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1、第 二 十 一 章 二次根式21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并 利 用 右(a 0)的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形 如 右(a 0)的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用(a 0)w解决具体问题.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：3问 题1:已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是x问题2：如图，在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,ZC=90,那么AB边的长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _问题3:甲射击
2、6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是:，那么S=-老师点评：问 题1:横、纵坐标相等，即x=y,所 以x、3.因为点在第一象限，所 以 x=6 ,所以所求点的坐 标(百，百).问题2:由勾股定理得问 题3:由方差的概念得$=二、探索新知很 明 显 石、阿岛都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如G (a 0)的式子叫做二次根式，称为二次根号.(学生活动)议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a、G(x 0)、芯、6、-V 2、-、J x +y(x 0,y 0).x+y
3、分析：二次根式应满足两个条件：第一，有 二 次 根 号“、厂”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：立、4(x0)、芯、-6、V x+y(x 0,y 0);不是二次根式的有:XX+例2.当x是多少时，J 3 x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所 以3xT0,-1才能有意义.解：由 3 x-l 0,得：x-3当X1时，J3 x 1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P 练 习 1、2、3.四、应用拓展例 3.当 x 是多少时，J 2 X +3+一 在实数范围内有意义?分析：要使j2 x +3+1 在实数范围内有意义,必须同时满足j2 x +
4、3中的0和 一中的X+l X+1x+1 *0.K上,f 2 x +3 0解：依题意，得x +1 w 03由得：x -2由得：x*-l当X-且 X W-1 时，j2 x +3+在实数范围内有意义.2 x +1例 4 已 知 y=J+JT+5,求土的值.(答案：2)y若加=T=o,求/+心 的 值.(答 案：?五、归纳小结(学生活动，老师点评)本节课要掌握：1 .形 如 八(a 0)的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.2 .要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1 .教材R复习巩固1、综合应用5.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练2 1.1 二次
5、根式第二课时教学内容1 .八(a 0)是一个非负数；2 .(a)2=a (a 0).教学目标理 解&（a 0）是一个非负数和（6）a （a 0）,并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）a （a。）；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1.重点：J I （a）0）是一个非负数；（J 1 ）（a 0）及其运用.2.难 点、关键：用分类思想的方法导出6（a 0）是一个非负数；用探究的方法导出（8）2=a（a 0）.教学过程一、复习引入（学生活动）口答1.什么叫二次根式？2.当a 0 时，叫什么？当a 0）是
6、一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出yfa（a 0）是一个非负数.做一做：根据算术平方根的意义填空：（V4）、_ _ _ _ _ _;（72 ）、_ _ _ _ _ _ _;（V9）=_ _ _ _ _ _;（0）=_ _ _ _ _ _ _;（Q）2=-;（4）2=-;（而）2=老师点评：是4 的算术平方根，根据算术平方根的意义，是 一 个 平 方 等 于 4 的非负数,因此有（）4.同理可得：(V 2 )2=2,(如)2=9,(V 3 )2=3,(.-)2=-,(J-)2=-,(V o )2=0,所以V3 3 V2 2(&)2=a (a 0)例 1 计算1.()2
7、 2.(3 不)2 3.(J|)2 4.(y-)2分析：我们可以直接利用(G):a (a 0)的结论解题.解：()2 N ,(3 /5 )2=32(V 5 )2=32-5=4 5,V2 2(e芯)、坐 二V6 6 2 22 4三、巩固练习计算下列各式的值：(V18)2(./I )2()2V3 4(3府-(5扬2四、应用拓展例 2 计算1.(/x+T )2 (x 0)2.(启)(靖)3.(J.-+2a+1 )4.(V4x2-12x+9)2分析：(1)因为 x 0,所以 x+l 0;(2)a2 0;(3)a2+2 a+l=(a+1 )0;(4 )4 x-1 2 x+9=(2 x )-2 2 x -
