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1、2021-2022学年吉林省乾安县高二上学期期末考试数学试题一、单选题1.若某抛物线过点（-1,3）,且关于x 轴对称，则该抛物线的标准方程为（）A.y2=-9x B.C.y?=-9 x 或f D.y2=9x【答案】A【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线丁=-2px然后把（-1,3）代入求出。即可.【详解】解：依题意设抛物线解析式为丁=-2内，9把（T 3）代入得9=2 p,解得p=，所以抛物线标准方程为尸=-9x,故选：A.2.设等差数列 凡 的前项和为S“，若 黑=2,S2M=1 7,则 邑,=（）A.45 B.32 C.47 D.54【答案】A【分析】根据等差数列的前项和性质可知
2、：S”,邑,“-S,52”成等差数列，然后根据等差中项计算即可.【详解】由题可知：成等差数列所以2（%“黑）=鼠+53,“一 邑,“，又 鼠=2,邑”=1 7,所以S3,=45故选：A3.2（根 6 是 方 程=二+9 二=1表示椭圆的（）in-2 6-mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】2 2 0 ,6 机 0,但当加=4 时，m-2 =6-m =2,方程表示圆.不充分，m-2 0方程表示椭圆时，0,即2Vm AB2+B F2,2边防上的高=/尸-（4 稗）2=B,由三角形面积得：-AE d=E
3、F h,=变 心=叵，V 2 2 2 2 AE 5所以直线FG到直线AE的距离为强.5故选：D8.在正项等比数列 4 中，4=；，4 +%=3,%的前 项和为S”，前 项积为力,，则满足S.+4 的最大正整数的值为（）A.11B.12C.13D.14【答案】B【分析】求出等比数列%的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于的不等式，求出的取值范围即可得解.【详解】设正项等比数列 叫的公比为4,则 妇&J+）=q+屋=6,即g2+q-6=0,。5 as9 八 ,则4=2,.二 4公 二二1，q 32所以，s -1 ,J 1-232_ i i n-11M,因为+即-+2 2
4、，即 -5 0 汨 ，即 一1 3 +1 0 2解得13 一同/3+后,因为1 1 后 1 2,则1 2/3 +晒 经2 2 2 2因此，满足条件的正整数”的最大值为1 2.故选：B.二、多选题9.已知圆C ：V +y 2-4 =0 和圆G：x2+y2-6 x-8 y +9=0,贝 I（）A.两圆的圆心的距离为2 5B.两圆相交C.两圆的公共弦所在直线方程为6 x+8 y-U =0D.两圆的公共弦长 为 叵5【答案】BD【分析】A选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距；B 选项，利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定是否相交；C 选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程：D 选项，利用C 选项的结
5、果，利用点到直线距离公式求出圆心G （。，0）到6 x+8 y-1 3=0的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长【详解】圆 G：f +y 2=4 圆心 （0,0）,半径 4=2,圆 G：（x-3 y+（y-4）2=1 6 圆心 G（3,4）,半径4 =4,圆心距三。2=，9+1 6=5,A错误；因为G C z=5,4+a=6,2-?；=2,弓+两圆相交，B 正确;两圆相减得：6 x+8 y-1 3=0,故两圆的公共弦所在直线方程为6 x+8 y-1 3=0,C 错误;圆心G（0,0）到6 x+8 y-1 3=0的 距 离 为 强 劈=荒，由垂径定理得：两圆的公共弦长为故选：BD1 0.空间直角坐
6、标系。-2中，已知A（l,2,2）,3（0,1,1）,下列结论正确的有（）A.A 8 =(-l,-l,3)B.若机=(2,1,1),则C.点A关于x Q y平面对称的点的坐标为(1,2,2)D.A B=45【答案】A B【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.【详解】A(l,2,-2),B(0,l,l),4 8 =(-1,-1,3),卜丁=，1 +1+9=而,A正确,D错误.若加=(2,1,1),则 w r A B=2 x(-l)+lx(-l)+lx 3=0,则机 _ L A B,B 正确，点力关于x Oy平面对称的点的坐标为(1,2,2),故
