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1、2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知向量）=（1,1,0）,则与a 同向共线的单位向量e=（）A.B.（。，1，。）C.*D.（T,T,0）【答案】C【分析】先求得a 的模，再根据与a 同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量”=（1，L0）,所以同=J l2+L+。2 =6，所以与a 同向共线的单位向量为：0=j =（2f，2f，。），故选：C.2.设随机变量 X 8（5,g）,则 O（3X）=（）A.10 B.30 C.15 D.5【答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布所以。（X）=p（l-p）=5xgx（
2、l-g）=,所以故选：A.3.过点P（2,l）作圆。：X 2+/=1 的切线/,则切线/的方程为（）A.y=1 B.4 x-3 y-5 =0 C.y=1 或3 x-4 y-5 =0 D.y=1 或4 x-3 y-5 =0【答案】D【分析】设切线/的方程为y-i=&（x-2）,利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论.【详解】解：由题意可设切线/的方程为丫-1 =心-2）,k x-y-2 k +l=0,圆心到直线/的距离=联 驾=1，yjk+1:.3k2-4 k=0,4:.k-O k =,切线/的方程为y=l 或4 x-3 y-5=。故选：D4.某学校社会实践小组共有5 名成员，该小
3、组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）A.86 种 B.64 种 C.42 种 D.30 种【答案】D【分析】考虑3,1,1 和 2,2,1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3,1,1 阵型：C；A；=18；2,2,1 阵型：C X =18.甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有A；=6 个结果，36-6=30.故选：D.5.己知空间四边形A8CD的每条边和对
4、角线的长都为a,E,F,G 分别是AB,AD,OC的中点，则GE-G F等 于（）A 缶 2 a2 42a2 a28 8 4 4【答案】D（分析】根据给定条件探求出E F V F G,再借助向量积计算作答.【详解】因空间四边形48C Q 的每条边和对角线的长都为a,则 NC48=NC4D=60,A C B D=A C（A D-A B）=A C A D-A C A B =a2 cos 60-a2 cos 60=0,即 AC O因 E,F,G 分别是 A8,AD,0 c 的中点，则有 E F/BD,AC/GF,即有 E F LF G，E F 工 F G,而 EF=FG =,贝 I/EGF=45,G
5、 1-G F =|G ：|G F|c o s 4 5 =|GFp=y,2所以GEG户等于二.4故选：D6.如图，在三棱柱ABC-A B C 中，侧棱垂直于底面，A B 1 B C,AB =BC,A C =2近,=0,点 E 为 A G 的中点，点尸在8 c 的延长线上且CF=：8 C,则异面直线BE与c尸所成角的余弦值为4()【答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法,根据gsB E，G 尸卜BE-CtFHM即可求出答案.【详解】在三棱柱A B C-A A C 中，因为侧棱垂直于底面，且 钻 1 8C,所以以B 为坐标原点，
6、BC,BA,所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标由 A B =3 C,A C =2 曰 垃,A B =B C =2,所以 8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,a),0/2,0 7 2),五).由 C F=，BC,得 C 尸=。(2,0,0)=(：,0,0),4 4 U J所以C/=GC+C F =(0,0,-&)+(；,0,0 卜(；,0,-&),BE=(1,1诉,GFE-noB4故选：D.7 .若某地区一种疾病的患病率是0.0 2,现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为9 9%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 9 9%的可能呈现
