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1、第 五 章 三 角 函 数 5.5 三 角 恒 等 变 换 例 1 利 用 公 式 C g-m 证 明:(2)cos(n-cr).兀.+sinsina=O+lxsina2=-cosa.=sincr.(2)cos(7i-a)=cos 7icosdf+sin K sin a=(-l)xcosa+0=-cosa.4(7t S例 2 已 知 sin a=，a G I I 以 的 夕=一 后，夕 是 第 三 象 限 角，求 cos(a-/?)的 值.解：由 s i n a=1，a e g 兀)，得 cos a-Vl-sin2 a又 由 cos4=-得，是 第 三 象 限 角，得 sin-/1-cos2(
2、3所 以 cos(a-%=cos a cos/?+sin a sin/?_33-65-例 3 已 知 sina=1,a 是 第 四 象 限 角，求 sin（；-a）,cos（：+a）,tan（a-：的 值.3 _ _解：由 sina=一 二，a 是 第 四 象 限 角，得 cosa=J1-sin?a=_3“一 sin a 5 3所 以 tana=-=r1=一 一.cosa 4 45.兀 71.sincos at-cossin a4 4V2 4 V2 f 31 7722 5 2 I 5j 10（兀、71.兀.cos+a=coscos a-sinsina（4 J 4 471 tan a-tan,1
3、7i _ 4 _ tan a _ 14厂 l+tanatan一 4例 4 利 用 和(差)角 公 式 计 算 下 列 各 式 的 值：(1)sin 72 cos 420-cos 72 sin 42；(2)cos 20 cos 700-sin 20 sin 70；“、1+tan 15(3).1-tan 15分 析：和、差 角 公 式 把。土 4 的 三 角 函 数 式 转 化 成 了 a,夕 的 三 角 函 数 式.如 果 反 过 来,从 右 到 左 使 用 公 式，就 可 以 将 上 述 三 角 函 数 式 化 简.解：(1)由 公 式 Sg-m，得 sin 720 cos 420-cos 7
4、2 sin 42=sin(72-42)=sin 3012,(2)由 公 式 C g+.)，得 cos 20 cos 700-sin 20 sin 70=cos(20+70)=cos90=0.(3)由 公 式 Tg+m及 tan450 二 l,得 1+tan 15 _ tan 450+tan 15l-tanl5-l-tan45otanl5o=tan(45+15)=tan 60=y/3.例 5 已 知 sin2a=9,cr,求 sin4a,cos4a,tan4a 的 值.13 4 2分 析：已 知 条 件 给 出 了 2 a 的 正 弦 函 数 值.由 于 4 a 是 2 a 的 二 倍 角，因
5、此 可 以 考 虑 用 倍 角 公 式.J i JI J i解：由 一 a 一,得 一 2a 无.4 2 2又 sin2a=W,13所 以 cos 2a=-1213于 是 sin 4。=sin2x(2a)2 sin 2a cos 2acos 4a=cos2 x(2a)=l-2 s i n2 2a.sin 4atan 4 a=-cos 4 a120 169 120-x-=-169 119 1194例 6 在 L ABC 中，cosA=-,tanB=2,求 tan(2A+2 8)的 值.解 法 1：在，ABC中,4由 cosA=，0 A%(/)-117-解 法 2：在，ABC中,4 i-由 cos
6、A=g,0 A K,得 sin A=6 cos2 A35，sin A所 以 tan A-cos A3 5 3 x=5 4 4又 tan 8=2,1-tan A tan B _。x 2 2 4所 以 tan(2A+28)=tan2(A+B)2tan(A+B)l-ta n2(A+B)例 7 试 以 c o sa表 示 s iY g,cos2-,tan2-.o r n解：。是 不 的 二 倍 角.在 倍 角 公 式 cos2a=1 2sin2 2 中，以。代 替 2 a,以 一 代 替。，2 2得 cos a=l-2 sin2,在 倍 角 公 式 cos 2a=2cos2a l 中，以 a 代 替
7、2 a,以 金 代 替 a,得 2g 2 a lcosa=2 c o s-1,2所 以 COS2 4=1*_ zy 1 ccq zy将 两 个 等 式 的 左 右 两 边 分 别 相 除，得 tan2-=-2 1+cos a例 8 求 证：(1)sin a cos 夕=g sin(a+/?)+sin(a-/)；/-、-n c e 0(p(2)sin，+sm0=2sin-c o s-.证 明：（1）因 为 sin(a+/?)=sin a cos/?+cos a sin/?,sin(a-/?)=sin a cos/?一 cos a sin/?将 以 上 两 式 的 左 右 两 边 分 别 相 加，
