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1、部 高 二 收 心 考 试 数 学 试 题 2022.2一、单 选 题（共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分）1.直 线 X-百 的 倾 斜 角 为（）37 n 71A.B.C.4 3 42.两 条 平 行 直 线 3x+4y-10=0与 ar+8y+ll=0之 间 的 距 离 为()71D.6A31,31 八 23A.B.C.5 10 523D.103.若 圆 C：/+：/=4 上 的 点 到 直 线/：y=x 的 最 小 距 离 为 2,则 a=()A.2血 B.+2/2-2 C.4/2-2 D.4&4.双 曲 线 上 二=1 的 焦 点 坐 标 是（）3 25.已 知 双 曲 线，
2、=/0）的 一 条 渐 近 线 过 点（2,百），且 双 曲 线 的 一 个 焦 点 在 抛 物 线 y2=4j7xA.(0,1)B.(1,0)C.(0,75)D.(75,0)的 准 线 上，则 双 曲 线 的 方 程 为 2 2 9 2 2 2A,土 一 二=1 B.三 二=1 C,二 一 二=121 28 28 21 3 42 2D,t-匕=14 31 1 26.某 大 街 在 甲、乙、丙 三 处 设 有 红 绿 灯，汽 车 在 这 三 处 遇 到 绿 灯 的 概 率 分 别 是 橙,则 汽 车 在 这 三 处 共 遇 到 两 次 绿 灯 的 概 率 为()A.-B.-C.一 9 6 37
3、.在 数 列 中，%=2,%=4,且+a,=0(2 2),则 a=D.118A.22 B.-22 C.16 D.-162 28.设、尸 2分 别 为 椭 圆 C：二+匕=1 的 左、右 焦 点，尸 是 椭 圆 C 上 一 点，49 24若 归 耳|=8,则 点 尸 到 原 点 的 距 离|0尸 1为()A.4B.5 c.8D.10二、多 选 题（共 4小 题,9.下 列 四 个 数 列 中 的 递 增 数 列 是（）每 小 题 5分，共 20分）D.1,2,3）J 2110.甲 乙 两 个 质 地 均 匀 且 完 全 一 样 的 骰 子，同 时 抛 掷 这 两 个 骰 子 一 次，记 事 件
4、A 为“两 个 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 之 和 为 奇 数”，事 件 8 为“甲 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 为 奇 数”，事 件。为“乙 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 为 偶 数”，则（）A.事 件 A、8 是 相 互 独 立 事 件 B.事 件 8、C 是 互 斥 事 件 C P（A）=P（3）=P（C）D.尸（4 3 C）=J811.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.直 线（a l）x（4 2）-1=0 3 6 1）一 定 经 过 第 一 象 限 B.经 过 点 尸（1,2）,倾 斜 角 为 a 的 直 线 方 程 为 y-2=tana（x 1）c.经 过
5、两 点 M（%，x）,（西#w）的 直 线 方 程 为 D.截 距 相 等 的 直 线 都 可 以 用 方 程+了=。（。1）表 示 12.已 知 双 曲 线?-会=1的 两 个 顶 点 分 别 是 4，4,两 个 焦 点 分 别 是 耳，F?-P是 双 曲 线 上 异 于 4，4 的 任 意 一 点，则 有（）A.I M T 啊|=4B.直 线 P,P 4 的 斜 率 之 积 等 于 彳 C.使 得 PK名 为 等 腰 三 角 形 的 点 P 有 8个 D.若 网=3,则.花=0二、填 空 题（共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分）13.抛 物 线 y=2/的 准 线 方 程 是
6、.14.若 点 尸（1,1）为 圆 Y+），2-6x=0 的 弦 M N 的 中 点，则 弦 M N 所 在 直 线 方 程 为.15.如 图，已 知 正 方 体 ABCD-ABCD,E,尸 分 别 为 A，A 8 的 中 点，点 G 在 上 底 面 A8C。（含 边 界）上 运 动.请 补 充 一 个 恰 当 条 件，当 点 G 满 足 时，有 8C 平 面 EEG.DC16.已 知 水 平 地 面 上 有 一 篮 球，在 斜 平 行 光 线 的 照 射 下，其 阴 影 为 一 椭 圆(如 图)，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆 中 心。为 原 点，设 椭 圆 的 方 程 为+二=
