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1、2021-2022学年重庆市北陪区高一下学期第三次定时训练数学试题sincr=-一、单选题1.若1 3,且。为第四象限角，贝 ijtana的值等于12_12 5_A.5B.5 C.12【答案】D【详解】sina=13,且 为第四象限角，D.125c osa =a =13,sina 5ta na =-=-则 c osa 12,故选D.2.设备、/是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是()A.q+e?和 q B.乌 +2 ei 和 e2+2qC.3g _2e?和 4e?-6 勺 D e?和 e?+et【答案】C【分析】根据平面向量的基底的概念，判断各选项中的向量是否共
2、线，即可得答案.【详解】对于A,0+02和q-e?没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确;对于B,4+202和02+2。，没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；对于C,4e2-6el-2(3e,-2e2)二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底；对于D,和0+弓，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；故选：C7 13.在 A/8 c 中，B C=,A B=,C=3,则/=()工 5万 生 工 24 上A.6 或 6 B.6 c.3 或 3 D.3【答案】B【分析】由正弦定理求出 6或6 ,再检验即得解.s in力打 2【详解】由正弦定理得 了AA.
3、=兀 5 几因为“乃,所以 6或6,因为 BC=l A B=6,A C,:.A=-所以 6 .故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4.设Z,%是非零向量，贝，共线 是+W-W”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若向量,3是方向相反，则打一 卜同一W,再由充分必要条件的判定即可得答案.【详解】若向量,磁 线 且 反 向，贝/-也 同2+好-2耶H，%小 时+2|明，9邛|，=同2+林-2|啊所以B叫 叩 一 问，则不充分，若,B是非零向量，且1%卜 邛1,则B引=（汩 磅 即c
4、o s（哂=1解得（哂=0 ,则。，B共线且同向，所以“,B共线”是 卜W -W 的必要而不充分条件.故选：B.5 .如图，在平行四边形/8 C。中，是4 8的中点，D M 与 A C交于点、N ,设 方=&,AD=b,则 BN=（）【答案】A A l=-A C【分析】依题意可得A/MWD&CN D,即可得到 3,再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：依 题 意 在 平 行 四 边 形 中，A M H C D ,A M A N又M 是 的 中 点，D M 与4c交于点、N ,所以AZM/D K N D,所 以 正 一 石 15,AN=-AC所以 3,J N =JN-AB =-C-AB
5、 =-C AB +AD y AB =-AD-JB =-b-a所以 3 3、7 3 3 3 3故选：A6.一艘海轮从4 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达8处，在 C 处有一座灯塔，海轮在4 处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在 8 处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C 两点间的距离是（）A.1 0&海里 B.1 0 6 海里C.206 海里 D.20&海 里【答案】A【分析】先确定N C/8和乙4c8,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在A/8 C 中，AB=20,NC48=30。，4 c 8=45。，根据正弦定理得sin30=s
6、in451,解得8 c=10及（海里）.故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.7.设/(x)=sin,若函数y=恰好有三个不同的零点，分别为不、X?、工3（须 工2 毛），则玉+2工2+X 3的 值 为（）A.兀3兀B.43万C.574D.4【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.2x+=k7r+(k e Z)x=+(k e Z)【详解】由 4 2、,，得对称轴 2 8、XG 0,-8，由八,人 冗，9兀0+2 8 8,-k 2解 得47TX=当=0时，对 称 轴.8,%=1时,对称
