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1、2022-2023学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选 择 题（本大题共8 小题，共 16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是中心对称图形的是（）2.将抛物线y=/向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A.y=%2 4-2 B.y=x2 2C.y=(%+2)2 D.y=(x 2)23.不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（）A.1C4D44.如图，点4,B,C,。在。0 上，DAB=40%则NDCB的度数为（A.80B.100C.140D.1605.下列事件：篮球队员在罚球线
2、上投篮一次，未投中；在平面上任意画一个三角形,其内角和是360。；明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.图中的五角星图案，绕着它的中心。旋转冲后，能与自身重合，则n 的值至少是（）A.144B.120C.72D.607.已知二次函数y=a M-2 a x +a-4 的图象与x轴的一个交点坐标是（3,0）,则关于x的一元二次方程a/-2ax+a-4=0的两个实数根是（）A.%!=1,x2=3B.XI=1,%2=3C.=-5,&=3D.%!=7,x2=38.下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()A.汽车从甲地匀速
3、行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB.当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC.圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x第I I卷(非选择题)二、填空题(本大题共8小题，共16分)9.一元二次方程/-4=0的 实 数 根 为.10.如图，是0。的弦，。_148于点。，若4B=8,OC=3,则。半径的长11.若关于x的一元二次方程/+%+上=。有两个相等的实数根，则k的值为.12.若一个扇形的半径是3cm,所对圆心角为60。，则这个扇形的面积是 cm2.13.已知二次函数的图象开口向上，且经过点(0,1),写出
4、一个符合题意的二次函数的表达式.14.如 图，在平面直角坐标系xOy中，点4(4,0),8(3,3),点P是。48的外接圆的圆心，则点P的坐标为1 5 .十八世纪法国的博物学家C 布丰做过一个有趣的投针试验.如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为风 d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为小可以通过这一试验来估计兀的近似值.某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验,取，=g d,得到试验数据如下表:试验次数1 5 0 02 0 0 02 5 0 03 0 0 03 5 0 04 0 0 04 5 0 05 0 0 0相交频数4 9 56 2 37 9 99 5 41
5、1 2 31 2 6 91 4 3 41 5 9 0相交频率0.3 3 0 00.3 1 1 50.3 1 9 60.3 1 8 00.3 2 0 90.3 1 7 30.3 1 8 70.3 1 8 0可 以 估 计 出 针 与 直 线 相 交 的 概 率 为（精确到0.0 0 1）,由 此 估 计 兀 的 近 似 值 为（精确到0.0 1）.1 6 .原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系“O y,实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：TH）与水平距离x（单位：小）近似满
6、足函数关系y =a（x h）2+f c（a ”，=”或三、计算题(本大题共1小题，共5分)1 7 .解方程：x2 6 x +8 =0.四、解答题(本大题共1 1小题，共6 3分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 8 .(本小题分)已知二次函数y =X2-2X-3.(1)在平面直角坐标系x Oy中，画出该函数的图象；(2)当一3Wx0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.-5 -4-3-2-1 0-1-2-3-4-5AX1 9 .(本小题分)已知关于%的一元二次方程%之+m x 4-m-1 =0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果方程有一个根为正数，求加的取值范围.2 0 .
