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1、中考冲刺：代数综合问题一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，已知函数y =。0）和 y =k x（k W O）的图象交于点P,则根据图象可得，关于7y =ax的二元一次方程组的解是（）y=kx.X =&(x 0)和%=C.,y=-2D.x=4,y=-2x轴正半轴上的任意一点，过点A作 EFy 轴，分别交反比例函数pA 5%i.已知N a =27 ,则Na 的补角是1 5 3 .已知x=2 是方程x J 6 x+c=0 的一个实数根，贝 h 的值为&一 2在反比例函数=中，若x0时，y随x的增大而增大，贝依的取值范围是k 2.其中正x确的命题有（）A.1个 B.2 个 C.3 个
2、 D.4个二、填空题4 .如图所示，是二次函数X =0+法+。（a W O）和 一 次 函 数%=的+（n W O）的图象，观察图象写5 .已知二次函数y =/-2（m+l）x +2（m一 1）.若此函数图象的顶点在直线y=-4 上，则此函数解析式为6 .（20 1 6 历下区二模）已知二次函数y=ax、b x+c 的图象如图所示，有下列5 个结论:ab c 0；b-4 ac a+c；a+2b+c 0,其中正确的结论有.三、解答题7 .（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程m x?-（m+1）x+l=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求 m的整数值；（3
3、）在（2）中开口向上的抛物线y=m x 2-（m+1）x+1 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,直线y=-x上有一个动点P.求使P A+P B 取得最小值时的点P的坐标，并求P A+P B 的最小值.8 .善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好.某一天小迪有20 分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1 所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2 所示（其中O A 是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.（D 求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x 之间
4、的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20 分钟的学习收益总量最大？图19 .已知一（-3,根）和 Q （1,m ）是抛物线y =2x?+b x +l上的两点.（1）求:的值;（2）判断关于x的一元二次方程2/+加+1=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有,请说明理由；（3）将抛物线丁 =2/+法+1的图象向上平移上（女是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求攵的最小值.10 .已知：关于x的 一 元 二 次 方 程+Q +4）X-4 机=0 ,其中0 加4.（1）求此方程的两个
5、实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线y =/+区+。与*轴交于A、B两 点（A在 B的左侧），若点D的坐标为（0,-2）,且AD BD=10,求抛物线的解析式;(3)已知点E(a,%)、F(2a,y 2)、G(3a,y3)都 在(2)中的抛物线上，是否存在含有口、y2、y3,且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系.2.【答案】B；【解析】点E在反比例函数y 0)的图象上，点F在反比例函数必=(y2 /丁万有意义，则x l,错误;由Na =2 7 得
6、Na 的补角是=18 0 -2 7=15 3 ,正确.k 2把 x=2 代入方程x?-6 x+c=0 得 4-6 X 2+c=0,解得c=8,正确；反比例函数y =-中,x若 x0时，y随 x的增大而增大，得：k-2 0,.,.k 2,错误.故选B.二、填空题4 .【答案】-2 W x W l；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系.5 .【答案】y=4x,y x2 4；.ac-b1.4x2(/?z-l)-4(m+l)2.,【解析】.顶点在直线y=-4 上，.-=-4 .-=-4,m=l.4a4,此函数解析式为：y=x2-4 x,y=x2-4.6 .【答案】；【解析】抛物线开口朝下
