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1、中国精算师考试精算模型考前点题卷一单选题1.设X服从=1的指数分布，令，则随机变量Y的危险率函数为()。A.1B.yC.2yD.y2E.2y2 参考答案：C参考解析：解法：因为是严格递增的，且，则。由于服从的指数分布，即，有，于是，故。解法：因为是严格递增的，且。已知服从的指数分布，故，所以。单选题2.令，则的概率密度函数为()。A.B.C.D.E.1 参考答案：C参考解析：由于由1递减到0，则由0递减到，所以由0递增到。令，则Z服从0,1上的均匀分布，即对所有z的值，。对于，其反函数为，故，其中是的递减函数。所以。单选题3.以下表达式中与等价的有()。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）A
2、.（1）（2）（3）B.（1）（2）（4）C.（1）（2）（5）D.（2）（3）（4）E.（3）（4）（5） 参考答案：B参考解析：由题意可得：（1）（2）（4）由于，所以。单选题4.已知生命表函数为，x0，且随机变量表示岁人的剩余寿命，则=()。A.B.C.D.E. 参考答案：E参考解析：由于，其中，所以。单选题5.某类保单的索赔额服从参数为，=4的帕累托分布，即经验显示的概率分布如下表所示。该类保单索赔额大于18的概率为()。A.0.016B.0.018C.0.020D.0.024E.0.026 参考答案：C参考解析：由于，故单选题6.随机变量U的矩母函数为MU（t）=（12t）-9，t0
3、.5，则U的方差为()。A.33B.34C.35D.36E.37 参考答案：D参考解析：解法：由已知条件得：E（U）=MU （t）t=0 =18（12t）-10t=0 =18E（U2）=MU （t）t=0 =360（12t）-11t=0 =360故=E（U2）E2（U）=360182=36。解法：由随机变量U的矩母函数可知，U服从分布，所以=92=18，=922=36。单选题7.某保险公司承保了如下特性的保单组合：（1）每张保单最多发生一次索赔，并且索赔发生的概率为0.02；（2）索赔发生时的个体理赔额分布如下：（3）安全附加系数为13。为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过5%，保险公
4、司需承保的最小保单数是()。A.1300B.1350C.1400D.1450E.1500 参考答案：E参考解析：由已知条件得：E（X）=10.4+20.3+30.2+40.1=2，E（X2）=120.4+220.3+320.2+420.1=5，=E（X2）E2（X）=1；E（S）=0.04n，=n2p（1p）E2（X）+=n20.020.9822+0.021=0.0984n2，故，即，故。单选题8.某保险公司售出2000张保单，假定每张保险单在保险期内至多有一次索赔，其概率为0.04。当损失发生时，个别损失额的分布如表所示。若该保险公司对每张保单的免赔额为2，则该保险公司的总赔付额的期望值与方
5、差的和等于()。A.3760.8B.3048.8C.2768.8D.2760.8E.2408.8 参考答案：D参考解析：若该保险公司对每张保单的免赔额为2，则当理赔发生时，个别理赔额的分布如下表所示。理赔发生的概率为：0.04P（X1）0.040.5=0.02，E（X）=（30.4+80.04+130.2）0.020.14，E（S）20000.14=280，Var（B）q+E2（B）q（1q）140.02+720.020.981.2404，20001.2404=2480.8，E（S）+2760.8。单选题9.已知随机变量，相互独立，的密度函数为，则为()。A.1.1B.1.5C.2.1D.2.
