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1、第四章 指数函数与对数函数4.3对数例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=6 2 5 ；2（5）l g 0.01 =-2；（6）I n 1（）=2.3 03解：（1）l o g s 6 2 5 =4；（2）l o g,二 -6 ；6 4 l o g）5.73 =/7?3（4）W =1 6；（5）i o-2=0.01；（6）e2-3 03=1 0.例2求下列各式中尤的值：2（1）；（2）l o gv8=6；（3）I g l O O =x；（4）-I n e2=x-2_ 2 2 解：（1）因为所以X =6 4 3 =（4）3 =4-2 =记.（2）因为l o g,8=6,所以V
2、=8.又x0,所以x =1=（2 3）：=2 T=(3)因为IglOO=%,所以 10*=100，10*=1()2,于是x=2.(4)因为-I n e?,所以 111，=一不，e2=e-Jf于是x=-2.例3求下列各式的值：(1)igVioo；(2)log2(47 x25).-1 1?解：(1)1g班 丽=怆1005=s怆00=；(2)log2(47 x 25)=log2 47+log2 25=71og2 4+5 log,2=7x2+5xl=19.例 4 用Inx,Iny,Inz表示In/R.解：l n9NzIn(x27 7)-ln Vz=lnx2+In yy-In Vz 1,1,=21nx+
3、Iny Inz.例5尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为用 和4.由 lgE=4.8+1.5M,可得I g Ej =4.8+1.5 x 9.0,l g 2=4.8+1.5 x 8.0.E于是，i g U=i g g-i g 2E2=(4.8+1.5 x 9.0)-(4.8+1.5
4、 x 8.0)=1.5利用计算工具可得，袅=1 0”“3 2.E2虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1 级，但前者释放出来的能量却是后者的约3 2 倍.4.3.1对数的概念练习1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：(1)2 3=8;(2)e=m ；-1 1(3)2 7 3 =；3(4)l o g39=2；(5)l g n =2.3；(6)l o g,=-4.-81【答 案】(1)l o g28=3(2)I n m=A/31-3=1-3932=og27【解 析】【分析】根据指数与对数的关系优=No l o g,N=x (。0 且awl)计算可得;【小 问 1 详解】解：因为2
5、3 =8,所以l o g?8=3；【小问2详解】解：因为e 6=z，所以l n，=G；【小问3 详解】,1 1 1 1解：因为2 7 3 =,所以 l o g 2 7=-；【小问4详解】解：因为1%9 =2,所以3?=9;【小问5详解】解:因 为 l g =2.3,所以 1。2.3 =；【小问6详解】解：因为1。8 31=一 4,所以3Y=1；O 1 O 12.求下列各式的值：(1)l o g s 2 5；(2)l o g0 41 ；(3)I n；e(4)l g 0.001.【答案】(1)2 (2)0(3)-1 (4)-3【解析】【分析】利用对数的运算求解.【小 问 1 详解】解：I o g
6、5 2 5 =l o g 5 5 2 =2；【小问2详解】l o g(1.4 1 =；【小问3详解】I n =I n e=-1 ；e【小问4详解】l g l O-3=-3.3.求下列各式中x的值：(1)l o g.%=-3;3(2)l o g(4 9=4 ；(3)l g 0.00001 =x；(4)iny/e=-x.【答案】(1)2 7(2)用(3)-5(4)-2【解析】【分析】根据指数与对数的关系优=N o l o g N =;c (。0且a H l)计算可得;【小 问1详解】解：因为l g=-3,所以X=6J=27；【小问2详解】解：因为l o g,4 9=4,所以/=49,所以x=J 7
7、,因为x 0且x w l,所以X=y/1；【小问3详解】解：因为l g 0.00001 =x,所以 1 0=0.00001 =1 0-5,所以x =5；【小问4详解】解：因为ln&=工，所 以 =，即-工=/，所以一%=不，所以x=Tz乙4.3.2对数的运算练习4.求下列各式的值：(1)log3(27 x 92)；(2)Ig5+lg2；(3)In 3+In；3(4)log35-log315.【答案】(1)7(2)1(3)0(4)-1【解析】【分析】利用对数的运算求解.【小 问1详解】解：(27x92)=log327+log392=log333+log334=3+4=7；【小问2详解】lg5+l
8、g2=lg(5x2)=lgl0=l;【小问3详解】ln3+ln =ln|3x|=lnl=O.3 I 3j【小问4详解】log3 5-log315=log3 1=log31=log3 3 T=-1 5.用lgxgygz表示下列各式：(1)lg(x)；(2)1g也匕；(3)1g半；(4)I g g.【答案】(1)Igx+lgy+lgz；(2)lgx+21gy-lgz；(3)lgx+31gy-lgz；(4)lgx-21gy-lgz.【解析】【分析】(1)由对数运算法则：lga0=lga+lg即可得出表达式；(2)由对数运算法则：lgab=lga+lgb和Igf=lga-lg匕，即可得出表达式；b(3
