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1、2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才高二下学期期初自我检测数学试题一、单选题i.抛 物 线2/的焦点坐标为（）.3加B.1川c.0,d D.M）【答案】C【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.j 。闱【详解】由=2 x可得 2,焦点在y轴的正半轴上，设坐标为I 2人2p=-p=-尾）则 2,解得 4,所以焦点坐标为I 8人故选：C.2 .若两条平行直线4：x-2 y+”=0（m0）与八2+。-6=0之间的距离是2石，则机+=（）A.3 B.T 7 C.2 D.3或-1 7【答案】A【分析】利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行线间的距离求出小，从而可得机+的值.
2、【详解】由题意直线4：x-2 y+，=0 50）与/2：2 x +_ y-6=0平行，则两条直线的斜率相等，即 =-4,|2加+6|2亚又直线间的距离为2石，即/而 ，解得加=7,所以机+=3.故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.3 .北京冬奥会将于2 0 2 2年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（）A.1 6 种 B.3 6 种 C.4 8 种 D.60 种【答案】B【分析】将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.C；x
3、C；x C；【详解】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有故选：B.4.已知二项式（次+y）“2的展开式的所有项的系数和为3 2,则x A；=3 6种不同的方案.a 10&的展开式中常数项为（）A.4 5 B.-4 5 C.1 D.-1【答案】A【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出.【详解】令x =L =1,可得展开式的所有项的系数之和+=3 2,得a=l,所以如=3，严；号 2 0-2=0其通项 皆），令 2 ,得左=8,所以展开式中常数项为（-1）*3=4 5故选：A.5.阿 基 米 德（公元前2 8 7年公元前2 1 2年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他
4、利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴皂为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心 率 为2 ,面积为6兀，则椭圆C的标准方程为（）-1 =1 -1 =1 -1 =1 -1 =1A.9 1 6 B.3 4 c.4 1 6 D.3 1 2【答案】Dv2 X2-r =1（6 0）2 2【分析】设椭圆的方程为矿 从，根据题意得到。=2 6和必万=67，求得“一”的值，即可求解.z-4 1（。0）【详解】由题意，椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的方程为/b2x/3 _ c _ A/3因为椭圆C的离心率为2,可得，一。一 2,=1_=3又由即/一 一/一.,
5、解 得。=2忆又因为椭圆的面积为6万，可得a%=6 乃，即=6,联立方程组，解答/=1 24=3,所 以 椭 圆 的 方 程 为+故选：D.6.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆：x2+/=1,C（X+1）2+/=9直线/与圆。相切，与圆C相交于48 两点，分别以点48 为切点作圆C的切线4,I设直线4,2的交点为尸，则1 刊的最小值为（）7A.9 B.7 C.3拒 D,2【答案】D【分析】根据题意得切点弦N8 的方程为（w +D x +帆+L8=,进而根据其与圆O相切得1=6 3-1 8 加2 0,即 进 而 根 据 二 次 函 数 性 质 得 最 小 值.【详解】解：设点P（M ）,知
6、 必）,8 区 为）,C（-1,0）,因为分别以点4 8 为切点作圆C的切线4,4 .设 直 线 4,4的交点为P,所以C Z _ L N P,贝万=0,即（玉+1）（根一&）+乂（-必）=0,所以X；+演一机为一机+乂2_%=0,因为0+1 +疗=9,所以（?+1）为+乂+机-8=0,即/，乂）是方程（加+1 比+孙+耳-8=0 的解,所以点力团必）在直线（加+1 卜+盯+吁 8=0 上，同理可得8（%，%）在直线（加+1 口+机 _ 8=0 上，所 以 切 点 弦 的 方 程 为（7 +i）x+y+w-8=o,因为直线 8 与圆O相切，|(w +l)x 0 +x 0 +？一8|_ 1 7所
7、以 J(/n+l)2+2,解得 2 =63-18IN 0,即所以|O P|=ylm2+n2=J%2-1 8?+63 =7(m-9)2-1 8,7 7tn=|OP|.=所以当 2时，直线 8方程为x =l,此时 27所以1 刊的最小值为5.故选：D7.如图，在圆锥S 中，A B,8为底面圆的两条直径，A B CD =O 且/8_ L C Z),S E =S BS O=OB =3,4 ，异面直线SC与OE所成角的正切值为()V s1 3v nA.2 B.3 c.1 6 D.3【答案】D【分析】以0 2民$为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值.【详解】
