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1、专题07 手拉手模型综合应用（知识解读）【专题说明】手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。【方法技巧】类型一：等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，ABC和CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P （2） 记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N （2）连接MN （4）记AD、BE交点为P，连接PC： （5）结论五：APB=BPC=CPD=DPE=60 （6） 连AE:结论六：P点是ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）类型二：正方形手拉手如图，四边
2、形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG 【典例分析】【类型一：等边三角形手拉手】【典例1】（2021春西安期末）如图，在ABC中，BC5，以AC为边向外作等边ACD，以AB为边向外作等边ABE，连接CE、BD（1）若AC4，ACB30，求CE的长；（2）若ABC60，AB3，求BD的长【变式1-1】（2021九上吉林期末）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=2，此时AD=BE，ADBE成立（1）将CDE绕点C逆时针旋转90时，在图中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和
3、位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度【变式1-2】（2021九上宜春期末）如图（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE则：ACB的度数为 ；线段BE，CE与AE之间的数量关系是 （2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点A，D，E在同一直线上若CE=2，BE=2，求AB的长度（3）探究发现：图1中的ACB和DCE，在DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设
4、直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由【变式1-3】（2021春金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边ABC内有一点P，若AP8，BP15，CP17，求APB的大小；（提示：将ABP绕顶点A旋转到ACP处）（2）如图2，在ABC中，CAB90，ABAC，E、F为BC上的点，且EAF45求证：EF2BE2+FC2；（3）如图3，在ABC中，C90，ABC30，点O为ABC内一点，连接AO、BO、CO，且AOCCOBBOA120，若AC1，求OA+OB+OC的值【典例2】如图，在ABC与DEC中，已知ACBDCE90，AC6，BC3，CD5，CE2
5、.5，连接AD，BE（1）求证：ACDBCE；（2）若BCE45，求ACD的面积【变式2-1】如图1，在RtABC中，ACBC5，等腰直角BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD，将BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为（0360）（1）问题发现当0时，的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出ACD的面积【类型二：正方形手拉手】【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图所示的位置摆放，点B，C，
6、E在同一条直线上，其中ECF90【初步探究】（1）如图，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系： ；【类比探究】（2）如图，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和RtCEF，其中ECF90，且，其他条件不变判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；连接DF，BE，若CE6，AB12，求DF2+BE2的值【变式3】（2021秋荔湾区校级期中）以ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由（2）利用旋转的观点，在此题中，ADC可
7、看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的专题07 手拉手模型综合应用（知识解读）【专题说明】手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。【方法技巧】类型一：等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，ABC和CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P （3） 记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N （2）连接MN （4）记AD、BE交点为P，连接PC： （5）结论五：APB=BPC=CPD=DPE=60 （7） 连AE:结论六：P点是ACE的费马点（PA+PC+P
8、E值最小）类型二：正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG 【典例分析】【类型一：等边三角形手拉手】【典例1】（2021春西安期末）如图，在ABC中，BC5，以AC为边向外作等边ACD，以AB为边向外作等边ABE，连接CE、BD（1）若AC4，ACB30，求CE的长；（2）若ABC60，AB3，求BD的长【解答】解：（1）ABE与ACD是等边三角形，ACAD，ABAE，DCACADEAB60，EAB+BACCAD+BAC，即EACBAD在EAC和BAD中，EACBAD（SAS），ECBD，又ACB30，DCBACB+DCA90，CDAC4，BC5，BD，CE；
9、（2）如图，作EK垂直于CB延长线于点KABE与ACD是等边三角形，ACAD，ABAE，DCACADEAB60，EAB+BACCAD+BAC，即EACBAD在EAC和BAD中，EACBAD（SAS），ECBD，ABC60，ABE60，EBK60，BEK30，BKBE，EK，EC7，BDEC7【变式1-1】（2021九上吉林期末）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=2，此时AD=BE，ADBE成立（1）将CDE绕点C逆时针旋转90时，在图中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系
10、是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度【答案】（1）解：如图所示，BE=22；（2）解：AD=BE，ADBE仍然成立.证明：延长AD交BE于点H，ACB=DCE=90，ACD=ACB-BCD，BCE=DCE-BCD，ACD=BCE，又CD=CE，AC=BC，ACDBCE，AD=BE，1=2，在RtABC中，1+3+4=90，2+3+4=90，AHB=90，ADBE.（3）AD=5-1或AD=5+1【变式1-2】（2021九上宜春期末）如图（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均