7、，；.a 0,2 a.抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，；.ab c 0,故正确；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，.b 2-4 ac 0,故错误；根据图象知道当x=-1 时，y=a-b+c 0,.a+c C b,故正确；:对称轴 x=-_k _=l,.b=-2 a,a+2 b+c=-3 a+c,2 aV a 0,.*.a+2 b+c=-3 a+c 0,故正确.故答案为：.三、解答题7 .【答案与解析】(1)证明：由题意得mx O,-(m+1)2-4 mx i=(m-1)2 0,A此方程总有两个实数根；(2)解：方程的两个实数根为x=l 岛川,2m1X l=l,X 2=一，m 方程的两个
8、实数根都是整数，且 m 为整数，m=l；(3)由(2)知，m=l.,抛物线丫=1？-(m+1)x+1的开口向上，m=l,则该抛物线的解析式为：y=x2-2 x+l=(x-1)2.易求得 A (1,0),B (0,1).如图，点 B关于直线丫二-x的对称点C的坐标为(-1,0),连接AC,与直线y=-x 的交点即为符合8 .【答案与解析】(1)设丫=1 ,当 x =l 时，y=2,解得 k=2,，y=2 x(0 W x W 2 0).(2)当 0 W x 4 时，设 y=a(x-4)、16.由题意，.a=T,；.y=-(x-4);!+16,即当 0 W x V 4 时，y=-x2+S x.当 4
9、 W x W 10 时，y =16.(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0 W x W 10)分钟，学习收益总量为y,则她用于解题的时间为(2 0-x)分钟.当 0 W x 0.所以，方程有两个不同的实数根，分别是 =7 +比2a 2-b 1.0-=-1-2a 2（3）由（1）可知，抛物线y =2d+4x+l 的图象向上平移k（A是正整数）个单位后的解析式为 y =2 x2+4 无+1 +后.若使抛物线y =2/+4 x+1 +A的图象与x轴无交点，只需2/+4 x+1 +女=0无实数解即可.由 _=/一 4。，=1 6 8（1 +幻=8 8 攵 1又k 是正整数，所以&的最小值为2.1 0.
10、【答案与解析】解：(1)将原方程整理,得/_(加+4 卜+4 利=0 ,=/?-4 a c =-(w +4)2-4(4%)=m2-8 w +1 6 =(w-4)2 0.。+4)(相 一4)x .2x =加或 x=4.(2)由(1)知，抛物线y =-7+Z?x +c 与x轴的交点分别为(m,0)、(4,0),：A在 B的左侧，0 m 4.A A (m,0),B (4,0).贝 I AD2=OA2+OD2=W2+22=/H2+4,BD2=OB2+OD2=42+22=2 0.V A D B D=1 0,A A D2 B D2=1 0 0.二 2 0(根 2+4)=io o.解得加=1.*/0 m y
11、3,且与a无关的等式，如：为二3（力一、2）-4 （答案不唯一）.证明：由题意 口 J 得 y 1+5cL 4 ,2 =-+1 0。4,y3 二-9/+1 5。-4.;左边二 丁 3 二-9。2+1 5。一 4.右边二一3(必 y2)4=-3(-n2+5 a-4)-(-4 a2+10a-4)-4 9a2+15a-4.左边=右边.为=-3(y-乃)一4 成立.中考冲刺：代数综合问题一巩固练习（提高）【巩 固 练 习】一、选择题1.如 图，已知在直角梯形A O B C中，A C O B,C B O B,0 B=1 8,B C=1 2,A C=9,对 角 线O C、A B交 于 点D,点E、F、G分
12、 别 是C D、B D、B C的中点，以0为原点，直 线0 B为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四 个点中与点A在 同 一 反 比 例 函 数 图 象 上 的 是（）(X-5)2-1D.点F2.已 知 函 数y=,若 使y=k成 立 的x值恰好有三个，则k的 值 为（x 3）)A.0 B.1 C.2 1).33.（2 0 1 6秋重庆校级月考）已知二次 函 数y=a x、b x+c+2的图象如图所示，顶 点 为（-1,0）,下列结论：a b c 2；4 a -2 b+c 0.其 中 正 确 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题4 .若 a+b-2 J a 1 -4
