《初中中考总复习数学《图形的变换》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中中考总复习数学《图形的变换》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考总复习：图形的变换一知识讲解(基础)责编：常春芳【考纲要求】1 .通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】ri随【考点梳理】考点一、平移变换i .平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
2、形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.【要点诠释】(1)平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；(2)图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；(3)图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.2 .平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等.【要点诠释】(1)要注意
3、正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；(2)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.考点二、轴对称变换1.轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2.轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某
4、直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3.轴对称作图步骤找出己知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点.按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1.旋转概念：把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转.点0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.2 .旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中
5、，图形的形状、大小都没有发生变化.3 .旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段，从而作出图形中各关键点的对应点.按原图形连结方式顺次连结各对应点.4.中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180,它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5.中心对称作图步骤连结决定已知
6、图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换.如图1,两个等边AABD,的边长均为1,将AABD沿AC方向向右平移到A A B D 的位置，得到图2,则阴影部分的周长为【思路点拨】根据两个等边A A B D,Z X C B D的边长均为1,将A A B D 沿 A C 方向向右平移到A A B
7、D 的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出O M+M N+N R+GR+EG+O E=A D +C D=1+1=2,即可得出答案.【答案与解析】,两个等边A A B D,C B D的边长均为1,将A A B D 沿 A C 方向向右平移到4A B D 的位置，/.A,M=A N=M N,M O=DM=DO,O DZ=D E=O E,EG=EC=GC,B G=R G=R B ,Z.O M+M N+N R+GR+EG+O E=Az D +C D=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A M=A N=M N,M O=DM=DO,O D =D ER E,E
8、G=EC=GC,B G=R G=R B 是解决问题的关键.举一反三：【变式】(20 15顺义区一模)如图，平行四边形A B C D中，点 E 是 A D边上一点，且 C ELB D于点F,将DEC 沿从D 到 A的方向平移，使点D 与点A重合，点 E 平移后的点记为G.(1)画出a D E C 平移后的三角形；(2)若 B C=2泥，B D=6,C E=3,求 A G 的长.【答案】解：(1)Z A GB 为a D E C 平移后的三角形，如下图所示;(2)A GB 为A D E C 平移后的三角形，B G=C E=3,B G/7C E,VC EB D,.B GB D.在 R tZ X B D
