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1、2022-2023学年天津市和平区高二上学期期末数学试题一、单选题I.直线X-百 y+2=0 的倾斜角为（）兀 c 兀 -2兀 -5兀A.-B.-C.D.63 3 6【答案】A【分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角.【详解】设倾斜角为。，直线x-6 y+2=0 的斜率为乎./.tanrz=,0 a 0,1 0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1,则双曲线C的渐近线方程为()A.y =2A/2X B.y=/2 x C.y =-x D.y =x2 4【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到 =3,计算渐近线的斜率.a【详解】如图，可知焦点F到渐近线的距离与顶
2、点A到渐近线的距离之比为3：1,即 =3,2=3 =2 0，a a a2所以双曲线的渐近线方程为y =2&x.9 .已知尸是抛物线尸=以上的一点，过点尸作直线x=-3的垂线，垂足为，若。是圆C：(x+3+(y-3=l上任意一点，则|P Q|+|P|的最小值是()A.3后-1 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】画出抛物线V=4 x的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将伊。+归|转化为C,P,F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线V=4x的焦点是F(1,O),准线方程是4-1 ,P 4与准线的交点是用，圆C的半径为r =l,圆心为C(3,3),依题意作下图:由图可知：|p q
3、 z|p q-r=|p q _ i,.归0+归”性/0-1+归4|+|闾=|尸0+|尸|+2-1=|尸 1+归耳+1 ,当 C,P,尸三点共线时|PC|+|PF|最 小=存 了 不=5，：.P+PH的最小值是6；故选：D.二、填空题10.抛物线C：V=8 x 的 焦 点 坐 标 为.【答案】（2,0）【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.【详解】由已知V=8 x,所以。=4故5=2,所以焦点坐标为：（2,0）故答案为：（2,0）11.已知a e R,若直线4：y+1 =0 与直线4：x+（a-l）y+2=0相互垂直，则。=【答案】y#0.5【分析】根据直线垂直的充要条件列出方程，解之即
4、可求解.【详解】因为直线4：or+y+l=。与直线4：x+（-l）y+2=0相互垂直，所以。+（。-1）=0,解得：q=g,故答案为y.12.在等差数列%中，若%+%+。7=1 5,则24-%=.【答案】5【分析】根据等差数列的性质由。3+%+%=15可得：%=5,再利用等差数列的通项公式可得2%-即=q +4 =%,进而求解.【详解】设等差数列 4的首项为，公差为d,因为“3 +%+%=1 5,由等差数列的性质可得：/+4+%=3%=15,4 =5,又 2ax an=2a l +14 d-q -10 =q +4 d =%,所以 2a 8 -%=5 ,故答案为：5.13 .若正三棱柱A B C
5、-A B C的所有棱长都相等，。是A G的中点，则直线AE 与平面8QC所成角的 余 弦 值 为.3【答案】-#0.6【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可：如图，取A C中点O,连接。仇。，则有_ L OB,OD OC,OB OC,所以以08,0C,00为x，y，z轴正方向建系如图，设A B =2,则 A(0,-1,0),(0,0,2),B(V 3,0,2),C(0,1,0),A D=(0,1,2),D B=(6,0,0),D C=(0,1,-2),设平面8QC的法向量为5=(尤,y,z),则有I,令 y=2,则 z =l,x =0,D C m -y-2z=0所以施=(0,2,1),设
6、直线AO与平面耳。所成角为e,.AD-m 4则 sin 0-cos =n=一,ADm 5兀 3因为0,-,所以cosO=：3故答案为：1 4.设双曲线鸟一 =1 （0,力 0）的左焦点为 ，过 作直线/与圆/+丁=/相 切 于 点 T,a b/与双曲线的一条渐近线交于点Q,若T 为线段K。的中点，则 双 曲 线 的 离 心 率 为.【答案】2【分析】设双曲线的右焦点为尸2,由题可得|Q闾=2。，结合条件可得Q（a M，进而2c2=2 小2 即得.【详解】由题可得如图双曲线，设双曲线的右焦点为K，因为7 为线段耳。的中点，O 为耳心中点,所以。T/Q 0|O 7|=段，又。7 1。兄，则。耳1。
7、心，由 的=a,则依图=2a,|Q周=,1A所以|OQ|=闺 用=c,又 tanN QO E=所以。（4力），在R t 乙中，2c-b=2a-2b,所以c =2 a,即e =2.故答案为：2.三、解答题15.己知等差数列 4 的前”项和为S ，公差 为整数，邑=2 1,且,a2+(1)求。“的通项公式；求数列,的前 项和。.laan+l J【答案】氏=5 n-3%成等比数列.【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可:(2)利用裂项相消求和.【详解】(1)因为5 3=3+3 =2 1,所以q+d =7,又因为4,a2+l,%成等比数列，所以+1）2=4%，即（q+d +l）2 =a；+