7、(本小题分)下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.己知：如图，0 0及0。外一点2.求作：过点P的O 0的切线.作法：连接0 P,分别以点。、点P为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧交于点M、点N,作直线M N交0 P于点7；以点7为圆心，TP的长为半径作圆，交。0 于点4、点8;作直线P4,PB.所以直线P 4 PB就是所求作的。的切线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：连接04.0P是。7的直径，OAP=。（）（填推理的依据）.0 A 1 AP.又 0 A 为Q。的半径，直线P4是。的切线（
8、）（填推理的依据）.同理可证，直线PB也是。的切线.21 .（本小题分）某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构.2022年7 月份该科技园的总收入为500亿元，至的月份达到7 20亿元，求该科技园总收入的月平均增长率.22.（本小题分）在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明.请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程.圆周角定理：,条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：。中，曲所对的圆周角为NB4C,圆心角为NBOC.求证：4BAC=34BOC
9、.证明：情况一（如图1）：点。在NB4C的一边上.:0A=0C,:.Z.A =Z.C.v Z.BOC=Z-A +/.C,：.Z.BOC=244即NB4C=；/BOC.情况二（如图2）：点。在 A C的内部.情况三（如图3）：点。在NBAC的外部.23.（本小题分）在一次试验中，每个电子元件=）的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等.用列表或画树状图的方法，求图中4 B之间电流能够通过的概率.A-1 II 1-B元件1 元件224.（本小题分）如图，4B是。的直径，AC,BC是弦，过点。作OCBC交4c于点。，过点4作。的切线与。的延长线交于点P,连接PC.（1）求证：PC是。的
10、切线；（2）如果48=24CP。，0D=1,求PC的长.25.（本小题分）数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为10dm3,底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm,且不考虑接缝）.某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小.下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)设长方体包装盒的底面边长为x d m,表面积为ydrn?.可以用含的代数式表示长方体的高为要dm.根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2 x 底面积+侧面积.得到y 与x的关系式：(0 x%，直接写出t的取值范围;(2)若n m 故答案为5 7 r.1 3.
11、【答案】y =/+1（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质得到a 0，由于二次函数图象经过点（0,1）,则当a取1,b取0时可得到满足条件的一个二次函数解析式.解：设二次函数解析式为y =a/+bx +c,二次函数的图象开口向上，a 0.二次函数图象经过点(0,1),C-1,当a取1,b取0时，二次函数解析式为y =/+1.故答案为：y =/+i.(答案不唯一)14 .【答案】(2,1)【解析】【分析】利用外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，找出点P 的位置，利用网格图确定点P 的坐标.解：分别作出边0 4 0 B 的垂直平分线，则它们的交点即为 04 B 的外接圆的圆心P,如
12、图，则 P(2,l),故答案为：(2,1).15 .【答案】0.3 183.14【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断即可.解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为0.3 18,由此估计兀的近似值为：击。3.14.U.oloU故答案为:0.3 18；3.14.16.【答案】解：(1)：3.6.(2).【解析】【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；(2)设着陆点的纵坐标为3 分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出心和d 2,然后进行比较即可.解：(1)根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(4,3.6),实心球竖直高度的
