《2024年中考数学总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解（基础）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年中考数学总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解（基础）.doc（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活【知识网络】 【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角要
2、点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧2圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性3圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小4垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立因此，垂径定理也称“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(
3、3)作条件时，应限制AB不能为直径 5圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等6圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中考点二、与圆有关的位置关系1点和圆的位置关系 设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外dr；点P在
4、圆上dr； 点P在圆内dr要点诠释：圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示过两点A、B的圆有无数个，如图所示经过在同一直线上的三点不能作圆不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示2直线和圆的位置关系（1）切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径（3）切线长和切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：直线是O的切线，必须符合
5、两个条件：直线经过O上的一点A；OA3圆和圆的位置关系 (1)基本概念 两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义(2)请看下表：要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “R-r”时，要特别注意，Rr【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1已知：如图所示，在O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD(1)若AB，OC1，求CD的长； (2)若半径ODR，AOB120，求CD的长. 【思路点拨】 如图
6、所示，一般的，若AOB2n，ODAB于C，OAR，OCh，则AB2Rsin n2ntan n；CDRh；的长【答案与解析】解：半径OD经过弦AB的中点C，半径ODAB(1)AB，ACBCOC1，由勾股定理得OA2CDODOCOAOC1，即CD1.(2)ODAB，OAOB，AODBODAOB120，AOC60OCOAcosAOCOAcos60，【总结升华】 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B
7、点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】 解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外， 设MA交圆于C，则MANMCN 而MCNMBN，MANMBN 因此在B点射门较好 即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门2（2015大庆模拟）已知AB是O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点（1）如图1，求证：OPBC；（2）如图2，PC交AB于D，当ODC是等腰三角形时，求A的度数【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PHAC，再根据圆周角定理，由AB是O的直径得ACB=90，然后根据OPBC；（
8、2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得A的度数. 【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，P是弧AB的中点，PHAC，AB是O的直径，ACB=90，BCAC，OPBC；（2）解：如图2，P是弧AC的中点，PA=PC，PAC=PCA，OA=OC，OAC=OCA，PAO=PCO，当DO=DC，设DCO=x，则DOC=x，PAO=x，OPC=OCP=x，PDO=2x，OPA=PAO=x，POD=2x，在POD中，x+2x+2x=180，解得x=36，即PAO=36，当CO=CD，设DCO=x，则OPC=x，PAO=x，POD=2x，ODC=POD
9、+OPC=3x，CD=CO，DOC=ODC=3x，在POC中，x+x+5x=180，解得x=（），即PAO=（）综上所述，A的度数为36或（）【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理举一反三：【变式】（2015温州模拟）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE（1）求BE的长；（2）求ACD外接圆的半径【答案】解：（1）ACB=90，且ACB为圆O的圆周角（已知），AD为圆O的直径（90的圆周角所对的弦为圆的直径），AED=90（直径所对的圆周角为直角
10、），又AD是ABC的角平分线（已知），CAD=EAD（角平分线定义），CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），AC=AE（全等三角形的对应边相等）；ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，根据勾股定理得：AB=13，BE=13AC=135=8；（2）由（1）得到AED=90，则有BED=90，设CD=DE=x，则DB=BCCD=12x，EB=ABAE=ABAC=135=8，在RtBED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12x）2=x2+82，解得：x=，CD=，又AC=5，ACD为直角三角形，根据勾股定