7、1(机 0),篮 球 与 地 面 m n(1)写 出 数 列 a,的 前 5 项.(2)猜 想 数 列 4 的 通 项 公 式.18.已 知 直 线 方 程 为(2 2)%+(2?+1)丁+3/+4=0,其 中 m e H.(1)求 证：直 线 恒 过 定 点；(2)若 直 线 分 别 与 x 轴、y 轴 的 负 半 轴 交 于 A 3 两 点，求/0 B 面 积 的 最 小 值 及 此 时 的 直 线 方 程.19.已 知 过 点 A(0,1)且 斜 率 为 左 的 直 线/与 圆 C：(x2)2+。-3)2=1交 于 M,N 两 点.(1)求 k 的 取 值 范 围;若 O M-O N=1
8、2,其 中。坐 标 原 点，求 IMN.20.(1)求 焦 点 在 坐 标 轴 上，长 轴 长 为 6,焦 距 为 4 的 椭 圆 标 准 方 程；(2)求 与 双 曲 线 三-匕=1有 共 同 的 渐 近 线，且 过 点(-3,2 6)的 双 曲 线 标 准 方 程.9 16 v 21.三 棱 柱 A B C-4 4 c l 中，侧 棱 与 底 面 垂 直，N A B C=90。，AB=B C=BBt=2,M,N 分 别 是 AB,4 c 的中 点.(1)求 证：M V/平 面 8 C C 4；(2)求 直 线 8 G 和 平 面 M B C 夹 角 正 弦 值.22.已 知 定 点 用(-
9、1,0),圆 N:(x1+丁=16(N为 圆 心，O 为 坐 标 原 点)，点。为 圆 N 上 动 点，线 段 M Q 的 垂 直 平 分 线 交 N Q 于 点 尸，记 点 P 的 轨 迹 为 曲 线 C,过 N 的 直 线/与 曲 线 C 交 于 A,8 两 点.(1)求 曲 线 C 方 程;(2)点 T 在 线 段 A B 上，且 4 T=2 TB，点 B 关 于 原 点 的 对 称 点 为 凡 求 面 积 的 取 值 范 围.部 高 二 收 心 考 试 数 学 试 题 2022.2一、单 选 题（共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分）1.直 线 X-百 y-i=的 倾 斜 角 为
10、（）37r 71 _ 71A.B.C.4 3 4D【分 析】求 出 直 线 的 斜 率 后 可 求 直 线 的 倾 斜 角.【详 解】直 线 X-6 y-1=0 的 斜 率 为 乎，故 其 倾 斜 角。满 足 tan6=3,而 60,），故。=工，故 选：D.2.两 条 平 行 直 线 3x+4y-10=0与 ax+8/M 1=0之 间 的 距 离 为（）B【分 析】先 求 出 小 利 用 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 即 可 求 解.【详 解】因 为 两 直 线 3x+4y-10=0与 ax+Sy+11=0平 行，所 以=解 得：=6,所 以 av+8y+ll=0 为 6x+8）+
11、ll=0,即 3+4）+口=0,3 4 10 2由 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 可 得：I+io|两 条 平 行 直 线 3x+4y-10=0与 6x+8y+l 1=0之 间 的 距 离 为：_|2|_ 31.故 选：B.3.若 圆 C：f+y2=4 上 的 点 到 直 线/：y=x+a 的 最 小 距 离 为 2,则”=（）A.2亚 B.272-2 C.472-2 D.+472D【分 析】根 据 圆 的 性 质 可 知 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 4,利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 列 方 程 解 出 即 可.【详 解】圆 C 的 圆 心 为（0,0）,半 径