13、最大值是3.6m.故答案为：3.6.(2)把(0,2.0)代入y =ax-4)2+3.6得:16a+3.6=2.0,解得 a=0.1,y=-0.1(x 4)2+3.6.当y =0时，x =10(负值舍去)，di=10z n.在y =-0.09(%一 4 产+3.6中,令y =0得：-0.09(%-铲 +3.6=0,解得x =2V 10+4(负值舍去)，:.d2=(2-/10+4)m，v 10 2同+4,d V(I?9故答案为：.17 .【答案】解：(*一2)(*-4)=0,x 2=0 或x 4 =0,所 以 2,x2 4.【解析】【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x -2=0或x -4
14、=0,然后解两个一次方程即可.18 .【答案】解：=2%一3 =。-1)2 4,则抛物线的顶点坐标为(1,一 4),函数图象如图所示:(2)观察图象得：当 =0时，y最 小=-3；当x=-3 时，y炭大=12,.当-3 S x S 0时，y 的取值范围为 3 y 0,方程总有两个实数根.(2)x=y解得 X=-1,%2 =m+1，方程只有一个根是正数，:.m+1 0 m 0,然后根据判别式的意义得到结论；(2)先利用求根公式解方程得与=-1,不=-瓶+1，再 根 据 题 意 得 到+1 0,从而得到小的范围.20.【答案】(1)解：如图，PA.P B 为所作;(2)90,直径所对的圆周角为直角
15、；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线.【解析】【分析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；(2)连接0 4 先根据圆周角定理的推论得到N 04 P =90。，O A L A P,然后根据切线的判定定理得到直线P 4 为切线，同理可证，直线P B 也是。的切线.21.【答案】解：设该科技园总收入的月平均增长率为X,根据题意得：5 00(1+%)2=7 20,解得：x1=0.2=2 0%,乂 2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该科技园总收入的月平均增长率为20%.【解析】【分析】设该科技园总收入的月平均增长率为,利用2022年9 月份该科技园的总收入=2 0 2 2 年7月份该科技园的
16、总收入x (1+该科技园总收入的月平均增长率/，可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值，即可得出结论.2 2 .【答案】证明：情况二：当点。在N B4 C 的内部，如图2：连接4。并延长交0。于点D,OA=OC,:.Z.C=Z-CAO.v 乙COD=z C 4-Z-CAO,乙COD=2Z.CAO.同理可得：乙BOD=2乙BAO,:.Z.COB=乙COD+乙BOD=2Z,CAO+2/-BAO=2Z.BAC,1 ZLBAC=C O B；情况三：当点。在4的外部，如图3：连接4。并延长交。于点E.图3V OA=0 C,乙C=Z-CAO,v Z-COE=z C +乙CAO,:.Z-COE=2Z-C
17、AOf同理可得：乙BOE=2乙BAO,(COB=乙COE 乙BOE=2Z,CAO-2Z-BAO=24CAB,/.CAB=Z.COB.【解 析】【分析】情况二：当点。在NB4 C的内部，如图2：连接4 0并延长交。0于点。，利用等腰三角形的性质可得NC =/.CA0,从而利用三角形的外角性质可得NC 0 D =2 4 0 4 0,同理可得：4B0 D=2 4 BA0,然后利用角的和差关系进行计算即可解答；情况三：当点。在NB4 C的外部，如图3：连接4 0并延长交。于点E,利用等腰三角形的性质可得4 c =48。，从而利用三角形的外角性质可得NC 0 E =2 NC 4 0,同理可得4 B0 E
18、 =2 Z BA。，然后利用角的和差关系进行计算即可解答.2 3.【答案】解：画树状图如下：第一个 通电 断A A第 二 个 通 电 断 开 通 电 断 开由树状图知，共有4种等可能的结果，4、B之间电流能够正常通过的结果有1种，眨间电流能够正常通过的概率峙【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，力、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可.2 4.【答案】（1）证明：如图1,图1连接0 C,是。的切线,4 P4。=9 0 ,AB是。的直径,/.ACB=9 0 ,OD BC,Z.ADO=Z.ACB=90,v OA=OC,:.CD=ADf AP=CP,v OP=OP,PC
19、O=L P40(SSS),Z.PCO=Z.PAO=90,点C在O。上，PC是。的切线,(2)解：由(1)得：AP C O P A O,Z,APO=(CPO,Z-PAO=90,4 0 +4 4 0 =90。，v Z.PDA=/.ADO=90,Z,PAD+/.APO=90,*-Z.DA0=Z-APO,Z.DAO=乙 CPO,乙B=2Z.CPO,乙 B=2 乙DAO,Z.B+乙 DAO=90,乙B=6 0 ,乙DAO=30,Z.AP0=30,OA=2OD=2,PA=26，PC=2同【解析】【分析】(1)连接O C,可证明。是AC的垂直平分线，从而得出AP=CP,进而证明&PCO三b PAO,进而得出