7、轴5乃x=8由/(x)-a =O 得/(x)=a若函数夕=/（x）-0恰好有三个不同的零点,等价于函数 =/（）与夕=a的图象有三个交点,与 1V2作出函数/G）的图象如图，得八）2,则2y=aOX!产 X2：8J57T!8由图象可知，点（知/。）、&，/&）关于直线点&,/（与）、（小）关于直线5乃x=71X=8对称，则5兀7C玉+工2=彳X,+2x,+x,=X,+x,+x,+X,=因此，故选：C.8对称，则n 54 34 I-=4 4 2+3=彳【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.8.在平行四边形/8CO中
8、，AB=2,BC=,ZD/8=60。，点E为边4 8的中点，点尸为边8 c上的动点，则 诙 而 的取值范围是（）D.L 2【答案】B D E =AB -AD,D F =AB -xAD【分析】首先用基底4 8,NO表示 2，再利用向量数量积公式表示D E D F =+-x2,利用x 的范围求数量积的取值范围.【详解】因为在平行四边形N8CZ)中，AB =2,B C =,Z D A B =6 0,A D =B C =,所以D E =DA+AE=AB A D4 048 二以2、8560。=1.因 为 是 4 6 边的中点，所以 2.又点、F 在B C边上，设CF=XC6(0 x 1),贝 ij Z)
9、/7=DC+C77=+=/8 1力。，所以D E-D F =A B-A b -4 B-x A b =A B2+x A D2-AB-AD xAB-A D=x4+x-l-x=l+x 11+x _ _2 2 2 2.X 0 x l,所以 2 2,故。尸。尸的取值范围是H故选:反【点睛】关键点点睛：本题关键点是对动点厂引入参数X,设 炉=x G （OX 0 3D选项：=（3,1），心=（加-1,加），若/B A C为锐角,则上加*m-1 ,解得“丁，D选项正确；故选：AD./（x）=J s i n （cox+A 0,（y 0,|=2 s i n 2 x的图像【答案】A B D【分析】根据函数图像可确定
10、参数A的值以及最小正周期，判断A,利用特殊点坐标可求得巴即5兀2兀 兀 Tl r 1x =-x w -2 x +e -7 1,0 1得函数解析式，将 1 2代入验证可判断B；根据 L 3 6，3 ，结合正弦函数的单调性，可判断C；根据三角函数的图像平移可得平移后的函数解析式，判断D.f(x)=Asn(cox+(p A 0,6 0,|将12代入函数解析式可得 I 1 2 九兀 兀 兀2 x +0 =+2la i,k Z,，0 =+2kn,k G Z即 1 2 *2 3由 于 阳2,兀(p=故 3 ,则f(x)=2 s i n(2 x+yx=-/()=2 s i n(2 x+&/f-1 =2 s
11、i n f-+1 =-2将、1 2 代入I)I 3；I 12)I 6 3j5 nx _即函数V =/（x）的图像关于直线 一 1 2对称，B正确;2 7 1 7 1 兀2 x+-7 1,0 1当L 3 6 时，3 L，71,-,U由于正弦函数、=s i n x在L 2 上递减，在L 2 递增,x）=2 s i n（2 x+。-1-故 I 3）在3 1 2 上递减，在1 2 6_|递增，c错误;/(x)=2 s i n 2 x+I y =2 s i n 2(x-)+=2 s i n 2x将 I 3 J的图像向右平移6个单位可得 6 3 的图像，D正确,故选：A B D1 1.八卦是中国文化的基本
12、哲学概念，如 图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形A B C D E F G H,其中1 0旬=2,A.O A-O D =-14 i图2B.O B +OH =-W EC AH-FH=24 2+4 2 -V-2 OBD.在上的 投 影 向 量 为2【答案】A C D【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项.场 砺=|刀|比|cosNZOO=2 x 2 x c o s =-2VI【详解】1 1 1 1 4,A正确；由向量加法的平行四边形法则知丽+而 是 以 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 对 应 的 向 量，起点是,易
13、知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即 丽+丽 片 2次，而 方=一赤，因此 B 错误；22+22-2x2x2xcos =22+724,C 正确;OE-Og=2x2xcos =-2A/24,瓦.砺 _ _ 2代 _ *乐 在 丽 上 的 投 影 为 画 一 2 一 ，又 网=2,二砺在而上的投影向量为一 那=一 9无D 正确.故选：ACD.1 2.在一 BC中，角 小B、C 所对的边分别为“、b、c,且弘cosC+3ccos5=/,则下列说法正确 的 是（）A.若 5+C=2/l,则 8 c 的外接圆的面积为37tB.若 二，且 8 C 有两解，则 6 的取值范围为口3血 C.若 C=2/,
14、且“8 C 为锐角三角形，则 c 的取值范围为G及，3百）3-3D.若力=2 C,且sin8=2 s in C,。为A/3 C 的内心，则 工。8 的面积为 4【答案】ACD【分析】根据条件劝csC+3ccsB求出a=3.选项A：根据条件8+C=2 4 求角/根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B：由余弦定理得9=+。2-&防，将此式看作关于c 的二次方程，由题意得此方程有两个正解，求得6 的取值范围：选项C：根据正弦定理把边。表示为6 c o s/l,利用小8 c 为锐角三角形求角工的范围，从而求边c 的范围：选项D：利用正弦定理求出角C,从而判断出“8 C 是直角三角形，利
