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1、昆明市2022-2023学年度上学期期末考试高二数学第I卷（选择题，共6 0分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共4 0分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数/（幻 是函数X）的导函数，若/（x）=c o s x,则（）A.一 3 B.-C.1 D.32 2 2 2【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为/（x）=cosx,所以/（x）=-s in x,所以=_ sin =_；，V67 6 2故选：B.2.已知等差数列 q,的前项和为S“，若%=6,贝 33=（）A.6B.12 C.78 D.156【答案】C【解析】【分析】由条件根据等差数列前项和
2、公式结合等差数列性质可求5匹【详解】因为耳3 =（4+3）1 3=13%，13 2又%=6,所以S3=13x6=78,故选：C.3.如图，在平行六面体ABC。A 片G A 中，M 是用G 的中点，设AB=d,AD-b,AA-c,则 AA7=()c.A.Q+b+c B.ci-b+c C.。+/7 4 c D.2 2 21 ,1a H b-c2 2【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体A5CQ A4GA中，M是qG的中点，1 1 1 .所以=A 8 +8A+g M =+故选：B4.直 线y=2x+2与圆d+y 2+4%6 y 7 =o交于M,N两点，
3、则|肱7|为()A.#)B.V 1 5 C.2亚 D.2 V 1 5【答案】D【解析】【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求|MN|.【详解】方程%2 +),2 +4%-6)，-7 =0 可化为(X+2)2+(y 3)2 =2 0,所以圆 2 +y2 +4 x 6 y-7 =0的圆心的坐标为(-2,3),半径为2行,圆心(一2,3)到直线y=2尤+2的距离1|2 x(-2)-3 +2|3(-=6所以|M/V|=2A/20-5=2 V 1 5 ,故选：D.5 .空 间 直 角 坐 标 系 型 中,已 知 点A(2,0,2),3(2,1,0),C(
4、0,2,0),则平面ABC的一个法向量可以是()A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-L2)【答案】A【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知4 8 =(0,1,-2),3。=(一2,1,0),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),所以n-AB=Qn-BC=0y=2z。=2%即,令x=l得”=(1,2,1)所以，平面A B C的一个法向量可以是“=(1,2,1).故选：A6.在 中，A B =1,A C =5,C O S4=或，则 BC=()2 5A 4 7 2 B.而 C.7 2 9 D.2 7 5【答案】A【解析】【分析】先利用
5、二倍角公式求co s A,再运用余弦定理求BC即可.【详解】因为co s4 =，2 5A 7所以 co s A=2 co s2 1 =-,2 5由余弦定理可得B e?=AB2 +AC2-2 A B-8 CC O SA，因为 AB=1,AC=5 ,所以 B C?=1 +2 5-2 xl x5 x(|)=3 2,所以8 c=4后.故选：A.7.已知等比数列 4的各项都是正数，S“为其前项和，若S&=8,$8=2 4,则号6 =A.4 0 B.5 6 C.7 2 D.1 2 0【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为凡=8,S8-S4=1 6,S1 2-S8,6-耳
6、2成等比数列，所以岳2-4=3 2,S n =6 4,5I6=S4+(S8 S4)+(51 2 S8)+(S1 6 S 2)=8 +1 6+3 2 +6 4 =1 2 0.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质，属于基础题.8 .已知定义在R上的函数/(x)的导函数 为/(x),K3/(x)+r(x)8的解集为()A.(-o o,2)B.(-0 0,In 2)C.(In 2,+o o)D.(2,+)【答案】B【解析】【分析】因为不等式/(%九3*8等价于/(X)e3、/(l n 2)e3 m 2,故考虑构造函数g(x)=e3 /(x),结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等