9、G 中，V Z GB D=90 ,B G=3,B D=6,，,DG=VB G2+B D2=3 四边形A B C D是平行四边形，A D=B C=2 乖，A A G=DG-A D=3泥-2后 展.如图（1）,已知A A B C 的面积为3,且 A 8 =A C,现将A A B C 沿 C A 方向平移C A 长度得到AEFA.（1）求 A4 BC所扫过的图形面积；（2）试判断，A F与 B E的位置关系，并说明理由;（3）若 N B EC=15,求 A C 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到SAEFA=SABAF=SA,从而便可得到四边形C EFB的面积；（2）由已知
10、可证得平行四边形EFB A 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到A F 与 B E的位置关系为垂直；（3）作 B DLA C 于 D,结合三角形的面积求解.【答案与解析】（1）由平移的性质得A F B C,且 A F=B C,A EFA A A B C二四边形A FB C 为平行四边形SABFA=S&BAF=SAABC=3四边形EFB C 的面积为9；(2)B EA F证明：由(1)知四边形A FB C 为平行四边形，B F A C,且 B F=A C又；A E=C A，B FA E 且 B F=A E/.四边形EFB A 为平行四边形又已知A B=A C/.A B=A E平行四边形EF
11、B A 为菱形.B EA F；(3)如上图，作 B DJ_ A C 于 DVZ B EC=15,A E=A B；.N EB A=/B EC=15.Z B A C=2Z B EC=30.在 R S B A D 中，A B=2B D设 B D=x,则 A C=A B=2xVS&A B C=3,且 SA A B C=-A C*B D=,2x,x=x?2 2.,.x M x为正数x=V3：.KC=2y/3.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力.类型二、轴对称变换匕（20 16贵阳模拟）数学课上，老师出了一道题，如图，R tzM B C 中，
12、Z C=90 ,A C，A B，求证：Z B=30 ,请你完成证明过程.（2）如图，四边形A B C D是一张边长为2 的正方形纸片，E、F 分别为A B、C D 的中点，沿过点D 的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交A E于点G,请 运 用（1）中的结论求N A D G 的度数和 A G 的长.（3）若矩形纸片A B C D按如图所示的方式折叠，B、D 两点恰好重合于一点0 （如图），当 A B=6,求EF的长.【思路点拨】（1）R t A B C 中，根据si n B 一挺=,即可证明N B=30 ；A B 2（2）求出N FA D 的度数，利用翻折变换的性质可求出/A D
13、G 的度数，在 R t A F D 中求出A F,得出A E,在 R t A A E G中可求出A G,利用翻折变换的性质可得出A G 的长度.（3）先判断出A D=1 c,得出N A C D=30 ,Z D A C=60 ,从而求出A D 的长度，根据翻折变换的性质可得2出N D A F=N F A 0=30 ,在 R t/X A D F 中求出D F,继而得出F O,同理可求出E O,再由E F=E O+F O,即可得出答案.【答案与解析】（1）证明：R t Z iA B C 中，Z C=9 0 ,A C 1 A B，：s inB=旭 A B 2，/B=30 ；（2）解：；正方形边长为2,
14、E、F为 A B、C D 的中点，.E A=F D=1 X 边长=1,2 沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在E F上的点A处,AA,D=A D=2,FD -1A D 2AZFA,D=30 ,可得N F D A =9 0 -30 =60 ,YA沿G D折叠落在A处，.,.Z A D G=Z AZ D G,A G=A G,A ZADG=ZA D A/_=1 5。，2 2VA,D=2,F D=1,:，A D2-FD2=.,.E A;=E F-A F=2 -7 3-VZEAz G+/D A F=1 8 0 0 -/G A D=9 0 ,/.Z E AZ G=9 0 -/D A F=9 0 0 -30
15、 =60 ,.,.Z E GAz=9 0 -N E A G=9 0 0 -60 =30 ,则 A G=A G=2 E AZ=2 （2-百）；（3）解：折叠后B、D两点恰好重合于一点0,/.A 0=A D=C B=C 0,，D A=挺，2V Z D=9 0 ,/.Z D C A=30 ,V A B=C D=6,在 R t Z X A C D 中，包!=t a n30 ,D C则 A D=D C今2炳,t a n30 =6XV ZDAF-ZFAO=1ZDAO=22_ _ N D C A=3 0。,2 2D F=t a n30 =近，A D 3.D F=Y A D=2,3；.D F=F 0=2,同理
16、E 0=2,/.E F=E 0+F 0=4.【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30。角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通.举一反三：【变式】（2 0 1 6 松北区模拟）如 图（1）是四边形纸片A B C D,其中N B=1 2 0 ,N D=5 0 .若将其右下角向内这出 P C R,恰使C P A B,R C A D,如 图（2）所示，则/C=度.【答案】V Z C P R=-Z B=-X 1 2 0 =60 ,Z C R P=-Z D=-X 5 0 =2 5。，2 2 2 2A Z C=1 8 0 -60 -2 5 =9 5 .
