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1、中考总复习：圆综合复习一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1 .如图，在。中，O A=A B,O C A B,则下列结论错误的是（）A.弦 A B 的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦 A C 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC=BCD.Z B A C=3 0 2 .如图，。的直径A B 长 为 1 0,弦 A C 长为6,N A C B 的平分线交。于 D,则 C D长为（）A.7 B.7&C.8 7 2 D.9第 2 题第 3 题3 .如图，A B 是。0的弦，半径0 C _ LA B 于点D,且 A B=6 cm,0 D=4 cm,则 DC 的长为（）A.5 cm B.2.5 c
2、m C.2 cm D.1 cm4 .已知：。的半径为1 3 cm,弦 A B C D,A B=2 4 cm,C D=1 0 cm,则 A B,C D之间的距离为（）A.1 7 cm B.7 cm C.1 2 cm D.1 7 cm 或 7 cm5 .（2 0 1 5 西藏）已知。C h 与。2 相交，且两圆的半径分别为2 cm 和 3 cm,则圆心距O 1 O 2 可 能 是（）A.1 cm B.3 cm C.5 cm D.7 cm6 .一个圆锥的侧面展开图是半径为1 的半圆，则该圆锥的底面半径是（）7 .在。中直径为4,弦 AB=2 J 5,点 C是圆上不同于A,B的点，那么/A C B 度
3、数为.8 .如图，A A B C 内接于。0,A C 是。的直径，/A C B=5 0 ,点 D 是84c 上一点，则/D=9 .如图，在a A B C 中，A B 为。的直径，/B=6 0 ,Z C=7 0 ,则/B O D 的度数是 度.1 0.若两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为1 0,则 另 一 个 圆 的 半 径 为.1 1 .(2 0 1 5 盐城校级模拟)如图，将一个圆心角为1 2 0 ,半径为6 cm 的扇形围成一圆锥侧面(O A、0 B重合)，则围成的圆锥底面半径是 cm.1 2 .如图，在 4X4的方格纸中(共有1 6 个小方格)，每个小方格都是边长为1 的正方形.0、
4、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形0 A B 的 弧 长 等 于.(结 果 保 留 根 号 及 五)三、解答题1 3 .(2 0 1 4 秋北京期末)如图，A B 为 的 直 径，直线1 与。相切于点C,过点A作 A D_ L1 于点D,交。0于点E.(1)求证：Z C A D=Z B A C；(2)若 s i n N B A C=W B C=6,求 DE 的长.1 4 .如图，A B 是。的直径，弦 C D_ LA B 与点E,点 P 在。0上，Z 1-Z C.(1)求证：C B/7 PD；3(2)若 B C=3,s i n P=-,求。的直径.51 5 .如图，己知。0 1 与。都过点A,
5、A O i 是。0 2 的切线，交于点B,连 接 A B 并延长交。2 于点C,连接0 2 c.(1)求证：02cJ_ 0 6(2)证明：A B B C=2 0 2 B B 0I；(3)如果 A B B C=L2,0 2 c=4,求 A(h 的长.1 6.如图，在等腰梯形A B C D中，A DB C.0是 C D边的中点，以 0为圆心，0 C 长为半径作圆，交 B C 边于点E.过 E 作 EH _ LA B,垂足为H.已知。与 A B 边相切，切点为F.求 证:O EA B；(2)求证：E H=-A B；2B H 1 4 B H(3)若=-,求的值.BE 4 C E【答案与解析】一、选择题
6、1 .【答案】D；【解析】/O A=A B=O B,；./A 0 B=6 0 .又；C 0 1 A B,A Z B O C =-Z A O B=lx60=30.22又Z B 0 C 和Z B A C 分 别 是 对 的 圆 心 角 和 圆 周 角，ZBAC=-ZBOC=-x30=15.2 2D 错.2.【答案】B ；【解析】连接 A D,B D,由 A B 是。0 的直径得N A C B=N A DB=9 0 ,故N A C D=N B C D=4 5 ,B C=8,A D=B D=5A/2 .由 A C Ds O C B,得 生=乌，即 C O C D=6 X 8=4 8.C O B C由
7、DO B s a DB C,得 乌=也，即 O D CD=5&x50=5 O.Bd O D：.C O C D+O D C D=(C O+O D)C D=C D?=9 8.CD=A/98=7V2.3 .【答案】D；【解析】连接A O,由垂径定理知AO=!A B =3,2所以 R t A O D 中，A O =yOD2+A D2=A/42+32=5.所以 DC=O C-O D=O A-O D=5-4=1.4 .【答案】D；解析】如图，在 R tA O A E 中，O E =y J o -A E2=V1 32-1 22=5 (cm).在 R ta O C F 中，O F =JoC2-C F2=V1