7、C错误，故选：A B.2 21 1.已知双曲线C:J-5=1(。0力0)的左焦点F(-1,0),过尸且与X轴垂直的直线与双曲线交3于4,8两点，。为坐标原点，AO 8的面积为5,则下列结论正确的有()A.双曲线C的方程为4/-强=13B.双曲线C的两条渐近线所成的锐角为6 0C.F到双曲线C渐近线的距离为白D.双曲线C的离心率为2【答案】A B D【分析】由左焦点尸(-1,0),得c =l,再根据.4 0 8的面积为:，由S =1 x lx空=3,求得双曲线的方程，再逐项判断.【详解】因为双曲线的左焦点为F(T O),所以c=l,又因为过F与x轴垂直的直线与双曲线交于4卜，与 ，-1噌，所以&
8、A O B的面积为S =1 x l x 1 =，即2=3,2 a 2 a 2又+Z?2=/=1,1 、3所以4 =*从=彳，所以双曲线C的方程为4/-至=1,故A正确；3则双曲线C的渐近线方程为丫=6，所以两渐近线的夹角为6 0 ,故B正确；产到双曲线C渐近线的距离为4 =正，故C错 误；2双曲线。的离心率为.故D正确；2故选：A BD1 2.已知等比数列%的前项和为S”，且邑=4 q,%是q+1与;%的等差中项，数列也 满足=碧一，数列 的前项和为I,则下列命题正确 的 是()*+1A.数列 4的通项公式4=2 x 3-B.s,=3-l2x3c.数列也 的通项公式为d =(3 _川3 e T
9、D.7”的取值范围是1 4 1_o O/【答案】A B D【分析】根据已知条件求出等比数列 q 的公比和首项，进而可以求得4,和S“；利用裂项相消法可得-亦二 和。，讨论数列 4的单调性，即可得出，的范围,1 J 1 y【详解】A：由S2=4 q可得w=3q,所以等比数列 q 的公比4=3 ,所以a,=qx3，由“2是4+1与g%的等差中项，可得2 a 2 =4+1 +；/，即2 q x3 =q+l+g(q x3?),解得q=2,所以4=2 x3一,所以A正确：B 业立止所以B正确；-q 1-31 2 2X3 T(I 1 AC：“一 Sj S“一(3 -1)(3 1)一:3 -1 _ 3向 _
10、 J 所以 C 不正确；D：1,=b+4+=-)+士-士卜+苴吉-高)U七)所以数列代 是递增数列，得7；M 7；2【分析】根 据 凤=一 即可求解.【详解】解：因为数列”前，?项和为S“=2-，所以4=S“-S“T (-1丫 -(-1)=2-2 (n 2),又当=1时，q =3=-1 =0也满足上式，所以 a“=2-2(eN-),故 答 案 为:2n-2.1 4 .在正方体A B C D-A/8/G D/中，E,尸分别为棱B/G，CG的中点，则异面直线A/E与8尸所成角的余弦值为.2【答案】1#0.4【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值.【详解】如图，建立空间直角坐
11、标系，设正方体 ABC D-ABC R 的棱长为 2,则电0,2*(2,0,0),E(2,l,2)/(2,2,1),.r D C,A.E B F 2 2则9=(2,1,0),所=(0,2,1),故,cosA E,2故答案为：1 5 .已知等差数列 叫 前项和为S,，若 生+%+%=9,则 用=.【答案】5 1【分析】根据给定条件，结合等差数列通项求出的,再利用等差数列性质求和作答.【详解】设等差数列 叫的公差为d,则9 =%+%+须=(4 -6d)+(的+2 d)+(%+4 4)=3 a 9,解得“9 =3,所以5 7=又产2 =寿%=i 7“9=5 1.故答案为：5 11 6.已知K，8是
12、双 曲 线/-=1 的两个焦点，?是双曲线上任意一点，过工作/耳 巴平分线的4垂线，垂足为N,则点N到直线x+y-2 夜=0 的 距 离 的 取 值 范 围 是.【答案】1,3【分析】延长EN交尸耳于点M,由角平分线性质可知，|P I=|P N|,即可列出等式，确定点M 的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围.【详解】解：如图，延长鸟N交尸耳 于 点，连接QN,因为PN为/K P 8的平分线，且耳所以N为 马加的中点，尸 N为鸟M 的垂直平分线，所以=尸加，在耳例心中，。、N分别为 鸟、乙M 的中点，所以C W =g M F；=；(PFi P B)=；x2a=l,设 N点坐标为N(x,y
13、),所以丁+产 口，圆心为。(0,0),半径r=l圆心0 至 1 直 线*+)-2夜=0 的距离4=2所以点N到直线x+y-2及=0 的距离的取值范围是 1,引故答案为：1,可四、解答题1 7.在下列所给的三个条件中，任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答选择多个解答，按第一个解答给分.与直线4x-3y+5=0垂直；直线的一个方向向量为a=(-4,3)；与直线3x-4y+2=0平行.已知直线/过点(1,-2),.(1)求直线/的一般式方程；若直线/与圆f +)，2=5相交于P,。两点，求IPQI.【答案】(1)选：直线/的方程为3x+4y+5=0；选：直线/的方程为3x+4y+5=0；选：直
