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1、经济数学基础作业2(积分学部分第1 章不定积分一一第 2 章定积分)知识要点：1 .理解原函数与不定积分概念。原函数的概念:若函数/(X)的导数等于/(X),即 p(x)=f(x),则称函数F(x)是/(x)的原函数。注意：(1 )原函数不是唯一的。若尸(x)是 7(x)的原函数，则 F(x)+c 都是/(X)的原函数(其中c 是任意常数)。(2)原函数的表达形式。若 F(x)和 G(x)都是/(%)的原函数，则G(x)=F(x)+c(c是常数)不定积分的概念：原 函 数 的 全 体/(x)+c(其 中 c 是 任 意 常 数)称 为/(x)的 不 定 积 分，记为J f(x)dx-F(x)+
2、c。(3)知道不定积分与导数(微分)之间的关系不定积分与导数(微分)之间互为逆运算，即先积分，再求导,等于它自身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数,即(J f(x)dx)=/(x),J r(x)dx =/(x)+c2.了解定积分的概念,定积分的几何意义，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果：若_/(%)是奇函数，则 有 /0 次 比=0若/(X)是偶函数，则有3 .知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分。4 .纯熟掌握积分的计算不定积分和定积分的关系:牛顿莱布尼兹公式：J y(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a)常用的积分方法有：(1)
3、运用积分基本公式直接进行积分；(2)第一换元积分法(凑微分法)；(3)分部积分法,不定分部积分公式：J(x)i/(x)#c=(x)y(x)-J (x)y(x)公或 J vdu重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：基函数与指数函数相乘；,令“(X)=x ,M(x)=e*幕函数与对数函数相乘；%1 1 1 3,(。一1),令。)=1 1 1匕 丫 。)=了，事函数与正(余)弦函数相乘；J/s i n cm 或 卜 co s cn W x,令(x)=x ,作业2解答一.填空题1.若 J /(无)dx =2*+2x +c,则 7(x)=解：1 .由于若 J /(x)dx =F(x)+c,则(F(x)+
4、c)=f(x)因此/(x)=(2、+2x+c/=2 I n 2+22.J(s i n x)，dr 解:由不定积分和导数的关系：=/(x)+c则s i n x y dr =s i n x +c。3.f f(x)dx=F(x)+c,则 J e-xf(e-xyx=解：由于J.f(x)dx =F(x)+c,则 J e-(e-)dx =-j f(e-x)d(ex)=-W)+c i e4.j l n(l +x2)6 tr =解：由于定积分J l n(l +x 2)a c是常数，常数的导数为零,1 e因此 高!l n(l +f)以=00 5 .若 p(x)=f 一 力，则 P (x)=_ _ _ _ _ _
5、 _ _ _ _ _ _1 J l +产解:由于 J f(t)dt=F(x)-F(a)，则 尸(x)=/(x),p(x)=f -7=dt=-f ,-dt,贝|J 产(x)=-1。；V l +r o V l +Z J l +x 二.单项选择题1 .下列函数中，(1 2A.C O S X2C.-2 co s x2)是x s i n x?的原函数。B.2co s f17D.co s x2解：原函数的概念:若Fx)=f(x),则称函数F(x)是/(x)的原函数。A是错误的。由 于f-co s x2(2)s i n x1-2x=x s i n x22对的的选项是D.2.下列等式成立是(A.s i n x
6、 6(Y =(co s x)C.2公=-1(2*)l n 2B.I n xdx=d()xD.=dx=dJx)解：A 是错误的。由于 d(co s x)=(co s x)7 Z x =-s i n x必;B是错误的。由 于 山=(与比=-与 公；X X XC是对的的。由于一4(2、)=(2v)dr =一 2*I n 2公=2、办;I n 2 I n 2 I n 2D是错误的。由于=（）=2 J%对的的选项是C。3.下列不定积分中，常用分步积分法计算的是（）A.J co s(2x +l X rB.J x V l-x2dxC.xsmlxdx D.f 7 m xJJ 1 +x2解：常用分部积分法计算的
