2022-2023学年人教A版选择性必修第三册第七章 离散型随机变量的方差讲义.pdf

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1、7.3.2 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 新 课 程 标 准 学 业 水 平 要 求 理 解 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 1.理 解 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 与 标 准 差 的 概 念.(数 学 抽 象)2.掌 握 方 差 的 性 质,会 利 用 公 式 求 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差.(数 学 运 算)3.会 利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问 题.(数 学 建 模)必 备 知 识 自 主 学 习 导 思 1.什 么 是 禺 散 型 随 机 变 量 的 月 差、标 准 差？2.离 散 型 随

2、 机 变 量 的 方 差 的 意 义 是 什 么？性 质 是 怎 样 的？离 散 型 随 机 变 量 的 方 差、标 准 差(1)定 义：如 果 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 列 如 表 所 示+(X-E(X)=y(x z-E(X)2,称 为 随 机 变 量 X的 方 差，有/=1时 也 记 作 Var(X),并 称 D(X)为 随 机 变 量 X 的 标 准 差，记 作 0X).(2)意 义：随 机 变 量 的 方 差 和 标 准 差 都 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 离 散 程 度.方 差 和 标 准 差 越 小，随 机 变 量 的 取 值 越 集 生；方 差 与

3、标 准 差 越 大,随 机 变 量 的 取 值 越 分 散.(3)性 质：D(aX+h)=DiXl.思 考？离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 和 样 本 方 差 之 间 有 何 关 系？提 示：(1)离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 即 为 总 体 的 方 差，它 是 一 个 常 数，不 随 样 本 的 变 化 而 变 化；样 本 方 差 则 是 随 机 变 量，它 是 随 样 本 不 同 而 变 化 的.,基 础 小 测 1.辨 析 记 忆(对 的 打“加，错 的 打“X”).离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 越 大，随 机 变 量 越 稳 定.(X)提 示：离 散 型 随

4、 机 变 量 的 方 差 越 小，随 机 变 量 越 稳 定.(2)离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 与 标 准 差 的 单 位 是 相 同 的.(x)提 示：单 位 不 同，方 差 的 单 位 是 随 机 变 量 单 位 的 平 方；标 准 差 与 随 机 变 量 本 身 有 相 同 的 单 位.(3)若 a 是 常 数，则 D(d)=0.(4)提 示：离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 刻 画 离 散 型 相 对 于 均 值 的 波 动 大 小.2.已 知 随 机 变 量。满 足 P(e=D=0.3,P=2)=0.7,则 E 和 D(a的 值 分 别 为()A.0.6 和 0.7

5、 B.1.7 和 0.09C.0.3 和 0.7 D.1.7 和 0.21【解 析】选 D.E=1x0.3+2x0.7=1.7,Q=(1-1.7)*2x 30.3+(2-1.7)2x0.7=0.21.3.(教 材 例 题 改 编)有 甲、乙 两 种 水 稻，测 得 每 种 水 稻 各 10株 的 分 蕖数 据，计 算 出 方 差 分 别 为。（X 甲）=11,Q（x 乙）=3 4 由 此 可 以 估 计（）A.甲 种 水 稻 比 乙 种 水 稻 分 蕖 整 齐 B.乙 种 水 稻 比 甲 种 水 稻 分 蕖 整 齐 C.甲、乙 两 种 水 稻 分 蕖 整 齐 程 度 相 同 D.甲、乙 两 种

6、 水 稻 分 窠 整 齐 程 度 不 能 比 较【解 析】选 B.Q（X 甲）Q（X 乙），所 以 乙 种 水 稻 比 甲 种 水 稻 分 票 整 齐.关 键 能 力 合 作 学 习 类 型 一 随 机 变 量 的 方 差 及 其 性 质（数 学 运 算）题 组 训 练、1.已 知 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为：X 1 2 3P 0.4 0.5 X则。(x)=;若 y=2 x-1,则。(y)=.【解 析】由 题 意 可 知 0.4+0.5+%=1,所 以=0.1,所 以 E(X)=1 X0.4+2x0.5+3x0.1=1.7,所 以 O(X)=(1-1.7)2X0.4+(2-1.7)

7、2X0.5+(3-1.7)2x0.1=0.41,D(y)=22)(X)=1.64.答 案：0.41 1.642.已 知 的 分 布 列 为 0 10 20 50 60P325115215115(1)求 方 差 及 标 准 差；(2)设 y=2-E(),求。(F).,1 2 1 2 1【解 析】因 为 E()=Oxg+10 x-+20 x+50 x+60 x=i?116,所 以 D=(0-16)2x-+(10-16)2x-+(20-16)2x+(50-16)人 看+(60-16)2x上=384,所 以 D()=8册.因 为 丫=2-石(),所 以)(y)=。(2-E)=22D(/J)=4x384