11、理得：AD=，根据AD是ACD外接圆直径，ACD外接圆的半径为：=类型二、圆的切线判定与性质的应用3如图所示，ABAC，O是BC的中点，O与AB相切于点D，求证：AC与O相切【思路点拨】AC与O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于O的半径，则垂足E必在O上，从而AC与O相切【答案与解析】证明：连接OD，作OEAC，垂足为E，连结OAAB与O相切于点D，ODABABAC，OBOC，12，OEODOD为O半径，AC与O相切 【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径举一反三：【变式
12、】如图所示，在RtABC中，C90，BCa，ACb，ABc求ABC的内切圆的半径【答案】 解：设ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得： AEAF，BFBD，CDCE， 而AE+CEb，CD+BDa，AF+BFc， 可求 连接OE、OD，易证OECE即直角三角形的内切圆半径 4如图所示，已知：ABC内接于O，点D在OC的延长线上，D30(1)求证：AD是O的切线；(2)若AC6，求AD的长 【思路点拨】 （1）连接OA，根据圆周角定理求出O的度数，根据三角形的内角和定理求出OAD，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC，求出OA，根据勾股定理求出AD的长即可
13、【答案与解析】(1)证明：连接OA，B30AOC2B，AOC60D30，OAD180DAOD90AD是O的切线 (2)解：OAOC，AOC60，AOC是等边三角形，OAAC6OAD90，D30，ADAO【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：有半径，证垂直；有垂直，证半径举一反三：【变式】如图所示，半径OAOB，P是OB延长线上一点，PA交O于D，过D作O的切线交PO于C点，求证：PCCD【答案】证明：连接ODCE切O于D，ODCE2+390OAOB，P+A90ODOA，3AP2又12，P1PCCD 类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5已知AB是O的直径，点P是AB延长线上的一个动
14、点，过P作O的切线，切点为C，APC的平分线交AC于点D，求CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，可推出DPA+A=45，即CDP=45【答案与解析】解：连接OC，OC=OA，PD平分APC，CPD=DPA，A=ACO，PC为O的切线，OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，DPA+A=45，即CDP=45ABCDPOE【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证CPD+DPA+A+ACO=90，即可求出CDP=45【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有
15、关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6如图所示，AB是O的直径，AF是O的弦，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF于点D，交AB的延长线于点C (1)求证：CD是O的切线；(2)若DE4，sinC，求AE的长 【思路点拨】 构造半径、半弦、弦心距的直角三角形【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BFAF，BFCDOAOE，OAEOEAOAEFAE，OEAFAEOEAF，AFDE，OECDCD为O的切线 (2)解： BFDE，OEAF，D90，四边形DEGF为矩形BF2GF2DE8BFCD，CABF可求得OAOB5，OG3DFEG2，AFABsinC6A
16、D8，AE【总结升华】 (1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC，DE4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决； (2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF2，sinC，求AE的长； (3)第(2)问还可以过O作OMAF于M后得OMDE4，sinAOMsinC加以解决.中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系知识讲解（提高）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据
17、当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活【知识网络】 【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧2圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性3圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小4垂直于弦的直径 垂径
18、定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立因此，垂径定理也称“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径 5圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等6圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
19、弧所对的圆心角的一半 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）考点二、与圆有关的位置关系1点和圆的位置关系 设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外dr；点P在圆上dr； 点P在圆内dr要点诠释：圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示过两点A、B的圆有无数个，如图所示经过在同一直线上的三点不能作
20、圆不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示2直线和圆的位置关系（1）切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径（3）切线长和切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：直线l是O的切线，必须符合两个条件：直线l经过O上的一点A；OAl（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切
