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1、专题0 3运算思维之二次根式的加减重难点专练（解析版）错误率：易错题号：一、单选题1.（2 0 1 8 重庆中考真题）估计（2 回-例）的值应在（）A.1 和 2之间 B.2和 3 之间 C.3和 4之间 D.4和 5之间【标准答案】B【思路指引】先利用分配律进行计算，然后再进行化筒，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解详析】（2 月一 后）A=2,/5 2，而2/5=A/4X5=V20 4 7 2 0 5,所以 2 2 6-2 /1 5-x2=6,2 V1 5-X2=3，两边再平方得，4(15-X2)=9,化简，得f=1 2 1,4把f=1 2：代入任 二 丁 +而，=+旧，7 3=I-
2、，2 2=5.故选C.【点评】本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.4.（2021江苏淮安八年级期末）下列运算正确的是（）A.3-2-?-/2=3 B.+/3-y/5C.2/3x3x/3=6/3 D.718-712=x/6【标准答案】A【思路指引】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.【详解详析】A、3五:&=3，故选项A 正确；B、血 +百不能合并，故选项B 错误；C、2A/3X3/3=18,故选项 C 错误；D、炳-屈=3血-2 6，故选项D 错误；故选：A.【名师指路】本题考查了
3、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法.5.（2021.江苏吴中八年级期末）下列计算正确的是（）A.2 6 +4&=6石 B.应=4 0 C.厉+6 =3 D.4-3）2=-3【标准答案】C【思路指引】根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定.【详解详析】A、2 6 +4也 不 能 合并，故选项A 错误：B、瓜=2近,故选项B 错误；C、历 +6 =3,故选项C 正确：D、而 豕=3,故选项D 错误；故选：C.【名师指路】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.6.（2 0 2 1.江苏.苏州市吴江区实验初级中
4、学八年级月考）估计（2 延-加 b的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）A.2 和 3 B.3 和 4 C.4 和 5 D.5 和 6【标准答案】B【思路指引】根据二次根式的混合运算法则把原式化简，估 算 后-1的范围，得到答案.【详解详析】即-何小=14舁孙冬=/2 4-1由于4 c 病/5 B.2A/2 /2=2 C.=3 D.-JT.X yf 3-/6【标准答案】D【思路指引】利用二次根式的加减法对A、B 进行判断；利用二次根式的除法法则对C 进行判断；利用二次根式的乘法法则对D 进行判断.【详解详析】A.0 +V5=逐不能合并，故此选项错误；B.2夜-夜=夜，故此选项错误；C逅近,故此
5、选项错误D，V 2 x =/6.选项正确;故选：D.【名师指路】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.10.(2021江苏扬州中考真题)如图，一次函数丫=+后 的 图 像 与x轴、y轴分 别 交 于 点A、B,把直线AB绕 点8顺时针 旋 转3(T交x轴 于 点C,则 线 段AC长 为()C.2+0D.V3+V2【标 准 答 案】A【思路指引】根据一次函数表达式求出点A和 点8坐 标，得到AOAB为等腰直角三角形和AB的长，过 点C作C D A.A B,垂 足 为 ,证明ACC为等腰直角三角形，设CZ)=AZ)=x,结合旋转的度数
6、，用两种方法表示出B D,得 到 关 于x的方程，解之即可.【详解详析】解：一 次 函 数y=x+&的 图 像 与 轴、)，轴分别 交 于 点A、B,令x=0,则 产 正，令.y=0,则X -y/2,则 A(-V 2,0),B(0,4 1)，则 0 4 8为等腰直角三角形，ZABO=45,.4 8=(可+的=2,过 点C作CO _L48,垂 足 为 ),ZCAD=ZO AB=45 ,ACO为等腰直角三角形，设*-AC=y）A D2+C D2=旧，；旋 转,:.NA8C=30,：.BC=2CD=2x,8 0=j BC2-C D2=&，又 BD=AB+AD=2+x,.2+X=y/3X9解得：尸6+
7、1,AC=5/2 5/2（/3+1）=+/2 ,故选A.【名师指路】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.二、填空题11.最简根式，二而与J 2_ 4a是同类二次根式，则。=.【标准答案】7.【思路指引】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解.【详解详析】解：最简根式 际 与 后二是同类二次根式，a+6=a2-4a,解得：ci=6或-1 .*当 =6 时,J a+6 =y/a2 4a=V 12=2 百，此时J a +6 与J a1-4 a不是最简根式,；.a=6（
8、不符题意，舍去）.当。=T 时，-J a+6 =1a。-4a=小 ,.此时yJ a+6与yj a2-4 a是最筒根式，“=-1符合题意.故答案为：-1.【名师指路】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.12.（20 21 江苏靖江市靖城中学八年级月考）已知x =2-g,y =2+G.则代数式/+产-加的值为【标准答案】12.【思路指引】根据二次根式的减法法则求出x-y,利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可.【详解详析】解：x 1 6 ,y =2+y/3,x-y=-26 ,则 X2+y2-2xy=（x-y）2=（-2后）?=12