13、“-2=3 J c-3 -c-5,则 a+b+c 的值为.25 .已 知 关 于x的 方 程x?+（k-5）x+9=0在l V x 0,c 0；2 a 3(2)抛物线经过点P(Lm),Q(l,).2 判 断 m 的符号；若抛物线与x轴的两个交点分别为点A(再,()，点 B(z，O)(点A在点B左侧),请 说 明 西,，x2 3)根据图象知道当y=3 时，对应成立的x 有恰好有三个，；.k=3.故 选 D.3 .【答案】B；【解析】.抛物线开口朝上，.a0.抛物线的对称轴为x=-且=-1,.,.b=2a0.2a当 x=0 时，y=c+22,.c 0.；.a b c 0,错误：抛物线与x 轴只有一
14、个交点，/.b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a=0,Ab2-4ac=8a 0,错误；;抛物线的顶点为(-1,0),抛物线解析式为 y=a(x+1)2=:ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2,*a=c+2 2,正确；Vb=2a,c0,.,.4a-2b+c=c0,正确.故选B.二、填空题4.【答案】20；【解析】整理得：(a_l_2yja 1+1)+(b-2-4-lb-2+4)+(c-3-6 J c 3+9)=02(Ja-1 -1)2+(b 2-2)2+(J c 3-3)=0,2yj C l-1 =1,y/h 2=2,yj C-3=3,V a l,b22,c23,a=2,b=6,c=12
15、,Aa+b+c=20.故答案为：20.5.【答案】一 5 y-32【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=x、(k-5)x+9图象开口向上，与 x 轴的一个交点的横坐标在l x 0 或 k 0,抛物线开口向上，x=l时,y0,B J 2 k-2-3 k -2,.,k0 当 k 0,即 2k-2-3 k 0,解得 kV-2.*.k 0 或 kV-2.三、解答题7.【答案与解析】解：(1),原方程有两个不相等的实数根,，=(2k+l)2-4 (k2+l)0,解得：k W,4即实数k的取值范围是k W；4(2):根据根与系数的关系得：x i+x2=-(2k+l),Xi*X2=k2+l,又,
16、方程两实根Xi、Xz满足Xi+X2=-XJX2,_(2k+l)=-(k+l),解得：ki=0,k2=2,：k W,4A k只能是2.8.【答案与解析】(1)证 明:A =-(m-l)2-4(/-3)=m2-2 m+l 4/7 7 +12 m2 6 m+13=(m -3)2+4.不论，取何值时，(7 3)220A (/M-3)2+40,即 A0.不论加取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)将 x =2 代入方程犬-(m-l)x+加一3 =0,得加=3再将加=3代入，原方程化为兀2-2%=0,解 得/=0,=2.(3)将 m=3代入得抛物线：y =/一2 x,将抛物线y =/2 x 绕原点旋
17、转18 0P得到的图象。2的解析式为：y=-x2-2 x.设 P(x,0),则 M(X,/+3),N(X,-X2-2 x)MN=(x 2+3)_(_ x 2 _ 2 x)=2/+2 x +3 =2(x +g)+|当x =时，MN的长度最小，2此时点P的坐标为1-g,09.【答案与解析】(1)证明：%+3 6 +6 c=0,.b 1 2 a+3b 6c c -1 =-=-=2 a 3 6a 6a a/a 0,c 0,：.-0.aa:.+-0.2 a 3(2)解：抛物线经过点P(,m)，点Q(l,)，21 I ,a+b+c=m,.4 2a+b+c=n.,/勿+3匕+6 c =0,a 0,c 0,b
18、+2 c=，b=-2 c.3 3.IQ 1 b+2 c 1 /1、1 1八.m=a+b+c=a-=7 +(a)=-a 0.33ivn 0知抛物线y =+云+。开口向上.m e。,0,.点P(L/n)和点Q(l,)分别位于x轴下方和x轴上方.2;点 A,B的坐标分别为A (%,0),B(X2,0)(点A在点B左侧)，由抛物线y =x 2+b x +c的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标与满足(I.(如图所示)V抛物线的对称轴为直线x =-2,由抛物线的对称性可上3=-2,由(1)知2 a2 2 a 2 a 3 2 3一12-2-3-%2-3 0,2 0 二次函数y=Y +(-2Mx+/一 2与
19、*轴有交点(2)解：解法一：由加一1=0得2 =1,方程f+(-2 m)x+，一/%=0可化为f+(-2)x +l-=0 解得：x=l W c r =-n二方程/+(-2 m)工+2 2一 2 =0有一个实数根为1解法二：由机一 1 =0得加=1,方程f+(-2加)工+加2-6 =0可化为x+(2)x +1 n 0当x=l时，方程左边=l+(n-2)+l-n=0方程右边二0 左边二右边，方程一+(-2 m)工+2 2-m =0有一个实数根为1(3)解：方程/-2M工 +根2-根=0 的根是：%=1?%2=1-a=n当 x=2 时，=+l,y2=-2n2+5n+l设点 C(b,b+i)则点 D(