6、5E.3.1 参考答案：D参考解析：由已知，有XGamma（k,2），故故，单选题10.S服从复合泊松分布，泊松参数为=ln2，个体理赔额的概率函数为：则下面说法正确的是()。A.S服从几何分布B.S服从二项分布C.S服从泊松分布D.S服从对数正态分布E.S服从负二项分布 参考答案：A参考解析：理赔次数N服从泊松分布，其矩母函数为：；由于泰勒展式，所以个体理赔额的矩母函数为：故理赔总额S的矩母函数为：故S服从几何分布。单选题11.某保险公司的初始准备金为l0，理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额的分布为P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=3）=0.2已知调节系数R=0.5，盈余首
7、次低于初始准备金的概率等于()。A.0.15B.0.29C.0.33D.0.49E.0.55 参考答案：E参考解析：由已知，有故故单选题12.已知损失变量X具有概率密度函数：对于一种比例再保方式，再保险人赔付额为I（X）=。而另外一种再保方式，再保险人赔付额为：Id（X）=maxXd，0，给定EI（X）=EId（X）=20，则为()。A.35.2B.36.2C.37.2D.38.2E.39.2 参考答案：C参考解析：由已知条件得：20=EI（X）=解得：=0.4；又20=EId（X）=解得：d=36.754。故=36.754+0.4=37.15。1314题的条件如下：从t=0开始观察一个由8人
8、组成的团体，直到他们全部死亡，仅记录发生死亡的时间（以天为单位）。假设t=0的初始事件发生在一天的中点，死亡事件也发生在那天的中点，那么，所有的生存期限均为整数。所观察的生存期限为3，4，5，5，7，10，10，12。So（t）是观察的样本空间的经验生存函数。单选题13.利用So（t）估计S（t），则So（5）、So（12）的估计量分别为()。A.0.125，0B.0.125，0.125C.0.375，0D.0.375，0.125E.0.500，0 参考答案：E参考解析：由于So（t）是右连续的，t=5时，而=12是最后一次死亡事件发生的时间，则So（12）=0。So（t）的图形如下图所示。单
9、选题14.（1）若样本的生存分布为区间（0，15上的均匀分布，则So（6）= _；（2）若没有均匀分布的假设，则估计值So（6）=_。()A.0.03，0.03125B.0.03，0.045C.0.03125，0.03D.0.03125，0.045E.0.045，0.03125 参考答案：A参考解析：（1）随机变量T在区间（0，15上服从均匀分布，则=0.6，故；（2）由样本的观察值得：So（6）=0.5，故。单选题15.在完整数据研究中，恰在第2次死亡之后的累积危险率函数H（t）的Nelson-Aalen估计量为11/30，则恰在第4次死亡后的H（t）的估计量为()。A.0.37B.0.60
10、C.0.63D.0.95E.0.98 参考答案：D参考解析：在第2次死亡后，其中为初始样本容量，由已知条件得，即1171+30=0，解得：=6（其中n=5/11舍去）。故。单选题16.在一完整数据研究中，初始样本容量n=10，S（12）的乘积极限估计为，并且每次死亡均发生在不同的时点上，则S（12）的Nelson-Aalen估计量为()。A.0.28546B.0.33611C.0.62157D.0.66389E.0.71454 参考答案：E参考解析：因为是完整数据，则S（12）的乘积极限估计为，所以在t=12时，有7个生存者。即t=12以前发生了3次死亡，于是H（12）的Nelson-Aale
11、n估计量为，故。单选题17.假设某类保单的免赔额为5，随机抽取了8张保单的理赔额如下：3、4、8、10、12、18、22、35。假设损失额服从上的均匀分布,运用极大似然估计方法得到的=()。A.40B.50C.23D.27E.8 参考答案：A参考解析：由于损失额服从指数分布，所以应把理赔额数据还原成实际损失额数据，又免赔额为5，于是可以得到被截断样本数据为8、9、13、15、17、23、27、40。由于指数分布的密度函数为：因此似然函数为：其中为示性函数，所以当时，。又因为是一个关于的单调递减函数，因此当时，取得最大值。即极大似然估计为。单选题18.假设X服从帕累托分布，参数=10，随机抽取了
12、8个样本：3、4、8、10、12、18、22、35。则参数的极大似然估计以及P（X10）的极大似然估计分别为()。A.1.20,0.534B.1.26,0.534C.1.20,0.582D.1.26,0.582E.1.30,0.526 参考答案：D参考解析：对于帕累托分布，密度函数为，因此似然函数为：对数似然函数：令则得到=1.26。令，则是P（X10）的极大似然估计，将代入，得：0.582单选题19.已知某类保单的免赔额d=2，赔偿限额为u=16，随机抽取了8次的赔付额观测值为：1、2、6、8、10、14、14、14。假设初始损失额分布为参数为的指数分布，则的极大似然估计为()。A.14.8