8、=1 536.1解 蔻 菜 略 方 差 性 质 应 用 的 关 注 点 公 式：D(aX+b)=a2D(X)；优 势：既 避 免 了 求 随 机 变 量 y=a x+h 的 分 布 列，又 避 免 了 涉 及 大 数 的 计 算，从 而 简 化 了 计 算 过 程.类 型 二 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 的 计 算(数 学 建 模、数 学 运 算)【典 例】编 号 为 1,2,3 的 三 位 学 生 随 意 入 座 编 号 为 1,2,3 的 三 个 座 位，每 位 学 生 坐 一 个 座 位，设 与 座 位 编 号 相 同 的 学 生 的 人 数 是 乙 求 E 和 D.【解 析

9、】4的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,3*=0 表 示 三 位 同 学 全 坐 错 了，有 2种 情 况，即 编 号 为 1,2,3 的 座 位 上 分 别 坐 了 编 号 为 2,3,1或 3,1,2 的 学 生,贝 1 尸(4=0)=鬲=3；1表 示 三 位 同 学 只 有 1位 同 学 坐 对 了，1则 p(4=i)=*=5;A3 乙 4=3表 示 三 位 同 学 全 坐 对 了，即 对 号 入 座,则 P(/=3)=5.所 以。的 分 布 列 为 己 0 1 3P1312161+X-2二 3 61-2+(1-62+:解 gf条 略 求 离 散 型 随 机 变 量 X的 均 值、方

10、 差 的 步 骤 理 解 X的 意 义，写 出 X的 所 有 可 能 的 取 值.求 X取 每 一 个 值 的 概 率.写 出 随 机 变 量 X的 分 布 列.(4)由 均 值、方 差 的 定 义 求 E(X),Z)(X).跟 踪 训 练、根 据 以 往 经 验，一 辆 从 北 京 开 往 天 津 的 长 途 汽 车 在 无 雨 天 盈 利 230元，小 雨 天 盈 利 163元，中 雨 天 盈 利 90元.根 据 天 气 预 报，明 天 无雨 的 概 率 是 0.2,有 小 雨 的 概 率 是 0.3,有 中 雨 的 概 率 是 0 5 问：明 天 发 一 辆 长 途 汽 车 盈 利 的

11、期 望 是 多 少 元？方 差 和 标 准 差 各 是 多 少？【解 析】用 X 表 示 明 天 发 一 辆 车 的 盈 利，由 题 意 知 P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5,所 以 E(X)=230 x0.2+163x0.3+90 x0.5=139.9(元)，所 以 明 天 发 一 辆 长 途 汽 车 盈 利 的 期 望 是 139.9元 方 差。(X)=(230-139.9衣 0.2+(163-139.9)2x0.3+(90-139.9)2x0.5=3 028.69,标 准 差(X)=yl3 028.69=55.所 以 方 差 和 标 准 差 各

12、是 3 028.69,55.类 型 三 随 机 变 量 方 差 的 实 际 应 用(数 学 建 模、数 学 运 算)【典 例】为 选 拔 奥 运 会 射 击 选 手，对 甲、乙 两 名 射 手 进 行 选 拔 测 试.已 知 甲、乙 两 名 射 手 在 一 次 射 击 中 的 得 分 为 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X,乙 甲、乙 两 名 射 手 在 每 次 射 击 中 击 中 的 环 数 均 大 于 6 环，且 甲 射 中 10,9,8,7 环 的 概 率 分 别 为 0.5,3a,a,0.1,乙 射 中 10,9,8 环 的 概 率 分 别 为 0.3,0.3,0.2.求

13、X,丫 的 分 布 列；求 X,丫 的 数 学 期 望 与 方 差，并 以 此 比 较 甲、乙 的 射 击 技 术 并 从 中 选 拔 一 人.【解 析】(1)依 题 意,0.5+3a+Q+0.1=1,解 得 a=0.1.因 为 乙 射 中 10,9,8 环 的 概 率 分 别 为 0.3,0.3,0.2,所 以 乙 射 中 7 环 的 概 率 为 1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所 以 X，丫 的 分 布 列 分 别 为：X 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1Y 10 9 8 7P 0.3 0.3 0.2 0.2 由 可 得 E(X)=10 x0.5+9x0.3+8x

14、0.1+7x0.1=9.2(环),E(y)=10 x0.3+9x0.3+8x0.2+7x0.2=8.7(环)，D(X)=(10-9.2)2X0.5+(9-9.2)2x0.3+(8-9.2)2x0.1+(7-9.2)2x0.1=0.96,D(V)=(10-8.7)2X0.3+(9-8.7)2X0.3+(8-8.7)2x0.2+(7-8.7)2x0.2=1.21.由 于 E(X)E(Y),说 明 甲 平 均 射 中 的 环 数 比 乙 高，又 因 为 D(X)D(Y),说 明 甲 射 中 的 环 数 比 乙 集 中，比 较 稳 定，所 以 甲 比 乙 的 技 术 好，故 应 选 拔 甲 射 手 参