7、阳性；该试剂的误报率为5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A.0.0 6 8 8 B.0.0 1 9 8 C.0.0 4 9 D.0.0 5【答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.0 2 x9 9%=0.0 1 9 8 ,当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.9 8 x5%=0.0 4 9 ,随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现
8、阳性的概率为0.0 1 9 8 +0.0 4 9 =0.0 6 8 8,故选:A.8 .已知抛物线。:2=2 川5 0）的焦点为凡准线为/,过点尸斜率为百的直线/与抛物线C 交于点在x 轴的上方），过 M作于点M连接NF交抛物线C 于点Q,则！（）I IA.6 B.y/2 C.3 D.2【答案】D【分析】设出直线用尸，与抛物线联立，可求出M 点坐标，在利用抛物线的定义可得.-.M N=NF=M F=XM+,再利用抛物线的对称性求出|FQ|,则 需 可 求.【详解】如图：相关交点如图所示,由抛物线C:y 2=2 p x(p 0),得 F(,0),则 M F:y=6(x-9，与抛物线/=2px联立
9、得12 20px+3P2 =0,gp(6 x-p)(2x 3p)=0,解得知2 oMN Ll,NMFx=6。:N M F =6 0 ,又MN=MF则.MWF为等边三角形.MN=NF=MF=xM+=2p,NNFO=NOFA=,由抛物线的对称性可得q =x.=看，.|QF|=5+5=.|NQ|=|NF|-|QF|=，0 2 3 J3=2QF故选：D.二、多选题rr9.己知双曲线两渐近线的夹角为w，则双曲线的离心率为（）A.2 B.6 C.3 D.23【答案】AD【分析】设双曲线的方程为3i2-2v?=1得渐近线方程为了=h*，根据双曲线的对称性可得y =h2x 的a b a a倾斜角为7或 即 可
10、 得,的值，由公式e =；=：+(，j 即可求解.2 21【详解】设双曲线的方程为5-3=1,渐近线方程为：y=-x,a h-a根据双曲线的对称性可知：y =h x的倾斜角为7 TJ 或T TJa 6 3当y =x 的倾斜角为J时，可得2 =t an =在，a 6 a 6 3所以=考，当y =x 的 倾 斜 角 为 可 得 2 =t an g =后，a 3 a 3所以 e =：J l +(|=/+的=2,所以离心率为2 或 也，3故选：AD.1 0 .在二项式(l-4 x的展开式中，下列结论正确的是()A.第 5项的二项式系数最大 B.所有项的系数和为3 8C.所有奇数项的二项式系数和为-2
11、7 D.所有偶数项的二项式系数和为2?【答案】A B D【分析】由二项式系数的性质可判断A；令x=l,可得所有项的系数和，可判断B：所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为2 8 T =2 7，可判断c,D【详解】选项A：二项式(I-)展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5 项的二项式系数最大，故 A 正确；选项B：令尤=1,可得所有项的系数和为(1-4)8 =3$,可知B 正确；选项C：所有奇数项的二项式系数和为2 皿=2 7，C 错误；选 项 D：所有偶数项的二项式系数和为2 8 T =2、。正确.故选：A B D1 1 .若圆G：(x+l)2 +y 2 =2 与圆C2
12、：(x-l)2+(y-l)2=l 相交于M,N,则下列说法正确的是()A.MN所在直线的方程为2 x+y-1 =0B.MN的中垂线的方程为x-2 y +l =0C.|M7V|=V2 D.过 M,N 两点的所有圆中面积最小的圆是c?【答案】AB【分析】两圆方程相减得直线MN的方程判断A,两 圆 连 心 线 为 弦 中 垂 线，求出其方程，判断B,由圆的性质求出弦M N的长判断CD.【详解】由题意两圆方程相减得2x+y-l=0,此为直线MN的方程，A 正确；(-1,0),GO)，WC,=TK=：，GC2 方程是 y=9 x+l),即 x 2y+l=(),此为 M/V 的中垂线的方程，B 正确；q
13、到直线M N的距离为d=5，所以刖|=2卜_序 2=平,c 错；过 M,N 两点的所有圆中面积最小的圆是以线段为直径的圆，而 网 1,D 错.2故选：AB.1 2.在平面直角坐标系xOy中，方程9+况=2 对应的曲线为E,则()A.曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于4&B.曲线关于原点中心对称C.曲线E 上的点到原点距离的最小值为夜D.曲线上的点到直线x+y=4 距离的最小值为逑8【答案】ABD【分析】对于选项A,作出曲线E 的图象与曲线|立x|+|y|=2 的图象即可判断；对于选项B 结合中心对称的概念即可判断；对于选项C,设曲线E 上任意一点为(x,y),结合两点间的距离公式化简整理即可