13、B.15.2C.14.2D.13.5E.13.8 参考答案：E参考解析：将理赔额还原成实际损失额：3、4、8、10、12、16、16、16.。而赔偿限额为16，有如下似然函数：根据分布函数得出和的值，代入似然函数得到：，则对数似然函数，令，得到=13.8。单选题20.一组免赔额为5的保单赔付样本为：6、7、7、9、11、17、21、34。假设初始损失额服从指数分布，则参数的极大似然估计为()。A.12B.11C.13D.14E.15 参考答案：D参考解析：因为最终要估计的是初始损失额的参数，所以先将理赔额还原成初始损失额，于是可以得到被截断样本数据为11、12、12、14、16、22、26、3
14、9。则似然函数：从而可以得到对数似然函数：，令，得到=14。单选题21.对患有急性白血病的21名病人的病情缓解时间进行观察，得到数据如下1，1，2，2，3，4，4，5，5，6，8，8，9，10，10，12，14，16，20，24，34，（单位为月），进行拟合优度检验。选定原假设：病情缓解时间的分布的密度函数为：则统计量的值为()。A.0.45B.0.52C.0.60D.0.79E.0.82 参考答案：B参考解析：由于样本容量只有21个，故将这21个数据分成如下四个小组：（-，2.39，2.4，5.79，5.8，11.59，11.60，+），那么计算出这21个数据落在这4个区间的概率如下：这样2
15、1个数据落在四个区间的理论频率是相等的，即：E1=E2=E3=E4=210.25=5.25。则数据的分组情况如下表所示。故统计量的值为：单选题22.某随机变量的5个观测分别为1，2，3，5，13，原假设：f（x）=2x-2e-2/x，x0，则K-S检验统计量的值为()。A.0.039B.0.209C.0.168D.0.397E.0.351 参考答案：C参考解析：根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为：则K-S统计量计算结果如下表所示。所以K-S统计量的值为0.168。单选题23.给定以下5个来自同一随机样本的观测值：0.1，0.2，0.5，1.0，1.3，对于零假设：总体的密度函数是，则
16、K-S检验统计量的值为()。A.0.309B.0.189C.0.186D.0.379E.0.315 参考答案：B参考解析：根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为:则K-S统计量计算结果如下表所示。所以K-S统计量的值为0.189。单选题24.对150名投保人，从签订保单受益凭证开始观察，直到其身故，且没有删失观测值，有21人在第1年身故，有27人在第2年身故，有39人在第3年，另有63人在第4年。考虑原假设为生存模型在5%的显著性水平下，进行拟合优度检验，则统计量的值为()。A.2.85B.3.15C.3.35D.3.65E.3.95 参考答案：D参考解析：根据生存模型，可知，计算结果如
17、下表所示。即统计量的值为3.65。单选题25.在移动加权平均修匀法（M-W-A）中，若z=0，则系数=()。A.B.C.D.E. 参考答案：B参考解析：由于，已知z=0，所以=a+br2，又，将此三式联立，解得：。单选题26.已知（1）；（2）；（3）=。运用K-J修匀法，求（）（）=()。A.B.C.D.E. 参考答案：C参考解析：由于，所以，故（）（）=单选题27.已知M-W-A公式为：（x-2+4x-1+3x+4x+1x+2），则与之比为()。A.0.353B.0.672C.1.325D.1.852E.1.903 参考答案：D参考解析：由M-W-A公式知：a-2=a2，a-1=a1，a0
18、=，=0（|2）。所以=（1+16+9+16+1）=0.671875。故=1.903。单选题28.设T=（T1，T2，T3）是随机向量，其中T1，T2，T3相互独立。其先验均值m=4，8，10，观察值为u=2，6，14，协方差矩阵和条件协方差矩阵分别为：则用K-J法求得的修匀向量v=()。A.B.C.D.E. 参考答案：A参考解析：由已知得：mu=4，8，102，6，14=2，2，4。所以v=u+（I+AB-1）-1（mu）。单选题29.已知Everett公式具有四次精确度，且该公式是相切的，则C（1/2）=()。A.3/4B.3/8C.3/64D.3/128E.3/256 参考答案：E参考解
19、析：由于Everett公式具有四次精确度的充要条件是：C（s）+C（1s）=s（s21）（s2）故当s=1/2时有：，所以C（1/2）=3/256。单选题30.假设一年内的理赔次数服从均值为的泊松分布，其先验密度为，0，每年零索赔的非条件概率为0.575，则=()。A.1.85B.1.90C.1.99D.2.31E.2.96 参考答案：B参考解析：设理赔次数为X，则则=1.90。单选题31.在一个保单组合中，每一个被保险人每年最多只发生一次理赔，其发生概率为q，先验密度为，0.60.818990.819530.35101=0.23559，故x1=2；0.68379e-=0.606530.683