20、b,-2b2+5b+l)CD=6,.*./+1 +5b+1)=64 2b+5h+1 (Z?+1)=6.人=3或人=1，C D 两点的坐标分别为 C(3,4),D(3,-2)或 C(-1,0),D(-1,-6)中考冲刺：代数综合问题一知识讲解（基础）责编：常春芳【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键.在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基
21、础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；（2）认识综合题的结构是解综合题的前提：（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；（4）帮助学生建立思维程序是解综合题的核心.*审题（读题、断句、找关键）；*先宏观（题型、知识块、方法）；后微观（具体条件，具体定理、公式）*由已知，想可知（联想知识）；由未知，想须知（应具备的条件），注意知识的结合；*观察一一挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破一一抓往关键实现突破；寻求一一学会寻求解题思路.（5）准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型
22、一、方程与不等式综合Mr i.已知方程组1f 2x-3y =2-3a,的 解满足 x 0,求 a的取值范围.、3x-4y=2a+l.0,由题思令x 0,y 0 得：13a 4 0.5 4-Q 3.请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题:(1)分 别 写 出,/2中 变 量y随x变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件.【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题.本题考查了一次函数的性质,点与方程组的解的关系.两个一次函数图象的交【答案与解 析】解：(D：y的 值 随x的增大而增大;/2:y的 值 随x的增大而减小.(2)设 直 线 小4的函数表达式分别
23、为y=qx+4，y=a2x+b2,由题意得q +伪-1+“2=13a2+b2=0解 得：q =24=T直 线/r4的函数表达式分别为丁 =21,y=-1 x+|.(y-2 x-l所求的方程组为,1 3.y=x+【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想.举一反三：【高清课堂:代数综合问题 例2】【变式】已知：如 图，平 行 于x轴 的 直 线y=a(a六0)与 函 数y=x和 函 数y=的 图 象 分 别 交 于 点A和点B,又有定点P(2,0).(1)若 a 0,且 t a n/尸OB=，求线段A B 的长；9Q(2)在 过 A,B 两点且顶点在直线y=x 上的抛物
24、线中，已知线段4 8 =2,且在它的对称轴左边时，y3随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过A,B,P 三点的抛物线，平移后能得到 =,/的图象，求点P到直线AB 的距离.【答案】解：(1)设第一象限内的点B(m,n),则 t a n/尸=得 m=9n,又点B 在函数y=的图象上,m 9 xWn=,所以ITF3(3舍去)，点 B 为(3-)，m 31 1 1 Q而 ABx轴，所以点A 所以A B =3 =(2)由条件可知所求抛物线开口向下，设点A(a ,a),1 QB(一,)，则 A B =-Q =,a a 3所以3。2+8。-3 =0,解 得 q =3 或a .3当
25、 a=-3时，点 A(3,-3),B(-,-3),因为顶点在y=x 上，所以顶点为(一*,一*),5 o 5 3所以可设二次函数为y=Z(x+了 一二，点 A 代入，解得出二一二，所以所求函数解析式为丁 =一彳3 (1+,5 )o2-；5.1 3 5 5同理，当a =时，所求函数解析式为丁 =一彳(工一；)2+:；(3)设 A(a ,a),B(-,),由条件可知抛物线的对称轴为 .a 2 2。9 1 一设所求二次函数解析式为：y=-(x-2)元 (+)+2 .5a点A(a,a)代入，解得q =3,d=9,所以点P到直线AB的距离为3或9 2 1 3 1 3【高清课堂:代数综合问题 例1】(门头
