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1、2021-2022学年山西省吕梁市柳林县部分学校高一下学期期中数学试题一、单选题1.设 机 二（2,5）,=（4 4）,若m_L，则;I的 值 为（）A-IB-4c.-10D.10【答 案】c【分 析】根据垂直的坐标表示求解.【详 解】因为,所以机“=2/1+20=0,解 得4=1（）,故选:C.2.如 图 四 个 几 何 体 中 是 棱 锥 的 选 项 是（）【分 析】B.D.利用棱锥的定义判断选项即可.【详 解】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.所 以D中几何体为棱锥,故 选：D.3.设iz=4-3 i,则 复 数z=()A.-3-4iB
2、.-3+4iC.3-4iD.3+4i【答 案】A【分 析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.【详 解】由题意可得：z=4-3i(4-3i)i 4i+3i2故选：A.4.在如图.ABC中，AQ为 3C 边上的中线，E 为 的 中 点，则 BE二（）3 1C.-A B +-A C4 4【答案】B3 1B.-A B +-A C4 413D.AB+-A C4 4【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为AO为 BC边上的中线，所以 AO =；(AB+AC),因为E 为 A 的中点,所以可得 B=E+O8=,A O +4C8=1(AB+AC)+,(A 8
3、-A C)=3A8AC,2 2 4 2 4 43 1B E=A B +-AC4 4故选:B.i-i5.设 z=+2 i,则|z|=l+iA.0 B.3 C.1 D.72【答案】C【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轨复数，化简复数z,然后求解复数的模.=i+2i=i,则|z|=l,故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共钝复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6.“ABC的内角A,B,C的
4、对边分别为a,b,c,已知。sin A+acos8=0,则N B=()【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解.【详解】解：由正弦定理及/?sin A+acos3=(),知sin3sinA+sin Acos3=0,因为 sinAwO,所以 sin8+cosB=0,即 tan3=-l,37r又8w(0,)，所以8=差.故选：C.7.已知向量 a,Z?满足 1 1=5,|/?|=6,0.b=6，则 cos=()AA-3七1 RB-玉19 C.天17 D 天19【答案】D【分析】计算出“(。+/月、,+目的值，利用平面向量数量积可计算出cos的值.详解|=5,|ZJ
5、|=6,a-b=-6，a-(a+/?)=|a|+-/=52-6=19.+4=J(a+b)=yja+2a-h+b=J25-2x6+36=7,因此，cos=a+h 1919忖*+0 5x735故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.8.某几何体底面的四边形O A8C直观图为如图矩形0出耳。|,其中。4=6,0 a =2,则该几何体底面对角线AC的实际长度为()B.4nC.4夜D.25/10【答案】B【分析】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.【详解】根据四边形O ABC直观图将其还有为平面
6、图形如图:根据直观图与原图的关系可得：OA=OiAl=6,0口 =2&+2?=4&，CD=OtC,=2,则点 4(6,0),C(-2,4 ),.|AC|=J(4 0-O+(-2-6)2=4 6,故选：B.二、多选题9.下列关于复数的说法正确的是（）A.任意两个虚数都不能比较大小B.在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数C.复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系D.（-02=1【答案】AC【分析】根复数的性质即可判断出A 正误；根据原点表示实数0 即可判断出B 正误；由复数的几何意义即可判断出C 正误；根据（-i）2=-l,即可判断出D 正误.【详解】A.任意两个虚数都不能比较
7、大小，正确；B.在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数，不正确，因为原点在虚轴上，原点表示实数0；C.由复数的几何意义可得：复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，正确；D.因 为 因 此 不 正 确.故选：AC.1 0.下列关于几何体的说法中正确的是（）A.棱台所有的侧棱所在直线交于一点B.圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线C.圆台上下两个底面不一定互相平行D.圆柱的任意两条母线互相平行【答案】ABD【分析】利用棱台，棱锥、圆台、圆柱的定义结合它们的结构特征，判断选项的正误即可.【详解】棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台,故棱台所有的侧棱所在
8、直线交于一点，所以A 正确；以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，所以圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，所以B 正确；以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台，圆台上下两个底面一定互相平行，所以C 不正确；以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，所以圆柱的任意两条母线互相平行，所以D 正确.故选：ABD.11.一艘船在静水中的航行速度为5km/h,河水的流速为3km/h,则船的实际航行的速度可能为()A.lkm/h B.5km/h C
9、.8km/h D.lO km/h【答案】BC【分析】设该船实际航行的速度为V，由向量模的关系可得|丫静I-|我|凶U 凶|丫臧|+|煤 II，由此求解可得到答案.【详解】设该船实际航行的速度为V,因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，所以llv静I B水I的V 静1 +1煤 11，因为船在静水中的航行速度为5km/h,河水的流速为3km/h,所以5-3 4|咋 5+3,则24问 4 8,所以船实际航行的速度的取值范围是2,8.故选：BC.12.已知。为坐标原点，点 A(l,0),(co se,sin e),g(cos/?,-sin),/(cos(a+/?),sin(a+),
