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1、2022-2023学年天津市西青区高二上学期期末数学试题一、单选题I.已知向量=0-2,3),机=(-2,%,-6),若 /，则归的值为()1A.-4 B.4 C.4 D.4【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解._1 _ _-2 _【详解】因为Z/R所以三一不一。解得人=4,故选:D.2.抛 物 线y=4 x 2的焦点坐标是()A,(B.()C.(加 D.1喘【答案】D2 1.2x=y【详解】抛 物 线 y =4x 的方程化为标准方程为：4-,p=-(0,)故 8 ,则 焦 点 坐 标 为 1 6 ,故选：D.a =1 +-(1)3.数列伊工中，若4句，,则=()35J _A.2
2、B.3 C.2 D.4【答案】B%=l,a0=1 4-(n 1)【分析】a-，先求出,再由 2 求生,由 求 即 可.：at=l,a=1 +(n l)【详解】q-1 5,1 ,1 3%=1 +=2%=1 +-=1 ,3 2 2 ,2故选：B.4.圆（“一 7）2-&-1）-=4 与/+?=1恰有三条公切线，则实数a 的 值 为（）A.拉6 B.2 G C.2&D.2也【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解.【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，则 圆 心 距 犷 1 =2+1,解得=2&,故选:D.工+二=1 C:工-4=1（4 9）5.椭圆25 9 与
3、曲线 9-k 2 5 的（）A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.曲线C 是双曲线【答案】AC:-匕=1（左 9）C-.+=（k【分析】根据椭圆的几何性质，曲线 k-25 化简为 9-k 25-k 即可解决.【详解】对 于 椭 圆 石 5一可得焦点在X轴上，4=5,6=3,=岳 3=4,4所以焦距为8,离心率为，焦点为（4，）,C:-=ia 9）C：工+L=I（%，25-%0,且25-左 9-,所以曲线C 表示焦点在歹轴上椭圆，所以 4=2 5-1,6 =7 1,。=J（25_左）_（9_1）=44焦距为8,离心率为贝5-%,焦点为（0,4）,故选：A6.如图，在平行六面体中，N C
4、与 8。的 交 点 为 设 4 4 =a，4 R =4 4 =c,则下列向量中与与也相等的向量是（）1 -I 7 一 a b+cA.2 21 -1 -a b+cC.2 2【答案】BB.D.a+b+c2 2a+h+c2 2=+=c+-B D【分析】根据 2 代入计算化简即可.B、M=B、B+BM=c+丽=+!前+元、Z+U+W【详解】2 21 厂2 2故选：B.7.已知等比数列 助 中，有的即=4劭，数列 加 是等差数列，其前项和为S，且 e=劭，则S/3=（）A.26B.52C.78 D.104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得%=4,再由等差数列的求和公式和性质，可得答案.【详解】等比数
5、列“中，哂=血,可得；=4%,解 得%=、等差数列 4 中d=%=4,贝 IjS”=；xl3（4+砥）=134=13x4=52故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.,第8.若直线3x-4y+=0（e N.）与圆c：。-2）一+/=片 区 0）相切，则数列 ，为等差数列；圆 C 可能经过坐标原点；数列 J 的 前 10项和为23.以上结论正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C_ +6【分析】利用距离公式可求“”一 丁，从而可判断的正误，由双=2可判断的正误，计算出E。后可判断的正误.【详解】因为直线以一外
6、+=0(%*)与圆C:(x-2)2+/=(a 0)相切，,|3 x2 +0 +|d=I=(in所以圆C的圆心(2,0)到直线的距离,3 2+不，+6 7%=-a=故 5 ,则 5 ,故错误；7数列“是首项为二公差为的等差数列，故正确；当 =4 时，4=2,圆 c经过坐标原点，故正确；+6 1 1 0 x(7 +1 6)an=-/_ -x-=2 3因为 5 ,所以包工的 前 1 0 项 和 为 5 2 ,故正确.故选：C.9.如图第1 个图案的总点数记为,第 2个图案的总点数记为电，第 3个图案的总点数记为名,9 9 9 9-+-1-4 ,H-=依此类推，第个图案的总点数记为见,则 叩 3%4%
7、2 0 2 2 出0 2 3 ()n=1 n=22 0 2 1A.2 0 2 2n=3 n=42 0 2 2B.2 0 2?n =52 0 2 3C.2 0 2 22 0 2 2D.2 0 2 3【答案】A9 9 1 1 1-=-=-=-【分析】由题意可得22时,=3 -3,从而可得的向(3-3)x 3 -1 ，再利用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，当1,eN*时，a=3n-3t9 _ 9 _ _ J_ _ _又当”1,“eN/时，(3 -3)x 3 (n-1)n n-n旦+2+2+.+9.a2a3 a3a4 aAa5 2 0 2 2 2 0 2 3=储 丹+册 一 壶）,1 2 0