26、沟区期末)已知：关于x的方程mx2+(3 m+l)x+3=0.(1)求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；(2)如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；(3)在(2)的条件下，令y=mx2+(3 m+l )x+3,如果当xi=a与X 2=a+n (n w O)时有yi=y2,求代数式4 a2+1 2 a n+5 n2+1 6 n+8 的值.【思路点拨】(1)注意对m的取值进行分类讨论：即当m=0和m W O时；(2)先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m为正整数，得m的值；(3)由(2)得函数解析式，利用函数的对称性，得a与n的关系，然后再利用整体代入的方法计算.【答案与
27、解析】(1)证明：当m=O时，原方程化为x+3=O,此时方程有实数根x=-3；当mH O时，,=(3 m+l)2-1 2 m=9 m2-6m+l=(3 m-1)2.(3 m-1)2 0,不论m为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m为任何实数时，方 程mx2+(3 m+l)x+3=0总有实数根；(2)解：当 mw O 时，解方程 mx 2+(3 m+l)x+3=O 得 x i=-3,X2=-1,n 方程mx?+(3 m+l)x+3=O有两个不同的整数根，且m为正整数，m=l ；(3)解：m=l,y=mx2+(3 m+l)x+3,/.y=x2+4x+3,又丁 当 x i二a 与 X2=a+n
28、(n/O)时有 y i=y 2,当 x i=a 时,y i=a2+4a+3,当 X2=a+n 时,y 2=(a+n)2+4(a+n)+3,a2+4a+3=(a+n)2+4(a+n)+3,化简得 2 an+n2+4n=0,即 n(2 a+n+4)=0,又 n#0,2 a=-n-4,4a2+1 2 an+5 n2+1 6n+8=(2 a)2+2 a6n+5 n2+1 6n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5 n2+1 6n+8=2 4.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入.举一反三:【变式】已知关于x的一元
29、二次方程x 2+(m+3)x+m+l=0.(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x i、X2 是原方程的两根，且|x i-x z|=2 夜，求 m 的值和此时方程的两根.【答案】解：(1)证明：由关于X 的一元二次方程X?+(m+3)x+m+l=o 得=(m+3)2 4(m+1)=(m+1)2+4,无论m 取 何 值,(m+1)旺 4 恒大于0,原方程总有两个不相等的实数根.(2)Vx i,X2 是原方程的两根，x i+x 2=(m+3),x i*x2=m+l.V|Xi X2 I =2/2 ,(x i x2)J=8,即(xI+x 2)4XIX2=8.(m+3)一
30、一 4(m+1)=8,即 nf+2 m3=0.解得：mi=-3,m2=l.当 m=3时，原方程化为：x22=0,解得：X i=0 ,X2=&.当 m=l 时，原方程化为：x +4x+2=0,解得：Xi=2+-/2 ,X2-2 y/2 .类型三、以代数为主的综合题W F 5.(2 0 1 7 曲靖一模)如图，直 线 y=-x+3 与 x轴，y轴分别交于B,C两点，抛物线y=ax、bx+c过 A (1,0),B,C 三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方图形上的动点，过点M 作 MNy 轴交直线BC 于点N,求线段MN 的最大值.(3)在(2)的条件下，当 M N 取得最
31、大值时，在抛物线的对称轴1上是否存在点P,使4 P B N 是 以 BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.备用图【思路点拨】(1)由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)设出点M 的坐标以及直线B C 的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线B C 的解析式，结合点M 的坐标即可得出点N 的坐标，由此即可得出线段M N 的长度关于m 的函数关系式，再结合点 M 在 x 轴下方可找出m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；(3)假设存在，设出点P的坐标为(2,n),结 合(2)的结论可求出点N 的坐标，结合点N、B 的