9、)由对数运算法则：1g必=lga+lgb和lg，=lg a-lg b,即可得出表达式；b(4)由对数运算法则：lgab=lga+lgb和lg=lg a-lg b,即可得出表达式；b【详解】解：(1)lg(xyz)=lgx+lgy+lgz；(2)X V2 21g-=lg(孙)-lgz=lgx+21gy-lgz；z(3)(4)=lg7x-lg(/z)=|lgx-21g j-lg z.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型.6.化 简下列各式：(1)log,3 x log3 4 x log4 5 x log5 2；(2)2(log4 3+log8 3)(lo
10、g3 2+logg 2).【答案】(1)1；(2)1【解析】【分析】根据对数的运算性质，结合换底公式,展开化简即可得解.【详解】(1)根据对数的运算性质，结合换底公式,展开化简可得log,3 x log3 4 x log4 5 x log5 2寻寻寻黑1（2）根据对数的运算性质，化简可得2(log4 3+log8 3)(log3 2+logQ 2)2(log22 3+log2,3)(log32+logv 2)1=2(!暇 3 +$o g 2 3*l o g 3 2 +g l o g 3 225 3=2x-log23x-log32o 2=-log23xlog325,5=x l =2 2【点睛】本
11、题考查了对数的运算性质及简单应用，换底公式的用法,属于基础题.习题4.3复习巩固7.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式:(1)3=1;(2)4；6(3)10,=6；(4)，=25;(5)x=log5 27；(6)x=log71；(7)x lg0.3；x=ln百.【答案】（1）=log3l(2)x=log4-6（3）x=lg6（4）x=ln25（5）5v=27（6）T=-3（7）10=0.3（8）ex=y/3【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的转化可得出结果;（2）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（3）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（4）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
12、（5）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（6）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（7）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（8）利用指数式与对数式的转化可得出结果.【小 问 1详解】解：因为3、=1，则 x=log31.【小问2 详解】解：因为4,1-6=11Og4X贝1-6-【小问3 详解】解：因为10V=6,则x=lg6.【小问4 详解】解：因为，=2 5,则x=ln25.【小问5 详解】解：因为 x=logs 2 7,则 5=27.【小问6 详解】解：因为X =log7；,则7=；.【小问7详解】解：因为x=lgO.3,则 10*=0.3.【小问8详解】解：因为x=ln G，则e*=
13、6.8.使式子log3T)(2-X)有意义的X的取值范围是()A.%2 B.x2 C.，尤 0,X 0,解得，x ,即，x 2且x o l.2 22xT#L xwl故选：D【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.9.对数1g。与1g匕 互为相反数，则 有()D.1 x 2,且2A.a+b-Q B.a-b =0 C.ab-【答案】C【解析】【分析】由题得lga+lg人=0,化简即可得答案.D.r1【详解】解：由已知得坨。+馆8=0,即lg()=0,则 必=1.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.1 0.求下列各式的值：(I)log2+lo g !；(2)lo g,1 8-lo g
14、32；(3)lg -lg 2 5；4(4)21og5 25-31og264；(5)log2(log216)；(6)log2 25xlog34xlog59.【答案】(1)0；(2)2；(3)-2；(4)-1 4；(5)2；(6)8【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：(I)b g“2+log“g =log“(2 x；)=log“l=0；18,(2)log318-log32=log,=lo g,9=log33-=2 log33=2；8log3 2x(3)lg，7 g 2 5 =lg 一=lg-1-=lgl(T2=_21glO =_ 2；4 4x25 100(4)21o
15、g5 25-31og2 64=21og552-31og226=2 x 2-3 x 6 =4-1 8 =-14；(5)log2(log216)=log2(log2 23 4)5=log2 4=log,22=2；(6)log2 25xlog3 4 xlog59=log2 52 xlog3 22 xlog332=810g3 2 x log2 5 x log5 3log?5 x log?3log32 log35=8 log3 3=8x 1=8【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质，换底公式的应用，属于中档题.1 1.求满足下列条件的X的值：(1)lnx=lna+lnZ?；(2)lgx=31gn-l
