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1、专题0 6半角模型综合应用（知识解读）【专敢说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图,在4ABC 中，AB=AC,ZBAC=90，点 D,E 在 BC 上，且NDAE=45，则:BD+CE=DE.旋翻折法作 法 1:将4ABD旋转90作 法 2：分别翻折ABD,4ACE（2）如图，在4 A BC中，AB=AC,ZBAC=90,点 D在 BC上，点E在 BC延长线上,且Z DAE=4
2、5，则:BD+CE=DE.转法旋转法触折法（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点 E,F分别在边BC,CD上，/EAF=45,连接EF,过点A 作 AGJ_于 EF 于点 G,则:EF=BE+DF,AG=AD.图 示（1）（2）如图，在正方形ABCD中，点 E,F分别在边CB,DC的延长线上，/EAF=45,连接E F,贝lj：EF=DF-BE.图 示(2)作法：将aABE绕点A逆时针旋转90(3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD
3、,ZBAD+ZC=180,点E,F分别在边BC,C D,NEAF=2Z B A D,连接E F,则：EF=BE+DF.图 示(3)作法：将AABE绕点A逆时针旋转/B A D的大小类型三：等边三角形中1 2 0 含6 0 的半角模型作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连 接DG结论：ADEF丝ADCF；EF=BE+CF【真刎台新】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典 例1】如图，四边形ABC。中，ZA=ZB C D=90,B C=C D,若将ABC绕着点C逆时针旋转9 0 得&)1.(1)求证：NAOC+NCZ)E=180；(2)若 AB=3的，AC=472 cir 求 的长；(3)
4、在(2)的条件下，求四边形ABC。的周长和面积.BADE【变式 1-1如图，RtZA8C 中，NBAC=90,AB-AC,D、E 为 BC 边上两点，Z D A E=45,过 A 点作 AF_LAE,且 A F=A E,连接。F、B F.下列结论：A A B F /A C E,AC 平分/E O F；若 BD=4,C E=3,则 A B=6 ；若 AB=BE,SAA B D=/S仙E，其中正确的个数有()【变 式 1-2如图，等腰直角三角形ABC中，上，且/MAN=45.若 BM=1,CN=3,C.3 个D.4 个NBAC=90,A B=A C,点 M,N 在边 BC则M N的长为.【类型二：
5、正方形中角含半角模型】【典例2】(2022春西山区校级月考)如图,已知正方形A8C,点 E、尸分别是48、BC边上，且NEDF=45,将D4E绕点。逆时针旋转90,得到口:.(1)求证：A E D F注A M D F；(2)若正方形ABC。的边长为5,4E=2时，求 E尸的长？【变式2-1（2 0 2 2 春路北区期末）如图，在边长为6的正方形A 8 Q 9 内作N E 4 F=4 5 ,AE交 BC于点E,AF交 CD于点凡 连接E 凡 将aAD尸绕点A顺时针旋转9 0 得到ABG.（1）求证：G E=F E；【变式2-2 （2 0 2 1 秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
6、从正方形的一个顶点引出夹角为4 5 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：如 图 1,在正方形A B C。中，以A为顶点的N E 4 尸=4 5 ,A E、A 尸与B C、C 力边分别交于 E、F两点.易证得E F=B E+F D大致证明思路：如图2,将 A O F 绕点A顺时针旋转9 0 ,得到A B”，由1 8 0 可得H、B、E三点共线，ZHAEZEAF=45 ,进而可证明凡 故 尸=BE+DF.任务:图1 图2 图3如图 3,在四边形 A B C D 中，AB=AD,NB=/Z）=9 0 ,Z B A =1 2
7、 0 ,以 A 为顶点的N E A F=6 0 ,AE.”与 B C、C 边分别交于E、尸两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论E F=B E+D F是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由./M4N绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C B,D C（或它们的延长线）于点M,N,A/7 L M N 于点从【典例3】已知正方形A 8 C。中，N M A N=4 5 ,图 图 图（1）如图，当N M A N 绕点、A 旋转到B M=D N 时,请你直接写出4H 与 AB的数量关系：;（2）如图，当NAMN绕点4旋转到时，（1）中发现的A”与 AB的数量关系还成立吗？如果不成立请