8、由题意以02 08，S为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图,4(0,3,0),8(0,3,0),。(一3,0,0),5(0,0,3),S E =-S B又 4 ,OE =OS +S E =OS +-S B41 3 9(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-)豆=(-3,0,-3)=_|_=阿忡_ 27-7 1 0 x 3 7 23亚7Fcos0=cos=设异面直线sc与 所 成 角 为6,则 I I 1 0 ,e为锐角,sin3=10，所以V55sin。io J Htana=-=_L=-cos。3V5 310右支上一点，耳、鸟分别是双曲线的左、右焦点，/为P耳用的内心,若，A 2/2x
9、y=0A成立，则双曲线的渐近线方程为（）B 8x y=0Q lx y=0D 3xy=0【答案】A【分析】设圆/与“尸耳耳的三边相、耳、质分别相切于点瓦EG,连接/E ,/G，/鸟,PF,A#H可看作三个高均为圆/半径的三角形.利用三角形面积公式，代入己知式c _ c J_ C由由科 吟 化 简 可 得,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求.如图，设圆/与在 2的三边 耳 呗 牛、尸工分别相切于点反E G,连接应 用/G,则 出 坨 勺/小，/G C E,它们分别是 /耳与，?耳，2 的高，.应叫=；P耳 恢 I 尸 耳Iy-S.IPF2=-P-IG =-PF2f&屿=;耳 居 阿|片 外其中
10、 是g 的内切圆的半径.SN PF=S/F+S&阴 与:.-PF=-PF,+二月居2 1 2 2 6 1 29两边约去2 得：3.尸 6 卜|尸耳=耳鸟f根据双曲线定义，得 附 卜 附|=2，山 用=2c,.3a-c t b=c2-a2=2&a,a 2血，可得双曲线的渐近线方程为=2 岳，即为2拒 xy=O,故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题.解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形,思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它
11、们之间的内在联系.二、多选题9.已知二面角中，平面a的一个法向量为_ _ f V 3一 2g,一企,平面尸的一个法向量为五2一（2 拒 则二面角a-/一 的大小为（）.A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】A D【分析】结 合 已 知 条 件 分 别 求 出 二 面 角 为 锐 角 和 钝 角 时 的 余 弦 值，进而即可得到答案.【详解】设所求二面角的大小为。，若夕为锐二面角，则 同 向 2 ,故。=3 0。；a|瓦闾 百若。为钝二面角，则 同 网 2,故。=1 5 0。，综上所述，二面角口一/一夕的大小为3。或1 5 0”.故选：A D.1 0.已知两点（一 2，）
12、，（2，）,若直线上存在点P,使 得 巴 卜 阀=2,则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的 有（）A.y=x+l B,v=3 x+iC y =2 x +4 D y =&x+3【答案】A D一 一=1【分析】先求出尸点的轨迹方程为 3 的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率进行比较，得到有无交点，进而求出答案.【详解】因为归/卜归8|=2 0）,渐近线方程为y =士 6 X,=x +l 的斜率为rr X2-=11 ）有交点，A正确；2上了 =3 +1 的斜率3 百，且与y轴交点为（），故与 一丁一（x0）无交点，B错误；y =2 x +4 的斜率26,且与y轴交点为
13、（，4）,故与“一丁一（x0）无交点，c错误；y =J%+3的斜率故与“3 1 （x 0）有交点，D正确.故选：A D1 1.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（）A.若任意选择三门课程，选法总数为*种B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C；C；种c.若物理和历史不能同时选，选 法 总 数 为 种D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【答案】A C【分析】A应用组合公式知0；种选法，B分类加法和分步乘法原理有G C：+C；C：种选法，C由间接 法 有 种 选 法，D分类加法原理有C；+C：+G=1 2种
14、选法，结合选项可知各项正误.【详解】A：显然；种选法，正确；B：在物理、化学中选一门，其它选两门，有种；物理、化学都选，其它选一门，有种，总 共 有&盘+种选法，错误；C：任选3门的C；种选法中，排除物理、历史同时选的C：种选法，正确；D：应分三种情况：只选物理，则有 种选法；只选化学，则有C：种选法；若物理与化学都选，则有C；种选法.即共有C；+C；+G=1 2种选法，错误；故选：A C.12.设抛物线2=4 x的 焦 点 为 足/为其上一点，点尸在准线上的射影为耳，直线/与抛物线相交于/,8两点，下列结论正确的是（）A.过点河（，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条B,设（），