17、C4.如 图 1,矩形纸片A B C D 的边长分别为a,b （a 0).(1)求N A P B 的度数；(2)求正方形A B C D 的面积.【答案】(1)将a A B P 绕点B顺时针方向旋转90得C B Q.则a A B P 丝Z X C B Q 且 P B _ L Q B.于是 P B=Q B=2 a,PQ=加+。/=2缶.在P Q C 中，；p cJ=9 aJ-PQC-9a2-PC2=PQ2+QC2-P B Q 是等腰直角三角形，Z B P Q=Z B Q P=4 5 .故/A P B=N C Q B=90+4 5 =13 5 .(2)V Z A P Q=Z A P B+Z B P
18、Q=13 5 +4 5 =18 0,二 三点A、P、Q在同一直线上.在 RtAAQC 中，依2=AQ3+QC3=(a+2扬 +/=(10+4&)J .正方形A B C。,岑=(5+2心/中考总复习：图形的变换一知识讲解(提高)【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案
19、设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1 .平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.【要点诠释】(1)平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；(2)图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；(3)图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.2 .平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形
20、上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等.【要点诠释】(1)要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；(2)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.考点二、轴对称变换1.轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分
21、能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2.轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3.轴对称作图步骤找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2 倍，得到各点的对称点.按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.4 .翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点(对称点)
22、连线必被折痕垂直平分.【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.考点三、旋转变换1.旋转概念：把一个图形绕着某一点0 转动一个角度的图形变换叫做旋转.点。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.2 .旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.3 .旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定
23、的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段，从而作出图形中各关键点的对应点.按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】1.图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.2.平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折(轴对称)两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2 倍.【典型例题】类型一、平移变换C1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把4 A C D 沿 CA方向平移得到A
24、A C D .(1)证明AA AD CC,B；(2)若NACB=30,试问当点C 在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D 是菱形，并请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知利用S A S 判定 A D AC CZ B；(2)由已知可推出四边形A B C D 是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形A B C D 是菱形，由已知可得到B C =-KC,A B-A C,从而得到A B=B C,所以四边形A B C D是菱形.2 2【答案与解析】(1)证明：.四边形A B CD 是矩形，封 C D由4 A C D 平移得到，.A D =A D=CB,A A =CC ,A D A D B