15、 加 奥 运 会.解 gf链 略 利 用 均 值 和 方 差 的 意 义 解 决 实 际 问 题 的 步 骤(1)比 较 均 值：离 散 型 随 机 变 量 的 均 值 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平，因 此，在 实 际 决 策 问 题 中，需 先 计 算 均 值，看 一 下 谁 的 平 均 水 平 高；(2)在 均 值 相 等 的 情 况 下 计 算 方 差：方 差 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 稳 定 与 波 动、集 中 与 离 散 的 程 度，通 过 计 算 方 差，分 析 一 下 谁 的 水 平 发 挥 相 对 稳 定；(3)下

16、 结 论：依 据 均 值 和 方 差 的 意 义 得 出 结 论.跟 踪 训 练、有 甲、乙 两 名 学 生，经 统 计，他 们 在 解 答 同 一 份 数 学 试 卷 时，各 自 的 成 绩 在 80分，90分，100分 的 概 率 分 布 大 致 如 表 所 示.甲：分 数 X 80 90 100概 率 尸 0.2 0.6 0.2乙：分 数 y 80 90 100概 率。0.4 0.2 0.4试 分 析 两 名 学 生 的 成 绩 水 平.【解 析】因 为 E(X)=80 x0.2+90 x0.6+100 x0.2=90,D(X)=(80-90)2x0.2+(90-90)2x0.6+(10

17、0-90)2x0.2=40,E(Y)=80 x0.4+90 x0.2+100 x0.4=90,(y)=(80-90卢 0.4+(90-90)2x0.2+(100-90)2x0.4=80,所 以 a 凤 K),D(X)D(y),所 以 甲 生 与 乙 生 的 成 绩 均 值 一 样，甲 的 方 差 较 小，因 此 甲 生 的 学 习 成 绩 较 稳 定.课 堂 检 测 素 养 达 标 学 生 用 书 P471.下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.离 散 型 随 机 变 量 小 的 期 望 反 映 了。取 值 的 概 率 的 平 均 值 B.离 散 型 随 机 变 量 小 的 方 差 反 映

18、 了。取 值 的 平 均 水 平 C.离 散 型 随 机 变 量 4的 期 望 E 反 映 了 4取 值 的 波 动 水 平 D.离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 反 映 了 取 值 的 波 动 水 平【解 析】选 D.离 散 型 随 机 变 量 4的 期 望 E 反 映 的 是 随 机 变 量 的 平 均 取 值 水 平；而 则 反 映 随 机 变 量 的 集 中（或 稳 定）的 程 度，即 波 动 水 平.2.已 知 随 机 变 量 e,，则 c的 标 准 差 为.y【解 析】/的 标 准 差 寸。）=|.里 安 U 木-33.（教 材 二 次 开 发：练 习 改 编）已 知 随 机

19、 变 量。的 方 差。（0=4,且 随 机 变 量=2 1 5,则 D 二.【解 析】。5）=22。=16.答 案：164.已 知 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 X 0 1 Xp15P3T o且 E(X)=1.1,则 D(X)=.【解 析】由 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质 可 得 p=l*1 J3/1 1 1 3又 E(X)=OX5+1X-+JTX=1.1,解 得：=2.所 以。(X)=(0-1.1 31.1)2x-+(1-1.1)2X2+(2-l.l)2x=0.49.答 案：0.495.已 知 海 关 大 楼 顶 端 镶 有 A,3 两 面 大 钟，它 们 的 日 走 时

20、 误 差 分 别 为 X,X2(单 位：s),其 分 布 列 如 下：Xi-2-1 0 1 2p 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05X 2-2-1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1根 据 这 两 面 大 钟 日 走 时 误 差 的 均 值 与 方 差 比 较 这 两 面 大 钟 的 质 量.【解 析】由 题 意 得，E(Xi)=0,E(X2)=0,所 以 凤 X|)=E(X2).D(X,)=(-2-0)2x0.05+(-1-0衣 0.05+(0-0)2x0.8+(1-0)2x0.05+(2-0)2x0.05=0.5,D(X2)=(-2-0)2x0.1+(-1-0)2x02+(0-0)2x0.4+(1-0)2x0.2+(2-0)2x0.1=1.2.所 以 0(X1)D(X2).综 上 可 知，A大 钟 的 质 量 较 好.关 闭 Word文 档 返 回 原 板 块