D=2 缶.D C|又:B C O P ,:.=2.DC=CA=x 2 2 a y2 a.A.:OP=aCO 2 2 2co s Z B C A=co s Z P O A=.31 4 .【答案与解析】(1)当0 t 5.5 时，函数表达式为d=2 t
41、 T l.(2)两圆相切可分为如下四种情况：当两圆第一次外切，由题意，可 得 ll-2 t =l+l+t,t=3；当两圆第一次内切，由题意，可得=t=；3当两圆第二次内切，由题意，可得2 t-ll=l+t T,t =ll；当两圆第二次外切，由题意，可得2 t-ll=l+t+l,t =1 3.所以，点 A出发后3 秒、U秒、1 1 秒、1 3 秒两圆相切.31 5 .【答案与解析】(1)解：A B 是。0的直径,A Z A C B=9 0 ,A C=VAB2-B C2=V 102-62=8V P D,P C 是。0的切线，P D=P C,/A P C=/A P D,在A A P C 和A A P
42、 D 中，PD=PCPA=PAA A A P C A A P D (S A S),A A D=A C=8.(2)证明：连接O D、B D,P D 是。0的切线，A 0 D 1 P D,P D A B,A O D 1 A B,*-A E=B D，A D=B D,Z A C D=Z B C D,.*.C D 平分N A C B.T A B 是。的直径，/.Z A D B=9 0 ,在 R T Z A D B 中，A D2+B D2=A B2,.,.2 A D=1 02,；.A D=5 我.1 6.【答案与解析】解：思考：9 0,2.探究一：3 0,2.探究二：(1)当 P M J_ A B 时，点
43、 P到 A B 的最大距离是M P=0 M=4,从而点P到 C D 的最小距离为6 -4=2.当扇形M 0 P 在 A B,C D 之间旋转到不能再转时，弧 M P 与 A B 相切，此时旋转角最大，/B M O 的最大值为9 0 .(2)如图4,由探究一可知，点 P是弧M P 与 C D 的切线时，a大到最大，即 0 P L C D,此时延长P 0 交 A B 于点H,a 最大值为N 0 M H+N 0 HM=3 0 +9 0 =1 2 0 ,如图5,当点P 在 C D 上且与A B 距离最小时，M P 1 C D,a达到最小,连接M P,作 HO _ L M P 于点H,由垂径定理，得出M H=3.在 R t Z S M O H 中，M 0=4,.,.s i n Z M 0 H=-=-.ZM0H=49.OM 4:a=2 Z MOI I,a 最小为 98 .的取值范围为：98 WaW120 .a的取值范围是98 W a W 120.