12、=2,圆 心 C 到 直 线/的 距 离 d万:圆 C 上 的 点 到 直 线/的 最 小 距 离 为 2,圆 心 到 直 线 I的 距 离 号=2+r=4,可 得 q=4及.故 选：D2 24.双 曲 线 工 21=1的 焦 点 坐 标 是()3 2A.(0,1)B.(1,0)C.(0,+V5)D.(75,0)D【分 析】根 据 双 曲 线 方 程 可 得 匕，然 后 根 据。2=4+6 2 可 得 c,最 后 得 出 结 果.【详 解】由 题 可 知：双 曲 线 的 焦 点 在 x轴 上，且。=6 力=夜，所 以+/n c=&所 以 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 为(土 括,0)故 选：
13、D2 25.己 知 双 曲 线，g=l(a0,b0)的 一 条 渐 近 线 过 点(2,百)，且 双 曲 线 的 一 个 焦 点 在 抛 物 线 y2=4，7x的 准 线 上，则 双 曲 线 的 方 程 为 2 2 2 2 2 2 2 2A,工 上=1 B,二 工=1 C.又 上=1 D,匚 二=121 28 28 21 3 4 4 3D1 Q f【详 解】试 题 分 析：双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 是 y=-贝|6=一，抛 物 线)，2=4万 的 准 线 是=-不，因 此 a aa=2 r2 2c=近，即 a2+z?2=c2=7，由 联 立 解 得 所 以 双 曲 线 方 程 为 二
14、 2-=1.故 选 D.b=W)4 3考 点：双 曲 线 的 标 准 方 程.1 1 26.某 大 街 在 甲、乙、丙 三 处 设 有 红 绿 灯，汽 车 在 这 三 处 遇 到 绿 灯 的 概 率 分 别 是 不 二,二，则 汽 车 在 这 三 处 共 遇 到 两 3 2 3次 绿 灯 的 概 率 为()AD1-6 D.8【分 析】把 汽 车 在 三 处 遇 两 次 绿 灯 的 事 件 M 分 拆 成 三 个 互 斥 事 件 的 和，再 利 用 互 斥 事 件、对 立 事 件、相 互 独 立 事 件 的 概 率 公 式 计 算 得 解.【详 解】汽 车 在 甲、乙、丙 三 处 遇 绿 灯 的
15、 事 件 分 别 记 为 A,B,C,则 P（A）=P（8）=L P（C）=2,3 2 3汽 车 在 三 处 遇 两 次 绿 灯 的 事 件 M 则 M=A B e+A 5 C+M C，且 ABC 入 8。互 斥，而 事 件 A，B,C相 互 独 立，1 1 2 1 1 2 1 1 2则 P(M)=P(ABC)+P(ABC)+P(A B C)=_ x _ x(l)+-x(l)x-+(l)x-x-3 3 3 3 3 37187所 以 汽 车 在 这 三 处 共 遇 到 两 次 绿 灯 的 概 率 为 6.故 选：D7.在 数 列 中，6=2,%=4,且。+=。(2 2),则 c i4=A.22
16、B.-2 2 C.16 D.-1 6C【分 析】由 数 列 的 递 推 关 系，带 入,%，即 可 求 出 的，再 将。2，%带 入，即 可 求 出。4【详 解】令=2,则 3+2出+4=。，又 4=2,生=4,所 以。3=-1；再 令=3,则。4+2%+%=，所 以 4=1 6,故 选 C【点 睛】本 题 考 查 数 列 的 递 推 公 式，对 及 赋 值，求 解 数 列 中 的 项，属 于 简 单 题.8.设 耳、尸 2分 别 为 椭 圆 2 2C:二+乙=1的 左、右 焦 点，P 是 椭 圆 C 上 一 点，若 归 用=8,则 点 P 到 原 点 的 距 离|0 P|为（）49 24 1
17、 1A.4 B.5 C.8 D.10B【分 析】由 椭 圆 的 方 程 求 出。，b,。的 值，再 利 用 椭 圆 的 定 义 求 出 I尸 居 I的 值，由 勾 股 定 理 得 出 三 角 形 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形，而 O P是 斜 边 的 中 线，由 此 即 可 求 解.【详 解】解：由 椭 圆 的 方 程 可 得：/=4 9，尸=2 4,所 以 a=7,c=5,则|耳 下|=2c=1 0,且|甲+|尸 苞|=2a=1 4,所 以|鸟|=6,所 以|耳+|尸 入 引 耳 居 匕 所 以 三 角 形 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形，又