8、32-52=1 2 (cm).EF=O F-O E=1 2-5 =7 (cm).同理可求出0 G=1 2 (cm).EG=5+1 2 =1 7(cm).则 A B,C D的距离为1 7 cm 或 7 cm.5 .【答案】B ；【解析】两圆半径差为1,半径和为5,两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，符合条件的数只有B.6 .【答案】C ；【解析】圆锥底面的周长等于其侧面展开图半圆弧的长度，设圆锥底面圆的半径为r,贝 ij 2 万 r =x 2 乃x 1,2 r/_l.2二、填空题7.【答案】1 2 0 或 6 0 ；【解析】如图，过 0作 O D_ LA B 于 D,o在
9、R tZ X O DB 中，O B=2,B D=x2A/3=V3 .2s i n Z D O B =.O B 2Z D0 B=6 0 ,：.Z A 0 B=6 0 X 2 =1 2 0 .如图中点C有两种情况：Z A C B=工x 1 2 0 =6 0 或 Z A C B=-(3 6 0 1 2 0)=1 2 0.2 28 .【答案】4 0。；【解析】V A C 是。的直径，?.Z A B C=9 0 ,Z A=4 0 ,Z D=Z A=4 0 .9 .【答案】1 0 0；【解析】在a A B C 中，Z A=1 8 0 -Z B-Z C=1 8 0 -6 0 -7 0 =5 0 ,O A=O
10、 D,二 /0 DA=N A=5 0 ,Z B 0 D=Z A+Z 0 DA=1 0 0 .1 0 .【答案】3 或 1 7；【解析】显然两圆只能内切，设另一圆半径为r,则-1 0|=7,二r=3 或 1 7.1 1 .【答案】2；【解析】设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2 n r 20兀.6,厂2金.1 8 0故答案为2.1 2.【答案】叵 兀；【解析】Z A0 B=4 5 +4 5 =9 0。，0 A=V 22+22=2 7 2 .三、解答题1 3 .【答案与解析】(1)证明：连接OC,DE C D 为。的切线,OCCD,AD_LCD,OCII
11、AD,Z CAD=Z ACO.又；OC=OA,Z ACO=Z OAC,Z CAD=Z OAC,即 N CAD=Z BAC.(2)过点B 作 BFJ_1于点F,连接BE,A B为。O 的直径，Z AEB=90,又 AD_L1于点D,Z AEB=Z ADF=Z BFD=90,四边形DEBF是矩形，DE=BF.A B为。O 的直径，Z ACB=90,Z ACD+Z BCF=90.Z ADC=90,Z ACD+Z CAD=90,Z BCF=Z CAD.Z CAD=Z BAC,Z BCF=Z BAC.在 RSBCF 中，BC=6,sinz BCF=sinZ BAC=BC 5-BF=1B C-5 5DE=
12、BF=2514.【答案与解析】(1)证明：,/B D =B D,：.Z BC D=Z P.又：Z 1 =Z B C D,Z 1 =Z P.C BPD.(2)解：连接AC.AB 为。的直径，./AC B=9 0 .A BB C _ 3 A B 5AB=5,又；C D 1 A B,，B C=B D.Z A=Z P,；.s i n A=s i n P.在 R t Z X ABC 中，sin A=-,3sin P =,5又：BC=3,即。的直径为5.1 5.【答案与解析】证 明：AOi 是。0?的切线，,Oi A_LAOz,Z02AB+ZBA0I=90.又 0 2A=Oz C,Oi A=Oi B,Z
13、02C B=Z 02AB,Z 02BC=ZAB0I=ZBA0I.Z02CB+Z02BC=Z02AB+ZBA0I=90.O2C O2B,即 Oz C LOQz.(2)证明：延长(M)“交。Oi 于点D,连接AD.BD是OOi 的直径，Z BAD=9 0 .又由(1)可知NB0 =9 0 ,NBAD=/B0 2C,又/ABD=/()2BC,.O2B B C 益 一 茄.AB-BC=O2B B D.又 BD=2B0”:.AB BC=20?B BO,.解:由 证 可 知 N D=N C=N 0 2 A B,即ND=N0 2AB.又/A 0ZB=/D02A,/.AA02B A D 02A.AO2 O2B
14、D O2 0 2 A:.AO2 =O2B 02D.O2C=O2A,02c2 =O2B 02D.又由(2)AB BC=O2B-BD.由一得 0 2 c2-A3 BC=O2B2,即 42-12=。262.:.02B=2,又 02B BD=AB BC=12,:.BD=6.:.2A0i=BD=6,A0i=3.16.【答案与解析】(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC,A Z B=Z C.,:0 E=0 C,Z 0 E C=Z C.Z B=Z 0 E C.0EAB.(2)证明：连接O F,如图.。与 AB 切于点 F,I.0F1AB.,/E II1 A B,OFEH.又丁 OEAB,I.四边形OE