14、判断；对于选项D,结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A,作出曲线E 的图象，即可判断为封闭图形，再作出卜展|+|y|=2 的图象，由图可知曲线E围成的面积大于卜怎|+区=2曲线围成的面积，且曲线|、|+|=2与x轴正半轴的交点坐标为(&,0),与y轴正半轴的交点坐标为(0,2),所以围成的面积为4xgx夜x2=4也，所以选项A正确；对于选项B,因为点(-x,y),点(x,-y)均满足方程，则可得到曲线E关于原点中心对称，所以选项B正确；对于选项C,设曲线E上任意一点为(X,y),则其到原点的距离的平方为f +)2,且x2+y2=2-y+y2=2-y+y f=y-+,即曲线E上的点
15、到原点距离的最小值为日，故选项C错误；对于选项D,曲线上任意一点为(x,y),则其到直线x+y=4距离为,|x+y-4|X+X2-2 +4 j +4 772,故选项 D 正确；故选：ABD三、填空题13.抛物线x2=-4y的准线方程为.【答案】y=i【解析】根据抛物线的性质得结论.【详解】由抛物线方程得。=2,焦 点 为 准 线 方 程 为y=L故答案为：y=L14.设随机变量X/(15,3,2),则P(X=1)=(结果写成分数形式).12【答案】行【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.,2 2 x 3【详解】因为x (15,3,2),所以尸(x=l)=罟=5、1 0；3=芥3x2x11
16、2故答案为：1 5.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其 著 作 详解九章算术中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形 早了 300多年，若用&表示三角形数阵中的第m行 第，个数，贝11布。门）=（结果用数字作答）.J一 Q G O 屹 蕖 笆4 G。0。1。左毒裁右一年隅算m以we方【答案】4950【分析】由二项式展开系数可知，第。行 第b个 数 为 从 而 求 解 即 可.【详解】由二项式展开系数可知，第。行 第b个数为C ,故&NX1故答案为：4950.1 6.圆 锥 曲 线（英语：cm icc
17、ebim）,又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗 尼 斯 著 有 圆锥曲线，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高 为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于不心，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于.【答案】曲2【解析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质
18、，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点M,N 是圆柱内两个内切球的球心，是椭圆的两个焦点，其中。是 与 片 人 的 交 点，P Q L O Q z，根据圆的切线的性质，可得耳J.AB,由题意可知：0 0,=0 0 1=6晔=M O、=N(=N R=2 ,所以QM=QN=4,所以 O K =OF?=J O M?=2 6，即 C=2 J L2 I所以在 OMK 中，sinZMOf；显然 N M O K=3 0,所以 NAOQ=60,Q”O Q _ 2所以 cosNAOQ-JI，即a=4,2所以椭圆的离心率为e=口叵=.。4 2故答
19、案为：巫.2【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c 得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a，。的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解;3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17.在 5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第 1 次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在 第 1 次抽到代数题的条件下，第 2次抽到几何题的概率.【答案】（1）；（2）y.【分析】（1）设事件A表示“第 1 次抽到代数题”，事件B表示“第 2次