21、圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(
22、2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.3圆和圆的位置关系 (1)基本概念 两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义(2)请看下表：要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内含其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “R-r”时，要特别注意，Rr考点三、与圆有关的规律探究1和圆有关的最长线段和最短线段 了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述 (1)圆中最长的弦是直径如图，AB是O的直径，CD为非直径的弦，则ABCD，即直径AB是最长的弦过圆
23、内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图，P是O内任意一点，过点P作O的直径AB，过P作弦CDAB于P，则CD是过点P的最短的弦 (2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上如图所示，P在O外，连接PO交O于A，延长PO交O于B，则在点P与O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短 (3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上如图所示，P为O内一点，直径过点P，交O于A、B两点，则PB最长、PA最短2与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是ABC的内心，则BIC(2)如图所示，E是ABC的两外角平分线的交点，(3)如图所示，E是
24、ABC内角与外角的平分线的交点，(4)如图所示，O是ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则DOE180A(5)如图所示，O是ABC的内切圆，D、E、F为切点，(6)如图所示，O是ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为上一点，则【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1已知：如图所示，O中，半径OA4，弦BC经过半径OA的中点P，OPC60，求弦BC的长 【思路点拨】要用好60角，构造直角三角形在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形【答案与解析】解：过O作OMBC于M，连接OC在RtOPM中，OPC60，OP，PM1，OM在RtOMC中，BC2MC 【总结升华】
25、圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题2如图所示，在O中，弦AB与CD相交于点M，连接AC (1)求证：MAC是等腰三角形；(2)若AC为O直径，求证：AC22AMAB 【思路点拨】 (1)证明MCAMAC；(2)证明AOMABC【答案与解析】证明：(1) ，MCAMACMAC是等腰三角形(2)连接OMAC为O直径，ABC90 MAC是等腰三角形，OAOC，MOACAOMABC90MAOCAB，AOMABC，AOACAMAB，AC22AMAB【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判
26、定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中举一反三：【变式】如图所示，在O中，AB2CD，则( ) A BC D与的大小关系无法确定 【答案】 解：要比较与的大小有两种思路 (1)把的一半作出来，比较与的大小； (2)把作出来，比较与的大小 如图所示，作OEAB，垂足为E，交于F则，且AB2CDAECD在RtAFE中，AFAECD AFCD，即答案A. 【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题2】3已知：如图所示，ABC内接于O，BD半径AO于D(1)求证：CABD；(2)若BD4.8，sinC，求O
27、的半径 【思路点拨】过O作OEAB于E，连接BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】 解法一：(1)过O作OEAB于E，连接BO(如图所示)，则又 BDAO，ABD+BAD90AOE+BAD90，ABDAOEC（2）在RtABD中，设AD4k，则AB5k，BD3k4.8，k1.6AB8，AE4，OA5解法二：（1）延长AO交O于C（如图所示）CCAC为O的直径，ABC90C+BAD90BAD+ABD90，ABDCC（2）在RtBDC中，在RtABC中，设AB4k，则AC5k，BC3k6k2【总结升华】 解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半
28、的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心类型二、圆的切线判定与性质的应用4（2014秋兴化市月考）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE（1）求证：AC平分DAB；（2）求证：PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE，根据圆周角定理得ACB=90，进而可推导得出PCF是等腰三角形；（3）先在RtACB中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE的值【答案与解析】（1）证明：PD为O的切线，OCDP，A
29、DDP，OCAD，DAC=OCA，OA=OC，OAC=OCA，OAC=DAC，AC平分DAB；（2）证明：AB为O的直径，ACB=90，CE平分ACB，BCE=45，BOE=2BCE=90，OFE+OEF=90，而OFE=CFP，CFP+OEF=90，OCPD，OCP=90，即OCF+PCF=90，而OCF=OEF，PCF=CFP，PCF是等腰三角形；（3）解：在RtACB中，AC=8，BC=6，AB=10，OB=5，BOE=90，BOE为等腰直角三角形，BE=OB=5【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利