15、用直角三角形内切圆半径公式求 8 C 的内切圆半径，从 而 求 的 面 积.【详解】因为3bcosC+3ccos8=a2,所以由正弦定理，得3sin5cosc+3sinCcos5=asin4,即 3sin(+C)=asin J因为1+8+C=*所以$出(8+C)=s i n ,且s in/w O,所以a=3.A=-选项A：若8+C=2 4,则 3,27?=-=2 G _ r：所以 8 C 的外接圆的直径 sin J ，所以R=J3,所以“8 C 的 外 接 圆 的 面 积 为 即)=3兀，选项人正确；选项B：由余弦定理片=/+C2-2 6CCOS/得9=+C2-C,将此式看作关于c 的二次方程
16、%2-901-&历+/-9 =0,由题意得此方程有两个正解，故 曲)2-4 0-9)，解 得/G),所以选项B 错误；选项 C：由正弦定理，得 sin sin2J,即c=2acos/=6cos/,因为“8 C 为锐角三角形，所以0 J -0 A 220 B -0 兀 一 34-20 C -TT0 2 J -2,即 271271,兀 A，所以6 4,l l-c =6cos4 。/,3月)山 3 丁 6所以 1)、故选项C 正确;选项D：因为sin8=2 s in C,所以6=2c,因为4=2 C,所以sin8=sin(4+C)=sin3C,b _ c 2c _ c所以由正弦定理 sinB sin
17、C,得 sin3c sinC,即sin3c=2sinC,所以sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC,即 2 sin Ceos2 C 4-2 cos2 CsinC-sinC=2sinC,所以 2cos?C+2cos2 C=3,cos2 C=C=A=B=.rz rr所以 4,又因为力=2 C,所以 6,3,2,b=2y/3,c=yl3 f即 48C 是直角三角形,所以内切圆的半径为=(a+c-b)=-八 S=x辰2W所 以 的 面 积 为 2 2 2 4,选项D 正确.故选：ACD.【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:若已知一个角数，则另两角的范围不能是（，），如8 =兀 A /八2
18、 兀、-A G（0,）3,则 3，特别是在求值域问题时会用到.T T 7T4 5,C e（0,-）（不兀）在锐角三角形中，不要只考虑 2 ,还要想到另外两角之和在2 内,若再知其中一兀 .2 兀 八 兀 7 t H 兀 A=-C C 角,要考虑其它角的范围，如8=3,则 3 2,所以6 3；若知其中两角关系，也要考虑角 0n-3A 20 2/A 9-)=cos(兀-2(3)=-cos203)3 6=2sin2/7-1=2x-1 =故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.乙4=三 _ _ AQ=-AC1 6.在 春 8 c 中，3,48=6,N C=4,点尸、0
19、 满足N 尸=2尸 8,2,直线C P与 80交于点,M 为线段4 的中点，则线段CM的长等于V37【答案】F【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得C/0的长.【详解】根据题意，以A 点为原点，力 8 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于力 8 的直线为夕轴建立平面直角坐标系，根据题意求得 ),/G O),。(2,2石)，尸(4,0),。(1,灼，RC 广 且 x_6)y=_ (x _ 6)则3 0 所在的直线方程为1-6 即 5。产所 在 的 直 线 方 程 为 2-4 ),即N=-6(x-4)；*y=-6)联立3所在的直线方程与8Q 所在的直线方程得2 =一 6 6
20、一 4),解得737故答案为：F.四、解答题1 7.已知向量*与石的夹角为1 2 0 ,-2,W=l.求 2 1；求 -2 6 与否的夹角.【答案】（1）2 8 1 5 0。【分析】（I）先完全平方，然后代入数据，最后开平方即可；（2）直接套用夹角公式，代入数据即可求出答案.C a-2b =a2-4 a-b+4 b2=22+4 x2xlx-+4 2【详解】（1）由 7 2 ,得人 2*2 打A b（a-2b）b-a-2-1-2 乖）（2）设台与。一 2 b 的夹角为夕，则 I I I I I I I I ,又 0”1 8 0。,即 6 =1 50.1 8.“B C 中，内角 4 8,C 的对边
21、分别为a 也 c,已知 =4,b +4 c o s/（a c o s C +c c o s N）=0（1）求 28 C外接圆的直径：若 Z B/C=-3,求A/8 C 的周长.1 6 后【答案】1 5 VS +4.1 .,V15，一cos A=sin A=-【分析】（1）先利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求得 4,进而可得 4,再利用力8 c 外接圆的直径 sin力求解即可；（2）由向量数量积的定义可得加=1 2,再利用余弦定理求b+c 的值即可.【详解】（1）由+4cos（acosC+c c o s）=及正弦定理可得，sin 8+4 cos A（sin A cos C+sinC cos