7、式即可.【详解】令g(x)=e3 (x),函数g(x)的定义域为R,因为 3/(x)+/(x)()所以，d)V(x)+e 3 ，(x)0故 g，(x)=(e3 (x)y 8可化为g(x)g(In 2),所以x 8的解集为(9,In 2)故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9 .下列关于双曲线f-y 2 =1的结论中，正确的是()A.离心率为、历 B.焦距为J5C.两条渐近线互相垂直 D.焦点到渐近线的距离为1【答案】AC D【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线V -V =葭 可 得。=1
8、,b=l,c=J 5，则双曲线/一 y 2=l的离线率为e =&,故A正确；a焦距2c=2 故B错误；渐近线为丁 =%与=一%,且斜率之积为T,即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为人=1,故D正确；故选：AC D.10.设S.是数列 4的前项和，且q=l,a,+I=2S“（e N*）,则下列结论中，正确的 是（）A.4是等比数列 B.S,是等比数列C.%=3 T D.S =3 T【答案】BD【解析】【分析】利用句与S“的关系可得 4的递推关系即可判断A,C；利用。“与S”的关系可得 的递推关系即可判断B,D.【详解】由=2S,所以当 2 2时，有%=2s“t ,两 式 相 减
9、得=3%,又q=l,4=2 S 1=2,所以数列 4不是等比数列，故A错误；C错误；由2s“=a,+|=S向一S“，得 ST=3S”，所以数列 S,J是首项为1,公比为3的等比数列，所以S“=1X3T=3T,故B正确；D正确.故选：BD.11.设抛物线C：y=6x的焦点为产，准线为4,直线/经过点口且与。交于A 5两点，若4尸=3 F 8,则下列结论中正确的是（）A.直线/的斜率为石或-百 B.的中点到4的距离为41 1 2C.TTF；+r F；=7 D.O Ar O B（O为坐标原点）|A F|B F 3【答案】ABC【解析】【分析】由题设直线/的方程为=冲+9，A（x，y）,3（%,%），
10、进而联立方程，结合向量关系得 y2=V3,y=3y/3,m=或 y2=V3,y =3y/3,m=，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由 题 知 焦 点 为 准 线 为4：x=g,所以，设直线/的方程为了=冲+，4（%,%）,8（与 必），丁=6x所以，2-6/2一9=0 ,x=my-V 所以，A=36m2+360，弘 十%=6根，M%=-9，因为 AF=3F8，即 A E n L x u-y J jP B+w-Q%），所以一X=3%,所以，由得力=瓜 3瓜m-曰或%=-瓜X=3瓜m=与，所以直线/的斜率为,=土 百，故A选项正确;m所以，玉+=m（乂+必）+3=6m2+3=5,故A 3的中点的
11、横坐标为g,，呜,所以，AB的中点到4的距离为g-4,故B选项正确;%=G，X=-3 6,加=一 半 时，A,此时当a Q 1 3 1 2M=2+2=6,M=2+2=2,故 两 +两=；当%=-6,X=3石,m=时，4,Bo 3,此时|力司=；+1=6,1 3 1 1 2防=5+5=2,故两+南0故c选项正确;因为。4-QB=X,X,+X%=J +*%=2 9H0,故。4J_OB不成立，故D选项36 4错误.故选：A BC12.已知函数/(x)=%3 一加/+,则下列结论中正确的是()A./(x)有两个极值点B.当加=-1时，/在(0,+8)上是增函数C.当 加=1时，Ax)在 上 的 最 大
12、 值 是 1D.当加=3 时，点 是 曲 线 y =f(x)的对称中心【答案】BC D【解析】【分析】求函数/(x)的导函数，根据极值点的定义判断A,结合导数判断函数的单调性求最值，判断B,C,结合奇函数的定义判断D.【详解】因为/(x)=V 后+1,所以/(x)=3x2-2 m x-x(3 x-2 m j,当m=0时，/(x)=3 x2 2 0,当且仅当x =0时,/(x)=0函数/(X)在上单调递增，函数/(X)没有极大值点也没有极小值点，A 错误；当,”=-1 时，r(x)=x(3x+2),当x e(0,+8)时，制 x)0,函数在(0,+向上单调递增，B 正确；当m=l 时，r(x)=
13、x(3x-2),/、2令/(%)=。可得，x =0或尤=，当工 -1,0)时，第 x)0,函数在 1,0)上单调递增，当时，f(x)0,函数“X)在 停 1 上单调递增，又 0)=1,1)=1所以函数/(x)在 -1,1 上的最大值为1,C正确；当加=3 时，f(x)=x3-3x2+l,/(X+1)=(X+1)3-3(X+1)2+1=X3-3X-1,设 g(x)=/(x+l)+l，贝 ij g (x)=V _3 x,g (-x)=-x3+3 x =g (x),所以函数8（月=/（%+1）+1 为奇函数，所以函数g （x）的图象关于原点对称，所以函数/（力 关于点（1,-1）对称，D正确.故选：