8、6a|d ,所以 a：+6q d =64 ,联立。+d =7口+6解得4=2d=5所以=q +5（/?-l）=5/2-3.5 5 1 1由（1）可得 勺4,用 一（5 -3）（5 +2）-5 -3 -5 +2 所以 T,仕 +p 7 7 1 （2 1）（7 1 2 j 1 1 2 1 7；（5-3 5n+2j 2 5n+2 I O n +4,1 6.如图，在四棱雉 中，P A _ L 平面 A B C。，A B/C D,且 A 3 =l,PA=,A B 1 B C,N 为 的中点.C D=2,BC=2 五，pDB 求证：AN 平面PBC；(2)求平面P D C与平面P B C夹角的余弦值.【答
9、案】(1)证明见详解2余弦值为【分析】(1)根据线面平行的判定即可证明相面平行.(2)利用向量法即可求得二面角的余弦值.【详解】(1)如图所示所以 NM 且 MW=，C2 2又因为且AB=；OC所以NMAB,N M =A B,所以四边形M03A为平行四边形.所以A N B M,又 因 为 平 面 P8C,B M u 平面P8C所以AN 平面P8C.(2)如图所示取 D C 中点为E,以A为空间直角坐标系原点，AE为x 轴，AB为y 轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，所以4（0,0,0）,*0,0,1）,8（0,1,0）,）（2 ,-1,0）,C（2 ,l,0）设平面 P8C 的法向量为a=（x
10、,y,z）,因为 8P=（0,1,1）,BC=（272,0,0）BP-m-y+z=0/、则 r 所以令y=i,得加=（0,1,1BCm=2yj2x=0设平面尸。C 的法向量为=（a,6,c）,因为P =（2 0,-L T）,DC-（0,2,0）PDn=2y/2a-b-c=0 _ /厂 则 所以令=血，得=夜,0,4DGn=2b=0 7所以/丽m=n 友4=2又因为平面尸“C 与平面PBC夹角为钝角2所以平面加C 与平面尸BC夹角的余弦值为1 7.已知椭圆+=1（匕 0）的右顶点为A,下顶点为用，上顶点为层，椭圆的离心率为孝,且|A 4|=6.（1）求椭圆的标准方程；设过点修的直线/与椭圆相交于
11、点尸（不在坐标轴上），当 因 为=|用 时，求耳区P的面积.【答案】（1）工+产=14 逑3【分析】（1）根据离心率，同4|=石等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；（2）得到点P 为以外（0,1）为圆心，困鸟|=2 为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），从而联立圆与椭圆方程，求出点P 坐标，从而利用5“7=；忸田|力求出答案.【详解】（1）由题意得：A（a,0），M（0,为，故 恒 魂 卜 协+/=亚,又 =苴,c2=a2-b2,解得：c J 3M2=4,/=1,a 2故椭圆的标准方程为工+2=1；（2）因为内为|=|易所以点P为以巴(0,1)为圆心，忸鸟|=力=2 为半径的圆与椭圆的
12、交点(不在坐标轴上),其中以B为圆心，忸 用=2 为半径的圆的方程为V +(y_l)2=4,联立Y+(y _ l)2=4 与?+丁=1,得：3y2+2 y-l=0,解得：或=-1，其中丫2=-1时七=，点尸位于y 轴上，不合题意，舍去；当时，日+1=1,解得：=逑，3 4 9 1 3故 S B,B;P =BB2Xl=X 2 XY=Y-18.数列%的前项和为 S.,且 S,=2(e M),数 列 圾 满足 4=2,%=3%+2(”N2,eN)(1)求数列 q 的通项公式；(2)求 证:数 列 也+1 是等比数列；(3)设数列%满足。,=急，其前项和为刀,，证明：Tn.【答案】(1)a,=2-l(
13、“e N*)；证明见解析；证明见解析.【解析】(1)当“2 2 时，%=5“一 5,1=2-(-1)2=2-1.检验，当 =1 时q=l=2 x l-l符合，即可得解；(2)当2 2 时，根 据 与 二=半 邙=3,即可得证；加+1 如+1(3)利用错位相减法可得：7；=1-(+1)，)，即可得证.【详解】(1)当=1时，|=5,=1.当”2 2 时，an=Sn-Sn_t=n2-(w-1)2=2 n-l.检验，当“=1时4=1 =2 x I-符合.所以 q =2-l（，ze M）.（2）当“2 2 时,2+1%+i3一+2+1 3（%+1）=3如+1 如+1而+1 =3,所以数列 2+1 是等比数列，且首项为3,公比为3.(3)由(1)(2)得+1 =3-3 T =3,4 2-1+1 3=3-咱)所以 7,=。+，2+。3+%+%=1 1扑3.0+5.0 +(2-3陪)+(2 一 陪)京Q+3.Q+5.0+(2f&+(2 一1)。由-得t-m所以7:=l-(+l)(g).因为 0 ,所以1.【点睛】本题考查了利用S“和。”的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题.