15、HF为平行四边形.EH=OF.OF=-C D =-A B,2 2EH=-AB.2 解:连 接D E,如图.,/CD 是直径，/DEC=90.ZDEC=ZEI1B.又:/B=N C,AEHB-ADEC.BH BECEDBH 1 n ,-=一，设 BH=k,BE 4BE=4k,EH=ylBE2-B H2=715 k,CD=2EH=2V15 k.BH _ 4k 2V15CE 2 岳 15中考总复习：圆综合复习一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1 .（20 1 5杨浦区三模）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范 围 是（）A.d 8 B.d 2 C.0 Wd 8
16、 或 d/2 C.1 D.22二、填空题7.如图，分别以A,B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C,D两点，则NC AD的度数为.8 .如图，现有圆心角为9 0 的一个扇形纸片，该扇形的半径是5 0 c m.小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为1 0 c m的圆锥形纸帽（接9 .如图，ABBC,AB=BC=2c m,0A 与 O C关于点0中心对称，则 AB、BC、C O,0A 所围成的面积是 c n f.1 0 .如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3c m 和 5 c m
17、,贝！I A B 的长为 c m.1 1 .将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是 c m.1 2.(20 1 5 安徽模拟)如图，在a A B C 中，N A B C 和N A C B 的平分线相交于点0,过点0作 EFBC 交 AB于 E,交 AC 于 F,过点0 作 ODJ_AC 于 D.下列四个结论：NB0 C=9 0 +1 Z A；以 E 为圆心、BE为半径的圆与以F 为圆心、C F为半径的圆外切；设OD=m,2AE+AF=n,则SAM尸 m n；E F 是A B C 的 中 位 线.其 中 正 确 的 结 论
18、是.三、解答题1 3.(2 0 1 5滕州市校级模拟)如图，已知点E 在A A B C 的边A B 上，Z C=9 0 ,/B A C 的平分线交B C 于点 D,且 D在以A E 为 直 径 的 上.(1)证明：B C 是。0的切线；(2)若 D C=4,A C=6,求圆心0到 A D 的距离；(3)若t a n/D A C=|，求寻的值.o t u1 4.如图，在 Rt a A B C 中，Z A B C=9 0 ,斜边A C 的垂直平分线交B C 于点D,交 A C 于点E,连接B E.(1)若 B E 是A D E C 外接圆的切线，求NC的大小；(2)当A B=1,B C=2 时,求
19、 a D E C 外接圆的半径.1 5.如图，。是A A B C 的外接圆，F H 是。0的切线，切点为F,F H B C,连 接A F 交 B C 于 E,N A B C 的平分线B D 交 A F 于 D,连接B F.(1)证 明:A F 平分N B A C；(2)证 明:B F=F D；(3)若 E F=4,D E=3,求 A D 的长.1 6.如图，已知：A C 是。0的直径，P A A C,连接O P,弦 C B O P,直线P B 交直线A C 于 D,B D=2 P A.(1)证明：直线P B 是。的切线；(2)探究线段P 0 与线段B C 之间的数量关系，并加以证明；(3)求
20、s in/O P A 的值.【答案与解析】一、选择题1 .【答案】D :【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d R-r,即 d R+r,即 d 8.故选D.2 .【答案】A；【解析】作 B E L A D,C F A D,垂足分别是E,F,连接B D,B_ rA E O FD贝|JA E=D F,Z A B D=9 0 ,E F=B C=2,设 A E =x,则 A D=2+2 x.AR由 A B E s A A D B 可得一=，AB AD1 2+2x解得x=T心.A D=2+2 x=1 +,则 OA=-23.【答案】B ；【解析】
21、如图，过 C作 C D _ L A B 于 D,在 Rt Z C B D 中，B C=4cm,N B=30 ,C D=-B C=-x 4 =2 (cm).2 2又。C的半径为2 cm,d=r.直线A B 与。C相似.4.【答案】A ；【解析】因为A 0 i=3,所以点A在圆。上，又因为点A在圆亮上,所以圆与圆的位置关系是相交或相切.5.【答案】D ；【解析】延长A 0 交 B C 于 D点，过 0作 O E L B D 于 E.:Z A=Z B=60 ,；.Z A D B=60 .Z D A B 是等边三角形，B D=A B=1 2.在 Rt Z O D E 中，0 D=1 2-8=4,Z 0