8、 2 1-2 0 2 2 -2 0 2 2故选：A o-=1（4 0,方 0）2 ，2 7，Z 7 C1 0 .设尸是双曲线/b2 与圆X +旷=/+在第一象限的交点，k用分别是双曲线的左，右焦点，若 tan N P?y；=3,则双曲线的离心率为（）.A.而V ioB.2c.6 D.E【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到1 尸用T尸=2 ，tan N P/y；=3,求出|P用=3 a,1 帆|=a,再由题意得到/耳 鸟=9 ,即可根据勾股定理求出结果.【详解】解：根据双曲线定义：I P T l=2 a,tan Z P/y；=3,./；|=3|%I,.|P6 3 a,I 货|=a,r=
9、4 a =c,.工是圆的直径，V io“KPF?=90。,在 R tZ X K 中，（34+/=（2%得 =.故选B.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题1 1 .直线x +，-l =与直线2 x +叼-2 =垂直，则实数优的值为.【答案】-2【分析】直接利用两直线垂直，求出 详解直线*+-1 =0 与直线2 x +沙-2 =0 垂直，所以2 +加=0,解得：m =-2故答案为：-22 2-=1(6(0)r 1 2.已知双曲线C:2 a 一个焦点到其渐近线的距离为12则双曲线C 的实轴长为【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离
10、公式求出。=2进而可求解.yfa 5/2y=-.x=x【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为 2,/6ad=八2=八 5/2右焦点(阮%距 离 为 匕+1 ，解得。=2,所以双曲线的实轴长为2病=4,故答案为：4.13.已知圆r+/-4 x-6 y =(),则过点“(I，1)的 最 短 弦 所 在 的 直 线 方 程 是.【答案】+2匕 3=0【分析】由题知，弦最短时，圆心与点轨 的连线与直线/垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点阴 的连线与直线/垂直，因为圆/+j 4 x-6 y =0,即(x-2)+(y-3)2=1 3,圆心为：(2,3),所以 2-1,所以
11、 J 2所以所求直线方程为：+2夕-3=0.故答案为：x+2y-3=o14.在直三棱柱/s c-4 8 G 中，ZBCA=90,D,尸分别是4 4,4 G 的中点,B C =C A=c q,则B D与AF所成角的余弦值是同 1730【答案】10#10【分析】已知4 4 G 是直三棱柱，取8 c 的中点O,连接D F,可得4尸和尸。所成角即为8。与力尸所成角.求出边长，利用余弦定理求解角的大小.【详解】D,尸分别是4 A,4 G 的中点，取 8 c 的中点0,连 接 。，/。，FD,C C L C FD=LBC=BO则8C/FZ）且 2,所以BDFO为平行四边形，BD/FO那么A F和F O所成
12、角即为8。与A F所成角.:设 8C=C/=CC|=2,ZBCA=90 ,4 4 G 是直三棱柱，A O =/5 t A F =旧,FO=BD=A10AF2+FO2-A O22AFFOcoszLAFO=三、双空题1 5.抛物线C：K=8 x 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 是.若点A 在抛物线C 上且与焦点的距离为 6,则点A 的坐标为.【答案】4（4）或（【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决.【详解】由题知I,抛物线C：V=8 x,开口向右，P=4,焦点为）,准线为=-2,所以焦点到准线的距离是4,因为点A 在抛物线C 上且与焦点的距离为6,所以点A 到准线的距离为6,所 以%
13、+2 =6,即x,=4所以1=32,解 得=4五，所以点A的坐标为G4句或4-4&）故答案为：4；（4,4&（4T 0）1 6.数列 吗 的 前N项和为，S,=2-a”，数列也；脑前项和为4,则【答案】43【分析】通过=s0-s,i,得 到 2a,求出外的值，则 ,则 求 出G J ,利用等比数列求和公式即可得至j 41LN2时，%=S._S“r=2-见-（2-a,i）,化为：a=2a,=1 时,4 =5 =2-4,解得 4 =1.,数 列 是 等 比 数 列,首 项 为1,公比为四、解答题1 7.圆C 经过坐标原点和点（4,0）,且圆心在x 轴上.（1）求圆C 的标准方程；（2）己知直线/：
14、3x+4 y-l=与圆C 相交于4 8 两点，求 弦 长 的 值;（3）过点尸（4 对引圆C 的切线，求切线的方程.答案】a-2)。/=4 2 6(3)x=4 和 3x-4y+4=0【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据d=J求出斜率，写出方程.【详解】（1）由题意可得，圆心为（2，）,半径为2,则圆C 的方程为（、-2）一+/=4；（2）由（1）可知：圆C 的半径/=2,d 二|6-1|二设圆心C（2，）到，：3x+4 y-l=0 的距离为4则 一 5 一，所以|/8|=2 F=2（