8、写出理由，如果成立请证明;(3)如图，已知/M A N=4 5 ,A H_LM N于点H,且M=2,A H=6,求N”的长.(可利 用(2)得到的结论)【变式3-1】探究：(1)如 图1,在正方形A B C Q中，E、F分别是B C、8 上的点，且N E A F=4 5 ,试判断B E、。尸与反三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)间中的条件变为“在四边形A B C。中，A B=A Q,Z B+Z D=1 8 0 ,E、尸分别是边B C、C 上的点，且,则(1)问中的结论是否仍然2成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将A E F绕
9、点A逆时针旋转，当点分别E、尸运动到B C、C 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.【变式3-2】已知：如图边长为2的正方形A 8 c。中，/M A N的两边分别交B C、C E)边于M、N 两点，且N M A N=45求证：M N=B M+D N；若A M、A N交对角线8。于E、尸两 点.设B F=y,D E=x,求y与x的函数关系式.【类型三：等边三角形中120含 6 0 的半角模型】【典例4 已知在 A B C中，AB=AC,D,E是B C边上的点，将 4 B O绕点4旋转，得到A C D ,连接。E(I )如图 1,当N
10、 B A C=1 20 ,Z D A =6 0 时，求证：DE=DE；(II)如图2,当。E=E时，请写出/D 4 E与/5 4 c的数量关系，并说明理由.(III)当 N B A C=9 0 ,DE=DE,必说明理由).E C=C Z J时，请直接写出B Z)与C E的数量关系(不图1图2【变式4-1(2017秋锦江区期末)在ABC中，A 2=A C,点 E,尸是边BC所在直线上与点8,C 不重合的两点.(1)如 图 1,当NBAC=90,ZE A F=45时，直接写出线段BE,CF,E F的数量关系；(不必证明)(2)如图 2,当 NBAC=60,ZEAF=300 时，已知 BE=3,C
11、F=5,求线段 EF 的长度；(3)如图3,当NBAC=90,NEAF=135时，请探究线段CE,BF,的数量关系，【变式 4-2】等边A B C,。为ABC 外一点，ZBDC=120,BD=DC,ZMDN=60,射线DM 与直线AB相交于点M,射线ON与直线AC相交于点N,当点M、N 在边AB、AC上，且 M=W时，直接写出BM、NC、之间的数量关系.当点M、N 在边AB、AC上，且。MWEW时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明.当点M、N在 边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、M V之间的数量关系.44.专题0 6半角模型(知识解读)【专驳说明】角含半角模型，顾名思
12、义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两利8旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型(1)如图，在aABC 中，AB=AC,ZBAC=90,点 D,E 在45BDECBC ,且NDAE=45,则：BD+CE=DE.旋翻折法作 法 1:将aA B D 旋转90作 法 2：分别翻折aA B D,aACE(2)如图，在4 A B C中，AB=AC,ZBAC=90,点 D在 BC上，点E在 BC延长线上，且Z DAE=45,则：BD+CE=DE.转法旋转法(3)如图，
13、将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型(1)如图，在正方形ABCD中，点 E,F分别在边BC,CD,A 作人6_1_于 EF 于点 G,则:EF=BE+DF,AG=AD.NEAF=45,连接EF,过点作法：将4ABE绕点A 逆时针旋转90F分别在边CB,DC的延长线上，ZEAF=45,连接图 示(1)(2)如图，在正方形ABCD中，点 E,图 示(2)作法：将4ABE绕点A 逆时针旋转90(3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形A B C D中，A B=A_D,Z B A D+Z C=1 8 0,点
14、E,F分别在边B C,C D h,D E A F=2Z B A D,连接E F,则：EF=BE+DF.图 示(3)作法：将 A B E绕点A逆时针旋转/B A D的大小类型三：等边三角形中120含60的半角模型结论：A D E F且D G F；E F=B E+C F【典例今折】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典 例1】如图，四边形A B C。中，N A=N B C D=9 0 ,B C=C D,若将 A B C绕着点C逆时针旋转9 0 得：)1.(1)求证：Z A D C+Z C D =1 8 0 ；(2)若 A B=3c m,AC=4 V 2 c n)求 A。的长；(3)在(2)的条