8、得 sin(a+/?)+sin(a-7?)=2sin a cos廿,即 sin a cos 夕=g sin(。+，)+sin(a，).(2)由(1)可 得 sin(a+)+sin(a-6)=2sinacos6.设 a+0=9,a-B=(p,0+(p 门 0-(p那 么 a=-,。=-.2 2把 a,尸 的 值 代 入，即 得 sin8+sin。=2sin；0 cos；.例 9 求 下 列 函 数 的 周 期，最 大 值 和 最 小 值：(1)y=sinx+/3cosx；(2)y=3sinx+4cosx.分 析：便 于 求 周 期 和 最 大 值、最 小 值 的 三 角 函 数 式 是 V=As
9、in(x+。)，利 用 和 角 公 式 将 其 展 开，可 化 为 y=asinx+bcosx的 形 式.反 之，利 用 和(差)角 公 式，可 将 y=asinx+人 cosx转 化 为 y=Asin(x+。)的 形 式，进 而 就 可 以 求 得 其 周 期 和 最 值 了.解：y=sinx+百 COSX=2”S1DX4-2 COSX)=2 sinxcos+cosxsin=2sin x+.I 3 3j I 3j因 此，所 求 周 期 为 2兀，最 大 值 为 2,最 小 值 为-2.(2)设 3sinx+4cosx=Asin(x+。)，则 3sinx+4cosx=Asinxcoso+Aco
10、s尤 sin。.于 是 Acose=3,Asin夕=4,于 是 A2 cos2(p+A2 sin2 o=25,所 以 4=25.取 A=5,贝 ijcos=一,sin0=,由 y=5sin(x+0)可 知，所 求 周 期 为 2兀，最 大 值 为 5,最 小 值 为-5.例 1 0 如 图 5.5-2,已 知 O P Q 是 半 径 为 1,圆 心 角 为 色 的 扇 形，C 是 扇 形 弧 上 的 动 点，3A 5 8 是 扇 形 的 内 接 矩 形.记 Z P O C=a,求 当 角 a 取 何 值 时，矩 形 ABC。的 面 积 最 大？并 求 出 这 个 最 大 面 积.图 5.5-2
11、分 析：可 先 建 立 矩 形 A B C D 的 面 积 S与。之 间 的 函 数 关 系 S=/(a),再 求 函 数 S=/(a)的 最 大 值.解：在 Rt/O5C 中，O3=cosa,BC=sin.r)A j-在 RtAOAZ 中，-=tan 60=J3.OA所 以。A=立 sina,3 3 3AB=OB-OA=cos a-sin a-3设 矩 形 ABC。的 面 积 为 S,则 S=A B B C=I cos a-3-sinaJ sin a=smacoscr-sin-a31.3=sin 2 a-(1-cos 2a)2 6 sin 2 a+苴 cs2”正 1.直 67.八 7 T 7
12、 L-兀 5兀 广 广._ 兀 7 T 7 C.由 0 a 一,侍 一 2 a H，所 以 当 2a H=,即 a=时,3 6 6 6 6 2 6c _ 1 V3 _ 73S最 大 二 百 一 不 二 可.因 此，当。=工 时，矩 形 A 3C Q的 面 积 最 大，最 大 面 积 为 立.6 65.5.1 两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦 和 正 切 公 式 练 习 1.利 用 公 式 打)证 明：31(1)c o s(j-a)=-s i n a；(2)c o s(-e)=c o sa.【答 案】证 明 见 解 析；【解 析】【分 析】直 接 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 计
13、 算 可 得；【详 解】证 明：根 据 c o s(a-)=c o sa c o s+s in a s in,所 以(1)c o s(-a)=cos cos a 4-sin sin a=-sin a,2 2 2(2)cos(-a)=cos(0-a)=cos 0 cos a+sin Osin a=cos a2.利 用 公 式 C(a-求 C O S 1 5的 直【答 案】4【解 析】【分 析】将 cosl50转 化 为 cos（45-30）,再 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.【详 解】cosl50=cos（45c-30）=cos 45 cos 300+sin 45 si