25、C.N D A C1=N B CA.A A D 丝 ：B.(2)解：当点C 是线段A C的中点时，四边形A B C D是菱形.理由如下：.四边形A B CD 是矩形，X N C D由A A C D 平移得到，A C,D=CD=A B.由(1)知 A D =C B.四边形A B C D是平行四边形.在 R t Z A B C中，点 C 是线段A C 的中点，.B C =-A C.2而 N A CB=3 0 ,/.A B=-A C.2/.A B=B C,.四边形A B C D 是菱形.【总结升华】本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握，考查学生综合运用数
26、学的能力.2.操作与探究：(1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以工，再把所得数对应的点向右平移1 个单3位，得到点P的对应点P.点 A,B在数轴上，对线段A B 上的每个点进行上述操作后得到线段A B,其中点A,B的对应点分别为卜，B .如 图 1,若点A表示的数是-3,则点A表示的数是；若点B表示的数是2,则点B 表示的数是；已知线段A B 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E 与点E重合，则点E表示的数是.A B-:46 1 2 34图1（2）如图2,在平面直角坐标系x O y中，对正方形A B CD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a,
27、将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n个单位（m 0,n 0）,得到正方形A B C D 及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为A ,B.已知正方形A B CD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F与点F 重合，求点F的坐标.【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A,设 点 B表示的数为 a,根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b,根据题意列出方程计算即可得解；（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点 F的坐标为（x,y）,根据平移规律列出方程组求解即可.【答案与解析】（
28、1）点 A ：-3 X-+1=-1+1=0,3设点B表示的数为a,则,a+l=2,解得a=3,31 3设点E表示的数为b,则-b+l=b,解得b=2；3 23故答案为：0；3；.2-3 a +z =-l(2)根据题意得，,3。+加=20 6!+=21a=2解得 m=，2n=2设点F的坐标为（x,y）,.对应点F 与点F重合，x+=x,y+2=y,解得 x=l,y=4,所以，点 F 的坐标为（1,4）.2 2 2【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键.举一反三：【变式】如图，若将边长为2 c m 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线A C翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形
29、沿A C移动，若重叠部分A A P C 的面积是l a?,则移动的距离A A 等于.4 CCA/P/B B1【答案】根据题意得：AB A，B：B C/Bf C,:.NA PC=ZB=90 ,V Z A=Z C A/P=ZAC P=45 ,.A PC 是等腰直角三角形，.A PC 的面积是 Ic n?,*.SAA P C=Az P*PC=1 (c m)2.A P=PC=/2 c m,:A C=2 c m,由于原等腰直角三角形的斜边是2&c m,所以平移的距离是：2 及-2 (c m).类型二、轴对称变换3.(2 0 1 6 贵阳模拟)如图，矩形AB C D 中，AB=6,B C=8,点 E是射线
30、C B 上的一个动点，把4D C E沿 D E 折叠，点 C的对应点为C.(1)若点C刚好落在对角线B D 上时，B C ;；(2)若点C刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，求 C E 的长；(3)若点C刚好落在线段AD 的垂直平分线上时，求 C E 的长.【思路点拨】(1)根据点B,C,D 在同一直线上得出BC=BD-DC=BD-DC求出即可;(2)利用垂直平分线的性质得出CC=DC=DC,则DCC是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案;(3)利用当点C 在矩形内部时，当 点 C 在矩形外部时，分别求出即可.【答案与解析】解：(1)如 图 1,.点 B,C,D 在同一直线上,BC=BD-DC
31、=BD-DC=10-6=4；故答案为：4；(2)如图2,连接CC,.,点 C 在 A B 的垂直平分线上，.点C，在 DC的垂直平分线上，CC=DC=DC,则4 DCC是等边三角形,设 C E=x,易得 DE=2x,由勾股定理得:(2x)2-X2=62,解得：x=2，,即 CE的长为2“反；(3)作 A D 的垂直平分线，交 A D 于点M,交 BC于点N,分两种情况讨论:当 点 C 在矩形内部时，如图3,点 C 在 A D 的垂直平分线上，DM=4,DC=6,由勾股定理得：MC=2旄，NC=6-2娓,设 EC=y,则 C，E=y,NE=4-y,故 NC+NE2=C E2,即(6-217)2+