22、 D E=60 ，D E=O D co s 60 0 =4 x-=2,B E=1 0,故 B C=2 B E=2 X 1 0=2 0.26.【答案】A；【解析】过 B作 B B _ L M N 交。0于 B,连接A B 交 M N 于 P,此时P A+P B=A B 最小.连 A 0 并延长交。0 于 C,连接 C B ,在 Rt a A C B 中，A C=1,ZC=-x90=45,2=ACsin45=l x=2 2二、填空题7.【答案】1 2 0 ；【解析】连接B C,B D,则A A B C 与A B D 都是等边三角形，故N C A B=N D A B=60 ,所以N C A D=60
23、 +60 =1 2 0 .8.【答案】1 8；【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为0度，则 由 题 意 丝 辿 生x50=2x乃X10.180，9 =1 8.9 .【答案】2 ；【解析】连接A C,因为0A与0 c关于点。中心对称，所以A,0,C三点共线，S弧 形AO=S弧 形 ，所以所求圆形的面积=4 A B C 的面积=LAB BC=x 2 x 2 =2(cm 2).2 21 0 .【答案】8；【解析】连接0 C,0 A,则 0 C 垂直平分A B,由勾股定理知 OC?=,52 32=4,所以 A B=2 A C=8.1 1 .【答案】1 ;【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得0 D=0
24、 A=4,2 n C D=4n,则 OC=yjoCr-CCT=V42-22=273.设 EF=x,E C=y,由OEFs/OCD 得=2“二”,2 2 G*.y 2.-j3-/3x.S圆 柱 便 而积=2%肛=2W(2 G-V3x)=-2 6%，-2x)=-2A/3 (X-I)2+2&兀.当 x=l 时，S 有最大值2 6 乃.12.【答案】;【解析】如图V ZABC和/ACB的平分线相交于点0,.,.ZABC=2Z1,ZACB=2Z2,而NABC+NACB+/A=18 0,.,.2Z1+2Z2+ZA=18 O,/.Zl+Z2=90o-1 Z A,2又：/1+/2+/8(：=18 0,.18
25、0-ZB0C=90o-1 Z A,2A ZB0C=90+1 Z A,所以正确；：EFBC,/.Z1=Z3,/2=/4,而Nl=NEB0,Z2=ZFC0,/.ZEB0=Z3,Z4=ZFC0,.,.EB=E0,FC=F0,：.BE+FC=EF,.以E 为圆心、BE为半径的圆与以F 为圆心、CF为半径的圆外切，所以正确；连 0 A,过。作 0GLAE于 G,如图，.点0 为ABC的内心，.0A 平分 NBAC,:.0G=0D=m,/SAAEF=SAOAE+SAOAi-=AE*m+-lAFeni=i(AE+AF)ni=-lmn,所以不正确；2 2 2 2VEB=E0,FC=F0,若 EF是AABC的中
26、位线，则 EB=AE,FC=AF,AAE=E0,AF=F0,AE+AF=E0+F0=E F,这不符合三角形三边的关系，所以不正确.故答案为：.三、解答题13.【答案与解析】解：(1)连接0D,1 AD 平分N BAC,Z BAD=Z DAC,OA=OD,Z BAD=Z ODA,Z ODA=Z DAC,AC II OD,Z C=90,Z ODC=90,即 BC是0 0 的切线.(2)在 RtA ADC中，Z ACD=90,由勾股定理,得:AD=7AC2+DC2=V62+42=2V13,作 OF_LAD于 F,根 据 垂 径 定 理 得 知 日 仙 印 可证 AOF-ADC.O F A F.O F
27、 V 1 3D C A C T=6o _O F下 压；(3)连接ED,AD 平分N BAC,Z BAD=Z DAC,A E为直径，Z ADE=90,在 RtA AED 中，tanz EAD=3=tanZ DAC=2,A D 3 Z AED=90,Z EDB+Z ADC=90,Z DAC+Z ADC=90,:.Z EDB=N DAC=N EAD,/Z B=Z B,BED BDA.B E _ D E _ 2B D A D 31 4.【答案与解析】(1)V D E 垂直平分 A C,；./D E C=9 0 .D C 为A D E C 外接圆的直径.D C 的中点0即为圆心.连接0 E,又知B E
28、是。的切线，Z E B 0+Z B 0 E=9 0 .在 Rt A A B C 中，E是斜边A C 的中点，B E=E C.Z E B C =Z C.又：N B O E=2/C,Z./C+2 N C=9 0 .Z C=30 .(2)在 Rt A A B C 中，A C =ylAB2+B C2=4 5 ,：.E C =-A C =.2 2Z A B C=Z D E C=9 0 ,A A B C A D E C.A C B C .5 =.=.D C E C 4Z W E C 外接圆的半径为81 5.【答案与解析】证 明:连 接 O F.F H 是。的切线，0 F X F H.F I1/7B C,O