14、n 30夜 百 收 1 指+夜-x-1-x-2 2 2 2 4【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 两 角 差 的 余 弦 公 式，属 于 基 础 题.3 兀 7 T3.已 知 cosa=-,a e（一,7），求 cos（a）的 值.5 2 4【答 案】显 10【解 析】【分 析】首 先 利 用 平 方 关 系 求 出 sina,再 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 计 算 可 得;3 4【详 解】解：因 为 cos2=g,cos2cr+sin2ar=l,所 以 s m a=g,因 为、ae(，),所 以 sine=4571 JI所 以 cos(-a)=coscos a+sinsin a
15、=4 4 4V2 4 V2-x-=-2 5 104.已 知 s i n e=V，。是 第 二 象 限 角，求 cose-?J的 值.【答 案,6三【解 析】【分 析】由 平 方 关 系 得 出 cos。，再 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.【详 解】由 Sin6=j 1,。是 第 二 象 限 角，得 cose=Jl（j|j=*而 z G 吟 万 8 1 1 5 g 1573-89T 以 cos 0=cos 0 cos+sin 0 sin=x+x=-t 3 J 3 3 17 2 17 2 34【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 平 方 关 系 以 及 两 角 差 的 余
16、 弦 公 式，属 于 基 础 题.235.己 知 sina=-求 c o s(p-a)的 值.【答 案】2币-3亚 12【解 析】【分 析】由 平 方 关 系 得 出 c o sa,s in 的 值，再 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.【详 解】由 s i n a=-g,&卜,技），得 cosa=-J l（-g）=一 号 由 cos4=q,力（三,2乃），得 s in.=一 所 以 cos(/?-a)=cos p cos a+sin/?sin a【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 平 方 关 系 以 及 两 角 差 的 余 弦 公 式，属 于 中 档 题.练 习 6.
17、利 用 和（差）角 公 式，求 下 列 各 式 的 值:(1)sin 15；(2)cos75;(3)sin75;(4)tan 15.【答 案】（1）#一 诋 4（2）乖 4（3）、+&4（4）2-6【解 析】【分 析】（1）利 用 两 角 差 的 正 弦 公 式 计 算 sinl5=sin（45-3 0）即 可 求 解；（2）利 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 计 算 cos75=cos（45+3 0）即 可 求 解；（3）利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 计 算 sin75=sin（45+30）即 可 求 解；（4）利 用 两 角 差 的 正 切 公 式 计 算 tanl5=tan
18、（45-3 0）即 可 求 解.【小 问 1详 解】sin 15=sin（45-3 0 1=sin45 cos30-c o s45 sin30 x-x=2【小 问 2 详 解】cos75=cos(45+30)=cos45 cos30-s i n 45 sin30【小 问 3 详 解】sin 75=sin(45+30)=sin45 cos30+cos45 sin 30=【小 问 4 详 解】tan 15=tan(45-3 0)=一 45-tan30=-1+tan 45 tan 30,61+lx 37.(1)已 知 cos8=-|,乃 求 sin(e+?)(2)已 知 sin8=-。是 第 三 象
19、 限 角，求 co s(丁+13 k ojr(3)已 知 ta n a=3,求 tan(a+)值.4【答 案】(1)土 独；(2)1上,；(3)-210 262 2 2 4a G 夜 1M 立=-X-X=-2 2 2 2 46 0 1 a+亚 X+X.2 2 2 4=2-技 的 值；的 值;【解 析】【分 析 1（1）首 先 利 用 平 方 关 系 求 出 sin。，再 根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 计 算 可 得;（2）首 先 利 用 平 方 关 系 求 出 cos。，再 根 据 两 角 和 的 余 弦 公 式 计 算 可 得；（3）直 接 利 用 两 角 和 的 正 切 公 式