15、件下，求四边形A 8 C O的周长和面积.【解答】（1）证明：如图，在四边形A 8 C O中，N A=N B C O=9 0 ,则/B+N A O C=1 8 0 .,将A B C绕着点C逆时针旋转9 0 得E OC,A B C 妾:.NC DE=NC BA,.N A C+/C E=1 8 0 ；(2)解：将ABC绕着点C 逆时针旋转9 0 得:,：.AC=EC=4V2 cir-A B=E D=3cm,乙4CE=90,.E=&4 C=8 c m,.,.AD=AE-EC=AE-AB=5cmt(3)解：如图，连接2D.由(2)知，AD=5cm._则在直角AB。中，由勾股定理得到：BD=AB2+AD
16、2=734.又,：BC=CD,NBCQ=90,:.BC=CD=V2，四边形 A BCD 的周长为：A B+AD+2BC=3+5+2717=8+2/17；AABCAEDC,工四边形A8C。的面积=zMCE的面积=工 0。后=乂4&*4&=16(cm2).2 2综上所述，四边形A8C。的周长为(8+2V17)c m,面积为160j.AB=AC,D、E 为 BC 边上两点，NDAE=45,过 A 点作AF_LAE,且 A F=A E,连接OF、B F.下列结论：ABF丝ACE,AD 平分NEDF；若 80=4,C E=3,则 AB=6近;若 AB=BE,SA4BD=-SAADE.其中正确的个数有()
17、【解答】解：,：AFLAE,：.ZFAE=90,；N54C=90,C.3 个D.4 个A ZFAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,：.ZFAB=ZEAC,：AB=AC,AF=AE,：.(SAS),故正确；ZDAE=45,ZE4E=90,：.ZFAD=ZFAE-ZDAE=45,：.ZFAD=ZD AEfU：AD=AD,AF=AE,(S A S),：.ZFDA=ZEDA,，AO 平分/E O F,故正确；在 Rt/LABC 中，/8A C=90,AB=AC,.NABC=NC=45,B C=A B,：A B F A A C E,；.NABF=NC=45,BF=CE=3,：.NFBD=NABF+NA8
18、D=90,DF=7BF2+B D2=VS2+42=：5,.办力好EAA),：.FD=ED=5,：.BC=BD+DE+CE=4+5+3=2,:.AB=6五,故正确；VAB=B,ZABE=45,:.NBAE=NBEA=675,：ND4E=45,ZADE=180-A DAE-ZA D=67.5 ,/.ZAD BZAEC,：AB=AC,ZABE=ZC=45,A(/U S),:.BD=CE,：BF=CE,：.BD=BF,；NFBD=90,：.DF=42BD,：.DE=42BD,SAADE=yS&ABD,故错误；综上所述，正确的个数有3 个，故选：C【变 式 1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC
19、=90,A B=4 C,点 M,N在 边BC上，且/M AN=45.若 BM=1,C N=3,则 MN 的长为C.【解答】解：将AM8逆时针旋转9 0 到A C F,连接NF,:.CF=BM,AF=AM,NB=NACF.Z 2=Z 3,ABC是等腰直角三角形，ABAC,ZBAC=90,：.ZB=ZA C B=45Q,V Z MAN=45,/W 4尸=/l +/3=/l+/2=9 0 -45=45=N在MAN和R W 中 A N=A N7.EF2+x-中，ZMAN=45,/M A N 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N,AHLMN于点从图 图 图（1）如图，
20、当NMAN绕点A 旋转到时，请你直接写出AH与 A 3 的数量关系：;（2）如图，当NM4V绕点A 旋 转 到 片 LW时，（1）中发现的A”与 4 8 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知NAMN=45,于点，且 M”=2,A H=6,求 N”的 长.（可利 用（2）得到的结论）【解答】解：（1）正方形ABCQ,：.AB=AD,NB=ND=NBAD=9Q,在 R tA A B M 和 RtAADN 中，rA B=A D Z B=Z D,B M=D N：.RtABM R t/AD N（SAS）,:.NBAM=NDAN,AM=AN,./MAN=45,A ZB
21、AM+ZDAN=45,ZBAM=ZDAN=22.5,V ZMAN=45Q,AM=AN,A H I MN：.ZMAH=ZNAH=22.5,J.ZBAM ZM AH,在 RtAABM 和 RtAAHM 中，Z B A M=Z M A H Z B=Z A H M，,A N=A M(A 4 5),：.AB=AH,故答案为：A B-A H；(2)成立，理由如下：延长CB至 E,使如图:：.AB=AD,ND=NABE=90,ARtAAEBRtAA/VD(S A S),：.AE=AN,NEAB=ZNAD,：/D4N+NBAM=45,：.ZEAB+ZBAM=45,/.ZEAM=45,.,.NE4M=NM4M=