32、(4-y)2=y2,解得：y=9-3-/5，即 CE=9-3泥；当 点 C 在矩形外部时，如图4,.,点 C 在 A D 的垂直平分线上，DM=4,DC=6,由勾股定理得：MC=2旄，NC=6+2 遥，设 EC=z,则 C，E=a,NE=z-4故 NC,2+NE2=CE2,即(6+2-/5)2+(z-4)2=z2,解得：z=9+3,/5即 CE=9+3旄，综上所述：CE的长为93遥.【总结升华】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键.举一反三：【变式】如图所示，有一块面积为1 的正方形纸片ABCD,M、N分别为AD、BC的边上中点，将
33、C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ,连接PQ.(1)求 MP的长;(2)求证：以 PQ为边长的正方形的面积等于-.3AMD【答案】（1）解：连接B P、P C,由折法知点P 是点C关于折痕B Q的对称点.；.B Q 垂直平分 PC,B C=B P.又N 分别为AD、B C 边上的中点，且四边形AB C D 是正方形，B P=PC./.B C=B P=PC.PB C 是等边三角形.；PN_LB C 于 N,B N=NC=-B C=-,ZB PN=-X ZB PC=30 ,2 2 2A/3 2-V 3.PN=,MP=MN-PN=2 2(2)证明：由折法知 PQ=QC,ZPB Q=ZQB C
34、=30 .在 Rt z2 s B C Q 中，QC=B C t a n 30 0 -IX,3 37 3.PQ=.3以PQ为边的正方形的面积为.3.己知：矩形纸片A 8 Q D中，AB=2 6厘米，8.5厘米，点E在A D上，且 从 =6厘米，点P是A B边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕M N （如 图（1）所示）；步骤二，过点P作P T L A反交所在的直线于点Q,连结QE （如 图（2）所示）；（1）无论点P在A B边上任何位置，都有PQ QE （填“”、=、V”号）（2）如 图（3）所示，将矩形纸片A 3 C D放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进
35、行操作：当点P在A点时，PT与MN交于点。a，点的坐标是（,）；当P A =6厘米时，P T与MN交于点Q 2,。2点的坐标是(，);当P A=1 2厘米时，在 图(3)中画出M N,P T 不要求写画法)并求出MN与P T的交点乌 的坐标；(3)点P在在运动过程中，P T与MN形 成 一 系 列 的 交 点Q,G观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.B24CX(1)(2)(3)【思路点拨】(1)根据折叠的特点可知 N Q E gZ N Q P,所以P Q=Q E.(2)过点E作 E G L C hP,垂足为G,则四边形A P G E 是 矩 形.设 Q sG=
36、x,则 Q sE=Q 3 P=x+6.利用R tZ sE G 中的勾股定理可知x=9,Q 3 P=1 5.即 Q；(1 2,1 5).(3)根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式:1 ,y=x+3 (0 W xW 2 6).1 2【答案与解析】(1)由折叠的特点可知4砥 空 N Q P,所以P Q=Q E.(2)(0,3)；(6,6).画图，如图所示.过点E作 E G J _ Q F,垂足为G,则四边形A P G E 是矩形.；.G P=6,E G=1 2.设 Q：,G=x,则 Q aE=Q 3 P=x+6.在 R tA Q3E G 中,:E Q3
37、2=E G2+Q3G2x=9.；.Q 3 P=1 5.A Q s(1 2,1 5)(3)这些点形成的图象是一段抛物线.函数关系式：y=X2+3(0WXW 26).1 2【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”的模式,通过动点P在 A B 上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中,提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维.类型三、旋转变换C5.(2 0 1 6 本溪)已知，A A B C 为直角三角形，N A C B=9 0 ,点 P是射线C B 上 一 点(点 P不与点B、C重合)，线段A P 绕点A顺时针旋转9 0
38、 得到线段A Q,连接Q B 交射线A C 于点M.(1)如图，当 A C=B C,点 P在线段C B 上时，线段P B、C M 的数量关系是；(2)如图，当 A C=B C,点 P 在线段C B 的延长线时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程;若不成立，请说明理由.【思路点拨】(1)作出A A B C 绕点A顺时针旋转9 0 ,利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可;(2)作出a A B C 绕点A顺时针旋转9 0 ,利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可：(3)同(1)(2)的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定理求出x,最后用三
39、角形的面积公式即可.【答案与解析】解：(1)如 图 1,将A A B C 绕点A顺时针旋转90 ,得到A B C,；.B Q=B P,A B=A B,连接B B,VA C B C,.,.点 C 在 B B 上,且 C B=C B,依题意得,/C B B=90,而 C B=C B,.*.2C M=B Q,VB P=B Q,；.B P=2C M,故答案为：B P=2C M；(2)B P=2C M 仍然成立，理由：如图2,连接B Q,，B Q=B P,A B=A B,连接B B,VA C 1B C,.点 C 在 B B 上,且 C B=C B,依题意得，N C B B=90,而 C B=C B,；.