8、3+3 =(2 x-3)2 0.所以上面的4题都可以运用(&)%(a 0)的重要结论解题.解：(1)因为x 0,所 以 x+l 0(J x +1 )2=x+l(2 ),-a O,(C)2=a2(3 ),.a2+2 a+l=(a+1)2又；(a+1 );0,.-.a3+2 a+l 0,ja2+2 a +1 =a2+2 a+l(4)4 x-1 2 x+9=(2 x )-2 2 x -3+3 =(2 x-3)2又；(2 x-3).4X2-1 2X+9 0,1.(A/4X2-1 2X+9 )=4 x-1 2 x+9例 3 在实数范围内分解下列因式：(1 )x-3 (2 )x-4 2 x-3分析：(略)
9、五、归纳小结本节课应掌握：1 .八(a 0)是一个非负数；2 .()2=a (a 0);反之:a=(a)2(a 0).六、布置作业1 .教 材 Ps复习巩固2.(1)、(2)P,7.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练2 1.1二次根式(3)第三课时教学内容y a=a (a 0)教学目标理解J/=a (a 0)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探究J/=a(a0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1 .重点：=a (a 0).2 .难点：探究结论.3.关键：讲清a0时，行=才 成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1.形如J Z (a 0)
10、的式子叫做二次根式;2.8(a 0)是一个非负数；3.(yfa)2=a (a 0).那么，我们猜想当a0时，？=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：亚=-；V E o F=-；(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：五=2;7o.O l2=0.01;J(黯$；=后=0；因此，一般地：=a (a 0)例1化简(1)79 (2)7(-4)2(3)后(4),(-3)2分析：因 为(1)9=-32,(2)(-4)M2,(3)2 5=52,(4)(-3)七2,所以都可运用J/=a (a 0)去化简.解：(1)V 9=V F=3 (2),(4)2 =6=4(3
11、)V 2 5=V 5?=5(4)J(-3尸=序=3三、巩固练习教材P,练习2.四、应用拓展例 2填空：当 a 0 时，/=-;当 a a,则 a 可以是什么数？分析：J/=a (a 0),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使气)中的数是正数，因为，当a 4 0 时，厢=J(4,那么-a 0.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可 知 证=I a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a0;(2)因为J/=-a,所以a40;(3)因为当a 0 时J 第=a,要使J 7 a,即使aa所 以 a 不存在；当 a a,即使
12、-aa,a0 综上，a2,化简 7(X-2)2-7(1-2x)2.分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a (a 0)及其运用，同时理解当a 0,b 0),反之&=&i -4 b(a 0,b 0)及其运用.教学目标理解 4 a -4 b =yfab(a 0,b 0),ah=4 a -4 b(a 0,b 0),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出、/=痴(a0,b 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出，拓=0-4 b(a0,b 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：4 a -4 b =4 a b(a 0,b 0),yah=J a -4 b(a 0,b 0)及它们的运
13、用.难点：发现规律，导出4 a -4 b =4 a b(a 0,b 0).关 键：要 讲 清 J拓(a0,b、(或=填空.n X 也-749,V16 x V25-716x25,V1OO x 736-J l00 x362.利用计算器计算填空(1)7 2 x V 3 _ V 6 ,(2)V 2 x 加_屈,(3)V 5 x V6 _ V 30,(4)V 4 x V 5 _ V 2 0,(5)g x V 1 0-V 70.老师点评(纠正学生练习中的错误)二、探索新知(学 生 活 动)让3、4个同学上台总结规律.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二
14、次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为4a-Jb=ab.(a 0,b 0)反过来：|=&扬(a0,b 0)例L计算(1 )7 5 x 7 7 (2)x V 9 (3)V 9 x V 2 7(4)A x&分析：直 接 利 用 =(a 0,b 0)计算即可.解：石x V7=A/35(3)V 9 x a=，9乂2 7 =J 9?x 3=9 6(1)V 9 x l 6 (2)7 1 6 x 8 1 (3)7 8 1 x 1 00(4)J9x2y2(5)V 5 4分析：利 用 痴 =G -4b(a 0,b 0)直接化简即可.解：V 9 x l 6 =V 9
15、x 7 1 6=3 x 4=1 2(2)V16X81=V16 x 7 8 1=4 x 9=3 6(3)7 8 1 x 1 00=1 x V i 00=9 x 1 0=9 0(4 )9x2y2=4 x J x 2 y 2 =后 x 7?x =3 x y(5 )A/54=V 9 x 6 =A/3*娓=3瓜三、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)屈“氓 3x2而 扃 白(2)化简：V 2 0；V 1 8;V 2 4;V 5 4;112a2b?教材P”练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)-(4)x (-9)=J-4 x J-9(2)J 4 x 7 2 5=4