18、 O P是 斜 边 入 的 中 线，所 以|。尸|=（耳|=5,故 选：B.二、多 选 题（共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分）9.下 列 四 个 数 列 中 的 递 增 数 列 是（）A.1,2_ 13,4B.兀 sin,7.2万 sin,7.3%sin,7C.1 1 1，-，2 4 8D.1，2,/3 J21CD【分 析】逐 一 分 析 各 个 选 项 数 列 的 单 调 性 即 可 得 解.【详 解】解：对 于 A,数 列 1,为 递 减 数 列，故 不 符 合 题 意;2 3 4对 于 B,数 列 s吟 si.n 2万,7s in网，为 周 期 数 列，且 s i n s
19、 i n 包，故 不 符 合 题 意;7 7 7对 于 C,数 列 T,2。，为 递 增 数 列，故 符 合 题 意；对 于 D,数 列 1,0&，后 为 递 O增 数 列,故 符 合 题 意._4故 选：CD.1 0.甲 乙 两 个 质 地 均 匀 且 完 全 一 样 骰 子，同 时 抛 掷 这 两 个 骰 子 一 次，记 事 件 A 为“两 个 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 之 和 为 奇 数”，事 件 B为“甲 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 为 奇 数”，事 件 C 为“乙 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 为 偶 数”，则（）A.事 件 A、8 是 相 互 独 立 事 件
20、 B.事 件 8、C 是 互 斥 事 件 C.P（A）=P（B）=P（C）D.P(A B C)=-AC【分 析】利 用 列 举 法 分 别 求 出 事 件 A,B,C,A B，A B C的 概 率，结 合 互 斥 事 件、相 互 独 立 事 件 的 定 义 直 接 求 解.【详 解】解：甲、乙 两 个 质 地 均 匀 且 完 全 一 样 的 骰 子，同 时 抛 掷 这 两 个 骰 子 一 次,基 本 事 件 总 数=6x6=36,记 事 件 A 为“两 个 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 之 和 为 奇 数”，则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 18个，分 别 为:(1,2),
21、(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),尸 中 总 事 件 8 为“甲 骰 子 朝 上 一 面 的 数 字 为 奇 数”，则 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 有 18个，分 别 为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),八 18 1.P=,36 2事
22、 件 C 为“乙 骰 子 朝 上 一 面 数 字 为 偶 数”，则 事 件 C 包 含 的 基 本 事 件 有 18个，分 别 为：(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),.-,P(C)=136 2事 件 A 3 包 含 的 基 本 事 件 有 9 个，分 别 为：(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),9 1P(AB)=_,36 4.P(A3)=P(A
23、)尸(3),.事 件 A、B 是 相 互 独 立 事 件，故 A 正 确；事 件 8 与 C 能 同 时 发 生，故 事 件 B 与 C 不 是 互 斥 事 件，故 8 错 误；P(A)=P(B)=P(C)=；,故 C 正 确；A 8 C 包 包 含 的 基 本 事 件 有 9 个，分 别 为：(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),.P(ABC)=9-=-1.故 O 错 误.36 4故 选：AC.11.下 列 说 法 正 确 的 是()A.直 线(a l)x(42)-1=0 3 6 1)一 定 经 过 第 一 象 限 B.经
24、 过 点 尸(1,2),倾 斜 角 为 a 的 直 线 方 程 为 y-2=tana(x1)c.经 过 两 点 M(%，x),(西#w)的 直 线 方 程 为 X2 XD.截 距 相 等 的 直 线 都 可 以 用 方 程 x+y=a(a w R)表 示 AC【分 析】求 出 直 线 过 的 定 点 可 判 断 A；当 夕=9 0 时 可 判 断 B；由 直 线 的 点 斜 式 方 程 以 及 斜 率 公 式 可 判 断 C；当 横 纵 截 距 都 等 于 0 时 可 判 断 D,进 而 可 得 正 确 选 项.【详 解】对 于 A：由（。一 1）%（。-2）丁 一 1=0（。G R）可 得。