20、790.10493=0.07175，故x2=1；0.83946e-=0.606530.839460.35006=0.29386，故x3=1；0.20226-=0.60653，故x4=0；同理，0.16703-=0.60653，故x5=0。单选题36.假设索赔次数服从Possion（3），理赔额服从帕累托分布（2，1000）。假设初始盈余为1000，安全附加为0.1，保费收取在年初，当盈余为负时保险公司则会破产。从随机数表选出的在（0，1）区间均匀分布内的随机数0.23，0.94，0.49，0.34，0.21来模拟理赔的时间间隔，用随机数0.58，0.97，0.88，0.67，0.44来模拟赔付
21、额。则该保险公司在()时破产。A.1.2456B.1.3879C.1.4043D.1.4582E.1.56843 参考答案：B参考解析：由于索赔次数服从Possion（3），所以理赔的时间间隔T服从参数为3的指数分布。则（0，1）区间均匀分布内的随机数0.23，0.94，0.49，0.34，0.21，所以，则。由于总理赔额的期望，所以每年年初收取的保费为1.1E（S）=3300。用随机数0.58，0.97，0.88，0.67，0.44来模拟赔付额，则第一次的理赔额满足，则。第一年年初收取保费3300元，则第一年年末的盈余为u（1）=1000+3300-543=3757。第二次以后的理赔发生都发
22、生在第二年，且第二次的理赔额满足，则，发生时刻为+=1.02492，所以（1.02492）=3757+3300-4774=22830第三次的理赔额，发生时刻为t1+t2+t3=1.24936，所以（1.24936）=2283-1887=3960第四次的理赔额，发生时刻为t1+t2+t3+t4=1.38787，所以（1.38787）=396-7410即在时刻1.3879时盈余为负时，该保险公司破产。单选题37.随机抽取随机变量X的三个样本：1，6，8，应用Bootsdivap方法计算下面估计的均方误差。下列说法正确的是()。（1）均值估计；（2）max（X）的均方误差为；（3）min（X）的均方
23、误差为。A.（1）B.（1）（2）C.（3）D.（2）（3）E.（1）（2）（3） 参考答案：E参考解析：由于只有3个样本，所有可能的组合有种，得到的结果如下：即以1/27的概率得到（1，1，1）、（6，6，6）、（8，8，8）；以1/9的概率得到（1，1，6）、（1，1，8）、（6，6，8）、（6，6，1）、（8，8，1）、（8，8，6）；以2/9的概率得到（1，6，8）。（1）（2）max（X）的均方误差为（3）min（X）的均方误差为。共享题干题假设随机变量X1、X2、X10独立同分布于F（x），现有它们的一组观测值：1.2、3.2、5.3、6.4、3.6、3.7、6.0、5.4、3.1
24、、3.9。下面是被模拟的经验分布的自助样本，每个样本有10个数据：样本1：3.6、3.7、3.7、3.9、5.4、1.2、3.2、3.2、3.9、6.4样本2：1.2、1.2、5.3、5.3、3.9、3.2、3.2、3.1、5.4、6.4样本3：3.9、3.9、6.0、6.0、5.4、1.2、3.9、6.0、1.2、1.2单选题1.使用这三个自助样本估计样本方差估计值的MSE为()。A.1.171B.3.345C.2.513D.3.135E.3.594 参考答案：A参考解析：因为。3个自助样本的样本均值分别是3.82，3.82，3.87。样本方差为=2.515；3个自助样本的样本均值分别是1.
25、875，3.172，4.149。所以=1.171。样本1：3.6、3.7、3.7、3.9、5.4、1.2、3.2、3.2、3.9、6.4样本2：1.2、1.2、5.3、5.3、3.9、3.2、3.2、3.1、5.4、6.4样本3：3.9、3.9、6.0、6.0、5.4、1.2、3.9、6.0、1.2、1.2单选题2.使用这三个自助样本估计P（）估计值的MSE为()。A.0.0014B.0.0133C.0.0145D.0.0144E.0.02 参考答案：B参考解析：因为，用经验分布替换，得又因为对于自助样本有所以。样本1：3.6、3.7、3.7、3.9、5.4、1.2、3.2、3.2、3.9、6.4样本2：1.2、1.2、5.3、5.3、3.9、3.2、3.2、3.1、5.4、6.4样本3：3.9、3.9、6.0、6.0、5.4、1.2、3.9、6.0、1.2、1.2单选题3.使用这三个自助样本估计0.3分位点估计值的MSE为()。A.1.34B.1.72C.1.82D.1.92E.2.58 参考答案：A参考解析：因为，用经验分布替换，将样本从小到大排列为：1.2，3.1，3.2，3.6，3.7，3.9，5.3，5.4，6.0，6.4。则0.3分位点的估计值为3.2。同样对于自助样本1，2，3，得到；。所以。