16、x x V 2 5=4 J x 后=4 m=8&V 25 V25 V25解：(1)不正确.改正：J4)x(-9)=J4x 9=V4 x J =2 x 3=6(2 )不正确.改正：J 4 x V 25=J x V25=.x25=VH2=V16x7=477 25 V 25 V 25五、归纳小结本节课应掌握：(1 )y/a /b=ab=(a 0,b 0),4ab=4a-4b(a 0,b 0)及其运用.六、布置作业1.课本 Pu 1,4,5,6.(1)(2).2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练21.2 二次根式的乘除第二课时教学内容b0),反过来教学目标a _sa(a 0,b 0)及利用它们
17、进行计算和化简.理 解 军 工 口 (a 0,y/b b八、)和4 日a Fy/a(a 0,b 0)及利用它们进行运算.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理 解 得 =&(a 0,b0),fa _ y/a(a 0,b 0)及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空(3)V4V16(4)规 律:需T巫1 6,7 3 61 6 V 43 6，V 1 623 68?3.利
18、用计算器计算填空:互V 4规 律:1,(2)=U 4)X5 V 24；32 V 2 2 币1每组推荐一名学生上台阐述运算结果.(老师点评)二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：y/a(a 0,b 0),a反过来,W 与 仇b 0)下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计 算：(1)贷(2)(3分析：上面4小 题 利 用 器=1(a 0,b 0)便可直接得出答案.；x l 6 =A/4=2分析：直接利用(a 0,b 0)就可以达到化简之目的.三、巩固练习教材P14练 习 1.四、应用拓展例 3.
19、已知半=,且 x 为偶数，求(1+x)yj X-f)x2 5x+4 ,.2-的值x2-i分析:式 子B=也只有a 0,b 0时才能成立.因此得到9-x 0且 x-6 0,即 6 0，即x-6 0 x66x 0,六、布置作业1.教材P”习题21.2 2、7、2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练b 0)和8、9.a _ y/a b y/b(a 0,b0）及其运用.2 1.2 二次根式的乘除（3）第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根
20、式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1.重点：最简二次根式的运用.2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1 、_u 笛/1、6 (i、3&.、&1.计 算(1)j=,(2)=,(3)j=V5 V27 y/2a母际上、工 V3 V15 372 V6 a 2 8老师点评：f=-,/=-,-j=-V5 5 后 3 扃 a2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是Ihkm,h2k m,那么它们的传播半径的比是-它们的比是yJ2Rh,二、探索新知观察上面计算题1
21、 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学 生分组讨论，推 荐 3 4 个人到黑板上板书.老师点评：不是.例 2.如图，在 Rt ABC 中，ZC=90,AC=2.5cm,BC=6cm,求 AB 的长.解：因为 AB-C+BC?所以 AB=V2.52+62=13=6.5(cm)2因此AB的长为6.5cm.三、巩固练习教材P再 练习2、3四、应用拓展例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简
22、二次根式的化成最简二次根式:_ 后-1)后V 2 +1 (V 2 +1)(7 2-1)-2-1 ，1 l x(V 3-V 2)V 3-V 2 f-国百丁(百十回及广工-7同理可得:米 丁 一8从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(厂+_ 厂+;1;)(V 2 0 0 2+D的值.V 2 +1 V 3+V 2 V 4 +V 3 V 2 0 0 2 +V 2 0 0 1分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=(亚T+6-血+4-6 +V 2 0 0 2-V 2 0 0 T )X (V 2 0 0 2 +1 )=(V 2 0 0 2
23、-1 )(V 2 0 0 2+1)=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.六、布置作业1.教材 P”习题 21.2 3、7、10.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练21.3二次根式的加减第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1.重点：二次根式化简为最简根式.2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2X-3X2+5X2;(3)x+2
24、x+3y;(4)3a-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变,系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)272+372(2)2 7 8-3 +5 7 8(3)V 7+277+37977(4)3 也-2 6+6老师点评：(1)如果我们把应当成x,不就转化为上面的问题吗？2 a+3垃=(2+3)72=5 72(2)把 一 当 成 y;2 次-3 舟5 次=(2-3+5)&=4&=8五(3)把J 7 当成z;V7+2V7+V9 V7=2 5+2 屿+3近=(1+2+3)V7=6/7(4)百 看 为 x,a看为y.3V3-2V3+V