29、 F 垂直平分B C.:.B F =F C .：.A F 平分N B A C.(2)证明：由及题设条件可知Z 1 =Z 2,Z 4=Z 3,Z 5=Z 2,/l+N 4=/2+/3.Z 1+Z 4=Z 5+Z 3,即N F D B=F B D.B F=F D.解:在 4 B F E 和4 A F B 中,.*Z 5=Z 2=Z 1,Z B F E=Z A F B,J A B F E A A F B.BF AFFE BFFAz i _竺4T3竺-734 41 6.【答案与解析】(1)证明：连接0 B.B C O P,Z B C O=Z P O A,Z C B O=Z P O B.又；O C=O
30、B,二 Z B C O=Z C B O.Z P O B=Z P O A.又：P O=P O,O B=O A,A P O B A P O A./P B 0=/P A 0=9 0 .P B 是。0的切线.3 解:2 P O=3B C.(写 P O=-B C 亦可)2证明：A P O B A P O A,P B=P A.B D=2 P A,B D=2 P B.B C P O,；.A D B C A D P O.BC BD 2POPD1：.2 P O=3 B C.(3)解：A D B C A D P O,/即。c=2。,DO PD 3D C=2 O C.3设 O A=x,P A=y,则 O D =3
31、x,O B=x,B D=2 y.在 R S O B D 中，由勾股定理，得(3 x)2=x?+(2 y)2,B p 2 x2=y2.,:x 0,y 0,/.y=ylx,OP=yjx2+y2=yj?x.sin ZOPAOA _ x _ y/3o p一 石一忑一石中考总复习：圆综合复习一知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体
32、现数学来源于生活，又应用于生活.【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1.圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线 段 0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点0 叫做圆心，以0 为圆心的圆记作。0,线段0A叫做半径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.2.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB,BC,AC都是弦.直径：经过圆心的弦叫做直径，如 AC是。的直径，直径是圆中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是。中的弧，分别记
33、作BC,B A C .半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如 A C 是半圆.劣弧：像 8 C 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧.优弧：像 这 样 大 于 半 圆 周 的 圆 弧 叫 做 优 弧.同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.圆 心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中/AOB,/B O C 是圆心角.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中/BAC、N A C B 都是圆周角.考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是
34、轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合.2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示：要点诠释：在 图 中 直 径 CD,(2)CDAB,(3)AM=MB,(4)A C =BC,(5)A D =B D .若上述5 个条件有2 个成立，则另外3 个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径.3.弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
35、也相等；在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.4.圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示.d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径.点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d 与 r 的大小关系点在圆内d r要点诠释：(1)圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示.过两点A、B的圆有无数个，如图所示.经过