10、(cos A sin ),则下列选项中的等式恒成立的是()A.OP=OP B.|叫 阿C.OA OR=OP OR D.OA OI=OPOP,【答案】ACDUUIU uuu【分析】A、B 写出。4，0P的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】对于 A,OP=(cos a,sin a),OP,=(cos/?,-sin p),所以=Jcos?a +sin2 a =1,|o q =J(co s0 2+(_ s in 0 2=i,故 河 卜 J。川，故正确；对于 B,=(cosa-1,sin a),AP2=(cos
11、y?-l,-sin),所以|叫=7(c o sa-l)2+sin2 a=7cos2-2 cos a +1+sin2 a =2(1-cos a)=4sin2 y =2 sin y ,同理k H =J(cos/?-l)2+sin2/=2 s in g，故,林,可 不一定相等，故错误；对于 C,由题意得：OA OPi=lxcos(Z +/7)+Oxsin(a+y0)=cos(cz+/7),OF OP2-cos a-cos/?+sin a (sin/?)=cos(cr+/?),故正确；对于 D,由题意得：0 4 0 q =lxcosa+0 xsina=cosa,OR Of=cos(3 x cos(6Z
12、+/)+sin/x sin(a+万)=cos(/?-(a+/?)=c o s a,所以=0 乌.OR,故正确；故选：ACD.,三、填空题13.在复数范围内，将 多 项 式 分 解 成为一次因式的积，则/一 1 =,【答案】(x-l)(x+D(x-i)(x+i)【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可.【详解】由已知 J -1 =)2-f =(f -i)(f +1)=(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).故答案为:(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).14.已知正方形A8C的边长为2,E 为 CD的中点，贝!IA.8D=.【答案】2【详解】A E-3 O=(A +；O C).(AO
13、-A B)=AD -AB+DC-A D-AB-DC=22-*6 g x22=2.【答案】T2【分析】根据平面向量数量积的坐标运算和向量的夹角公式即可求解.【详解】因为向量 =(cosa,sina),&=(cos0,sin),所以 pz|=Vcos2+sin2=1,忖=Vcos2 +sin2 0=1 ,a-b cos a cos 0+sin cr sin 0/八 、由向量的夹角公式可得：cos=-i-=cos(9 _ a),ah 1又因为6=a +二兀，则 6 二=(兀，所以cos=cos(6-a)=-走，6 6 2故答案为：2四、解答题15.在复平面内，。为坐标原点，向量0A所对应的复数为Z
14、1 =l+2i,向量4B所对应的复数为z2=-4-3 i,点 C 所对应的复数为Z 3=l-4 i,贝 Ijcos/ABC的值为.7【答案】#0.28【分析】求出BA、8 c 向量的坐标，由向量的夹角公式可得答案.【详解】因为。4=(1,2),AB=(T-3),OC=(1,-4),所以班=(4,3),/4C=CC-OA=(l,-4)-(1,2)=(0,-6),BC=AC-AB=(0,-6)-(-4,-3)=(4,-3),.D A所以8 s(BC,附=国 研16-9 75x5-257所以 cos/A3C=.25故答案为：.716.已知向量a=(cosa,sina),Z?=(cos1 2|=国，所
15、以 J(4 _ a+4=m，所以a?-8a+7=0,解得a=1 或a=7.所以”的值是1 或 7.1 8.在 JLBC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若c=6，b=,C=120,求：角 B；.ABC的面积S【答案】(1)8=30 手.4【分析】(1)正弦定理求解；(2)根据面积公式求解.【详解】(1)由 正 弦 定 理 工=三，得$m8=变 必=，sin B sin C c 2因为在3ABe中，6 0,所以 s i nC =V 5c os C ,即 t a nC =V 5,因为C e(O,万)，所以C =5.(2)因为C A C B =b a c os C =,“b =4,所以而
16、=8,2所以。2=。2+匕 2-2 a b c os C =(a +b)2-3 a =3 6 2 4=12,所以c =2 6.2 1.一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)用 x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？2【答案】(l)S=x 2+4x(0 r 6).(2)当x=3 时，S最大，最大值为6.【分析】分析：(1)画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底面半径r 与 x关系式即可(2)根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值.详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半
17、径为r,则由三角形相似可得x 2-r-x-=.,解得尸=2-；.6 2 3(1)圆柱的轴截面面积x 2S=2 r.X=2.(2 y )-X=y x 2 +4X(06).2 2(2)V S=y x 2 +4x=y (x 2 6JV)=|-(x-3)2+6,当x=3时，S最大，最大值为6.点睛：本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的轴截面面积公式，将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路.2 2.给定两个单位向量04，0 B，且。4。8=-且，点C在以。为圆心的圆弧A3上运动，2O C =x O A+y O B（x,yeR）,求v-y 的最小值.【答案】-1【分析】利用平面直角
18、坐标系表示出坐标，进而可表示出卜。，十行s】n a,从而利用三角函数y =2 s i na的性质求最值.【详解】；0A，0B是两个单位向量，且OVOB =-更,2/.Z A O B =,建立如图所示的坐标系，设 N A O C =a,则 O C=(c os a,s i nc r),O C =xOAyOB,(c os a,s i n a)=/Gx-y =c os a21 y =s i na2x =c os a +V a s i nay =2 s i na也x-y=y/3(c os a +百 s i n a)-2 s i n=Gc os a +s i n a =2 s i n a+I 3 八 /57c 兀/Tt y 7t 0 aK ,一W a n W ,6 3 3 6则as i n a +一713G,/3x y G 1,2,2*,、傲-y的最小值为T.