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1、经济数学基础作业4知识要点： 1掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。2知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道极值点与驻点的关系，会求函数的极值。3 会求需求对价格的弹性。4 纯熟掌握经济分析中求最大（小）值的方法（求平均成本的最小值，利润的最大值）。5纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。6了解微分方程的几个基本概念：微分方程、阶、解（通解、特解）及线性微分方程等。7 掌握可分离变量微分方程的解法，掌握一阶线性微分方程的解法。8理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理；纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解。（一）填空题1.函数的定义域为
2、求初等函数的定义域，一般要满足：（1） 分式中分母的表达式不为零；（2） 根式中偶次根号下的表达式大于或等于零；（3） 对数中真数的表达式大于零。解：要使故意义，则规定，解不等式组得：，因此，定义域为。2. 函数的驻点是，极值点是 ，它是极 值点.1 使的点称为函数的驻点。2 设，且（1） 若 ，则为极小值点；（2） 若 ，则为极大值点。解：=令得： 因此，所求驻点是，极值点是，它是极小值点。3.设某商品的需求函数为，则需求弹性 . 解：有弹性公式=。4.若线性方程组有非零解，则= 齐次方程组有非零解的充足必要条件为：，（为方程组中未知量的个数）。解：系数矩阵 当方程有非零解，则（未知量个数）
3、，则。5. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.解：要使线性方程组有唯一解，则规定（方程未知量个数）， 因此，当时，方程组有唯一解。（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间上单调增长的是（ ） Asinx Be x Cx 2 D3 x解：函数sinx ， e x ， x 2均为基本初等函数，由它们的性质知：函数e x在区间上是单调增长。该题对的答案为：B2. 设，则（ ）A B C D解：由于，则，该题对的答案为：C3. 下列积分计算对的的是（ ） A BC D解：注意到：定积分，（1）当为奇函数时，则；（2）当为偶函数时，则。答案A中设，=， 因此，该题对的答案为：A4. 设线性方程组有
4、无穷多解的充足必要条件是（ ）A B C D 解：该题对的答案为：D5. 设线性方程组，则方程组有解的充足必要条件是（ ） A B C D解：方程组有解的充足必要条件是：，即，即，该题对的答案为：C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1) 解：原方程变形为： 方程两边积分得： 即为方程通解 . （2）解：原方程变形为： 方程两边积分得： 即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）解：由一阶线性微分方程通解公式：得原方程通解： =（2）解：由一阶线性微分方程通解公式：得原方程通解： = = =3.求解下列微分方程的初值问题：(1) ,解：原方程变形为： 方程两边积分得： 即
5、为方程通解 将代人通解得：则因此，原方程特解为：(2),解：原方程变形为：由一阶线性微分方程通解公式：得方程通解： = =将代人通解得：，则原方程特解为：4.求解下列线性方程组的一般解：（1）解： 所以，方程的一般解为（其中是自由未知量）（2）解：一般解：（其中是自由未知量）5.当为什么值时，线性方程组有解，并求一般解。解：当时，方程有无穷多解 .方程的一般解为： （其中是自由未知量）5为什么值时，方程组解：当且时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当且时，方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：当时的总成本、平均成本和边际成本；当产量为
6、多少时，平均成本最小？解：（万元）； （万元/单位）；求经济最值问题的解题环节：（1）列出目的函数（就是所求实际问题达成最值的经济函数，比如利润函数或平均成本函数等）；（2）对目的函数求导，令目的函数的导数等于0，求出驻点；（3）若驻点唯一，再鉴定该驻点为极值点；（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。 =（万元/单位） .平均成本：， 令得唯一驻点因此，当产量为20个单位时可使平均成本达成最低。（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少 解：收入函数利润函数= 令得唯一驻点
7、因此，当产量为250个单位时可使利润达成最大，且最大利润为：（元）。（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 （万元） 总成本函数 平均成本： 令得唯一驻点 因此，当产量为6百台时，平均成本达成最低. （4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，求： 产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：边际利润令得唯一驻点， 因此，当产量为500件时，利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产50件，利润增量 即利润将减少25元.