22、45,又 AM=AM,：.lAEM /XANM(SA S),AB,AH是AEM和ANA/对应边上的高，：.AB=AH.(3)分别沿AM,A N 翻折AM”和A M/,得到4BM 和A N D,分别延长B M 和D N交于点、C,如图：:沿 AM,AN 翻折和4代”，得 到 例 和 ANZ),：.AB=AH=AD=6,N84O=2NMAN=90,ZB=ZAH M=90a=NAHN=ND,四边形A8CZ)是正方形，.AHAB=BC=CD=AD=6.由(2)可知，设,N H=x,则 M C=B C-8M=8C-H A f=4,NC=CD-DN=CD-NH=6-x,在R tZ M C N中，由勾股定理
23、，得MM=MC 2+NC 2,：.(2+x)2=42+(6-x)2,解得x3,：.NH=3【变式3-1】探究：(1)如 图1,在正方形A B C O中，E、F分别是B C、C 上的点，且/E 4 f=4 5 ,试判断8E、。尸与E F三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形A 8C。中，Z B+Z D=180,E、尸分别是边B C、C 上的点，且，则(1)问中的结论是否仍然2成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将A E F绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到B C、C Z)延长线上时，如图3所示，其它条件不
24、变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.图1 图2 图3【解答】解：(1)如 图1,将绕点A顺时针旋转，使AD与A 8重合，得到a A B尸，V Z A F=4 5 ,ZEAF=/E A F=4 5 ,在A E F 和 A E F 中，A F=A F 尸也 A 8F ,:.NBAF=ZDAF,AF=AF,BF=DF,ZABF=ZD,又；/4/=上/明。，2N EAF=N DAF+N BAE=ZBAE+ZBAF,：.Z E A F=Z E A F ,又,.N A B C+N Q=180,A ABF+N A B E=180,:.F、B、E三点共线，在aAEF 与 A A
25、E F 中，A F=A F Z E A F=Z E A F?，A E=A E：./AEFAEF(SAS),：.EF=E F,又,：EF=BE+BF,；.EF=BE+DF；(3)发生变化.EF、BE、OF之间的关系是EF=3E-CF.理由如下：如图3,将AOF绕点A顺时针旋转，使AO与AB重合，点F落在BC上点F,处，得到4 B F,.A O&A 4 8 F,/.ZBAF=ZDAF,AF=AF,BF=DF,又且ZBAF=ND4凡2：.Z F AE ZBAD-(BAF+ZEAD)=ABAD-(ZDAF+ZEAD)=ZBAD-Z项 E=ZEXE,即/AE=ZFAE,A F =A F在 AE与阳E中，
26、NF A E=Z F A E-A E=A E:Z AEZFAE(SAS),:.EF=E F,又：BE=BF+EF,：.EF=BE-B F,即 EF=BE-DF.图1【变式3-2已知：如图边长为2的正方形4 8 8中，NMAN的两边分别交BC、C边于M、N两点，且/M 4V=45求证：MN=BM+DN；若AM、AN交对角线8。于E、F两点.设D E=x,求y与x的函数关系式.【解答】(1)证明：将ABM绕点A逆时针旋转90至ADW,/.ZM1 AN=ZDAN+ZMAB=45,AM1=AM,BM=DM,：M AN=NMAN=45,AN=AN,AM NAAM N ,:.M N=NM,：.M N=M
27、D+DN=BM+DN,；.MN=BM+DN.(2)解：V ZAD=45+ZBAE,ZFAB=45+ZBAE,：.NAED=/FAB,：ZABF=ZADE,：./BFA/DAE,.BF=A BA D DE _y=_22 T；.丫=生【类型三：等边三角形中120含 6 0 的半角模型】【典例4】已知在aABC中，AB=AC,D,E是8 c边上的点，将A8O绕点A旋转，得到AC。，连接。E.(I)如图 1,当/A4C=120,ZDAE=60 时，求证：DEDE；(II)如图2,当。E=Q七时，请写出ND4E与N8AC的数量关系，并说明理由.(III)当/BAC=90,DE=DE,必说明理由).EC=C。时，请直接写出8。与OE的数量关系(不图2图1【解答】(/)证明：将A8。绕点4旋转，得到：.AD=AD,ZCAD=BAD,V ZBAC=120 ，ZDAE=6 0 ，/.ZDAE=Z C A D Z C A E=Z B A D+Z C A E=Z B A C-Z D A E=120 -60=60,：.ZDAE=ZDAE,在与A D E 中，A D 二 A D，Z D A E=Z Dy A E，A E=A EAADE/ADE(S A S)，：.DE=DE；(I I )解：ZD A E=/,理由如下：在与A。七中，N=NMDN=60MDN MiDM:MN=MN,:NC-BM=MN.