32、坐标利用两点间的距离公式求出线段P N、P B、B N 的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n 值，从而得出点P的坐标.【答案与解析】解：(1)由题意点 A (1,0)、B(3,0)、C (0,3)代入抛物线 y=ax?+bx+c 中，a+b+c=0 (a=l得：，9 a+3 b+c-0 解得：，b-_4 c=3 c=3.抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点M 的坐标为(m,m2-4m+3),设直线BC 的解析式为y=k x+3,把点点B(3,0)代入y=k x+3 中，得：0=3 k+3,解得：k=-1,.直线BC 的解析式为y=-x+3.MNy 轴,.点N 的坐标为(m,
33、-m+3).抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x -2)2-1,二抛物线的对称轴为x=2,.点(1,0)在抛物线的图象上，,线段 MN=-m+3 -(m -4m+3)=-nT+3 m=-(m-)2+,2 4.当m=W 时，线段MN取最大值，最大值为1.2 4(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).当 m=2 时，点 N 的坐标为(1,1),2 2 2 _P B=V(2-3)2+(n-0)2=V W W(2得)2+(哥)2,BN=J(3 多 2+(_ 1 产 平.P BN为等腰三角形分三种情况:当P B=B N 时,即解得：n=叵,2此时点P的坐标为(2,或（2,当P N=B N 时,即2
34、 2(2 V)2+(n-1)2 解得：n=P 土国.2此时点P的坐标为（2,3叵）或（2,生叵）.2综上可知：在抛物线的对称轴1 上存在点P,点 P的坐标为（2,-逗）或2 李2使4 P B N 是等腰三角形，或（2,自 二 叵）或（2,生叵）.2 2【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、以及等腰三角形的性质.二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离举一反三：【变式】如图，己知二次函数y =or 2 _ 4 x+c 的图象与坐标轴交于点4 （-1,0）和点6 （0,-5）.（1）求该二次函数的解析式;（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点凡使得/的周长最小.请求出点尸的
35、坐标.解：根据题意，得0 =a x(-1)2-4 x(-1)+c,-5 =a x02-4 x0 +c.解得。=1,c=-5.二次函数的表达式为y =x2-4 x-5 .(2)令尸0,得二次函数y =*2-4 x-5 的图象与x 轴的另一个交点坐标C (5,0).由于尸是对称轴x=2 上一点，连结 4 5,由于 A 8 =J 0 A 2+O B 2=良，要使4 6。的周长最小，只要P A+P B最小.由于点A与点C 关于对称轴x=2 对称，连结6 c 交对称轴于点P,则 P A+P B=断 用=%,根据两点之间，线段最短，可得P A+P B 的最小值为优:因而a 与对称轴x=2 的交点夕就是所求
36、的点.设直线况的解析式为y =f c v +方，根据题意，可得；+解 得 巾;5所以直线%的解析式为y =x-5因此直线比与对称轴x=2 的 交 点 坐 标 是 方 程 组 卜 的 解，解 得 卜=2,y =x-5 y=-3.所求的点尸的坐标为(2,-3).中考冲刺：代数综合问题一知识讲解（提高）责编：常春芳【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键.在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决
37、问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；（2）认识综合题的结构是解综合题的前提：（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；（4）帮助学生建立思维程序是解综合题的核心.*审题（读题、断句、找关键）；*先宏观（题型、知识块、方法）；后微观（具体条件，具体定理、公式）*由已知，想可知（联想知识）；由未知，想须知（应具备的条件），注意知识的结合；*观察一一挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破一一抓往关键实现突破；寻求一一学会寻求解题思路.（5）准
38、确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、函数综合 1.己知函数?=2和 y =k x+l（k#O）.X（1）若这两个函数的图象都经过点（1,a）,求 a和 k的值；（2）当 k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题.本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数.【答案与解析】解：（I）：.两函数的图象都经过点（1,a）,解得4a=2,k=1.2(2)将)=代入丫=1 +1,消去 y,得依2+x 2 =0.x：k W 0,.要使得两函数的图象总有公共点，只要?()即可.,=l+8 k.l+8 k 2 0,解得k -1.8Z