16、g/n；(3)logax=ylogaZ?-logac；(4)log2log3(log4)=0.【答案】(1)x=ab；(2)x=；(3)x=；(4)x=64m c【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：(1)v nx=na+nh/.lnx=n(ah),：.x=ab3 3(2)Igx=lgn lg7n=lg一，.x=一m m(3)loga x=loga 4b-loga c=logn ,.,.x=c c(4)v log,log3(log4%)=0,-.log3(log4x)=l,A log4x=3,：.x=4i=64【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质的应用，属于基础
17、题.综合运用12.已知Ig2=a,lg3=b,求下列各式的值：(1)1g 6；(2)log3 4；(3)log212；3 lg-.【答案】(1)ci-rh；(2)；(3)2H；(4)bcth a【解析】【分析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】lg2=a,lg3=b解:（1）lg6=lg（2x3）=lg2+Ig3=a+(2)陪4=妊=些=幺lg3 1g 3 b(3),1 9_lgl2 _lg(4x3)_lg4+lg3 _21g2+lg31 z=-=-lg2 lg2 lg2 lg2c b=2+-a3（4）lg-=lg3-lg2=/?-tz.【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质
18、的应用，属于基础题.13.求满足下列条件的各式的值:（1）xlog34=l,求4、+4一、的值；（2）若/=？,求/（logs?）的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先解方程求出X的值，再根据对数恒等式计算可得;（2）根据对数恒等式计算可得.【详解】解：（1）/xlog34=l,1 ,-x=-,一T =1 04 3log344+47=4嗝 3 +4 一 啕3 =3+4k 町=3+-=；3 3（2）/（）=3 ,，1呜2）=3喝2=2.【点睛】本 题 考 查 对 数 恒 等 式 的 应 用N（。（）且。#1）,属于基础题.14.证明:(1)log“0gzlc-log,a=l；(
19、2)log&=logflZ?.a m【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】利用换底公式及对数的性质即可证明【详解】证明：(1)log(,loghc-log(.f l=l.Iga 1g/?Ige故 log“log%c-log,a=l.(2)log bn=-？1(=-log b,log=-logZ?log a m loga a m m【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.15.某地GDP的年平均增长率为6.5%,按此增长率，多少年后该地GOP会翻两番？【答案】12【解析】【分析】设某地GDP今年为a,x 年后GDP会翻两番，则由题知a(l+6.5%)*=2 a
20、,解得x 的值即可.【详解】设某地GDP今年为a,x 年后GDP会翻两番,则由题知 a(l+6.5%)*=2a,解得x=1 0 8 2 2 11.0067,故 12年 后 GOP会翻两番拓广探索16.我们可以把(1+1%严看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.0产；而把(1-1%严看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99的.利用计算工具计算并回答下列问题：(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍?【答案】（1）1480.7倍（2）115天、2 30天、345天【解析】【分析】（1）根据所给条件，利用指数基的
21、性质变形，最后利用计算器计算可得.（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.【详解】解：（I）1.013650.993651.010.99365 1480.7.，一年后“进步”的大约是“落后”的1480.7倍(2)由i.o r0.99,=1 0得i.oi Y、瓯I=10 x T o g蛆l0=弋 1而 Ig U L0.991,1.0 11g-3 0.99115大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.1 01 回由旃=1。得 0.99）=m x=rrorSO 99230，大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.由LOT0.99=1000 得1.01 丫
22、(X99J3V _=1000 解 得 一I 1.01&1g-0.99a 345，大约经过345天，进步”的是“落后”的1000倍.【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.1 7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到2079m g的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了Img/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？【答案】5【解析】【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，列不等式100（1-30%）2 0,即可解得.【详解】设他至少经过X个小时才能驾驶汽车，则100(1-30%),20,cc lg0.2-0.7 30.7r 0.2,二 logo.7 02=*4.67,lg0.7-0.15他至少经过5个小时才能驾驶汽车.