9、,故答案为：12.【名师指路】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的加减法法则是解题的关键.13.计 算 通 一 专 的 结 果 是.【标准答案】【思路指引】先分母有理化，然后化简后合并即可.【详解详析】2解：瓜.不=2 亚-y/2=近.故答案为：&.【名师指路】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.14.(20 21 江苏盐城市初级中学八年级期中)比较大小：2 G 34(填或=).【标准答案】/2=V T 8，2,，V 3
10、收，故答案为：【名师指路】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键.15.(20 21江苏医药高新技术产业开发区九年级期末)已知y =J(x-4)2-x+6,当 x分别取1,2,3,.20 21时，所对应y值的总和是_.【标准答案】40 54【思路指引】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得.【详解详析】解：y=-x+6=|x-4|-x+6当x/2【思路指引】分两种情况讨论当C D=C F=6时，过点尸作MNA。交 4B 于 M,交,C D 于 N,作 CG_LOF交。F 于G,先求C G=4&,再由三角形CFQ的面积得gxQ
11、FxC G=gxC Q xFN,求得版=|及，则用尸=4-o A A A.R一 夜，再求 W=，E M=A E,在 EMF中，A E2=-A E）2+（4无丫,即可求 A E=12-83 3 3 3 3&；当F=CF=4时，过点F 作 MNA。交 A 8于 M,交 C D 于 N,先求出F N=出,则 M F=4-币,E M=3 -A E,在 RfAEFM 中，A2=（3-A）2+（4-77）2,求出 近.【详解详析】解：由翻折可得：.AD=DF,AE=EF,：AB=6,BC=4,：.AD=DF4,CD=6,QFC是等腰三角形，当CD=CF=6时，如 图1,过点尸作MNA。交A8于M,交C。于
12、M 作CG，。/7交。尸于G,:.DG=FG=2,:.CG=4O,g XFXCG=g xCDxFN,；.4x4 0=6FN,Q：.F N=-42f3oAMF=4-V2,34在 RfA DFN 中,DN=一，34：.EM=-AE,3在町 EM尸中，EF2=EM2+MF2,：.AE2=(-A E)2+(4-后，3 3 AE=12-8亚；当。F=C?=4时，如图2,过点F作MN AD交AB于M,交CDN,:FNLCD,:.DN=3,：.FN=yfj t：.MF=4-a,.4W=3,；EM=3-AE,在EFM 中,EF2=EM2+MF2,：.AE2=(3-AE)2+(4-V7)2，.A F 1 6 4
13、 /3.A E=-y7；3 3综上所述：若ADFC是等腰三角形，/1 为 号-3/或1 2-8应；故答案 为 个-gS或1 2-8应.【名师指路】本题考查折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，对 等 腰 三 角 形O F C分情况讨论 求AE的值是解题的关键.1 8.（2 0 2 1.江苏灌云.八年级期末）已 知。=2+6，b=2-8,则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.a b【标准答案】-8Q【思路指引】先 计 算 出。+江a-b,油 的值，再通分和利用平方差公式得到：-=丝=“-），+”）,然后利用a b ab ab整体代入的方法计算.【详解详析】解：:a=
14、2+6,6=2 -.a+h 4,a-h 2y/3,=4-3=1,.b a _ b2-a2 _ (b-a)(b+a)_ _ 2 x 4 _ 。厂-T =；-=-7-=-:-=-8 1 3a b ab ab 1故答 案 为_ 8 7 3 .【名师指路】本题二次根式的化简求值，通 过 先 计 算4+6儿4以 及 油 的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便.19.已-知 =水1 万 八,二1【标 准 答 案】-三6 4则/-4 +/-%=【思路指引】先 将 所 求 式 子 变 形 为 只 含 有 和 岫 的 形 式，再 计 算 出。+匕和 而，代入计算即可.【详解详析】解：a3-tz+Z?3-b=/
15、+/一(+力)二 (+8)(2 -ab+b2)-(+8)二(a+8)(/-ab+b?-1)=(a+b)(a+6-3 -1.1 7 7-2 .1 -V 7-2a+b =l +3 34 八 1 1方 小？Tx-，故答案为：-.27【名师指路】本题考查了二次的化简求值，先根据已知条件得到两个字母的和与积的值，然后变形所求的代数式，用这两个字母的和与积来表示，再运用整体代入的方法求代数式的值.20.(2021 江苏通州二模)如 图，在边长为2 的正方形ABCQ中，点 M 在边AB上，点 N 在对角线AC上，连接DM,DN.若 A M=C N,则(Z)M+QN)2的 最 小 值 为.【标准答案】8+4
16、0【思路指引】过点C 作 CH_LAC,使得C”=A O,连接N H,由题意易得/NCH=/M 4)=90。，进而可得 NC H A MA D,然后可得OM=N”，要使(M+W的值为最小，只需DM+ON的值为最小，即NH+ON的值为最小，所以可得。、N、，三点共线时最小，则过点“作 ELO C于点E,然后根据勾股定理可求解.【详解详析】解：过 点 C 作 CH_LAC,使得C”=A。，连接N H,如图所示：D.四边形ABC。是正方形，AB=2,A ZMAD=ZDCB=90,ZDCA=45,AD=CH=AB=CD=2,：.ZNCH=ZMAD=90,:AM=CN,:.丛NCHQXMAD(SAS),