15、则归M +忸制n 四二3C.当直线/过焦点F 时，若直线/的倾斜角为3,则忸目D.存在直线/,使得4 8 两点关于X+N-6=对称【答案】BD【分析】A 选项，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，过点“（）且与 x 轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，一共有三条直线；B 选项，根据抛物线的性质，数形结合求出产为线段必与抛物线的交点时归M+归周最小，最小值为 四；C 选项，写出直线方程，联立后求得4、8 两点坐标，进而求出M日与忸可的长度；D 选项，设出直线/的方程，根据要求求出直线/的方程，即可说明.【详解】过点旭（0）且斜率不存在时，与抛物线c 相切，当直线斜率存在时，设
16、直线卜一匚.，联立V=4 x,得=+（2 4）x+l=0,由 =（）得：%=1,故直线方程为 =x+l,综上：与抛物线C 相切的直线有两条，还有一条过点（）且与x 轴平行的直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则共三条直线与抛物线。有且只有一个公共点，故 A 不正确；因为P 为抛物线上一点，根据抛物线的性质得：PP=PF，设则PM+PP=PM+PFMF=Vl2+12=V2,当且仅当点p,M,f 三点共线,即下图所示，P 为 线 段 与 抛 物 线 的 交 点 时，等号成立，故 B 正确；兀当直线/过焦点产时，若直线/的倾斜角为5,则直线方程为y=G（x T）,联立抛物线方程_/=4 x 可得：3
17、/_10 x+3=0,解得：占=3,%2=3,代入=G（x-l）中，解得：必=2石,2百/L B(-,/,/厂2 ,“一 3 ,当A点在x轴上方时，(3,2 ”13 3 J,此时阴=次+(2=4,阿|=理 上 M=3 四 9(3)3,忸日，当A点在x轴下方时，同理可得：阳3,故c不一定正确;因为/、8两点关于x+y-6=对称，所以直线/的斜率为1,设直线/的方程为y =x +，4 8的坐标为(乂)，,2，匕)，歹=X +？j/4 x 彳11 x +(2 6 4)x +广=0再 +=4 2m X j X2=m2,所以 A =(2 m-4)2-4 w2 0所以?1,且M+%=*+七+2机=4,即
18、的 中 点 坐 标 为(2-?，2),因为4、8两点关于X+N-6=对称，所以点Q一 加，2)一定在直线+了_6 =0上，于是2-5+2-6 =0,解得切=-2,满足m 且4*1时，尸点的轨迹是一个圆,二+4=1(。6 0)e=我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆矿 方 的离心率 2,48为椭圆的长轴侬二3端点，C,。为椭圆的短轴端点，动点P满足1尸例，若AP/8 的面积的最大值为3,贝IAPC。面积的最小值为.【答案】1四二3【分析】先根据1尸田 求出圆的方程，再由AP/8的面积的最大值结合离心率求出。和占的值,进而求出APCD面积的最小值.【详解】解:由 题 意,设 卬）,8（。,0）,P
19、（x,y）11_3因 为 附 I即 J（x+。）2+/=3,（y+V两边平方整理得：（5 3r-a所以圆心为（4 人 半 径 4因 为 的 面 积 的 最 大 值 为 31 c 3、x2ax a=3所以2 4,解得：”=21 +A =l（a 6 0）e=因 为 椭 圆b-的离心率 2c _也即。一 2,所以由 得：b=S=-x 2/x|a-a|=x 2-x2=l所以APCO面积的最小值为：2 14 4 J 4 4故答案为：1.【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积APCD的最值.1 5.在四棱锥尸-/8。中，N8=（
20、4,-2,3）J D=（4,l,0）,/P =（-6,2,-8）,则这个四棱锥的高等于.【答案】2,一 【分析】先求出平面4BCO的法向量机，然后求出/尸在拉方向上的投影的绝对值即可得答案【详解】设平面/8C。的法向量机=（，为z）,则in-A B=4x-2y 4-3z=0 _/4）庆4O=-4x+y=0,令x=l,则 I 3）,因为 尸=（一 6,2,-8）,所以四棱锥的高为故答案为：2-7 7=1 6.如图，过原 点0的 直 线 交 椭 圆C：或b-b 0）于/,B两点、,过 点/分 别 作xA M=-A P轴、的垂线/P,4。分别交椭圆C于点P,Q,连 接8。交/P于 一 点 若 4 ,
21、则椭圆C的离心率是.【解析】设“区 力），。（，力），根据已知条件得5、P、M的坐标，B,M,0三点乃一必_ 占 yt+y2 _ yt-丐=-匚共线，电一西 必以及占+%4毛，由A,0在椭圆上有王-/，联立所得方程即可求离心率.M x-【详解】设 必）,。的 为）,则B（f f）,尸（和-乂），I”2人%.%-必=1 .%-%=X、由 Z 8 _ L/Q,则百 x2-x,x2-x（乂 ，M+必=M由B,M,。三点共线，贝心。%即占+2 4国4+4=1 4+4=1 亡 三+K笆_=（）又因为矿 b-，矿产,即 a2 b-2,必一方2 2王 f2,=l=e=/_C将代入得_7-万.【点睛】关键点点