40、2C M=B Q,；B P=B Q,/.B P=2C M,(3)如图3,设 B C=2x,则 A C=5 x,将A A B C 绕点A 顺时针旋转90 ,得到A B C,连接B Q,.B C=B，C，,B Q=B P,A C=A C 延长B C 交 C Q于 N,四边形A C N C 是正方形，N=C N=A C=5 x,；.B N=C N+B C=7xVC M/Q N,-C M _ B CQNBNVC M=2,.2 _ 2x；.Q N=7,.*.B P=B，Q=C N+Q N -B C =5 x+7-2x=3x+7,P C=B C+B P=2x+3x+7=5 x+7,在 Rt Z X A C
41、 P 中，A C=5 x,P C=5 x+7,A P=13,根据勾股定理得，（5 x）2+（5 x+7）=132；.x=l 或 x=-A 2.（舍），5.B P=3x+7=10,A C=5 x=5,S&ABP=B P X A C=X 10X 5=25.2 2【总结升华】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，中位线的性质，解本题的关健是作出辅助线，也是本题的难点.C e.如图，小慧同学把一个正三角形 纸 片（即0A B）放在直线人上，0A 边与直线入重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120。，此时点0 运动到了点处，点 B 运动到了点瓦处；小
42、慧又将三角形纸片A 0 B 绕点&按顺时针方向旋转120。，此时点A运动到了点A i处，点 6运动到了点 拆 处（即顶点0 经过上述两次旋转到达6处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点o 运动所形成的图形是两段圆弧，即o q和a a,顶点o 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线上围成的图形面积等于扇形A O O 1的面积、A O B 的面积和扇形B iO iO s 的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为1 的正方形纸片O A B C 放在直线4上，0A 边与直线人重合,然后将正方形纸片绕着顶点八按顺时针方向旋转90 ,此时点0 运动到了点6处（即点
43、B处），点 C运动到了点G处，点 B运动到了点B l 处；小慧又将正方形纸片A O C B i绕顶点B i按顺时针方向旋转90 ,，按上述方法经过若干次旋转后.她提出了如下问题：问题：若正方形纸片O A B C 接上述方法经过3 次旋转，求顶点0 经过的路程，并求顶点0 在此运动过程中所形成的图形与直线入围成图形的面积；若正方形纸片O A B C 按上述方法经过5次旋转，求顶点 0 经过的路程；问题：正方形纸片O A B C 按上述方法经过多少次旋转，顶点0 经过的路程是?请你解答上述两个问题.O A 02 O A B（图）（图）【思路点拨】求出正方形O A B C 翻转时点0 的轨迹弧长，再
44、求面积即可.要理解的是第4 次旋转，顶点0没有移动.【答案与解析】解：问题：如图，正方形纸片经过3 次旋转，顶点0 运动所形成的图形是三段圆弧0 0 OQ?,0203,90-1 90 兀叵（,夜、所以顶点。在此运动过程中经过的路程为一两一 2+=1 +71.1 oU 1 oU I Z%.7r.i 2 90.”向顶 点 0 在此运动过程中所形成的图形与直线4围成图形的面积为+2-11=1+1.9 0-0.90小 也（3正方形纸片经过5次旋转，顶点0 运动经过的路程为：-3+T+Vhl oU l oU L L问题：正方形纸片每经过4次旋转，顶点。运动90 1 c 90兀 也 f,垃、经过的路程均为
45、：-7Z Z 2+=1+亏%.1 oU 1OV I又4一1+-2一0匹 万=2011+应、,+万，h而万,是正方形纸片第4“+,1 次旋转，顶点。运动经过的路程.正方形纸片0 A B C 按上述方法经过8 1 次旋转，顶点0经过的路程是“I+20二万.2【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积.举一反三：【变式】如图，等腰梯形MNP Q 的上底长为2,腰长为3,一个底角为6 0 .正方形A B C D 的边长为1,它的一边A D 在 MN上，且顶点A与 M 重合.现将正方形A B C D 在梯形的外面沿边MN、NP、P Q 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.（1）
46、请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNP Q 的三边MN、NP、P Q 所围成图形的面积S.【答案】（1）点 A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图:,1 _ JT（2）弧 A A i 与 A D,AQ围成图形的面积为：上圆的面积（半径为1）=巴；4 4弧 A 也 与 A J）,D N,A 亦围成图形的面积为:工圆的面积（半 径 为 夜）+正 方 形 的 面 积（边长为1）=-+1；4 2弧 AA与 A 2 N,NA 3 围成图形的面积为:-3-6-0-1-2-0-9-0=一5 圆问的 1vl面中 工积n（/半径业为1 ）-_-5 71；360-12 12其他三块小面积分别与以上三块相同.，点 A所经过的路线与梯形MNPQ的三边M N、NP、PQ所围成图形的面积S 为: