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1、2021-2022学 年 河 南 省 南 阳 市 高 一 下 学 期 第 三 次 考 试 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 点 A(l,3),8(4,-1),则 与 A B同 方 向 的 单 位 向 量 为【答 案】A【详 解】试 题 分 析：4 8=(4-1,-1-3)=(3,-4),所 以 与 4 8 同 方 向 的 单 位 向 量 为 AB 1.八,3 4、户 国 p(3，-4)=(y？，故 选 A.【解 析】向 量 运 算 及 相 关 概 念.2.下 列 函 数 中 是 奇 函 数，且 最 小 正 周 期 是 兀 的 函 数 是()A.y=cos|2R B.y-|s i n
2、C.y=sin(2 x+)D.y=cos(2x-y)【答 案】D【分 析】根 据 函 数 解 析 式 判 断 奇 偶 性，结 合 最 小 正 周 期 即 可 得 出 结 果.【详 解】对 于 A,cos|2(一 x)|=c o s|2 4 函 数 y=cos|2R是 偶 函 数,故 A 错 误；对 于 B,，.1 sin(-x)|=卜 sin H=b in x|,.函 数 y 邛 由 可 是 偶 函 数，故 B 错 误；对 于 C,函 数 y=sin(2 x+/)=cos2x是 偶 函 数，故 C 错 误；对 于 D,函 数 y=cos(2x-)=-s m 2 x是 奇 函 数，最 小 正 周
3、 期 7=5=兀，故 D 正 确.故 选：D.3.已 知 向 量 4=(6,1),b 是 单 位 向 量，若|百，则”与 b 的 夹 角 为()A.工 B.&C.生 D,6 3 3 6【答 案】C【分 析】根 据 题 意，利 用 向 量 的 运 算 法 则，求 得 4包=-1,再 结 合 向 量 的 夹 角 公 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，向 量 4=(6,1),是 单 位 向 量，可 得 忖=2，W=1,因 为 卜+,=6，可 得(4+力 2=1+6 2+2“力=4+1+2。为=3,可 得 4/=-1，因 为 加,所 以 的=尊 故 选：C.j r 3 77r4.已 知 sin
4、（；-x）=：,贝 lJcostr+丁）等 于 3 5 64 35B.C.【答 案】【分 析】【详 解】由 诱 导 公 式 化 简 后 即 可 求 值.C O S%=一 I 6）cos x+|=-sin-k+=C故 选 c.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 诱 导 公 式 的 应 用，属 于 基 础 题.TT 7T5.函 数/(x)=tan(s:-：)与 函 数 g(x)=sin(7-2戈)的 最 小 正 周 期 相 同，贝 4 4A.1 B.1 C.+2 D.2【答 案】A【详 解】解：因 为 函 数 f(x)=tan(ox-f)与 函 数 g(x)=sin(f_2x)的
5、 最 小 正 周 期 相 同，因 此 4 44 2乃.；=/=1,选 Aly|26.设 q,02是 两 个 不 共 线 的 向 量，若 向 量?=-q+加 2(ICR)与 向 量=02-2 q 共 线，则()A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=；【答 案】D【分 析】根 据 向 量 共 线 定 理 可 得 机=2，再 由 q 与 e?是 不 共 线 向 量，可 得;=；一 二 解 方 程 组 即 可 求 解.【详 解】由 共 线 向 量 定 理 可 知 存 在 实 数 九 使 机=4”，即+ke2=-24)=Ae2-2Ae1,又“与 e；是 不 共 线 向 量,1-1=-2Ak=A，解
6、 得 22=-.2故 选：D，则()A 5TI,3万 7.已 知。=tan五*=cos-,c=cosA.b a c B.abcC.b c a D.a c b【答 案】D【解 析】化 简，利 用 三 角 函 数 正 负 值 及 及 有 界 性，即 可 得 出 结 论.57r.,3TC _.177r 7 1 c【详 解】6 r=tan l,p=cos c=cosI I=c o s 1 0.故 选:D【点 睛】本 题 考 查 诱 导 公 式 化 简 三 角 函 数 值，考 查 三 角 函 数 的 正 负 及 有 界 性，属 于 基 础 题.8.已 知/(x)=0 s i n(x+g),把 心)的 图
7、 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的;倍，纵 坐 标 不 变，再 向 62T T右 平 移 个 单 位，得 到 g(x)的 函 数 图 象，则()6rr k 7 TA.g(x)图 象 的 对 称 轴 为 x=q+券,k e Zrr k 7 TB.g(x)图 象 的 对 称 轴 为 x=+与 水 Z 且 为 奇 函 数 C.g(x)图 象 的 对 称 轴 为 尸 7r+2for,k Z 且 为 奇 函 数 D.g(x)图 象 的 对 称 轴 为 x=7+2Z肛 2 Z6【答 案】A【解 析】根 据 图 象 变 换 得 g(x)表 达 式，再 结 合 对 称 轴 公 式 求
8、 解 即 可.【详 解】依 题 意 得 g(x)=A i n(2 x-/-7 T T V./口 7 C k/C.由 2%-=Fk,7i彳 寻 x I-、k e Z6 2 3 2故 选：A9.已 知 函 数/(x)的 局 部 图 象 如 图 所 示，则 下 列 选 项 中 可 能 是 函 数 解 析 式 的 是()【答 案】cy=xcosxC.y=x2 sinx D.y=xsinx【分 析】利 用 函 数 的 奇 偶 性 首 先 排 除 选 项 A,D,再 通 过 特 殊 值 排 除 选 项 B,确 定 正 确 答 案.【详 解】选 项 A,/(-%)=(-x)2 cos(-x)=/c o s
9、x=f(x),是 偶 函 数，其 图 象 关 于 丫 轴 对 称，所 以 选 项 A 错 误；同 理 选 项 B,C的 函 数 是 奇 函 数，它 们 的 图 象 关 于 原 点 对 称；选 项 D 的 函 数 也 是 偶 函 数，其 图 象 关 于 y 轴 对 称，所 以 选 项 D 错 误；当 x=1 时，y=XCOSX=y-COSy=0,与 函 数 的 图 象 不 符，所 以 选 项 B 错 误；当 x 时，y=x2sinx=-sin=0,与 图 象 相 符，所 以 选 项 C 正 确.故 选：C【点 睛】方 法 点 睛：根 据 函 数 的 图 象 找 解 析 式，一 般 研 究 函 数
10、 的 奇 偶 性、单 调 性、周 期 性、对 称 性、特 殊 点 等，来 确 定 正 确 答 案.1 0.掷 铁 饼 者 取 材 于 希 腊 的 现 实 生 活 中 的 体 育 竞 技 活 动，刻 画 的 是 一 名 强 健 的 男 子 在 掷 铁 饼 过 程 中 具 有 表 现 力 的 瞬 间(如 图).现 在 把 掷 铁 饼 者 张 开 的 双 臂 近 似 看 成 一 张 拉 满 弦 的“弓”，掷 铁 饼 者 的 手 臂 长 约 为 f m,肩 宽 约 为 g m,“弓”所 在 圆 的 半 径 约 为 g m,则 掷 铁 饼 者 双 手 之 间 的 距 离 约 为(参 4 8 4考 数 据
11、：/21.414,V 3 1.7 3 2)()A.1.012m B.1.768m C.2.043m D.2.945m【答 案】B【分 析】由 题 意 分 析 得 到 这 段 弓 形 所 在 的 弧 长，结 合 弧 长 公 式 求 出 其 所 对 的 圆 心 角，双 手 之 间 的 距离，求 得 其 弦 长，即 可 求 解.54【详 解】如 图 所 示，由 题 意 知“弓 所 在 的 弧 4 c B 的 长/=E+g=，其 所 对 圆 心 角 a=4 4 8 8 24S T T则 两 手 之 间 的 距 离=2AD=2 x-x s i n-1.768(m).故 选：B.11.设 点 4(2,-2
12、),8(-2,6),C(4,-2),P(2 sin a,2 cos a),其 中 a e R,则|4P+8P+CP|的 取 值 范 围 为()A.4,8 B.4,6 C.-2,4 D.6,8J【答 案】A【分 析】由 题 可 知，点 P 在 圆 f+V=4 上，设 P(x,y),根 据 向 量 的 坐 标 运 算 可 求 得 I AP+BP+CP=40-12)，由 丫 的 范 围 可 求 得|4P+BP+CP|的 取 值 范 围 得 选 项.【详 解】由 题 可 知，点 尸 在 圆 d+V=4 上，设 尸(x,y),贝!AP=(x+2,y+2),BP=(x+2,y-6),C尸=(x-4,y+2
13、),所 以 AP+8P+CP=(3x,3y-2),UI|AP+BP+CP|2=9x2+9y2-12y+4=40-12y,因 为-2 W y W 2,所 以 16M40-12y V64,所 以 4 0 AP+BP+C P|8,所 以|AP+BP+CP|的 取 值 范 围 为 4,8,故 选：A.【点 睛】关 键 点 睛：本 题 考 查 向 量 的 模 的 范 围 的 问 题，关 键 在 于 得 出 点 P 的 轨 迹 方 程，运 用 点 的 坐 标 表 示 出 所 求 的 向 量 的 模，由 点 的 坐 标 的 范 围 可 得 以 解 决.I|I I.o A8 9AC12.已 知 w，|AB|=
14、,|ACb f,若 P 点 是 所 在 平 面 内 一 点，且”=词+而，则 P&P C 的 最 大 值 等 于()A.16 B.4 C 82 D.76【答 案】D【分 析】以 A 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，可 得 c(o,r)(zo),利 用 平 面 向 量 坐 标 运 算 可 求 得(1,9),由 数 量 积 的 坐 标 运 算 可 表 示 出 P C，利 用 基 本 不 等 式 可 求 得 结 果.【详 解】以 A 为 坐 标 原 点，可 建 立 如 图 所 示 平 面 直 角 坐 标 系，则 C(0,?)(r0),9-(0,r)=(l,9),即 P(L9)
15、,=PC=(-l,/-9),.尸 3 尸。=1 一;一 次+81=82(%+；和=6(当 且 仅 当 勿 斗 即 旧 时 取 等 号)，.(PBPC)0力 0,。为 坐 标 原 点，若 A,B,C三 点 共 线，则 a+1的 值 是【答 案】g#0.5【详 解】AB=(a1,1),AC=(61,2),则 A3 A C,所 以 2a2=b1,所 以 2a+匕=1,即 a+g=g.点 睛：本 题 考 查 平 面 向 量 的 三 点 共 线 问 题.三 点 共 线 问 题 向 量 平 行，本 题 中 得AB=(a-l,l),A C=(-6-l,2),则 AB AC,由 向 量 平 行 的 公 式，若
16、“=(%|,%)力=(%,%),且 a b,则%=芦，利 用 公 式，解 得 答 案.14.已 知 4 3 C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，则 向 量 4 3在 8 c 上 的 投 影 数 量 是.【答 案】T【分 析】根 据 数 量 积 的 几 何 意 义 即 可 求 解.【详 解】向 量 AB在 8 c 上 的 投 影 数 量 为 1Aqeos(AB,BC)=2xcosl20=-1,故 答 案 为：-115.已 知 函 数/(x)=2 sin x+e)卜 0,|同 臼 的 部 分 图 象 如 图 所 示，则 x)在 y,2 n 上 的 最 大 值 为.【答 案】【分 析】先 根
17、 据 图 象 求 出 函 数 解 析 式，再 根 据 所 在 区 间 求 出 最 大 值.【详 解】7X=解 得。=2,由/p=2sin(2 x粤+w)=2,所 以 夕=g+2 E,4 C D 12 3 4 k 12；I 12 J 3k e Z.因 为 冏 所 以 0=,所 以/(x)=2sin(2x+|.,_,、，3 7 1 _ 7 1 _ 7 1.7 1因 为 5 之 九，所 以 2工+3K+y,4K+,所 以 f(x)=2sin(2x+,卜-2,7 5,所 以 的 最 大 值 为 用.故 答 案 为：x/3.7 T16.将 函 数/(x)=sin 2 x的 图 象 向 右 平 移 个 单
18、 位 后 得 到 函 数 g(x)的 图 象，若 存 在 小 弓，使 得 0+四()2=2,则 k-|n.n=.IT【答 案】yo【分 析】根 据 三 角 函 数 图 象 的 平 移 变 换 求 得 g(x),然 后 考 察 最 值 点 可 得.J T T T【详 解】由 题 知 g*)=八*-)=sin(2x-；)6 3所 以 0)?+g(x2)2=sin2 2%4-sin2(2x2-y)=2所 以 sirZX=sin2(2x2-y)=l则 2X=+k、7 T,2x)=+k-)7i,k e Z,k2 G Z,r1rl7i k.7r 5T T k、7 T,.即 玉=H,x2=,k GZ,k2
19、w Z,所 以|占 _ 司 卡+竽 喑 _ 卓 卜 件 押 q当 占-=0时，N-乩 嗑 故 答 案 为：g0三、解 答 题 17.己 知 向 量 a、b 的 夹 角 为?，且 闷=用=血，（1）求 的 值;（2）求 a 与 a+的 夹 角 的 余 弦.【答 案】（1）小（2）平.【分 析】先 求 出|：+,=（）2=；+2/+的 值，再 开 方 即 可 求 出 卜+0 的 值;（2）设 a 与.+/,的 夹 角 为 6,由 cos6=(+/7)棉+4可 以 求 出.【详 解】(1)a-b=x y 2 x=,2二.卜+4=y(a+h)2=+2a-b+f=/1+2+2=石;（2）设 q 与 a+
20、b的 夹 角 为，,；(，+心)=|4+力=1+1=2,a-(a+b)_ 2 _ 275卜 小 卜+|lx百 5故 a 与 a+b的 夹 角 的 余 弦.【点 睛】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积，正 确 使 用 数 量 积 的 定 义 运 算，对 于 卜+q,一 般 先 平 方,再 开 方 进 行 求 解.18.已 知 30),xeRCOSX3(1)若 a 为 第 三 象 限 角，且 sina=-g,求 f(a)的 值.7T 7T 1(2)若 xe,且 g(x)=r-+2/(x)+l,求 函 数 g(x)的 最 小 值，并 求 出 此 时 对 应 的 x 的 值.3 4
21、 J cos x3【答 案】4 Q)函 数 g。)的 最 小 值 为 1，止 匕 时 x=7fT4 43【解 析 1(1)先 化 简 函 数 解 析 式 得 f(x)=-tanx,则 由 条 件 可 得 tana=,得 出 答 案.由 条 件 可 得 g(x)=tan2x_2tanx+2,则 由 xe,设=tan x e-G l,根 据 二 次 函 数 y=_ 2f+2=(f_l)2+即 可 得 出 答 案.工 一 1 心、sin(x-3)-sin(3-x)sinx【详 解】由 已 知 有 f(x)=-=-=-=一 tanxcos X cos X COS X3 4 3(1)右 a 为 第 三
22、象 限 角，且 sina=-=,则 cosa=-=,则 tana=：5 5 4/()=-tana=-342.2/(2八)g(/x)=-c-o-s-x-+z-s-m-x-F2/(X)+1 i=tan2-x-2ct anx+2cCOS-XX G,设 1=tanxe-G,l即 丫=产-2+2=。-1)2+1,当 f=l,即 x=(时，有 最 小 值 1TT所 以 当=时,函 数 蚣)有 最 小 值 L【点 睛】关 键 点 睛：本 题 考 查 根 据 三 角 函 数 求 值 和 将 函 数 化 为 tan a 的 二 次 式 求 最 值，解 答 本 题 的 关 键 是 由 g(x)=cs：；：n+2
23、x)+=tan2x_2tanx+2将 函 数 化 为 二 次 式,根 据 tana 式 一 6,1求 最 小 值，属 于 中 档 题.19.已 知 向 量。=(1,2),1=(x,l).(1)若(a+26)_L(2a-6)时，求*的 值;(2)若 向 量 a 与 向 量 b 的 夹 角 为 锐 角，求 x 的 取 值 范 围.【答 案】x=-2或 7 不 x|x 2且、吗 1.【解 析】(1)先 求 出 a+2力，2“-6 的 坐 标，再 由(a+2r)_L(2l1)得(。+2办(22-母=0,列 方 程 可 求 出 x 的 值;(2)由 向 量 a 与 向 量 6 的 夹 角 为 锐 角，可
24、 得 a/0，且 向 量.与 向 量 匕 不 共 线，从 而 可 求 出 x 的 取 值 范 围【详 解】解：(1)因 为 向 量 a=(l,2),b=(x,1)所 以 a+2Z?=(l,2)+2(x,l)=(2x+l,4),2a-b=2(l,2)-(x,l)=(2-x,3),因 为(a+2h)r(2a-b),所 以(a+2力 Q-)=0,所 以(2x+l)(2-x)+4x3=0,即 2/一 3*-14=0,7解 得 x=2或 x,2(2)因 为 向 量 a 与 向 量 b 的 夹 角 为 锐 角，所 以“力 0，且 向 量 a 与 向 量 b 不 共 线，x+20所 以 7 x,解 得 x-
25、2且 一 工 一 212 1所 以 X 的 取 值 范 围 为 x|x-2且 X*g7T2 0.已 知 函 数/(x)=2sin(-2x+)+l.(1)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间；(2)求 f(x)在 区 间 一 工 勺 上 的 最 值，并 求 出 取 最 值 时 x 的 值；(3)求 不 等 式“X)2 2 的 解 集.【答 案】(l)57r+E,E+1 1g 7 Tl e Z(2)当“若 时，函 数”X)取 最 大 值 3；当 A：时，函 数 x)取 最 小 值 0；7 T TT 五 入 ZTV TT 37r【分 析】根 据 正 弦 函 数 的 单 调 性，计 算 1+2祈 即
26、 可 求 解；(2)由-黄 可 得：一 号 4 2 X-U，利 用 正 弦 函 数 的 性 质 即 可 求 解 A)在 区 间-J，勺 上 的 最 4 4 6 3 6 4 4值，并 能 求 出 取 最 值 时 x 的 值；由/(幻 2 2 可 得：sin(2x-)-1,利 用 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 求 解 不 等 式.TT IT【详 解】(1)因 为/(x)=2sin(2x+)+l=-2sin(2x-5)+l,+2fau2x-4-271,/:e Z,解 得：+kji x G Z,2 3 2 12 12所 以 函 数“X)的 单 调 递 增 区 间 为 吉+E,E+曾/
27、eZ.TT _ JT IT(2)由(1)知：/(x)=2sin(2x)+1,因 为-x,3 4 457r 7 T IT 7 T l所 以 工 W 工，由 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 可 得：14sin(2x W)W：,6 3 6 3 2所 以“x)e0,3,当 也 即 x=-1 时，函 数 f(x)取 最 大 值 3；当 2x-?=B，也 即 x=m 时，函 数/(X)取 最 小 值 0；3 6 4(3)由 3(x)N2,BP 2sin(2x)+1 2 2,可 得:sin(2x)4,3 3 2由 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 可 得：2 E-字 6 3 6TT TT解 得
28、：lai x,求 入 的 值.(2)若 A 8=2,当 尸=1 时，求。尸 的 长.1 3【答 案】(1)；(2).I 1 uni 1 um 1 uiim i i【分 析】(1)先 转 化 得 到。产=一 工 4 6,后。=不 4。，再 表 示 出=A8+j A。，求 出 入=一 1,口=5,最 后 求 X+g的 值；(2)先 得 到 4=48+5 4。和 A B A O=0,再 建 立 方 程-44+2=1求 解 入=:,最 后 求。尸 的 长.【详 解】(1)；点 E 是 B C 边 上 中 点，点 F 是 C上 靠 近 C 的 三 等 分 点，uun 1 nwr 1 uni 1 1：.C
29、F=-DC=-A Bf EC=-B C=-A D,3 3 2 2.EF=EC+CF=A B+-A D 93 2 1 1 1Hl.k+l=3 2 o（2）设 C F=h C D,则 BF=8C+C/=AO 入 A B，又 AE=AB+BE=AB+AD,AB AD=0,1 1 2 1-AE B F=（AB+-A D）（A D-A B）=-=一 4入+2=1,故 九=；,43：.DF=（1-九）x2=一.2【点 睛】本 题 考 查 利 用 向 量 的 运 算 求 参 数，是 基 础 题 22.已 知 点 A（X|J（xJ）,8 仁，/（七）是 函 数./（力=2$皿（3+1）（ty0,-y 0）图
30、象 上 的 任 意 两 点，且 角。的 终 边 经 过 点 网 1，-6）,若|/（占）-/。2）|=4时，归-司 的 最 小 值 为 求 函 数/（x）的 解 析 式；若 方 程 3（x）T（x）+机=0在 x e 0,与）内 有 两 个 不 同 的 解，求 实 数 机 的 取 值 范 围.【答 案】（l）”x）=2sin（3x-?）：（2）/?=-10 m=3 与 丫=一 加 公 共 点 问 题.【详 解】（1）角 夕 的 终 边 经 过 点 p（l,-6）,tan（p=-5/3,兀 八-0,71：.(0=-3由|/（王）一/（）|=4时，卜|一 回 的 最 小 值 为 2,得 7=g，即 女=寻，3 co 3.69=3,丁./(x)=2sin(3x-y j.(2)V x e71 4乃冗 3x(0,4)，0 s in 3 x-y l,设 x)=f,问 题 等 价 于 方 程 3/-f+2=0 在(0,2)仅 有 一 根 或 有 两 个 相 等 的 根.m=3t2 t t e(0,2),作 出 曲 线 C：y=3/T,作(0,2)与 直 线/:尸-的 图 象.，当-机=-卷 或 0 4 加 10时，直 线/与 曲 线 C有 且 只 有 一 个 公 共 点.；?的 取 值 范 围 是：机=士 或 T 0/4 0.