14、B C D.第D卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1 3 .曲线/（x）=2 x半+!1在点（1,一 3）处的切线方程为.x-2【答案】5 x+y-2 =0【解析】【分析】再结合导数的几何意义切线斜率，代入切线方程公式即可.【详解】因为/（）=2空r+1，x-2所以广。=2（尸2）一（2、+1）_=(X-2)22 2)2 所 以/（1）=-5.故切线方程为5 x+y-2 =0.故答案为：5 x+y-2 =O.1 4 .在直三棱柱A BC-44cl中，Z B A C =90,A B =AC AAl,则 直 线 与 4 乃 所成角的余弦值为.【答案】g#（）.5【解析
15、】【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱A B C-44G为直三棱柱，且 N BA C=9O，所以以点A 为坐标原点，分别以为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 A 3 =AC A A i 1,则A（0,0,0）,B（0,l,0），A（0,0,1）,G（1，0,1），所以 45=(0,A G=(1,0,1),所以 c os（A|B,AG）AiBAC,0 x l +l x 0 +(-l)x l7 2 x 7 22因为异面直线所成的角在（0 ,9 0 b所以异面直线A C与A/所成的角余弦值为3 ,1
16、 5.己知经过点P（2,l）且斜率为-1的直线/与椭圆C:x2 y7+F=l(a/?0)交于 A,B 两点，若P恰为弦A B的中点，则椭圆C的离心率为.【答案】旦2【解析】【分析】设A（石,芦）,8（,为），代入椭圆方程相减，利 用 中 点 坐 标 求 得 关 系，从而可得离心率.2 2 2 2【详解】解：设4（3,m）,3（9,%），2 +二=1，寺+与=1 a b a hP是线段A B的中点，.三士生.=2,*及=1,两 式 相 减 可 得 史 n+丘二1=（）,2 2 a2 b2整理得4（”）+2（%）=0,即0驾，cr b2-x2 a,弦AB的斜率为-1故答案为：显.21 6.已知一A
17、 B C 中，BC=2,A 8=2 A C,则ABC面积的最大值为4【答案】一3【解析】【分析】设 AC=x,则 AB=2 x,根据面积公式得S BC=W1-cos2c,由余弦定理求得cos。代 入 化 简 之%=、件-上-当 2，由三角形三边关系求得 x 2,且 x+2 2 x,解得：x 2 s i n（A +C）=2 s i n A c o s C -s i n C ,据2+如+2i -1-卜3 3 5 5 7、2?7 +1 .所 以 北=5 i n2/7 +1此可得答案;（2）S ABC=be sin A12 1 s i ns i n j?s i n C s i n A=V s i n
18、B s i n C，TT又 由(1)可知6+。=一,3则 S A B C =V 3 s i n-JI-C s i n C,再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案【小 问1详解】ab山正弦定理 9sin A sin B sin Ccb-ac o s C n 2 s i n 8 =2 s i n A c o s C-s i n C ,2又在三角形中，s i n B=s i n （-A -C）=s i n（A +C）.则2 s i n 3 =2 s i n A c o s C s i n C =2 c o s A s i n C =s i n C,又s i n C 0,得c o s A =-g,结
19、合A e（O,兀），知A=g【小问2详解】由正弦定理，可知。=一 s i n B,cs i n A1a ._-s i n C.s i n A则 S A B C =；b C S i n A2 1 s i ns i n B s i n C s i n A=A/3 s i n s i n C .71又 由（1）可知8+C =3则S诙8 s i n|-C l s i n C =-s i n C c o s C -s i n2 C.2 2s i n 2C-4 4-c o ss i n 2C+c o s 2 Cs i n(2 C +二、,因 C e（0，W）,则 2 C +5 e兀5兀6；兀3故当2 c+
20、2 =：，即C =2时，S A B C取 最大值立6 2 6 41 9.已知数列 q满足 q =2,a.+i =3 a“+2（eN,）.(i)证明。+1 是等比数列，并求数列%的通项公式;(2)设2=啊，求 数 列 也 的前项和S .【答案】（1）证明见解析，3+（2-1）3川 n2+n（乙）3=-“4 2【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知d=nan=n-3-n,进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.【小 问1详解】解：数列。“满 足=2,an+i=3%+2（e N*）Qa“+i+l=3（a.+l）,即 号 噜=3，数列%+1是 以%+1=3为