22、睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关参数的方程，联立方程求椭圆离心率.四、解答题17.从函数角度看，g可以看成以厂为自变量的函数/()其 定 义 域 是 画出函数905厂=0，1，2,、7)的图象；“一 1)求证：；(3)试 利 用(2)的结论来证明：当”为偶数时，(+)”的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，(+)”的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)见解析口【分析】(1)借助于杨辉三角可以画出图象；/=孰(2)借助于组合数公式，/&T)C丁,利用组合数公式的阶乘式化简即可；3 1(3)结合函数单调
23、性的判断方法：满足/T)时对应的是递增，/&T)时对应递减.由此再结合的奇偶性下结论.35 Z 21：14：详解(1)。匚 1 2 3 4 5 6(_ _ _n_ _ _ _ _ _ _ _ _n_ _ _ _ _ _x _w_-_ _r_+_ 1 _n_-_r_ _+_(2)证明：r!(-1)!(r-l)!(w-r +l)!r r1,r./=一+1(3)证明：由(2)得 一 1)2为正整数，此时)=/(T),中间两项的二项式系数最大；r C =C,Z C u 面/c o,OCu面 4C D,所以8 G l 平面A CD.前面已证上产I I 8G,所以尸1 平面NCD（2）由（1）知 8 E
24、L平面/8 C.因为”_ L8 C.B E/CD.所以Z 8,B C,BE两两垂直.以点8原点，分别以前，比，砺 的 方向为x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系8 x y z,则5（0,0,0）（0,0,2）/（2,0,0）C（0,2,0）。（0,2,4）设平面Z8O 法向量为 =（*）,n-B A =0 J 2x=0则 标 而=,所以i 2 y+4 z =0,取 z=i,则3 =（0,-2,1）.设平面Z CE的法向量为机=（4 昨 z J,/C =（-2,2,0）,Z E =（-2,0,2）,in-A C=0 -2$+2 必=0则 而荏=0,所以-2 X|+2 Z|=0,令演
25、=1,则机=0,1,1）.I /-、|_ I _ 2 +11 VL5I COSM,|=r=-f=-所以 1 5（即平面Z C E与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 15 .2 0.设抛物线C=2x点（2,）,8（-2,0）,过点/的直线/与C交于M ,N两点.（1）当/与x 轴垂直时，求直线3M 的方程；（2）证明：2 A B M =Z A B N .1 1V=x +1 V =X-1【答案】（I）2 或.2 ；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意可得直线 的方程为尸2,从而得出点M的坐标为（2 2）或G-2）,利用两点式求得直线3M 的方程;（2）方法一：设直线 的方程
26、为=沙+2,点 （和必）、N（W,%），将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线B M、8N的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当/与x 轴垂直时，/的方程为=2,可 得 的 坐 标 为（2,2）或（2，-2）.一+1 7所以直线8 河的方程为 2 或-2 .（2）方法一:【通性通法】韦达定理+斜率公式设/的方程为x =）+2,M G，必）、N&M）,x=ty+2由 V=2 x ,得/一 2 q 一 4 =0,可知乂+%=，=-4.直线B M、8N的斜率之和为,.=%乂=+2）必+（为+2）%=（优+4）必+（见+4）%BM w-x,+
27、2 +2一 （+2）（七+2）一 （x,+2）（x,+2）=2 少 必+4（必+%）=2 f x（-4）+4 x 2 l =0（X+2）（X2+2）（X+2）（%,+2）,所以心M+L=,可知B M、8N的倾斜角互补，所以=方法2：【最优解】斜率公式十三点共线的坐标表示因为M,N在抛物线上，可 设 ），必 2 扇2%）,故/M =（2 f 2,2 f J,/N =（2 g-2,2 q）,而力，“，义共线，故 而/而，即G片一2）2-（2 片-2）%=0,化简得4（他+l）&f）=.而”,N是不同的点，故 尸 2,可 得 总+1=0.这样k+k=2 1+_ （他+1）（A+,+J _ 11所以椭
28、圆的标准方程为9 5.k（2）卷为常数5,证明如下：由题可知直线/斜率不为0,设直线，=叩-2 代 入 9 5,消去 x 得 5（叼-2 +9 y2=45,整理得6 川+9）/-2 0 叩-2 5=0,2 0 m -2 5设尸（再，必）,。（2,必）,则5m2+9 ,yy2 5m2+9 ,kk-4（-3,0）,8（3,0）,1 项+3,2 x 2-3,k=外一3 必（布 y 2 5）.叩 2-5必所以“2%+3 力 力（叩 i +l）殁 办+力.必+为 一 5 /、-m 町%二（必 +必）由 得 M 为 5 ,所 以”4 5”代 入 得2 有（乂+力）+“4y 4y2,证明完毕.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是准确的计算，二是对斜率的正确的表达，三是变形技巧的把握.