20、抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出P（A）与 P（A 8）；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A表示“第 1 次抽到代数题”，事件B 表示“第 2次抽到几何题”，则 P（A）=1 =1,所以第1 次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为P（A B）=第（2）由（1）可得，在 第 1 次抽到代数题的条件下，第 2次抽到几何题的概率为1 8.如图，在正四棱柱ABCO-AAGR中，AB=,E为CG的中点，M =2.(1)证明：平面平面A4E；(2)求4到平面BOE的距离.【答案】(1)证明见解析 G【分析】(1)证明用E，BE以及为耳，8E即可得到面面垂
21、直；(2)先计算平面B D E的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】(1)当然=2时，B、E=垃,BE=及，所以耳炉+8炉=8耳，所以4EL B E.又A片，平面8CC4，3Eu平面B C G B一 则4百，8乙因为 A4cgE=q,A B 1,g E u 面 AB卢，所以 8 E _ L 平面 A g E,又8Eu平面BOE,所以平面8 D E _ L平面A A E.(2)以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 （0,0,0）,5（1,1,0）,A。，（），2）,（0,1,1）,所以 0 8 =(1,1,0),D
22、 E =(O,U),0 4,=(1，0,2)，设 平 面 的 法 向 量 为 =(x,y,z),则 2)；(8,5 6).【分析】(1)设爆炸点为尸，由已知得/理-|川=4,又|阴=64,利用双曲线定义可得解;(2)联立直线与双曲线方程，化简整理得：l l x2-5 6 x-25 6 =0,求解即可.【详解】(1)设爆炸点为尸，由己知得|P B|%|=4,又|AB|=6 4所以 在以A,B 为焦点的双曲线的靠近8的那一支上，即P点在双曲线的右支上，由 加=4,2c =6,得。=2,c =3,b1=c2-a2=52 2故双曲线C 的方程为：-21 =1(X 2)；(2)联立-G3X7-“+=y5
23、立3-=化简整理得：1 1/-5 6 x-25 6 =0解得：x =8 或x =-1(舍去)，当x =8 时，y=543,故直线与曲线的交点坐标为(8,5 6).【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法:（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；2 0.如图所示，四面体ABCD中，已知平面BC_L平面ABC,BD VD C,BC=6,AB=4y/3,ZABC=30.求证：A C 1B D.（2）若 二 面 角 A C-O 为
24、45,求直线A 8与平面AC。所成的角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析 如4【分析】（1）利用余弦定理求出4 c =2 6,由勾股定理得逆定理证明出A C J_8C,进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到NBCC即 为 二 面 角 AC-。的平面角，进而得到 BCO为等腰直角三角形，BD=30 再得到NBAO为直线A 8与平面AC。所成的角，利用求出的线段长度，求出直线A 8与平面AC所成的角的正弦值.【详解】（I）因为8 c =6,AB=443,ZABC=30,所以由余弦定理得：AC=ylAB2+BC2-2AB-BCcosZABC=748+36-72=2 M
25、CB2+AC2=AB2,所以 AC_L8C,因为平面8 8 _L平面A B C,交线为BC,ACc平面A B C,所以A C,平面B C D,因为B D u 平面B C D,所以AC IB。，证毕.（2）由（1）知，A C,平面B C D,因为C）u 平面B C D,所以A C L C O,又A C L B C,故/B C D 即为二面角8-ACD 的平面角，所以/BCD=45。，又因为SO _L D C,所以 8CD为等腰直角三角形,因为 B C=6,所以 8O=BC.sin 工=3 0,因为BO LO C,ACJ.BD,DC AC=C,所 以 比 平面 AC。，A。为 AB在平面AC。上的
26、投影，所以/氏4。即为直线A 3与平面ACO所成的角，设为则sin”翳瑞邛21.新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为1 20 元/件，总量中有3 0%将按照原价20 0 元/件的价格销售给非会员顾客,有 5 0%将按照8.5 折的价格销售给会员顾客.B 类服装为全棉服饰，成本价为1 6 0 元/件，总量中有2 0%将按照原价3 0 0 元/件的价格销售给非会员顾客，有 4 0%将按照8.5 折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.(1)设 A类服装单件销售价格