21、首项，3为公比的等比数列，/.+1 =3 3,|=3,即。二3-1 ；an=3n 1【小问2详解】解：由题知a3 一，设 -3的前项和为，.-.7；,=1-3+2-32+3-33+.3,37；,=1-32+2-33+3-34+(n-l)-3+n-3n+l,.27；=3+32+33+L+3,-n-3,+l=4二 3向=匕 也-3向，1-3 2 23+0工3，川4 4v数歹I 科的前“项和为(丁)=门 士.数歹M a的前项和川+3 2一1 +/+3+(2-1)3|/+o=1-=I-3-=-“2 4 4 2 4 220.已知函数/(x)=lnx-2ox,aeR.(1)当。=1时，求函数/(X)的单调
22、区间；(2)若函数/(x)有两个零点，求。的取值范围.【答案】（1）单调增区间（0,；）；减区间1于+0（吟）【解析】【分析】（1）求函数/（X）的导函数，由/4勾0求函数的单调递增区间，由r（x）o求函数的单调递减区间；（2）由/1（力二。可得4=吐，则直线y =a与函数g（x）=的图象有两个交点，利2x x用导数分析函数g（x）的单调性与极值，数形结合可得出实数”的取值范围.【小 问1详解】当a=l时，X）=l n x-2 x,该函数的定义域为（0,+8）,r（x）=l-2=,X X令/（x）=0可得x =；,列表如下：所以，函数/（X）在（0,；X61_21 _/（X）取值为正0取值为负
23、/（X）单调递增极大值单调递减上单调递增，在（I,+g 上单调递减;1 2 7【小问2详解】1n X.In Y由/（力=。，可得a=，则直线y =a与函数g（x）=的图象有两个交点,2 x 2 x函数g（x）=5土的定义域为（0,+8）,g，（x）=；吁,由g （x）=0,可得x =e,列表如下：X(0,e)e(e,+o o)g (x)取值为正0取值为负所以，函数g(x)的极大值为g(e)=,g(x)单调递增极大值单调递减且当x l时，g(x)0,当X f+C0时，和函数y=ln x相比，一次函数呈爆炸性增长，所以/(x)f 0,且 八x)/2,l,0),M(血,1,0),P C=(2 7 2
24、,1,-1),P D=(2 V 2,-1,-1),P M=(,1,-1).设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z),nn由P D =2 瓜一 y-z =。L，取 X =1 ,得=P M=j 2 x +y-z =0V 2 3。直线PC与平面P D M所成角的正弦值为:I c o s =|P C .川 _ 及 而PC-n yid-y6 3 0【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22.已知椭圆C:2 2王da2 b-=1(ab 0)的左、右焦点分别为匕(,0),月(g,0),且该椭圆过点An2,(I )求椭圆C的标准方程;(H)过点8(4,0)作一条斜率不为0的直线/
25、,直线/与椭圆C相交于P,Q两点，记点P关于x轴对称的点为点U，若直线P Q与x轴相交于点。，求A P P Q面积的最大值.r23【答案】(I)+/=1;(I I)-4 4【解析】【分析】(I)根据2 a=|4 6|+|4闾，和=一。2计算椭圆的标准方程；(n)题意可设直线/的方程为x =y +4(/7?0),与椭圆方程联立，得到)1 +%=二=，y%=7,根据坐标设出PQ的方程，并得到A Q P Q的面积，代+4 m+4入根与系数的关系，并求最大值.【详解】(I)由椭圆的定义可得2a=|A制+|AE|=J(2 G)2+(g j+g =4,解得a=2.又 b?=a2 (V3)2=1,所以椭圆C
26、的标准方程为工+y2=14-（II）由题意可设直线/的方程为x=加y+4（mWO）.设2（西,M）,。（孙），则P（x，-y J.由,x=my+4,X2 2_,-l-y=1,4,消去 X 可得(P+4)y2+8my+12=o-8m 12m+4 r +4y+%A=16(m2-12)0,/.加 12“=%+=%+XPQ x2-x机(必一乂)，直线PQ 3 方程为y+y力+y加（必一 y）(X 3)令),=o,f可得 x=m(-为1-另-)+乂 +4.=Imy.y.+4.=-M+2 4+A4 =4 -2-4-m-+4.=1,%+X%+X-8-8mnr+4.1,0(1,0)SPQ=际。-SABOP|=；I 8 I .|x _%I =J(x +必-4yly2 =二 乙 2+4令 t=Vm2 12,/G(0,+oo)，=6-6 3则 SDPQ7TT67J6,At当且仅当，=4,即?=2j7时等号成立,3.OPQ面积的最大值为三【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.