30、用垂直构造直角三角形解决有关问题举一反三：【变式】（2015毕节市）如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC（1）求证：AC是O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，D为BE的下半圆弧的中点，ODBE，D+DFO=90，AC=FC，CAF=CFA，CFA=DFO，CAF=DFO，而OA=OD，OAD=ODF，OAD+CAF=90，即OAC=90，OAAC，AC是O的切线；（2）解：圆的半径R=5，EF=3，OF=2，在RtODF中，OD=5，O
31、F=2，DF=类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5如图所示，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC30，CD是O的切线，EDAB于F (1)判断DCE的形状；(2)设O的半径为1，且，求证DCEOCB【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么ACB=90，而ABC=30，易求BAC=60，结合OA=OC，易证AOC是正三角形，于是OCD=60，结合CD是切线，易求DCE=30，在RtAEF中，易求E=30，于是DCE=E，可证CDE为等腰三角形； （2）在RtABC中，由于A=60，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而OBC
32、=OCB=DCE=DEC=30，从而可证OBCDCE【答案与解析】解：(1)ABC30，BAC60又OAOC，AOC是正三角形 CD是切线，OCD90 DCE180-609030DCEDEC而EDAB于F，CED90BAC30故CDE为等腰三角形(2)证明：在ABC中，AB2，ACAO1，BC， 又AEF30，AE2AF CEAEACBC 而OCBACBACO30ABC， 故CDECOB【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质解题的关键是证明AOC是正三角形举一反三：【变式】如图所示，PQ3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的
33、圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB_【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA设AB2x，则AEx，OB2x-2在RtOAE中，OA5， OA2OE2+AE2，即52(2x-2)2+x2，x3AB6答案：6 6如图所示，O的直径AB4，点P是AB延长线上的一点，PC切O于点C，连接ACPM平分APC交AC于M (1)若CPA30，求CP的长及CMP的度数； (2)若点P在AB的延长线上运动，你认为CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出CMP的度数； (3)若点P在直径BA的延长线上，PC切O于
34、点C，那么CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OCPC，由CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：CMP=（COP+CPO），故CMP的值不发生变化【答案与解析】解:(1)连接OC，则OCP90 OAOC， COP2CAP60 CPOCtan60ABtan60， CP PM平分CPA， CMP30+15=45.(2)设CPA， PM平分CPA， MPACPA OCP90， COP90- 又 OAOC， CAP CMPCAP+MPA（3）CMP的大小没有变化CMP=A+MPA=COP+CPO=（COP+CP
35、O）=90=45【总结升华】 解第(2)小题时，引用“设CPA”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用举一反三：【变式】如图所示，AB是O的直径，C是的中点，CDAB于D，CD与AE相交于F (1)求证：AC2AFAE；(2)求证：AFCF【答案】 证明：(1)如图所示，连接CE，延长CD交O于G，连接AGAB是O直径，CDAB，23又11，AFCACE AC2AFAE (2)由(1)得又C是的中点，21AFCF 中考总复习：圆综合复习巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1如图，在O中，OAAB，OCAB，则下列结论错误的是( )A弦
36、AB的长等于圆内接正六边形的边长 B弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C DBAC302如图，O的直径AB长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交O于D，则CD长为( ) A7 B C D9 第1题 第2题 第3题3如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB6cm，OD4cm，则DC的长为( )A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm4已知：O的半径为13cm，弦ABCD，AB24cm，CD10cm，则AB，CD之间的距离为( )A17cm B7cm C12cm D17cm或7cm5（2015西藏）已知O1与O2相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm，则圆心距O1O2可能是（）
37、A1cmB3cmC5cmD7cm6一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A1 B C D二、填空题7在O中直径为4，弦AB，点C是圆上不同于A，B的点，那么ACB度数为_8如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB50，点D是上一点，则D_ 第8题 第9题9如图，在ABC中，AB为O的直径，B60，C70，则BOD的度数是_度10若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为_11（2015盐城校级模拟）如图，将一个圆心角为120，半径为6cm的扇形围成一圆锥侧面（OA、OB重合），则围成的圆锥底面半径是 cm12如图，在44的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于_(结果保留根号及) 三、解答题13（2014秋北京期末）如图，AB为O的直径，直线l与O相切于点C，过点A作ADl于点D，交O于点E（1）求证：CAD=BAC；（2）若sinBAC=，BC=6，求DE的长14. 如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1C(1)求证：CBPD；(2)若BC3，求O的直径 15如图，已知O1与O2都过点A，AO1是O2的切线，O1交O1O2于点B，连接AB并延长交O2于点C，连接O2C(1)求证：O2CO1O2；(2)证明：ABB