7、积分有：xneaxdx，J%a n x ca,(a w 7),j x s i n axdx或 Jxn cosaxdx。该题对的的选项是C4.下列定积分计算对的的是()I16A.j 2xdx=2 B.J公=1 5-I-1兀2 点C.j|s i n x|J x =O D.J s i n x公=0-n2I解:A是错误的。由于J 2 mX=2 (2)=4-116B是错误的。由于J必;=1 6 (-1)=1 7-1C是错误的。由于函数卜i n乂是偶函数，因此7 1 n n2 2 2 兀j|s i nxdx-2j|s i n =2j s i nxdx=-2co s x|2 =0 +2=2002nD是对的的
8、。由于函数s i n x是奇函数，因此J s i n x a =0。5.下列无穷积分中收敛的是（）解:+0 0 A.|dx+3 0C.j exdx0D.+0 0j s i n J OZVo+o o j b 5 .解：A 是错误的。由于 dx=l i m f dr=l i m I n =l i m (I n b-ln 1)是发散的。J X Z +00 J X f4 O 1 1 bT+4 o b i iB 是对的的。由于 dx lim dx=lim()=lim(+1)=1J X/?-+x J b f m x Z?-+a o b+oo bc是错误的。由 于fedx=lim|公=lim(e I)是发散
9、的。J b-+00 J b-+0000+oobD是错误的。由 于 s in尤dx=lim f s in x必:=lim（-cos。+1）是发散的。J +a o J bs0 0对的的选项是B。三.解答题1计算下列不定积分,1)jf _31 dA-0解：(1)R c k=n d x(3)x(%=e 勺+c=-+cln(?)31er(l+x)2.(2)-)=-dry/X(1 +X)i r 1 +2 x+.Mlog =l o g b g：f a dx=一+cJ Ina-F c,(a w -1)a +1(3)3=j(x，+2/+q)dx；4 2 ,=2x+%2 +一/+c3 54d xx+2解点dx=J
10、(x+2)dv1 2 c=x+2 x +c2(4)f 一drJ l-2 x解:f 一dr 一J l-2 x 2J l-2 x=-ln|l-2 x|d(l-2 x)+c(5)J xjz +x d解：j x H 7d x =g(2 +x2 d(2 +x2)设 J fi(ie)du=F(w)+c,则(9(x)”(x)dx=J/(9(x)d9(x)=F(x)+c1 2/c=-(2 +x 尸+c2 3x+a+c,(a l)1 +a(6)i2=(2 +/)2+C3s in,-a x1 2xdx=d2+x)解:jSinV%2 s inVxd-/xj s inx6t r=-C OS X+c-7=-dx 2d
11、y/xyjx=-2cos Vx+c、r X(7)J xs in dr广 x c x解：xsindx=-2 A Z/cosJ 2 J 2c x ci*x,=-2xcos+2 cosdx2 J 2=-2xcos+4sin+c2 2(8)j/n(x+l)dx解：j/n(x+l)dr=J/n(x+l)d(l+x)=(1+x)ln(l+x)-J，公=(1+x)ln(l+x)-x +c2.计算下列定积分2(i)-乂心-1212解：卜 出 j/叱-1-1 11 2=|(1-x)dx+J(尤 -1心-1 1J uvdx=wv-j uvdxIn xdx,(a 0-1)令=In xb c bJ f(.x)dx=J
12、 f(x)dx+J f (x)dxaac ,1-X,X lI 1/I 1、4 r/八 5=1-(-1-)H-2 (1)=一2 2 2 2 21(2 )12 I=-ex=-e2+e=2 jl+ln,f 1 ,(3)I,-dx 1 +In xj j 1xadx=-x+a+cJ1 +a解：dx=f(1+In x)”d(l+ln x),J x jl+lnx j dx=d(l+n x)X=2jl+lne3_2ji+ni=2(4)n2J xcos2xtZx0解:xcos2xJx=-j2 0 xd sin 2x=xsin 2x sin2xav2 2J乙 0 4 0=-x-sin-x-!-cos2x)|j2 2 2 2 lo=cos 万 cosO=4 4 2(5)Jxlnx公ixln xdxj uvdx=u-J uvdxJ/1n xdx,(a w -1),令=In%Yxax=a 2e2 1 2 1-e H 2 444 44(6)j(l+xe-)t/xo4 4 4解:J (1 +x/)出二 J 1八 +J xexdx0 0 0=-x d e-x0=4-(此-：-J exdx)oe-dx=-de-x=4 _(4 e-4 +e：)=4_ 4/_，_ 1)=5 -5/