20、计 算 可 得；3 4【详 解】解：（1）因 为 cose=y,sin2 6+cos2 6）=1,所 以 sin，=1，因 为。仁,寸 所 以 sin6=g,所 以 71 71sin I 0+j=sincos4-cossin 4 1 3 V3 4-373=-X-X=-10 3 3 3 5 2 5 212 5（2）因 为 sin6=一 行，sin26+cos2（9=1.所 以 COS6=R,因 为。是 第 三 象 限 角，所 以 cos8=-，所 以 71 71cos I 工+，I=cos-cos sin sin=6.5、1，12、12-573_ x _I_x _ _13 26(3)因 为 3
21、a=3,所 以 tan(a+J=71tan a+tan 一 4=-21 tanata咛 Xi6 6 6 2 2I 138.求 下 列 各 式 的 值:(1)sin72ocosl8+cos72osinl8；(2)cos72cos 120+sin72sin 12 tan 12+tan 331-tan 12 tan 33(4)cos74鞍 in 14-sin74鞍 os 14；(5)sin 34 sin 26-cos 34 cos 26；(6)sin20cos 110+cos 160 sin70.【答 案】（1）1 I(3)1(4)一 直 2(5)-2(6)-1【解 析】【分 析】由 条 件 利 用
22、 两 角 和 差 的 三 角 公 式、诱 导 公 式，即 可 求 出 各 题.【小 问 1详 解】解：sin 72cos 18+cos 72sin 18=sin(72+18)=sin 90=1；【小 问 2 详 解】解：cos 72cos 120+sin 72 sin 12=cos(72-12)=cos 600=；【小 问 3 详 解】hn.-t-an-1-2-0-+-t-a-n-3-3-,1-tan 12 tan 33【小 问 4 详 解】tan(12+33)=tan 45=1；解：cos74sin 140-sin740cos 14=sin(14-74)=sin(-60)=-sin60=-y
23、-【小 问 5 详 解】解：sin 34 sin 260-cos 34 cos 26=-cos(34+26)=-cos 60；2【小 问 6 详 解】解：sin 20 cos 1100+cosl 60 sin 70=sin 20(-cos 70)-cos 20 sin 70=-sin(20+70)=-sin 90=-l.9.化 简：z.x 1 G.cosx-sinx；2 2(2)V3sinx+cosx;(3)夜(sin x-cos x)；(4)y/2cosx-/6sinx.【答 案】c o s?+x)；(2)2 sin x+2兀 6；(3)2sin(%；2夜 cos f+4【解 析】【分 析】
24、(1)jr yr将 原 式 变 形 为 cos工 c o s x-s in工 s i n x,逆 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 化 简 即 可;3 3(2)(JT JT 将 原 式 变 形 为 sin x c o sq+c o s x s in k j,逆 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 化 简 即 可;(3)JI JI将 原 式 变 形 为 2 s in x c o s a-c o s x s in i,逆 用 两 角 差 的 正 弦 公 式 化 简 即 可;(4)将 原 式 变 形 为 2夜 c o s7y1 c o s x-s in y71s in x I,逆 用 两 角 和
25、的 余 弦 公 式 化 简 即 可.兀 71 71【详 解】(1)原 式=c o s c o sx-sinw sinx=c o s|+x j；713(2)原 式=2 sinx+cosx2 2 Jc.71 712 sin xcos+cos xsin 6 6=2 sin fx+-I 6)(3)原 式=26.a)-sin x-cosx2 22 sin xcos-cosxsin 4 4=2sin|x-I 4 J(4)原 式=2721(2 2-cos x-sin x77T.乃.cos x sinsin x3 3=2&cosf y+x j.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 逆 用 两 角 和 与 差