25、（工 一 丁）一 九+2y一 1=0,x-y=0 fx=1/、由|_工；2,1-0可 得 1-1 所 以 该 直 线 恒 过 定 点 0），该 直 线 一 定 经 过 第 一 象 限 故 选 项 A 正 确；对 于 B：当 a=90 时，直 线 的 斜 率 不 存 在，所 以 不 能 写 成 y-2=tana（x-l）的 形 式，故 选 项 B 不 正 确；对 于 C：因 为 王 声 马，所 以 过 点 M（%，x），N（w，%）两 点 的 直 线 斜 率 为 左=告 号，所 以 直 线 的 方 程 为 故 选 项 C 正 确;对 于 D：当 直 线 的 横 纵 截 距 都 等 于 0时，直
26、线 的 方 程 为 y=,不 可 以 用 方 程 x+y=a（a e R）表 示，故 选 项 D不 正 确；故 选：AC.V2 V212.已 知 双 曲 线 3-、=1的 两 个 顶 点 分 别 是 A，4,两 个 焦 点 分 别 是 入 0 是 双 曲 线 上 异 于 4，4 的 任 意 一 点，则 有（）A.1-1 1 1=43B.直 线 P A，PA2的 斜 率 之 积 等 于 三 4C.使 得 耳 心 为 等 腰 三 角 形 的 点 尸 有 8个 D 若 必 叫=3,则 P曰 P K=0BCD【分 析】根 据 双 曲 线 定 义，结 合 双 曲 线 的 几 何 性 质，对 每 个 选
27、项 进 行 逐 一 分 析，即 可 判 断 并 选 择.【详 解】设 点 尸（事,为 乂/彳 9），A C 2,0）,42（2,0）,网 J7,0）,6（J7,0）A：不 妨 取 点 P（4,3）满 足 双 曲 线 方 程，此 时：|PA|-|A|h V62+32-V22+32=3/5-7 1 3 4,故 错 误；%一 乂%+2 X Q 2,%；4B：2 2又 因 为 区 生=1,4 3代 入 可 得：k k.4 0,3,故 正 确;心 时-X2-4 4义 0 4+一 C：分 别 以 耳，工 为 圆 心，以 出 入 I为 半 径 作 圆，与 双 曲 线 交 于 8个 点，如 下 所 示:故 使
28、 得 为 等 腰 三 角 形 的 点 P 有 8个，正 确；D：因 为 故 可 得（不 一 2）（毛+2）+北=3,解 得：耳+巾=7；又 尸 耳.=（%+S）卜。一 S）+=+第-7=o,正 确；综 上 所 述，正 确 的 选 项 是：BCD.故 选：BCD.二、填 空 题（共 4小 题，每 小 题 5分，共 2 0分）13.抛 物 线 y=2/的 准 线 方 程 是.y=【分 析】O先 将 抛 物 线 方 程 化 为 标 准 形 式，求 出，的 值，即 可 求 解.【详 解】由 y=2/得 抛 物 线 方 程 为 V=5 y,所 以=,所 以 抛 物 线 y=2x2的 准 线 方 程 是
29、y=9=：,2 8故 答 案 为：y=.814.若 点 P（l,l）为 圆 Y+），2-6x=0 的 弦 M N 的 中 点，则 弦 M N 所 在 直 线 方 程 为.2xy-1=0【详 解】试 题 分 析：因 为 21/）为 圆/+）；2-68=0 的 弦 的 7 的 中 点，所 以 圆 心 坐 标 为（3,0）,勺 m=一 泊=2，M N 所 在 直 线 方 程 为 y-1=2。-1），化 简 为 2x-y-1=，故 答 案 为 2x y-1=考 点：1、两 直 线 垂 直 斜 率 的 关 系；2、点 斜 式 求 直 线 方 程.15.如 图，已 知 正 方 体 ABC。一 ABCD,E
30、，厂 分 别 为 A。，A 3 的 中 点，点 G 在 上 底 面 A3C。（含 边 界）上 运 动.请 补 充 一 个 恰 当 条 件，当 点 G 满 足 时，有 3 C 平 面 EEG.DCG 在 B C,中 点 与 C D 中 点 连 线 上【分 析】取 38，B C，C D,。的 中 点 分 别 为。，M,N,P,连 接 8 0，BD，F Q,Q M,M N,NP,P E，可 证 明 3C 平 面 EEQ用 N P,点 G 在 平 面 E E Q M N P 内，进 而 可 得 点 G 在 面 E F Q M N P 与 面 A3C。的 交 线 上，即 可 求 解.【详 解】取 6 9