39、.k -l 且 k#0 时这两个函数的图象总有公共点.8【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断.若 0,两图象有两个公共点；若=(),两图象有一个公共点；若 =221 3 I(2)由y =+一三=(x +l)2-2,得抛物线顶点P 的坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-L设直线A C的函数关系式为丫=1+1 3,将A (3,6),C(-3,0)代入，得3k+b=-3 k+b6 解这个方程组,=0.b=3,k=l.得二直线A C的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线A C的交点,故解方程组4 得4 点Q 坐 标 为(-
40、1,2).y=x +3.y=2.(3)作A 点关于x 轴的对称点W(3,6),连接A Q,A Q 与x 轴交点M 即为所求的点.3%+/?=-6：解这个方程组，得,k+b=2.b=0,._ 直线AQ的函数关系式为y=-2x.k=2.令x=0,则y=0.点M 的坐标为(0,0).类型二、函数与方程综合 1加2.2Wr 2.已知关于X 的二次函数y =/-W U +-与 y =,这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A,B 两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B 两点；(2)若 A点坐标为(-1,0),试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A,B 两点的二次函数，当 x
41、 取何值时，y的值随x 值的增大而减小？【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题.本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与 x 轴的交点个数及二次函数的性质.【答案与解析】2 1解：(1)对于关于X 的二次函数y =+丝二匚由于=(-m)24 X1 X 世 土1 =相2-2 0,所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.故图象经过A,B两点的二次函数为y =/-m x-=0.(2)将 A(T,0)代入 y =A；?m x-“；一，得+,”_?；-=0.整理，得m 2 2机=0.解之，得m=0,或m=2.当 m=0 时，y =x2-1.令 y =0,得 了2一1=().解这
42、个方程，得芯=一1,x2=l.此时，B点的坐标是B(l,0).当 m=2 时，y=x2 2 x 3.令 y =0,得 炉2x 3=0.解这个方程，得X3=T,X*=3.此时，B点的坐标是B(3,0).(3)当m=0时，二次函数为y =此函数的图象开口向上，对称轴为x=0,所以当x 0时,函数值y随x的增大而减小.当m=2时，二次函数为了 =1-2 8一3=5一1)2-4,此函数的图象开口向上，对称轴为x=l,所以当x 0)个单位长度后2与直线CC有公共点，求的取值范围.3-2-3-2-1 O 1 2 3 4 x-1 【答案】(1)证明：*/=(3机+1)24xx3=(3加一1)2.(3 相一
43、I/2。，AO,原方程有两个实数根.(2)解：令)=0,那么+(3m+1)3=0.解 得 玉=一 3,=-.tn ,抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且加为正整数,/.抛物线的表达式为y=Y+4x+3.(3)解：,当户0 时，产3,：.C(0,3).二 当 y=0 时，X=3f X2=-1.又丁点A 在点8 左侧，A A(-3,0),B(-1,0).点。与点8 关于y 轴对称，(1,0).设直线C D的表达式为y=kx+b.k+b=O,3.如图所示，在直角坐标系中，点 A的坐标为(-2,0),将线段0 A 绕原点0顺时针旋转12 0。得到线段0 B.(1)求点B的坐标；(2)求经过A,0,B