20、NPC。=Z.PAO=90。，进一步得出结果；(2)可证明4/M。=Z T P O,进而得出乙4P0=ZJM。=30。，在RtZkA P。中求出4 P,进而得出结果.25.【答案】解：(l)y=2/+?.(2)28.(4)2.2.【解析】【分析】(1)根据长方体的表面积公式求解即可;(2)求出 =2时，y 的值即可；(3)利用描点法画出函数图象即可；(4)利用图象法判断即可.2 6.【答案】解:m=0 二把(1,0)代入y=x2+b x,得b=-1,：y=2-x,抛物线的对称轴为直线：X=-W =；L%)在 y=x2%上,2,(1,2),它的对称点为(2,2),:丫2 y r:.t 2.(2)
21、把点(Lz n)和点(3,7 1)代入)/=%2 +6，得m =1 +b,n =9 +3 b,当mn0/l+b l n 0,得(9 +3 b 0 解不等式，得解不等式，得。-3,此不等式组无解.印 则Q+b 0,人 如 +3 b 0 解不等式，得b-3,此不等式组的解集为一3 b -1,综上所述，b的取值范围是：3 b 丫1，求出t的取值范围;当 呐 0-则I：+乎求出不等式组的解.19 +3 b 0 2 7.【答案】解：(1)图形如图所示.BD图 1 ABC是等边三角形，乙 B-Z.ACB=Z.BAC=60,Z.ACB=乙D+Z.CAD,Z.D=30.Z.CAD=Z.D=30,CA CD A
22、B.v AB+AD BD,AD+CD BD.故 I 错误.v Z.BAC=60,Z.CAD=30,/.BAD=90,AB2-VAD2=BD2,.-.AD2+CD2=BD2,故 n 正确.故答案为：.(2)结论：AD2+CD2=BD2.理由：如图2中，以AC为边向下作等边 A D E,连接BE.图2,4BC为等边三角形，Z.BAC=60,AB=AC.2DE为等边三角形，AE=A D,4AED=EAD=60,Z.BAC=Z-EAD,:.Z-BAE=Z-CAD,.BAE=L CAD(SAS).BE=CD./,ADC=30,AAEB=Z.ADC=30,BE=CD,乙BED=AAED+Z.AEB=90,
23、.BOE为直角三角形，BE2+DE2=BD2,：.AD2+CD2=BD2.【解析】【分析】(1)根据要求作出图形即可；证明4B=CD,BAD=9 0,利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；(2)结论：AD2+.如图2中，以4。为边向下作等边ADE,连接BE,证明 BHEwACAD SAS),推出 N4EB=AADC=30,BE=C D,推出/BED=AAED+AEB=90。，可得结论.28.【答案】解：(1)P2,P3-过点。作DP 1 x轴交于点P，过点D作DQ 1 x轴交于点Q,V Z.DOD=90,乙 DOP+乙 DOQ=90,v 4DOP+Z.ODP=90,W 0Q=乙 ODP,：D
24、O=DO,OOP 三ODP(AAS),DP=OQ,OP=DQ,v D(m,2),OQ=DP=2,DQ=OP=|m|,ABC在第一象限，:.D(2,m),设直线4 c 的解析式为y=kx+b,(k+b=1A l3fc+6=2，解得1 Ib =21,1-y=2x+2当D1 在4 c上时，m=-|)当。在 A B上时，m=-l,二一|Wm 4-1 时，点D(m,2)是A BC关于原点。的“伴随点”.(2)E(l,n)在直线x=1 上，圆E的半径为1,将圆E绕点。逆时针旋转90。得到圆E1,圆E关于原点的“伴随点”在圆汇的内部及其边界上，.(耳1),在直线y=1 ,直线y=-x +2n上存在0 E 关
25、于原点。的“伴随点”,当圆E与直线y=-x +2n有交点，过 作 G 垂直直线y=-x +2n交于点、G,v y=-%+2n与直线y=-x 平行，乙GER=45,EG 1,ER V2,令y=x+2n=1,解得=2n 1,:.R(2九 一 1,1),ER=|2 n-l+n|V2,解 得 臂 Wn W竽，n 音 0 时，直线y=-x +2n上存在0 E关于原点。的“伴随点”.【解析】【分析】4(1,1),B(3,l),AB 1 1 x轴，0Pl顺时针旋转90。后，得到点(0,1),Pi不是线段4B关于原点。的“伴随点”.OP2顺时针旋转90。后，得到点(1,1),.P2是线段A B关于原点。的“伴
26、随点”.v OP3顺时针旋转90后，得到点(2,1),二P3是线段4B关于原点。的“伴随点”2，P3是线段48关于原点。的“伴随点”；故答案为：P2,P3.由三角形全等可知。(2,m),当。在4C上时，m=|,当。在 48上时，m=1,贝 ill W mW|时，点D(m,2)是A A BC关于原点。的“伴随点”；(2)圆E上的点顺时针旋转90。后的对应点在以E(n,l),半径为1 的圆上，由直线y=-x +2n上存在O E 关于原点。的 伴随点，可知当圆 与直线y=-x +2n有交点，过E作 EG垂直直线y=-x +2n交于点G,由E G W l,可知ER Wa，求出R(2 n-l,l),则E7?=|2 n-1 +n|V 2,解 得 苧 W nW 苧.