31、，B C,C D D D 的 中 点 分 别 为。，M,N,P,连 接 8。，B D，FQ,Q M,MN,N P,PE,因 为 E，尸 分 别 为 A。，A 8 的 中 点，所 以 EF/BD,同 理 可 得 因 为 88。，BB=DD.所 以 四 边 形 8 8 力。是 平 行 四 边 形，可 得 BD BD,所 以 EF/MN,同 理 可 证 明 PE QM,PN/FQ,所 以 E，F，Q,M,N,P 共 面，因 为 BC QM,BC（z 而 E F Q M N P,Q M u 面 E F Q M N P,所 以 BCH平 面 E F Q M N P,若 BC/平 面 E F G，则 点
32、G 在 平 面 E F Q M N P 内,又 因 为 点 G 在 上 底 面 ABC。（含 边 界），所 以 点 G 在 面 E F Q M N P 与 面 ABCD的 交 线 上，所 以 点 G 在 线 段 M N 上，即 点 G 在 5。中 点 与 C。中 点 连 线 上，故 答 案 为：G 在 PC中 点 与 C。中 点 连 线 上.N C D16.已 知 水 平 地 面 上 有 一 篮 球，在 斜 平 行 光 线 的 照 射 下，其 阴 影 为 一 椭 圆(如 图)，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆 中 心。为 原 点，设 椭 圆 的 方 程 为 三+二=1(m(),篮 球
33、 与 地 面 的 接 触 点 m n为“，则 的 长 等 于.【分 析】在 平 行 光 线 照 射 过 程 中，椭 圆 的 短 半 轴 长 为 球 的 半 径，由 几 何 关 系 可 得 球 心 连 结。到 椭 圆 中 心 连 结。的 距 离 为 椭 圆 的 长 半 轴，连 结。”得 到 直 角 三 角 形，由 勾 股 定 理 可 得 答 案.【详 解】在 平 行 光 线 照 射 过 程 中，椭 圆 的 短 半 轴 长 为 球 的 半 径，即/=.设 球 心 为 a,椭 圆 的 长 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 A 5,连 结 a”,如 图.0.H 垂 直 于 水 平 地 面，则 01H
34、 1 AB如 图 光 线 分 别 与 球 相 切，由 圆 的 性 质 可 得：则 A a，B 分 别 为 角 乙 4,4民/4 B A 的 角 平 分 线.由 明/3瓦，则+=1 rr所 以/。148+/01雨=5(幺 4 8+/4 胡)=：,所 以 在 中,乙 4。/=5，又。为 A B 的 中 点，贝 1|。|=曰 4 却=而 在 直 角 三 角 形 Q O H 中，=而，|”0|=r=J7所 以|0H|=加。-|。|=4 m-n故 答 案 为：y/m-nn的 二 寸 三、解 答 题（17题 1 0分，其 余 每 题 1 2分）17.已 知 数 列 4 中，q=l,（1）写 出 数 列 4
35、 的 前 5项.（2）猜 想 数 列 4 的 通 项 公 式.1 1 1,1产 丁=1=-【分 析】（1）利 用 递 推 关 系 式，根 据=1,逐 项 代 入 即 可 求 解.（2）根 据 前 5项 即 可 猜 想.【详 解】（1）由=l,qn 一 工 1 1,1-C L 9 可 得：-C I.=-X 1=一,n+l-1+1 1 2 22 2 1 1-a,=x=-2+1-3 2 33包 4=-3-+-1-生 3 1 1=-x=,(I-4 3 4-4币%4 1 1=x=5 4 5（2）猜 想：an=-n【点 睛】本 题 考 查 了 由 递 推 关 系 式 求 数 列 中 的 项、根 据 前 几
36、 项 求 数 列 的 通 项 公 式，属 于 基 础 题.18.已 知 直 线 方 程(2-加)x+(2?+l)y+3w+4=O,其 中 meH.（1）求 证：直 线 恒 过 定 点;（2）若 直 线 分 别 与 x轴、y 轴 的 负 半 轴 交 于 A,8 两 点，求 一 面 积 的 最 小 值 及 此 时 的 直 线 方 程.（1）证 明 见 解 析；（2）面 积 最 小 值 为 4,此 时 的 直 线 方 程 2x+y+4=0.【分 析】（1）直 线/的 方 程 为 化 为：制-x+2y+3）+（2x+y+4）=0,令 x+2y+3 0C.,八，解 出 即 可 得 出 结 果;.2x+y