22、4）=sin 8+4 cos 4 sin（4+C）=0因为/8 C,A+C=n-B f 且 sinBwO,所以sin 8+4 cos/sin(兀-8)=sin 8+4 cos 力 sin 8=0cosJ=-所以 4T t,A 0)1 9.已知函数 I 6J71其图像与X轴相邻两个交点间的距离为2.求函数/（X）图像的对称轴:7C兀判断/（X）在1%5 上的单调性.x=+（k e Z【答案】（1）对称轴为 2 12、n 兀（2）/。）在L 12 上单调递增,兀 K在卜2 5 上单调递减【分析】（1）由三角恒等变换得/(x)=V 3sin 269X+I 3再结合题意，根据周期性得=1,进而整体代换
23、求解即可;兀 兀（2）先根据整体代换方法求得函数的单调增减区间，再与 求交集即可./(x)=sin|2cox-|-4sin2 a)x+2【详解】(1)解：.1 6J百.C 1 c 4 1-COS2Gx c=sin 2cox cos 2cox-4 x-+22 2 2石 c 3 c=sin 2cox+cos 2a)x2 2=V3 sin26x+y j7 1因为图像与x 轴相邻两个交点间的距离为5,2万_所以，函数/(“)的最小正周期7=兀，即 2/一”，解得。=1,/(%)=百 sin(2x+所以 13人2%+=H +x=+（k G Z）由 3 2 得 2 12、）,所以，/（X）的对称轴为、=万
24、+丘 G*z）f (x)=V3sin|2x+I(2)解：由(1)得 l 3A2/CK-2x+2kn+(k e Z)k n-x kn+(k e Z)所以，由 2 3 2 ,得 12 12,2kn+2x+2kn+(k e Z)kit+x=3 x,B D=2x,在及)中由正弦定理得 3 x ,2x,在中用正弦定理求得a ,6的值，从而求得A/IBC的面积.1-t a n,32b2=(b2+c2-a2【详解】由,b2c2-a2c o s 力 _及余弦定理-2 6 c 得,2(6)(2b=2bc c osA 1-ta n A=b=c c osA-33b(百s i n 8=s i n C c o s A-
25、s i n A3又由正弦定理s i n 8 s i n C 得且i n 3s i n(/t +C)=s i n C c o s A-由 s i n B=s i n(n -A-C)=s i n(4 +C)得、s i n A c o s C+c o s 4 s i n C =s i n Cc o s A-s i n A s i n C即3Gs i n A c o s C =-s i n/s i n C即 3由s i n/w O得 t a n C =V i ,c =因为0 C 7 T,则 3 .(2)设AD=3x,B D=2x,A D C D 3x 2在AC。中由正弦定理得，s i nZ A C D
26、 s i n%s i n 6 0 s i n 4 ,一百s i n A=则 3 x ,在 B C。中由正弦定理得,_B_D_ _ C D s _2_x_ _ _2_ _s i n Z B C D s i n 3 _ s i n 6 0 s i n 5,s i n 8=则 2 x ,AB B Csin A C B s i n A在“8 C中由正弦定理得，则“3 ,b=5,所以S b s i n C =22 6A C l Ox _ a hs i n B V 3 V 3 5/33 x 2x,2 2.如图，A,8 是单位圆上的相异两定点（为圆心），W A O B =9（。为锐角），点 C为单位圆上的动
27、点，线段4C交线段0 8 于点河（点“异于点、B）求 方 荔（结果用6 表示）；若8=60 求 归 酝 的取值范围；AM_ _ _ _=f（/）设 0 M =/。8（0，1）,记A C,求/（）的最小值.【答案】（l）c os-l （百）；26-3【分析】(1)由 方=砺-两，再结合平面向量的数量积，得解；a e j 区,兀 G4 -C S=-s in f a +|(2)设/=a,1 3 人化简可得 2 1 3人再根据正弦函数的图象与性质，得解；设 前 7=彳 项 0/1 1),由 两=/历，结 合|卜 1,推出/)=%=2 T ,再利用分离常数法和基本不等式，得解.【详解】(1)解:04-A
28、B=04-(03-04)=O4-0B-O42=cos0-l(2)解：设 N Z O C =a,T TZBO C=a-则 3,=(p-O C)(pB-OC)OA.OB_a4.OC_OC.OB+OC2=c os -c os a-c os|a-四+1 =-V 3 s in a +-|a|3 I 3；2 I 3)f U J7 1a +一 又32兀4兀T?T,则 瓦 3e(O,3)设/M =/L4 C(0/l l),贝=因为。面=1而,所以 O M =Q4 +/M =Q 4 +/l 4 C =Q +/l(OC C U)=(l 4)O/+/l OC =fO8 t-1-2 OC=-O B-OA所以 4 2|oc|=i -rOB-OA=1 ()2-2-c os +(-)2=1因为 ,所 以“，即，i 3 A,t2-Z +lX =-化简得，2 T ,/(0=(2T)2-3(2T)+32 T所以=(2-Z)+-3 4 2 6-32 t当且仅当2 一 一三7 一，即，=2-百 时，等号成立,故/)的最小值为2 G-3.