25、2=(3-2)V3+V2=V3+V2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2与血表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板 书)372+78=372+2 72=5 72373+727=373+373=6 V3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 L计算(1)+(2)分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)V 8+718=2 7 2+372=(2+3)6=5近(2)J16x+J64x=4 4+8 4=(4+8)4=1 2 Vx例 2.计算(1)3a-9 83 屈
26、(2)(4 8+7 2 0 )+(V12-V5)解:(1 )37 4 8-9 +3 712=127 3-373+6 73=(12-3+6)73=1573(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V 48+V 20+V12-V5=4 A/3+2 V5+2 5/3 5/5=6 y/3+y/5三、巩固练习教材P g 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知 4 x2+y2-4 x-6 y+l 0=0,求2-x3-5 x J 2)的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2 x-l)2+(y-3)2=0,即 x=L,2y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根
27、式，再合并同类二次根式，最后代入求值.解：*.*4 x2+y2-4 x-6 y+l 0=04 x2-4 x+l+y2-6 y+9=0(2 x-l)2+(y-3)=0=2 x x +y/x y-x V x +5 y/x y乜+5 xX=x V x +(y x y当 x=,y=3 时，2原式=，x+6+3 /62 V2 V2 4五、归纳小结本节课应掌握：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并.六、布置作业1 .教材 P“习题 2 1.3 1、2、3、5.2 .选作课时作业设计.3 .课后作业：同步训练2 1.3二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式
28、化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例1.如图所示的RtaABC中，NB=90。，点P从点B开始沿BA边 以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后APBQ的面积为3
29、5平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x秒后aPBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设x后APBO的面积为35平方厘米.则有 PB=x,BQ=2x依题意，得：x-2x=352X2=35X=A/35所 以 岳 秒 后aPBQ的面积为35平方厘米.PQ=PB2+BQ2=VX2+4X2=7 5?=J5x35=5 V7答：逐 秒 后aPBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 b厘米.例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需
30、知道这四段的长度.BD lm c解：由勾股定理，得A B=d A D?+BD。=V 42+22=7 2 0=2 7 5BC=BD2+CD2=V 22+l2=V 5所需钢材长度为A B+BC+A C+BD=2 6 +6+5+2=3 6+7=3x2.24+7=13.7(m)答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.三、巩固练习教材P 1 9练 习3四、应用拓展例3.若最简根式3”/4 a+3 A 与根式，2 帅2/+6/是同类二次根式,求a、b的值.(同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式d 2ab
31、。-尸女不 是 最 简 二 次 根 式,因 此 把 加/+6/化简成|b|72 a-b +6,才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式、/2 q/_/+6/化为最简二次根式:lab-b3+6b2=yJb2(2a-+6)=Ib I-J2 a-2+6由题意得!4。+3 b =2。一 /7 +63a-b=22。+4/?=6 3a-b=2a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1 .教 材 P”习题2 1.3 7.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练2 1.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二
32、次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1 .计算(1)(2 x+y )-z x (2)(2 x2y+3 x y2)+x y2 .计算(1)(2 x+3 y )(2 x-3 y)(2)(2 x+l)2+(2 x-l)2老师点评：这些内容是对八年
33、级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X 单项式；(2)单项式X 多项式；(3)多项式:单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.例 L 计算：(1)(V 6+V 8 )x V 3 (2)(4 7 6-3 7 2 )-2 7 2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V 6+V 8 )x V 3=V 6 x V