37、+4=0（2）设 出 直 线 的 点 斜 式 方 程，求 出 直 线 与 坐 标 轴 的 交 点，将 三 角 形 面 积 公 式 和 基 本 不 等 式 相 结 合 即 可 得 出 结 果.【详 解】（1）证 明：直 线/的 方 程 为（2-。+（2m+1）丁+3，+4=0,其 中 meR,化 为 m(-x+2+3)+(2x+4)=0,令 2x+2 y+4 3=0 0,解 得 Jx=-1 2,则 直 线/经 过 定 点（一 L 2）.（2）由 于 直 线/经 过 定 点（-1,一 2）,直 线/的 斜 率 左 存 在 且 左。0,因 此 可 设 直 线/的 方 程 为 y+2=Z（x+l）,可
38、 得 与 x 轴、y 轴 的 负 半 轴 交 于 4（平,o,3（0,左 一 2）两 点，2-k 0,攵 一 2 0,解 得 20.k1 k-2 1 4 1 I-S O A B=-x-x（2 Z）=4+（女+）N2+-x 2（攵）,一=4,当 且 仅 当 4=2 时 取 等 号,2 k 2 2 V此 时 直 线/的 方 程 为：y+2=-2（x+l）,化 为：2x+y+4=0.【点 睛】本 题 考 查 了 直 线 系、点 斜 式、基 本 不 等 式 的 性 质、三 角 形 面 积 计 算 公 式，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力,属 于 中 档 题 19.已 知 过 点 A（0,
39、1）且 斜 率 为 的 直 线/与 圆 C：（x-2）2+0-3）2=1交 于 知，N 两 点.（1）求 k 的 取 值 范 围；（2）若 O M-O N=12,其 中。为 坐 标 原 点，求|MM.3 n，(2)2.【详 解】（1）由 题 意 可 得，直 线 1的 斜 率 存 在，设 过 点 A（0,1）的 直 线 方 程:y=kx+l,即：kx-y+l=O.由 已 知 可 得 圆 C 的 圆 心 C 的 坐 标（2,3）,半 径 R=l.故 由+解 得：匕 且 女 2且.a+i 3 3故 当 士 且，过 点 A（0,1）的 直 线 与 圆 C：（x-2/+（y-3=1相 交 于 M,N 两
40、 点.（2）设 M（X,匕）；N（/，72）.由 题 意 可 得，经 过 点 M、N、A 的 直 线 方 程 为 y=kx+l,代 入 圆 C 的 方 程（x-2+（y-3=1,可 得（1+r）%2-4（斤+1）+7=0,.4（1+%）7y1y2=(Ax,+1)(如+1)=&2%彳 2+4(%+9)+=由 OM-ON=xtx2+yxy212公+4左+8l+l=12,解 得 k=l,故 直 线 1的 方 程 为 y=x+l,即 x-y+l=O.圆 心 C 在 直 线 1上，M N 长 即 为 圆 的 直 径.所 以|MN|=2考 点：直 线 与 圆 的 位 置 关 系；平 面 向 量 数 量 积
41、 的 运 算 20.(1)求 焦 点 在 坐 标 轴 上，长 轴 长 为 6,焦 距 为 4 的 椭 圆 标 准 方 程；2 2(2)求 与 双 曲 线 上-21=1有 共 同 的 渐 近 线,9 16且 过 点(-3,26)的 双 曲 线 标 准 方 程.2 2 2(1)土+二=1 或 二+土=1.：(2)9 5 9 5-19 4【分 析】(1)分 别 讨 论 焦 点 在 工 轴 上，焦 点 在 y 轴 上,两 种 情 况，根 据 题 中 条 件，分 别 求 解，即 可 得 出 结 果;X(2)根 据 题 中 条 件，设 双 曲 线 标 准 方 程 为 二-9 16匚 加(加/0),点 卜
42、3,2 g)在 双 曲 线 上，直 接 代 入，求 出 m,即 可 得 出 结 果.2 2【详 解】(1)若 焦 点 在 X轴 上，可 设 椭 圆 标 准 方 程 为：三+%_=1(。/,0),由 长 轴 长 知：2a=6,.-,a2=9;由 焦 距 知：2c=4,c=Ja2-b2=j9-b2=2)解 得：b2=5-,x2 丫 2椭 圆 标 准 方 程 为：+-=1；9 5若 焦 点 在 y轴 上，可 设 椭 圆 标 准 方 程 为:2 2力+a=1()同 焦 点 在 X轴 上，可 得 储=9，02=5,2 2所 以 椭 圆 方 程 为 乙+上=1;9 52 2 2 2综 上，所 求 椭 圆
43、方 程 为 土+二=1或 二+土=1.9 5 9 52 2(2).所 求 双 曲 线 与 双 曲 线 L-匕=1有 共 同 渐 近 线,9 16，可 设 双 曲 线 标 准 方 程 为 三 二=加(加。9 16 又 过 点（一 3,26）所 以 二 Q 一 一 I?=1 4 r2 v2m,解 得 加=,所 以 竺 一 2_=1即 为 所 求.9 16 4 9 4【点 睛】本 题 主 要 考 查 求 椭 圆 的 标 准 方 程，考 查 求 双 曲 线 的 标 准 方 程，属 于 基 础 题 型.21.三 棱 柱 ABC-4 与。|中，侧 棱 与 底 面 垂 直，ZABC=90,AB=BC=BB1