14、线/的方程为3x-4y-ll=0.(2)选时，IPQI为4；4选时：IPQI为【分析】(1)先选条件，然后根据条件求直线方程；(2)利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解.【详解】(1)选：因为直线4x-3y+5=0 的斜率为占=g,3因为直线4x-3y+5=0 与直线/垂直，所以直线/的斜率为2=-：,4依题意，直线/的 方 程 为=即3x+4y+5=0；4选：因为直线的一个方向向量为=(-4,3),所以直线/的向量为女=-=3,依题意，直线/的方程为)，+2=-m -1),即3x+4y+5=0；43选：因为3%4+2=0 的斜率为4又因为直线/与3x-4y+2=0平行，所以直线/的斜率
15、为上=:，4依题意，直线/的方程为：y+2=4(x-l),g p 3 x-4 y-ll=0；4(2)选时,圆f +V=5 的圆心。(0,0)到直线3x+4y+5=0 的距离为d5分+42=1设 P,。的 中 点 为 由 圆 的 半 径 为 r=百 可 知：IPMUA/T7二 7=2,因此|P Q=2|P M|=4,即弦长|P Q|为 4.选：圆/+丁=5 的圆心0(0,0)到直线3 x-4 y-ll=0 的 距 离 为=的 鼻=弓,设 尸，。的 中 点 为 由 圆 的 半 径 为 厂=若 可 知:1PMi二44因此|PQI=2|PM|=w，即弦长|P Q|为三.1 8.已知公差不为零的等差数列
16、 q 的前四项和为1 0,且4,%,%成等比数列.(1)求数列%通项公式;设bn=a+2 ,求数列 的前项和S”.【答案】(1)。=3-5 S,=【分析】(1)由题意知4q+6d=10M+2 d)2=m+d)(q+6 d),求出变量的值,进而得到通项；由 题 意 得到 =3-5 +2 ，分组求和即可得到结果.4 6+63=1 0【详解】解：由题意知1+2）2=m+d）（q+6“）解得q=-2,d=3,或4=|,d=0（舍去），所以 q =3-5.（2）解：b=3n-5+2,将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：（-2 +3-5）1-2 _
17、32 _7”O,一 +一 r L _ 1 .2 1-2 219.已知抛物线y2=-x与直线y=&（x+l）相交于A、B两点.（1）求证：O AL O B；（2）当 0 48的面积等于如时，求&的值.【答案】（1）证明见解析；（2）k=.【解析】（1）设4-犬，）、8（-戈，），2），直线过定点M 1,0）,利用向量共线可得%=-1,证出04 08 =0 即可.（2）SO/lB=x lx|y2-y i|,将直线与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.【详解】证明：设4（一 寸，%）、B（T，%）;直线过定点 M-1,0）,2 4=（1-#,%）,N B =（i-yl，y2）,由A、N、3 共 线 乂
18、-*货=%-丫 2 4，为 一%=%.%（%-%），又必才必，yy 2=-i，：,OA-OB =yl-y2+y-yl=yi-y2（+yi-y2）=0,：.OA A.OB,irv2=_x解：5 o4=-x l x|y2-i|则,.-得 江+y-A =0,2y=Z（x+l）贝 U y+%=-3防=t，K；s oAB=|xIxl,2-+=；俱+4=回，乙 乙 乙Y K11 6十一=2 0.如图，在棱长为2 的正万体A 8 C O-A 旦GA中，E为B 片的中点.(1)求证：8 G 平面4。小(2)求直线4 A与平面4 QE所成角的正弦值;(3)求点C到平面A E的距离.【答案】(1)证明见解析:(3
19、)2.【分析】(1)证明BCJ/AR,再利用线面平行的判定推理作答.(2)以点A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.(3)利 用(2)中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.【详解】(1)在正方体ABC。-A 耳GR中，A8/C3 CQ,AB=C 3 =GA ,则四边形A B C Q为平行四边形，因此BCJ/A。，而 A R u 平面A R E,B G 4了 通=J i+产 2/2（r +l）+-=-（产+2）2产+2 产+22周）2+1,同理|M N|=-!-（一）2+22亚（产+1）2 r+14/6一 1 I P C I IA1fMi_ 4（r +1）2 _ 4（产 +1）2 _ 4 4因此S-Q-（八+2）（2/+1）-2（+1）2+*广-2+广 一+2/+1 2/7 4+2r2当且仅当*=1,即/=1时取等号，而S 2,因 此?4 s2,综上得2 4 s 42,所以四边形PMQN面积的最大值与最小值分别为2,y.【点睛】方法点睛：联立直线/与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为A：A。直线/与椭圆C相交；（2）A =0 o直线/与椭圆C相切；（3）A 0 =直线/与椭圆C相离.