27、为4 元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望(收益=售价-成本)的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A,8两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买4,B两类服装的顾客只选其中一类购买,每位顾客限购1 件,且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为g .已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设 X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若P(X )0.5(e N),求 的所有可能取值.【答案】(1)分布列见解析，B类服装单件收益的期望大；(2)可取的值为0,I,2.【分析】(1)根据给定的信息，求出3 的可能值及对应的概率，列出
28、分布列并求出期望作答.(2)求出购买了服装的顾客中购买8类服装的概率，借助二项分布求出的各个值对应的概率，再比较判断作答.【详解】(1)依题意，J的可能值为2 0 0,1 7 0,1 2 0,P=2 0 0)=0.3,尸(4 =1 7 0)=0.5,P 卷=1 2 0)=0.2,4的分布列为：42 0 01 7 01 2 0P0.30.50.2J 的期望石(4)=2 0 0 x0.3 +1 7 0 x0.5 +1 2 0 x0.2 =1 6 9,的可能值为3 0 0,2 5 5,1 8 0,尸=3 0 0)=0.2,P(T=2 5 5)=0.4,=1 8 0)=0.4 ,的分布列为：73002
29、55180P0.20.40.4的期望 E（）=300 x 0.2+255 x 0.4+18 x 0.4=234,设A类服装、B类服装的单件收益分别为X1元，X?元，则X 1=J-120,X2=7-1 6 0,E（X J=E -120=49（元），E（X2）=（7）-160=74（元）,E（X,）E（X2）,所以8类服装单件收益的期望大.(2)依题意，X的可能值为0,1,2,3,4,5,显然X 8(5,|P（x=o）=1 J=图Q嗤七 P（X=1）=CP（X=2）=C；P（X=3）=C；说尸（X=4）=C因为 P（XW2）=1 +10+40243=0.5,81P（X 0.5243（I/埸所以当P
30、(X )W 0.55eN)时，可取的值为0,1,2.丫22 2.已知点尸是椭圆C：之+4 =1(。0)的右焦点，过点尸的直线/交椭圆于M,N两点.当a b直线/过C的下顶点时，/的斜率为6；当直线/垂直于C的长轴时，二OMN的面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|M日=2|/W|时，求直线/的方程:若直线/上存在点尸满足|PM“P N|=|P ff,且点P在椭圆外，证明：点尸在定直线上，并求出该直线的方程.【答案】三+反=1 ；4 3(2)V 5x 2y-V 5=0；(3)证明见解析，点P在定直线x=|上.【分析】(1)根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.(2)
31、验证直线垂直于y轴的情况，当直线不垂直于y轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于），轴探讨，利 用（2）中信息结合已知等式求解作答.【详解】（1）令点尸（c,0）,当直线/垂直于x轴时，由：,二：2，2/得1田=，弦M N长 为 变,bx y =a-b-a a由 一 OMN的面积为:得：l c-=-,又2=6,解得a=2,b=y/3,2 2 a 2 cr2 2所以椭圆C的 方 程 为 二+匕=1.4 3（2）当直线/与x轴重合时，|M尸|=3|R V|,不合题意，即直线/与x轴不重合，设直线/的方程为户）+1,”（用，3）,可（%,%），由 7:；=1 2消去”整理
32、得：（3/+4）丁+6“一9 =0,则 凹+丫2=禹，跖=品，7 2产 9 R由|F|=2|F N|,得 乂=-2%，消 去%得 1+4=京7,解得f =詈，所以直线/的方程为6x 2y-遥 =0.（3）设P（x。,%）,当直线/与x轴重合时，点P在椭圆外，即x +2,%-2同号，由1 P M卜|取|=1尸歼，得（玉 +2）（-2）=（一 炉，解得当直线/与x轴不重合时，由（2）知+丫2 =。:，,；9，,3+4 3+4而|P M|=/i/E-%|,炉 汽|=/1 7产 昆-%|,|P F|=V i7 7|%|,由点P在椭圆外，得%-%,%-%同 号，由归河|伊修|=归尸，得（另一%）（%-%）=，整理得y%一%（y+%）=，即5-%.5=0，35解 得 先=五，代入直线/方程4）+1，得%=子所以点P在定直线X=|上.