44、=2,M,N 分 别 是 AB,A 6 的 中 点.（1）求 证：M N 平 面 B C q g；(2)求 直 线 BG 和 平 面 MB。的 夹 角 正 弦 值.(1)证 明 见 解 析;(2)旦 3【分 析】（1）连 接 8 G，g C 交 于 点 P,连 接 P N,证 明 P N 与 8 M 平 行 且 相 等，得 平 行 四 边 形，从 而 得 MN/BP,得 证 线 面 平 行；（2）建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 平 面 的 法 向 量 计 算 线 面 角 的 正 弦 值.【小 问 1详 解】连 接 B G，B（交 于 点 p,连 接 P N,则
45、P 是 用。中 点，又 N 是 4 c 中 点，所 以 PN A4，PN=；A 耳，而 A B 与 A向 平 行 且 相 等，而 M 是 中 点,所 以 MB 与 P N 平 行 且 相 等，所 以 四 边 形 M B P N 是 平 行 四 边 形,所 以 MN/BP,MNfZ 平 面 B C C 4，B P u 平 面 BCC4,所 以 MN/平 面 5。蜴：【小 问 2详 解】因 为 三 棱 柱 是 直 三 棱 柱，且 NA5C=90。，即 N 4 4 G=9 0，因 此 可 以 用 G，耳 为 x,y,z建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图,B,(0,0,0),(2,0,0),8
46、(0,0,2),C(2,0,2),A(0,2,2),则 M(0,l,2),BC=(2,0,-2),B、M=(0,1,2),BC=(2,0,2),设 平 面 MB。的 一 个 法 向 量 是=（x,y,z）,n则 n-S,C=2x+2z=0 4 M 2z=。取 z 一 则=2，一 1)，记 直 线 BG和 平 面 MBC 的 夹 角 为 氏 则 sin 0-|c o s B C|g|2+0+2|6X g，心 卜 阿 丁 运 环 丁 B2 2.已 知 定 点（1,0）,圆 N:（x-l+y 2=i6（N为 圆 心，O为 坐 标 原 点），点 Qq x为 圆 N上 动 点，线 段。的 垂 直 平 分
47、 线 交 NQ于 点 尸，记 点 P 的 轨 迹 为 曲 线 C,过 N的 直 线/与 曲 线 C交 于 A,B(1)两 点.(2)点 T在 线 段 A8上，且 4 T=2TB，点 B关 于 原 点 的 对 称 点 为 凡 求 八 成 丁 面 积 的 取 值 范 围.(1)=14 3(2)3【分 析】（1）利 用 中 垂 线 的 性 质，结 合 椭 圆 的 定 义 求 解；（2）先 表 示 出 右 的 面 积，再 联 立 直 线 和 椭 圆 方 程，换 元 后 构 造 函 数，求 导 确 定 单 调 性，进 而 求 出 范 围.【小 问 1详 解】由 中 垂 线 的 性 质 得=|PQ|,所
48、以 MH+INP|=|PQ+NP=4MN=2,所 以，动 点 P 的 轨 迹 是 以 M、N 为 焦 点，长 轴 长 为 4 的 椭 圆，则 a=2,。=2 _=6,2 2因 此，曲 线 c 的 方 程 为：工+匕=1.4 3【小 问 2 详 解】由 题 意 知 直 线/的 斜 率 不 为 0,可 设 l:x=my+l,A（,y）,B（x2,y2）,则 以 一 打 一%），由 题 意 可 知，SABRT=|SN BR=|SA O B=|x；|。叫 加-%|=；|%-巴 卜 联 立 x=my+1X2 y2,整 理 得（3病+4卜 2+6；-9=0,由 根 与 系 数 的 关 系 得 y+%-F-=14 3-6m4+3m2 94+3m2所 以 I 必 一 为 I=J（y-必）?=）（乂+%）2-4乂%=l-36m 2-.,._4x Z _ 12V1W4 4+3 加 7 4+3 病 4+3m2_ _ 4dm2+1 _ 4f _ 4令 J 1+加（fNl）,则 A B R L 3/+4-3产+1-U令/(f)=3t+；,r(7)=3 5 0,所 以/(。=3/+；在 1,+8)上 是 增 函 数，所 以/)/(1)=4,所 以 然 后 借 助 导 数 确 定 函 数 单 调 性，进 而 求 出 面 积 的 范 围.