15、3）当斜率不存在时，丁 =4 为过点P 的圆C 的切线.当斜率存在时，设切线方程为V-4=M x-4）,即日-y +4-4 4=2%+4 一 4仁|4-2%|3 C I -/二 r Z k=S +/S +公，解得 43x-4歹 +4=0综上所述：切线的方程为x=4和3x-4y+4=01 8.在等差数列也 中，已知公差 吗=1 且4，&+1，%+6 成等比数列.求数列也 的通项公式；记b“=n-2”,求数列，J 的前项和【答案】（1）。=7 (-1)2向+2【分析】（1）由己知条件可得（d+2）2=2 4+7,从而可求出公差”，进而可求得数列M J的通项公式，（2）由（1）得，=.2”,然后利用
16、错位相减法求Z，【详解】（1）因为的，a2+,的+6成等比数列，所以52+1）2,（%+6）又。尸1,所 以（d+2）2=2 d+7,所以 d=l 或d=-3 （舍），所以an=H；（2）因为4=2 ,所以9=4+4+”=1 x2 +2 x2 2+3 x2 +x2 ,fy 2 7；=l x22+2 x 23+3 x 24+-+（M-l）x2 +w x2,+1所以-1=2 +2 2 +2 3+2 -/ix2 =2 -2-x2 +i所以北=(7)*+21 9.如图，四棱锥尸_488中，尸4 J平面Z 8 C O,底面四边形Z8 c o满足1 8,4),D C _L A D ,PA=4,A D =D
17、 C =2AB=2 1是 PD 的中点（1）求直线A E到平面P B C距离；（2）求平面P D C与平面P B C夹角的余弦值.4历【答案】（1）丁 千【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线/E到平面P 8 C距离.（2）求出平面D C与平面尸8 c的法向量，利用向量法求出平面P O C与平面尸8 c夹角的余弦值.【详解】（1）在四棱锥P-4 8 C。中，尸4 _1平面/5。，AB1AD,D C 1 A D分别以尸为x，z 轴建立空间直角坐标系.4I ，4 /:叫A BP/=4,/=OC=2/8=2,E是尸。的中点4(0,0,0),0(0,2,0),尸(0,0,4),(0,1,
18、2),5(1,0,0),C(2,2,0)ZE=(0,1,2),P5=(1,0,-4),PC=(2,2,-4),PA=(0,0,-4)设平面P8C 的法向量为7=(x j,z)J n PB=x-4 z=0贝/方卮=2%+2、-42=0 取工=4,3=(4,2,1),=0,Z E 2 平面4E7/平面 BBC4 _ 4/21直线/E 到平面P8C 距离为 (2)平面PBC 的法向量7=(4,-2,1),而=(0,2,T),设平面PDC的法向量加=(。，瓦。)in PD=2b-4c=0则 应,=2。+2b 4c=取人=2,加=(0,2,1),设平面PD C与平面P8C 夹角为。1”(0)2 0.已知
19、中心在原点，焦点在*轴上的椭圆C 的离心率为2,且 经 过 点 I 2人(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点尸(2/)的直线4与椭圆C 相交于不同的两点A,B,满足苏方=万，？若存在,求出直线 I的方程；若不存在，请说明理由.占+其=1 ,y =L【答案】(1)4 3 (2)存在直线4满足条件，其方程为 2【分析】(1)先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由可得到a,b,c的值，进而得到椭圆的方程.(2)假设存在直线满足条件，设直线方程为y=a-2)+i,然后与椭圆方程联立消去夕得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应A 得到4的范围，进而可得到两根之
20、和、两根之积的表达式，再 由 方.而=而,可 确 定k的值，从而得解.x2 y2=1(6 0)【详解】(1)设椭圆C的方程为/b2,C 1 3a 2,且经过点 2、1 3 17 =14 c 4c,解得。2=1,a2=4,户=3,故椭圆C的方程为4 3 .(2)若存在直线/满足条件，由题意直线/存在斜率，设直线/的方程为N=HX-2)+1,x2 y1 1 4-=1 4 3由 歹=女(工-2)+1 ,得(3 +4-)x 2 _ 8%(2左 一 1)、+1 6 4 2 1 6左 一8 二 0因为直线/与椭圆C相交于不同的两点A ,B,设A,8两点的坐标分别为。，乂)，区，),所以 A=(-8/2 _
21、 1)/_ 4 0整理得 3 2(6%+3)0k -解得 2,8跃 2人-1)6k2-16k-S又 为+三 寸 中2=3 +4公-2(X j -2)(x,-2)+(y,-l)(j,-1)=f因为P4-PB=P M，即 4 ,a-2)(X 2 -2)(1 +F 归尸例|2=：所以 4即【X i%-2(芭 +W)+4 (1 +-)=j6二一16人 一8.8%（24一 1）,2、4+4/5,1-；-2 -+4（1 +T）=-二 一 k=-所以 L 3+4K 3+4尸 3+4K 4,解得 2.k-女=2因为 2,所以 2.1I y=-x于是存在直线4满足条件，其方程为 2.【点睛】直线/与圆锥曲线相交于两点4 8时，一般都设（演,凹）,8（七，%）,直线方程为，=h +b,把直线方程代入圆锥曲线方程得x的一元二次方程，由韦达定理得可十马广阳，再把其他与4 8有关的条件用不应表示出来，把 刚 才 的%+%户/2代入，化简整理就可得到要求的结论.这是解析几何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程.