26、的 正 弦，余 弦 公 式，属 于 中 档 题.33(5 10.E H s in(a-/?)c o s a-c o s(4-a)s i n a=j,是 第 三 象 限 角，求 sin1，+子 57的 值.【答 案】7 010【解 析】【分 析】3逆 用 两 角 差 的 正 弦 公 式 以 及 诱 导 公 式 得 出 siny5=-,根 据 平 方 关 系 得 出 4cos=-,结 合 两 角 和 的 正 弦 公 式 求 解 即 可.3 3【详 解】sin(a-cos a-cos(a-)sin a=,/.sin(a-/?)-=,3 4A sin=-,又 是 第 三 象 限 角，cosA=因 此
27、4)(7 0 X-=-5乂 2)10【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 以 及 平 方 关 系，属 于 中 档 题.练 习 c c 4 a a a1 1.已 知 cos=-一，8 a 1 2,求 sin,cos,tan 的 值.8 5 4 4 4_.a 24 a 7 a 24【f r%】sin=,cos=9 tan=4 25 4 25 4 7【解 析】【分 析】C C O L C L由 a 的 范 围，确 定?所 在 象 限，利 用 平 方 关 系 以 及 商 数 关 系 得 出 sinm,t a n?,利 O O On n n用 二 倍 角 公 式
28、得 出 s i n，c o s,tan;的 值.4 4 4【详 解】因 为 8万 a 1 2万，所 以 乃 3 三.8 2_ s i/3又 由 cos=-j,得 sin 4=_ J l _/_ g=-,ta n j=-=8 4 5 8 N I 5j 5 8 c o s4-48 52425atan 4(,atan 2x I 8c a2tan 81 2 a1-tan 82 X4 3 16 24_ _ x_唱 7【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 平 方 关 系，商 数 关 系 以 及 二 倍 角 公 式 化 简 求 值，属 于 中 档 题.31 2.己 知 sin(a 万)=g,求 co
29、s2a 的 值.【答 案】得【解 析】【分 析】由 诱 导 公 式 得 出 sina,结 合 二 倍 角 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.3 3【详 解】由 sin(a-7)=M，得 sina=，1 o 7所 以 cos2a-1-2 sin2 a 1-.25 25【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 诱 导 公 式 以 及 二 倍 角 的 余 弦 公 式 化 简 求 值，属 于 基 础 题.1 3.已 知 sin2=sine,a e71 5，万 上 求 ta n a的 值.【答 案】【解 析】【分 析】由 二 倍 角 的 正 弦 公 式 得 出 cosa=-1，利 用 平 方 关
30、系 以 及 商 数 关 系 化 简 得 出 ta n a的 值.【详 解】由 2 sin a cos&=sincr,且 s in a。，可 得 cosa=又 由 a e2_ _ 73W sin a/l-cos2 a=J 1-f-=-，所 以 tan a=一 百.V I 2 cos a,-2【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 二 倍 角 的 正 弦 公 式，平 方 关 系，商 数 关 系 化 简 求 值,属 于 基 础 题.14.已 知 tan2。=一，求 tana 的 值.3【答 案】tan a=-3 Vfo【解 析】【分 析】由 二 倍 角 的 正 切 公 式 化 简 得 出 ta
31、n2a+6 ta n a-1=0,解 方 程 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 tan2a=L 得?t a n a 所 以 tan2a+6 ta n a T=0,3 1-tan2 a 3所 以 tan a=-3 V10.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 二 倍 角 的 正 切 公 式，属 于 基 础 题.15.求 下 列 各 式 的 值：(1)sin 15 cos 15;(2)cos2-s i n2；8 8,、tan 22.5(J)9；1-tan2 22.5(4)2cos2 22.5-1.【答 案】(1)y；(2)；(3)y；(4)也 4 222【解 析】【分 析】(I)将 原 式 变