11、为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE则：ACB的度数为 ；线段BE，CE与AE之间的数量关系是 （2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点A，D，E在同一直线上若CE=2，BE=2，求AB的长度（3）探究发现：图1中的ACB和DCE，在DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由【解答】（1）ABC是等边三角形，ACB=60，故答案为：60；ACB和DCE均为等边三角形，AC=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCE，ADCB
12、EC(SAS)，AD=BE，DCE为等边三角形，CE=DE，BE+CE=AD+DE=AE，故答案为：BE+CE=AE（2）解：ACB和DCE均为等腰直角三角形，AC=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE，ADCBEC(SAS)，AD=BE=2，ADC=BEC，DCE为等腰直角三角形，CDE=CED=45，CD=CE=2，DE=CD2+CE2=(2)2+(2)2=2，CEB=CDA=180-45=135，AE=AD+DE=2+2=4，AEB=CEB-CED=135-45=90，AEB是直角三角形，AB=AE2+BE2=42+22=25（3）如图3，由（1）知ADCBEC，CAD
13、=CBE，CAB=ABC=60，OAB+OBA=120，AOE=180-120=60，如图4，同理求得：AOB=60，AOE=120，AOE的度数是60或120【变式1-3】（2021春金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边ABC内有一点P，若AP8，BP15，CP17，求APB的大小；（提示：将ABP绕顶点A旋转到ACP处）（2）如图2，在ABC中，CAB90，ABAC，E、F为BC上的点，且EAF45求证：EF2BE2+FC2；（3）如图3，在ABC中，C90，ABC30，点O为ABC内一点，连接AO、BO、CO，且AOCCOBBOA120，若AC1，求OA+OB+OC的值【解答】解
14、：（1）如图1，将APB绕着点A逆时针旋转60得到ACP，ACPABP，APAP8、CPBP15、APCAPB，由题意知旋转角PA P60，AP P为等边三角形，P PAP8，A PP60，PP2+PC282+152172PC2，PPC90，APBAPCA PP+P PC60+90150（2）如图2，把ABE绕着点A逆时针旋转90得到ACE，则AEAE，CECE，CAEBAE，BAC90，EAF45，BAE+CAFCAF+CAEFAE45，EAFEAF，且AEAE，AFAF，AEFAEF（SAS），EFEF，B+ACB90，ACB+ACE90，FCE90，EF2CF2+CE2，EF2BE2+C
15、F2；（3）如图3，将AOB绕点B顺时针旋转60至AOB处，连接OO，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，AB2，BC，AOB绕点B顺时针方向旋转60，AOB如图所示；ABCABC+6030+6090，ACB90，AC1，ABC30，AB2AC2，AOB绕点B顺时针方向旋转60，得到AOB，ABAB2，BOBO，AOAO，BOO是等边三角形，BOOO，BOOBOO60，AOCCOBBOA120，COB+BOOBOA+BOO120+60180，C、O、A、O四点共线，在RtABC中，AC，OA+OB+OCAO+OO+OCAC【典例2】如图，在ABC与DEC中，已知ACBDCE90，AC6
16、，BC3，CD5，CE2.5，连接AD，BE（1）求证：ACDBCE；（2）若BCE45，求ACD的面积【解答】（1）证明：ACBDCE90，ACD+DCBDCB+BCE，ACDBCE，又，ACDBCE；（2）解：过A作AGCD于G，由（1）知，ACDDCBBCE45，AGCG，在RtACG中，由勾股定理得：CGAG3，S【变式2-1】如图1，在RtABC中，ACBC5，等腰直角BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD，将BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为（0360）（1）问题发现当0时，的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）
17、中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出ACD的面积【解答】解：（1）ABC与BDE都是等腰直角三角形，DEAC，B45，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45，故答案为：；45；（2）无变化，理由如下：延长AE，CD交于点F，CF交AB于点G，ABC与BDE都是等腰直角三角形，ABCDBE45，ABCABDDBEABD，CBDABE，又，ABECBD，BAEBCD，F180BAEAGF180BCDBGCABC45；（3）如图，当DE在AB上方时，作AHCD于H，由A，D，E三点在同一条直线上知，ADB90，AD
18、，由（2）知ADH45，AH，CD，SACDCDAH12+，当DE在AB下方时，同理可得SACDCDAH12，【类型二：正方形手拉手】【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中ECF90【初步探究】（1）如图，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系： ；【类比探究】（2）如图，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和RtCEF，其中ECF90，且，其他条件不变判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；连接DF，BE，若CE6，AB1
19、2，求DF2+BE2的值【解答】解：（1）如图，BF与CD交于点M，与DE交于点N，四边形ABCD是正方形，BCDC，BCD90，ECF是等腰直角三角形，CFCE，ECF90，BCDECF，BCD+DCFECF+DCF，BCFDCE，BCFDCE（SAS），BFDE，CBFCDE，BMCDMF，CBF+BMC90，CDE+DMF90，BND90，BFDE，故答案为：BFDE，BFDE；（2）如图，理由：四边形ABCD是矩形，BCD90，ECF90，BCD+DCFECF+DCF，BCFDCE，BCFDCE，；如图，连接BD，BCFDCE，CBFCDE，四边形ABCD是矩形，CDAB12，CE6，
20、CF8，BC16，DBO+CBF+BDCBDO+CDE+BDCDBO+BDO90，BOD90，DOFBOEEOF90，在RtDOF中，DF2OD2+OF2，在RtBOE中，BE2OB2+OE2，在RtDOB中，DB2OD2+OB2，在RtEOF中，EF2OE2+OF2，DF2+BE2OD2+OF2+OB2+OE2DB2+EF2，在RtBCD中，BD2BC2+CD2162+122400，在RtCEF中，EF2EC2+CF262+82100，BD2+EF2400+100500，DF2+BE2500【变式3】（2021秋荔湾区校级期中）以ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由（2）利用旋转的观点，在此题中，ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的【解答】解：（1）CDBF且CDBF，理由如下：四边形ABED和四边形ACGF都是正方形，ADAB，ACAF，DABCAF90，又DACDAB+BAC，BAFCAF+BAC，DACBAF，在DAC与BAF中，DACBAF（SAS），DCBF，AFBACD，又AFN+ANF90，ANFCNM，ACD+CNM90，NMC90，BFCD；（2）ADAB，ACAF，CDBF，DABCAF90，ADC可看成是ABF绕点A顺时针旋转90得到的