44、 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使A B O C 的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且 在 x轴的下方，那么A P A B 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及A P A B 的最大面积；若没有，请说明理由.【思路点拨】由/A 0 B=12 0 可得0 B 与 x 轴正半轴的夹角为6 0 ,利用0 B=2 及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求B C+C O最小.利用二次函数的对称性可知点C为直线A B 与对称轴的交点；(4)利 用 转
45、化 的 方 法 列 出 关 于 点 P的横坐标x的函数关系式求解.【答案与解析】解：(l)B(l,8).(2)设抛物线的解析式为)，=以(犬+2),代入点B(l,7 3),得a=*.所以,=母犬+手-(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x=T,因为A,0关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段A B 的交点时，A B O C 的周长最小.设直线A B的解析式为丁 =依+。伏工0),则L，解得3；-2 k+b0.,26b=.1 3因此直线A B的解析式为y=*x +管.当x =-1 时，y=3因此点c的坐标为1一1,1?1.(4)如图所示，过P作y轴的平行线交A B于D,设其交x轴于E
46、,、李设点P的横坐标为X.则 S4PA B=S4PA D+SPBD=-P D x AE+-P D x B F2 2=；x P D x(4 E+8 F)=5(VD-)(/一4)(2+述M22+亚扉32k 3 3)3 3 )_ 也f 公 尤+出-6仁+1丫+962 2 2 1 2)8交过点B与x轴平行的直线于F.当,时，PAB的面积的最大值为2匹2 8 J 1 G,此 时 一一,-I 2 4、7【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法.因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边
47、点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的 长 为 就 是 利 用 了 这一规律.4.（2015.北京东城一模）在 平 面 直 角 坐 标 系 中,抛 物 线y=+法+1（。工。）过点A（-l,0）,3（1,1）,与y轴交于点C.（1）求抛物线y=2+云+（。工0）的函数表达式;（2）若点。在抛物线y=依2+取+1（。0）的对称轴上，当八4 8 的周长最小时，求点。的坐标;（3）在抛物线y=ax2+b x+l（a关0）的对称轴上是否存在点P,使AACP成为以A C为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式
48、；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】解：（1）.抛物线 丁 =以2+云+1.0 0）过点4（一1,0）,5（1,1）,.ci Z?+l =0,。+/?+1 =1.1b=-.21 ,1.抛物线的函数关系式为y=-x2+-x+.(2)x=-=,C(0,1)2 a 2 v 71,1 1；.抛物线y=-/+x+1的对称轴为直线*=.2 22设点E为点A关于直线=1的对称点，则点E的坐标为(2,0).连接EC交直线x=，于点。，此时八48的周长最小.2设直线EC的函数表达式为y=A x+z,代入E,C的坐标,则42%+m =0,m-.
49、解得Tm =l.所以，直线EC的函数表达式为y=g x+l.1 3当X =_时，y=_2 .4 点。的 坐 标 为(一1 ，3、.(2 4J(3)存在.当点A为直角顶点时，过点4作AC的垂线交y轴于点/，交对称轴于点.V A 0 1 0 C,AC LAPX,ZAOM=ZCAM=90.V C（O,1）,A（-1,0）,：.OA=OC=.：.NC4O=45。.NO4M=NOMA=45.OA=OM=1.点M的坐标为（0,1）.设直线A M对应的一次函数的表达式为y=电+*,代入A,M的坐标,则-ky+b=0,4=L解得k、=-1,by=-1.所以，直线4 0的函数表达式为y=-x l.令,x=_1
50、,则n I）=32 2.点4的坐标为_ 1 _ _32，-2当点。为直角顶点时，过点。作AC的垂线交对称轴于点舄，交x轴于点N.与同理可得RtZXCON是等腰直角三角形,：.O C=ON=1.，点N的坐标为(1,0).V CP21 A C,A_LAC,：.CP2/APX.直线CP的函数表达式为y=-x +l.A1 nl 1令 x=,则 y=一.2 -2点鸟的坐标为综上，在对称轴上存在点,(g,；),使CP成为以A C为直角边的直角三角形.【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.