34、 3+V 8 x V 3718+724=3 72+276解；3yli)-r 2 /2 =4 V 6 2 5/2 _3 V 2 2 5/22例 2.计算(1)(V 5+6)(3-V 5)(2)(V i o+V7)(V i o-V?)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(7 5+6)(3-7 5 )=3 7 5-(V 5 )2+18-6A/5=1 3-3 后(2)(T 1 0+V 7 )(V 1 0-V 7 )=(V 1 0 )-(V 7 )=1 0-7=3三、巩固练习课本P z o 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知=2-土 工，其中a、b
35、 是实数，且 a+bw O,a h八，极 J x +1 y/X J x +1 +yfx 4修化简 广+尸，并求值.X +1 +yj X，X+1 y/X分析：由 于(JTR+4)(J7TT-4)勺，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X 的值，代入化简得结果即可.解.原式,(+卢)：+(y/x +1+yfx Y(V x +1 +A/X)(VX+1 -V x)(V x +1 -/x)(V x +l +V x)(J x +1 V x)-(J x +1 +y x)=-F-(x +l)-x (x +l)-x=(x+1)+x-2 J x(x +1)+x+2 J x(
36、x +1)=4 x+2x-b x-a：-=2-a bb(x-b)=2 a b-a (x-a )，bx-b2=2 a b-a x+a2(a+b)x=a+2 a b+b2(a+b)x=(a+b)2a+b 丰 0，x=a+b，原式=4 x+2=4 (a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1 .教材 P”习题 2 1.3 1、8、9.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练二次根式复习课教学目标1 .使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2 .熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的
37、式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1 .请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.2 .二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除，先写成分式形式，即、6+、后=得，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算，计算结果要把分母有理化.3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：(l)a =G/a)2(a 0)；(2)|a|=4.在
38、含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：西 产=a(a,0)与a =(孤尸(a)0)；(2)-b=-7 a *花(a 0,b0)与C=V(a)0,b0)；。求=知。b。)与 鲁 JI5,b0).例如，化 简 白，可以用3种方法：直接约分为富=；分母有 理 化 身 寻=立(3)看作二次根式的除法*=苧=栏5 .不一定能化成(、扃2.当a0忖，如(石)2 =内 (石)2,(而)2 =痴7=(而)2,此时，好=(、扃 当20时，正2)2 =J?=(应,但 4无意义，所以&-2)2 0,B P x 0,即x-2,而分母3x 0,即x r O,所以 使 式 子 号2有意义的x取值为
39、3xx一2且x 0 0.例2已知m,n为实数，且满足m=如2 9+.+4,求6m-3n的值.分析：先根据已知条件求出m与n的值，冉求多项式6m-3n的值.二次根式与、后二出有意义的条件分别是甘-9。及9-不0,从中求得n的值，从而确定m的f解因为n190,9-n2 0,且n-3 r0,所以n：9且n 3,所以Jn*-9+A/9-n2+4 4 2n=-3,m=-=-=,n-3-6 36m-3n=6X(-|)-3(-3)=5.指出：例1和例2主要复习二次根式的意义，即当a?0 时，二次根式、回有意义.例3苜 la2-4a+4 J3-a 1分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把
40、它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a 0和l-a0.解 因为l-a0,3-a 0,所以a 0.Ia2-4a+4v a2-4a+3_|a-2|.J3 一 a+1/(a l)(a _ 3)a-2 Jl-a_2_-a.-J-3-a-+-.1Jl-a V3-a a-2 Jl-a1 t 1Jl-a Ji-a=0.指出：由于二次根式的基本性质好=间要由a的取值范围确定，即a(a20),a=4/1-a(a0,b 0),因此在运用这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的.例4 已知号T哪-g+4-卜4的值问：上面的
41、代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？答:+4=a2 =1+2a(a4)_4=a、9 2a问：如何确定a+4 及a 二的值是正值还是负值?a a答：可由已知条件a=忑*有一 加0,-=V3+V 2,知a-l 0.1a a1 l a-=(A/3-应)a1、仔-7 2=(73-72)-(73+72)=-22 0和关系式a=(m)2(a)0)进行二次根式的混合运算.例 6n+2+Vn2-4 n+2-Jn*-4计算-后 一+-分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子