32、 形 为，x2sinl5cosl5,逆 用 二 倍 角 的 正 弦 公 式 求 解 即 可;2(2)逆 用 二 倍 角 的 余 弦 公 式 求 解 即 可;(3)将 原 式 变 形 为 L i t a n y 逆 用 二 倍 角 的 正 切 公 式 求 解 即 可;2 1-tan2 22.5(4)逆 用 二 倍 角 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.【详 解】(1)sin 15cos 15=x2sinl50cosl5=sin30=；2 2 4/c、2 九.，万 7 1(2)cos-sin=cos=8 8 4 2(3)H _ P,1 2 tan 22.5 1“原 式=-；-r=-tan 452
33、 1-tan2 22.5 2 2(4)原 式=c o s4 5=2【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 逆 用 二 倍 角 公 式 化 简 求 值，属 于 中 档 题.5.5.2 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 练 习 4 十 a sin a 1-cos tz1 6.求 证：tan=-=-.2 1+costz sin a【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】利 用 二 倍 角 公 式 对 代 数 式 进 行 变 形 sinar1+cos a八.a a2 sincos 2 22cos2-21-c o s asin a2sin2-2 即 可 得 证.c.a a2 sin cos 2
34、2【详 解】tan|.a c.a asin 2sincos,2 _ 2 2 _ sin aacos2c 2 a2 cos 一 21+cosa.a c.2 asin 2sin a 7 7tan=-=-2 a.a acos 2 sincos 2 2 21-cos asin aa sin a 1-cos a所 以 tan=-=-2 1+c o sa sin a【点 睛】此 题 考 查 三 角 恒 等 式 的 证 明，关 键 在 于 熟 练 掌 握 二 倍 角 公 式 的 应 用，根 据 公 式 进 行 化 简 变 形.1 n Q1 7.已 知 cos 9=,且 2 7 0,6 360,，试 求 si
35、ng 和 c o s,的 值.【答 菜】sin=；cos=-2 3 2 3【解 析】【分 析】根 据 27。”36。.得 135。18。.根 据 半 角 公 式 求 值.0 0 0【详 解】270。360,.1350-0,c o s-0.2 2 2【点 睛】此 题 考 查 半 角 公 式 的 应 用，根 据 公 式 化 简 求 值，关 键 在 于 熟 练 掌 握 相 关 公 式，半 角 公 式 在 使 用 的 过 程 中 需 要 注 意 考 虑 正 余 弦 值 的 取 值 范 围.1 8.已 知 等 腰 三 角 形 的 顶 角 的 余 弦 等 于 三，求 这 个 三 角 形 的 一 个 底 角
36、 的 正 切.【答 案】|4【解 析】【分 析】设 等 腰 三 角 形 顶 角 为 一 个 底 角 为。，则 底 角。=二 三 4,根 据 c o sa=Z 即 可 求 2 25TT(Y【详 解】设 等 腰 三 角 形 顶 角 为 a,一 个 底 角 为 e,则 底 角。=：-,由 题 意 知 27cos a=253.八 sin 6 4.,.,.tan 0=,.这 个 角 形 的 5 cos。34一 个 底 角 的 正 切 为【点 睛】此 题 以 等 腰 三 角 形 为 背 景 求 底 角 的 正 切 值，其 本 质 在 于 利 用 三 角 恒 等 变 换进 行 化 简 求 值.1 9.求 证
37、:(1)(2)(3)cos a sin,；sin(a+)-sin(a-/?)；cos a cos=cos(+尸)+cos(a 尸)；sin a sin.=一 g cos(+.)-cos(ar/?).【答 案】证 明 见 解 析；【解 析】【分 析 1 直 接 利 用 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 化 简 等 式 的 左 侧，证 明 即 可.【详 解】证 明：(1)g sin(a+/?)-sin(a-/3)=g sin a cos/3+cos a sin 4 一 sin a cos ft+cos a sin 力=cos a.cos/?(2)；cos(a+4)+cos(a-P)=g co