36、在同一直线上的三点不能作圆.不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.-7c(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径.如图所示.2.直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表.圆的切线.切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的
37、切线.友情提示：直 线/是。0的切线，必须符合两个条件：直线/经过。上的一点A；0 A，/.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.三角形外心、内心有关知识比较图形名称确定方法性质外心（三三 角
38、形 三 OA=OB=角 形 外边 垂 直 平0。外 心 不接 圆 的分 线 的一定在三角形圆心）交点的内部A内心（三三 角 形 三角 形 内个 内 角 平 CM、QB、CC 分切 圆 的分 线 的别 平 分N&C、D圆心）交点3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5 种位置关系，其中R、r 为两圆半径（Rr）.d 为圆心距.位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离衰0dR+r外切G1cl=R+r相交2RrCd r2.考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，
39、正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角,正多边形的每一个中心角都等于随.n要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.2 .正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正 多 边 形 都 是 轴 对 称 图 形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心距）之比.3 .正多边形的有关计算定理：正n边 形 的半径和边心距把正n边 形 分 成2 n个全等的直角三角形.正n边 形 的 边 长a、边 心 距r、周 长P和 面 积S的计算归结为直角三角形的计
40、算.3 6 0 a“=2 R-s i n 幽nn心 片+国 ,P=n.an,S =g 匕.4 .考 点 五、圆中的计算问题1.弧长公式：1 =出,其 中/为n 的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.1 8 02.扇形面积公式：5旧=竺”，其 中S周=!/R.圆心角所对的扇形的面积，另外东.川 3 6 0 扇2 扇 23 .圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径.考 点 六、求阴影面积的几种常用方法
41、（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形法；（5）构造方程法.【典型例题】类 型 一、圆的有关概念及性质.（2 0 1 5石景山区一模）如 图，A,B,E为。上的点，。0的 半 径0 C LAB于 点D,若/C E B=3 0 ,0 D=l,则AB的 长 为（）A.5/3 B.4 C.2 3 D.6【思路点拨】连 接O B,由垂径定理可知，AB=2 BD,由圆周角定理可得，ZC 0 B=6 0o,在R t D OB中，0 D=l,则BD=l Xt a n 6 0 0 =F，故 AB=2仃【答案】c；【解析】连接0 B,：AB 是。0 的一条弦，0 C 1 AB,.AD=BD,即
42、 AB=2 BD,V ZC E B=3 0 ,.,.ZC 0 B=6 0 ,VOD=1,/.BD=1 X t a n 6 0 =5/3-,.AB=2 ,故选C.【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法.举一反三：【变式】如图，。0的直径C D=5 c m,A B是。0的弦，A B 1 C D,垂足为M,OM：0 D=3：5.则A B的长是（）A、2 c m B、3 c m C、4 c m D 2icm【答案】解：连接OA,；C D是。的直径，A B是。0的弦，ABXC D,/.AB=2 AM,C D=5 c m,OD=OA=C D=-X 5=c m,2
43、 2 2V O M：0 D=3：5,，在 R t ZXAOM 中,AM=y/oA2-OM2=J(g)2 _ g)2=2,/.AB=2 AM=2 X 2=4 c m.故选c.类型二、与圆有关的位置关系C2.如图所示，已知AB为。0的直径，直线BC 与。0相切于点B,过 A 作 AD/7 0 C 交 于 点 D,连接C D.(1)求证：C D 是。的切线；(2)若 A D=2,直径A B=6,求线段B C 的长.【思路点拨】要证明D C 是。的切线，因为点D在。0上，所以连接交点与圆心证垂直即可.【答案与解析】(1)证明：如图(2),连接0 D.AD/7 0 C,二 N1 =N3,/2=/A,，O