17、：.DM=NH,若使（M+W）2的值为最小，只需DM+ON的值为最小，即 M7+W的值为最小，所以可得。、N、H三点共线时最小，则过点”作 HELOC于点E,如图所示：ZDCA=ZECH=45,.CEH为等腰直角三角形，CE=E H =CH=4 2 ,2DE=DC+CE=2+/2,二在 R d OEH中，DH2=（DM+DN）2=DE2+EH2=（2+2=S+442t，（rM+W）2的最小值为8+4夜；故答案为8+4点.【名师指路】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关
18、键.三、解答题21.（2021 江苏高邮八年级期中）阅读下列解题过程：11X(V5-A/4)厂 广 厂 1 1 x(7 6-7 5)j=7 7 =r=L /I-7=v =/5-A/4=/5-2，j=1=/K =a一也.J 5 +J 4 (V 5 +V 4)(V 5-/4 j V 6 +V 5 (2)：(2)利用上面所提供的解法，请计算1 1 11 +V 2 7 2 +7 3 以+X/98+A/99 x/99+/i 0 0(3)不计算近似值，试 比 较(旧-而)与(屈-屈)的 大 小，并说明理由.【标准答案】(1)-病 斤：(2)9；(3)屈-屈 屈-9,理由见解析【思路指引】(1)由解题过程可
19、以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为I,分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出丁 I/7的值;(2)中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果.(3)利用倒数关系比较大小.【详解详析】1 1 x(有一4)厂 厂 厂 1 1 x(指-石)厂厂解：(1):r=4 5-4 =4 5-2,厂厂=广/.、=娓-非.V 5+V 4 (/5 +V 4)(V 5-V 4 j V 6 +V 5 (V 6 +V 5)(V 6-V 5)，发现规律可得/I ,=6-7 n+7 几 一 I故答案为：n-7 -1 ；1 1 1 1 1(2 )-=,H-7=f=d f=-+.-
20、7=7=+-11+V 2 V 2+V 3 V 3+V 4 x/98 +v 99 v 99+V 1 0 0=&-l+6-&+4-6+.X/99-+V10 0-A/99-V l O O-1=9iVB+VH 值+而(3)7 VB-VH=pTvn pTTTT)=2i 岳+岳 岳+拒7 1 5-7 1 3 (7 1 5-5/1 3)(/1 5 +7 1 3)2j屈+拒 岳+屈，人 -22/.(Vi3-Vn)(Vi5-Vi3).【名师指路】本题考查了二次根式的运算，是规律型的，由分母有理化得出规律，正确理解题意、掌握求解的方法是关键.2 2.(2 0 2 1江苏苏州高新 区 第 一 初 级 中 学 校八年
21、级月考)计算或化简：(1).2 +a-(石-1)。；(2)(庖-3,2 7/)+占.【标 准 答 案】(1)4 7 3;(2)3 2 7。【思路指引】(1)原式第一项进行分母有理化，笫二项化简二次根式，第三项运用零指数哥法则化简后再进行加减运算即可得解；(2)原式先化简二次根式，再进行除法运算即可.【详解详析】解：(1)-7=-,7 -(6 -I)。V 3 -1原式=百+1 +3 6-1=4 6；原式=(7 -9a=3-21 a【名师指路】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：与有理数的混合运算一 致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.在运
22、算中每个根式可以看做是 个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式2 3.(2 0 2 1.江苏如皋.八年级月考)计算与化简(1)2 0 1 4 0-7(1-/2)2-(7 2)(3)(-2b)(a+2h)-(a-2b)2【标准答案】(1)|-V 2；(2)-8 m2(2)(一沙.(当乌3n p p2而+3旧 _ -廊(3)4ab-S b2；(4)2后【思路指引】（1）先分别求解零次基，化简二次根式，求解负整数指数嘉的运算，再合并即可;（2）先计算分式的乘方运算，同步把分式的除法化为乘法运算，再约分即可：（3）先按照平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可;（4
23、）先分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.【详解详析】解：（1）20 1 4（,-V（l-V 2）2-（V 2）*2=1-5/2+1 =-22 29/72 p227/p2 m n8m2(3)解:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2=/-_ 4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab-4b2【名师指路】本题考查的是整式的混合运算，零次基，负整数指数基的含义，二次根式的加减运算，分式的乘除乘方混合运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.24.（20 21.江苏玄武.八年级期末）先化简，再求值：2+刍二与十三空二，其中a =l +G.【标准答案】a-3【思路指引】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算即可.【详解详析】2 a-2（。+1）2 a-2 a解：原 式=r+/l V TT=-+-=-a-+（4 +1）4-1 4 -1当 4 =1 +6 时，原 式=1=1+2.6 3【名师指路】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算.掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键.