38、s a cos#一 sin a sin 1 3+cos a cos+sin a sin i=cos a.cos B(3)cos(a+/?)-cos(a-J3)=一;cos a cos/?一 sinasin/?cos a cos 方 一 sin a sin 分=sin a sin p等 式 成 立.2 0.求 证：(1)s in 6-s in=2cos6+(p.0-(p-s i n.-2 2(2)cos6+c o s=2cos6+(p 6-(p-cos-(3)cos 0-cos(p-2 sin6+(p.0-(p-s i n-2 22 2【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）证 明 见 解 析（
39、3）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】(1)处 理 sin sin。=sin2 2-sin%+e 0-(p2 2,利 用 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 求 证;(2)处 理 cos。+c o s c o se+夕+0-(p2 2+COS6+9 0-(p2 2即 可 得 证;(3)处 理 cos夕 一 cos。=cose+9+e.2 2-cos0+(p 0-(p2 2即 可 得 证.【详 解】(1)sin 6 sin。=sine+o+o(p2 2-sin0+(p 0-(p2 2.o+(p o(p e+o.0-(p.o+(p 0(p 夕+0.0-(psin.-cos-+cos-sin-s
40、in-cos-+cos-sin.-2 2 2 2 2 2 2 22 c o s s i n j2 2sine-sinR=2cose+0.o-(P-s in-(2)c o s+cos(p=cose+夕+0-(p+COSe+9 0-(p2 22 2 2 20+(p 0-(p.0+(p.0-(p O+c p 0-(p.3+(p.0-(p-cos-cos-s in-sin-+cos-cos-+sin-sin.-2 2 2c 0+(p 0-(p2 cos-cos.-2 22 2 2 2 2即 cos 6+cos(p-2 cos0+(p 0-(p-c o s.-(3)cos。-c o s9=cose+o+
41、o(p-cos2 2e+夕 e-(p2 2 2 2e 十 e 一.e+o.0(p e+o o-(p.e+(p.o-(pcos.-cos-s in-sin-cos-cos-sin-sin.-2 2 2 2 2 2 2 2e+0.3(p=-2sin-s in.-2 2cos 0-cos e=-2 sin6+0.9-(p-s in.-2 2【点 睛】此 题 考 查 三 角 恒 等 式 的 证 明，关 键 在 于 准 确 构 造 角 的 关 系，熟 练 掌 握 两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 进 行 化 简.练 习2 1.求 下 列 函 数 的 周 期，最 大 值 和 最 小 值:(1)j=5
42、cosx-12sinx；(2)y=cosx+2sinx.【答 案】(1)最 小 正 周 期 为 T=2乃，y皿=13,J U=T 3(2)最 小 正 周 期 为 T=2,八=，【解 析】【分 析】(1)利 用 辅 助 角 公 式 化 简 y=13cos(x+0)即 可 求 得 周 期 和 最 值；(2)利 用 辅 助 角 公 式 化 简 y=c o s(x-)即 可 求 得 周 期 和 最 值【详 解】(1)y=5cosx-12sinx=13 一 cosx-sinx=13cos(x+),最 小 正 周 期 为 T=2，ymax=i3,ym in=-13.(2)j=cosx+2sinx=V5 c
43、os x-+sin x-=5 cos(x-(p),二 最 小 正 周 期 为 T=2，丫 皿=行，=-7 5.【点 睛】此 题 考 查 求 函 数 的 周 期 和 最 值，关 键 在 于 熟 练 掌 握 辅 助 角 公 式 进 行 三 角 恒 等 变 换，根 据 公 式 化 简 求 值.2 2.要 在 半 径 为 R 的 圆 形 场 地 内 建 一 个 矩 形 的 花 坛，应 怎 样 截 取，才 能 使 花 坛 的 面 积 最 大？【答 案】截 取 矩 形 的 长 为 血 R，宽 为 0 R 时，花 坛 面 积 最 大.【解 析】【分 析】设 圆 心 为 0,长 方 形 面 积 为 S,设 N
44、AOB=a 0 a 1,表 示 出 面 积 s=2心 sin 2a,即 可 求 得 最 值.【详 解】如 图，设 圆 心 为。，长 方 形 面 积 为 S,设/A 0 3=则 A5=R sina,OB=Reos a,：S=2 AB-2OB=21?sin a-27?cos a=2R2 sin 2 a，当 a=寸，花 坛 的 面 积 最 大，.此 时，AB=R,OB=R.4 2 2工 截 取 矩 形 的 长 为 夜 R，宽 为 正 尺 时，花 坛 面 积 最 大，最 大 值 为 2R2.【点 睛】此 题 考 查 利 用 三 角 函 数 求 解 应 用 题，关 键 在 于 合 理 建 立 函 数 模