44、A=OD,/3=/A,Nl =/2.,/OD=OB,OC=OC.AC OD AC OB,ZC D O=ZC BO=9 0 ,/.C D 是O O 的切线.(2)(2)解：连接BD,：AB是00的直径,/AD B=9 0 .在A D A B 和a B O C 中，ZAD B=ZOBC,/A=/2,A AAD BD DA B A B O C,=OBBCBC=OB BD-A D在 R t D AB中，由勾股定理得BD=AB2-AD2=V62-22=472.BC=3x4立=6血.2【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半
45、径.举一反三：【变式】如图所示，已知C D 是ABC 中 AB边上的高，以 C D 为直径的。0分别交C A、C B于点E、F,点G是 A D 的中点.求证：G E 是。的切线.证 法 1：连接0 E、D E(如图(D).C D 是。的直径，NAE D=NC E D=9 0 .G 是 AD 的中点，.I E G=-AD=D G.2Z1 =Z2.,/0 E=0 I),/.N3 =N4.Z 1+Z 3=Z 2+Z 4,即/OE G=NOD G=9 0 .G E 是。0的切线.(1)(2)证法2：连接OE、E D(如图).在aADC 中，ZADC=90,:.ZA+ZACD=90.又:CD是。的直径，
46、:.ZAED=ZCED=90.在4AED 中，ZAED=90,G 是 AD 中点,:.AG=GE=DG,:.ZA=ZA EG.又；OE=OC,I.ZOEC=ZACD.又ZA+ZACD=90,ZAEG+Z0EC=90.Z0EG=90,OEEG.GE是。的切线.类型三、与圆有关的计算C3.在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径.
47、老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：(1)通过计算(结果保留根号与“).(I)图能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；(II)图能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；(III)图 能 盖 住 三 个 正 方 形 所 需 的 圆 形 硬 纸 板 最 小 直 径 为 cm；(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，(只要画出示意图，不要求说明理由)，并求出此时圆形硬纸板的直径.【思路点拨】(1)(I)连接正方形的对角线B D,利用勾股定理求出BD的长即可；(
48、I I)利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；(I I I)找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；(2)连接OB,O N,延长OH交AB于点P,则OP_LAB,P为AB中点，设0 G=x,则0P=10-x,再根据勾股定理解答.【答案与解析】解：(1)(I)如图连接BD,A D=3 X 5=1 5 c m,A B=5 c m,，B D=山 式 田 W J H i c m；（I I）如图所示，三个正方形的边长均为5,.A、B、C三点在以0为圆心，以0 A 为半径的圆上，OA=V52+5a=5V5cm,能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为1 0 V 5 c m；C E
49、A B,A C=B C,C E 是过A、B、C 三点的圆的直径，,?OA=OB=OD,0为圆心，。的半径为OA,OA=/B4 2=5 V 5 c m,能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5 的X 2=1 0，5 c m；（2）如图为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB,O N,延长OH 交 A B 于点P,则 OPL A B,P 为 A B 中点,设 OG=x,则 0 P=1 0-x,则 有:J2+52=(1 0-J)2+(2)解 得：H=$I,则。麻面=骼，二直径为25注【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答.举一反三
50、:【变 式】如图，图1、图2、图3、图n分别是。的内接正三角形A B C,正 四 边 形A B C D、正五边形A B C D E、正n边 形A B C D，点M、N分 别 从 点B、C开始以相同的速度在。上逆时针运动.(1)求 图1中N A P N的度数是；图2中，N A P N的度数是,图3中N A P N的度数是(2)试探索/A P N的度数与正多边形边数n的 关 系(直 接 写 答 案)【答 案】解：(1)图1：；点M、N分 别 从 点B、C开始以相同的速度在。上逆时针运动,Z B A M=Z C B N,X V Z A PN=Z B PM,Z A PN=Z B PM=Z A B N+