42、变形，就可以使运算变为简捷.解设a=n+2+Jn?-4,b=n+2-Vn2-4,那么a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2),所以原式=/+bb aab2(a+b)2-2ab(a+b)ababl2=E.2=n.4(n+2)第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a#0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目.1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解
43、决一些概念性的题目.4.态度、情感、价值观4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.重难点关键1.重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.2.难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学过程一、复习引入学生活动：列方程.问 题（1）九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为-尺，根据题意，得-整理、化
44、简，得：-问 题（2）如图，如果4 g =0 2，那么点C叫做线段AB的黄金分割点.AB ACA C B如果假设AB=1,AC=x,那么BC=-根据题意，得:整理得：-问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是-，宽是-，根据题意，得：整 理,得：-老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理.二、探索新知学生活动：请口答下面问题.（1 ）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只
45、有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x;（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式axbx+cMIarO）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=O（a*。）后，其 中ax*是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.例1.将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.分析
46、：一元二次方程的一般形式是ax?+bx+c=O（a#0）.因此，方 程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.解：去括号，得：40-16X-10X+4X2=18移项，得：4x-26x+22=0其中二次项系数为4,一次项系数为-2 6,常数项为22.例2.(学生活动：请二至三位同学上台演练)将 方 程(x+1)(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项.分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a#0)的形式.解：去括号，得：X2+2X
47、+1+X2-4=1移项,合并得：2X2+2X-4=0其中：二次项2 x:二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.三、巩固练习教材P”练 习1、2四、应用拓展例3.求证：关于x的方程(n?-8in+17)xZ+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m-8m+1 7片0即可.证明：m-8m+17=(m-4)2+1V(m-4)20(m-4)2+1 0,即(m-4)2+1*0.,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.五、归纳小结(学生总结，老师点评)本节课要掌握：(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式
48、ax+bx+cR(a r O)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业1.教材P”习题22.1 1、2.2.选用作业设计.22.1 一元二次方程第二课时教学内容1.一元二次方程根的概念；2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.重难点关键1.重点：判定一个数是否是方程
49、的根；2.难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为x m,那么，根据题意，可得方程为-整理，得-根据题意，得-整理，得-列表：X01234567891011老师点评(略)二、探索新知提问：(1)问题1 中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1 中还有其它解吗？问题2 呢？老师点评：(1)问题1 中 x=6是 x?-36=0的 解
50、,问 题 2 中，x=10是/+2*-120=0的解.(3)如果抛开实际问题，问 题(1)中还有x=-6的解；问题2 中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x?-36=0有两个根，一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意；同理，问题2 中的x=T 2 的根也满足题意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.例 1.下面哪些数是方程2x2+l0 x+12=0的根？一 4,一 3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把