45、 型，根 据 函 数 性 质 求 解 最 值 和 最 值 取 得 的 条 件.2 3.已 知 正 边 形 的 边 长 为“，内 切 圆 的 半 径 为 r,外 接 圆 的 半 径 为 R.求 证 H+r=-2 ta n 2n【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】根 据 正 边 形 的 内 切 圆 与 边 的 切 点 结 合 外 接 圆 半 径 找 出 直 角 三 角 形 关 系，利 用 直 角 三 角 形 三 角 函 数 值 的 关 系 即 可 得 证.【详 解】设。是 内 切 圆 圆 心，。仄 0 4 分 别 是 内 切 圆 半 径，外 接 圆 半 径，JI H贝=OA=R,a=-
46、9 AB=.n 2在 中，s.m a=AB,即 nrlOA-.R=sin=2 2sin，n R ncos a=-O-B-,HmP c o s7 i=r,.r-A0 co s一 兀 OA n R n7 1a cosn八 式 2sinn Rn+r=-a-2 s i n-nna c o s一+&2sin na 1+cos 71I n2 s i n-n2 a cos2 二 2-A.兀 乃 4 s i n cos-2n 2nac 冗 2 tan 2n【点 睛】此 题 考 查 正 边 形 的 内 切 圆 外 接 圆 半 径 关 系 的 证 明，关 键 在 于 准 确 找 出 相 应 图 形 中 的 等 量
47、 关 系.习 题 5.5复 习 巩 固 39 c o s0=一 1,22 4.已 知 s in a=,a G3712，r t371,7 C2,求 c o s（a 力）的 值.【答 案】3 V 5-2 V 712【解 析】【分 析】利 用 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 求 出 cosa=-*和 s in 4=-百，再 利 用 差 角 的 余 弦 公 式，代 入 计 算 即 可.2 口（兀 且 a e-兀，兀，23【详 解】sin a3 7 5-2 V7=-.12【点 睛】本 题 考 查 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 和 角 的 范 围，考 查 差 角 的 余 弦 公
48、式，考 查 学 生 的 计 算 能 力，属 于 基 础 题.25.已 知 尸 都 是 锐 角，cosa=g,cos(c+/?)=-裳，求 c o s/的 值.(提 示：/?=(+/7)-a.)【答 案】|【解 析】【分 析】根 据 生，都 是 锐 角，cosa=；,cos(a+夕)=-,运 用 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系，可 以 求 出 sina,sin(a+0 的 值，再 根 据 题 中 的 提 示 运 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.【详 解】解:由 cosa=是 锐 角，得 sin a=Jl-cos2 a=4 f因 为 a,尸 是 锐 角，所 以 a+
49、Z?e(0,).又 因 为 cos(a+0=*,所 以 sin(a+/?)=J l-cos2(a+5 所 以 cos B=cos(+尸)一 a=cos(a+0)cos a+sin(a+4)sin a=【点 睛】本 题 考 查 了 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系，考 查 了 两 角 差 的 余 弦 公 式，考 虑 到 角 之 间 的 和 差 关 系 是 解 题 的 关 键，考 查 了 数 学 运 算 能 力.26.已 知 sin(30+a)=|,60 a 1 5 0 求 co sa的 值.【答 案】三 递.10【解 析】【分 析】由 cos a=cos(30+a)-3 0 1 知，依
50、 条 件 得 cos(a+30)值，代 入 计 算 即 可.【详 解】600150,.9030+1800,又,sin（3 0+a）=,/.cos（30+a）=-,贝 cosa=cos（30。+a）-301=cos（300+a）cos30。+sin（30+a）sin304 百 3 1 3-4万 X-1 X-5 2 5 2 10【点 睛】本 题 考 查 给 值 求 值 问 题，考 查 了 两 角 差 的 余 弦 公 式，同 角 的 三 角 函 数 基 本 关 系 式，考 查 了 学 生 的 运 算 求 解 能 力.5 3.2 7.在 中，sinA=,cosB=,求 cosC 的 值.【答 案】春【