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1、【下载后获高清版】2021江苏南通高考数学全真模拟试卷三含解析2021年高考数学全真模拟试卷三（满分：1 5 0分，考试时间：1 2 0分钟）一、单项选择题:本题共8 小题,每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若其中i 是虚数单位，则 复 数:=崎?是 （A）A.正实数 B.负实数 C.纯虚数 D.虚数解 析 因为D 0.所以之=（+.（_）=-2-2.已 知 集 合 八=/卜=斤?,3=仃|y=小）.其中。是自然对数的底数则 4 0 8 =（D）A.0 B.2,+oo）C.2,4-oo）D.（0,214解 析 因为4一/0.所 以 人=1|-2
2、才&2.因为函数丁=c 0）从而 ADB=（0 2 3.城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据增长得越快.说明生活水平越高.消费能力越强.某地区2010年至2019年城乡居民人均可支配收入如图所示则下列说法中错误的是（B）城乡居民人均可支配收入/元T-城镇*农村（第 3 题）年份A.这些年该地区居民生活水平在逐步提高B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大丁 蔚 析 人均可支配收入的增长并不是每一户家庭可支配收入的增长所以B28错误.4.若向量 a=(
3、l，1)，b=(-4,0),c=X a+b 则|c|的最小值是(C)A.2 B.42 C.272 D.4d解 析 因为 a=(l,1),b=(-4.0),所以 c=2 a+8=。-4 入)，从而|c|=/。一4尸+1=/2 六一8；1 +16=5/2(。一2)2+8 所以当t=2 时，|c|取最小值2女.5.在(6+)”的展开式中,第4 项与第5 项的二项式系数相等则系数最大的有理项是(B)A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项解 新 因为第4 项与第5 项的二项式系数相等所以a=C 3 得=7.因为通项公式为7vH=C；(6),所以第4 项是系数最大的有理项.6.已知
4、函数/(?)满 足/(一 1)=/(7)且在(0.+8)上单调递减.若a=f(logo.2 3).=/(1。&0.2)c=/(0.23),则 a,c 的大小关系为(C)A.a 6 c B.a c C.c a b D.c a解 析 因为/(*)满 足/(一 J)=/(1),所以 a=/(logo,23)=/(-lo g 5 3)=/(log33).A =/,(log35).Q 0.5=log5/5 logs3 l.0V0.23 Vo.2】=0.2,所以 1。&51霏530.230.又因为/(r)在(0,+8)上单调递减.所以。0。0)经过点(11)则圆/+2一2 一2仙=。面积的最小a b值是(
5、A)A.8K B.4K C.2K D.无最小值#因为直线5+卷=1 经过点(1.1).所 以,+；=1.即a+D=a.29因为 a 0,b0,所以M=a+6 2Q,解得必 4当且仅当a b=2时等号成立.由圆了2+）2 2UJT2 y=0得圆心坐标为（a ）半径为/a+，.所以圄的面积5=”（小+。2）=疝储+力）2 2 4/订=疝（曲）2 一 2 0 瓦1，因 此 当 即a=b=2时圆的面积S 取最小值8 7 c.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5 分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得。分,部分选对的得3分.9.若函数/（1）=s
6、in （公丁+少）（0 0.-7 1 少0,且/（+1）为奇函数那么下列结论中正确的有（ABD）A.函数/（才）的图象关于点（1 0）成中心对称B.对于任意的八,不等式乂三.二/文?2 1恒成立-2,1 -孙C.曲线丁=/（才）上存在一点.使得该点处切线的倾斜角是45D.不等式的解集是（1+8）口安 静 析 对于A,由/1+1）为奇函数可得函数/Q）的图象关于点（1.0）成中心对称正确.对于B令 F（才）=/（/）+/则F（i）=/a）+l 0.从而F（.r）为增函数.所以对于任31F(.r I)F(#2)一12 0,可得)一/(-2)qZ 2一1 正确.对于C,由/&)+1 0知曲线N =/
7、(I)上任意一点处切线的钎率均大于一1 ,但并不一定取到所有大于一 1的实数.所以未必有点使得在该点的斜率为1 故C不一定成立.对于D,由函数/(于的定义域为R./&+1)为奇函数得/(1)=0.令G a)=/(r)+i一1.则 G(/)=/Q )+l 0.所以 G(z)为增函数.又因为 G(l)=/(l)+l l=0所以G(z)0的解集为(1,+o o),即不等式/(工)+1的解集是(1.+8)正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2。分.1 3 .若I 0,关 于 的 不 等 式/一&工+9 2 0恒成立，则实数”的最大值是色二 一 斛折 因为工0,所以0+，恒成立.因为了+2/=
8、6,当且仅当_ r =3时取等号.所以实数 的最大值是6.1 4 .已知过抛物线(/=2 0)的焦点F的直线/交抛物线C于A.B两点，线段A B的长为8.且M i的中点的横坐标为3,则焦点F的 坐 标 是(1,0).力：解析 设A(.口yi),3(/2，山),则 产 二=3,即彳1+n=6.因为A B=A F +B F=(z i+1)+(工2+4)=乃+4+/=8,所以;=2,故焦点F的坐标为(1,0).1 5 .干支纪年法是我国的一种传统纪年方法如1 9 1 1年“辛亥革命”中的“辛亥”.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.“十
9、天干”以“甲”字开始“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配,组成了干支纪年其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；中甲、乙酉、丙戌、癸巳:；甲寅、乙卯、丙辰、癸亥.如此配对周而复始.循环使用在上世纪中.除了 1 9 1 1年，1 9 7 1年也是辛亥年.斛 析 当“十天干 使用6轮 十二地支”使 用5轮时.恰好是一个周期,共有6 0个配对所以1 9 1 1年后再过6 0年.即1 9 7 1年也是辛亥年.1 6 .在三棱锥P-A B C中PA =B C=2 6,PA J_ B C三棱锥P-A B C外接球的半径为点,则三棱锥P-A B C外接球的体积是8届(2分)，三棱
10、锥P A3C体积的最大值是(3分).斛 析 由球的体积公式有V 5兀X(而 尸=8死兀记三棱镇P-A B C外接球的球心为().因为 O P=O A=O B=O C=而.PA =B C=2悟.所以PA,3(、的中点均在以O为球心、Q为半径的球面上，3 2从而异面直线PA.BC 间的最大距离为2之，所以匕7*的最大值是5 X（：X 2点 X 26）X 2 6 4点.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在 亡+古 4 对任意的 GN恒成立，A是数列3“）中的项,且SA+IVS*+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答
11、.问题:已知数列%是各项均为正数的等差数列,其前项和为S“数列出力是等比数歹人且卬=3,d=1,2+瓦=2,田+d=16.是否存在正整数K 使得?若 存在，求出人的最小值;若人不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.斛 折 记等是数列 的公差为4,4 0,等比数列 ”的首项为伍.公比为q,因为 a 1=3,。5=（/=1 所以。2+d=3+4 4 仇二=2.即+q=1 ；。3+8=3+2/+仇q6=6即 2d+q2=13.2 分=5,(所以5:+助+&+比 0即S V S-所以不存在 使得SASI,故不存在满足题意的.10分18.（本小题满分12分）在平面凸四边形 A
12、BCD 中.AB1BD.AB:C D：B D=2：3 ：4.（1）若N 3 A C=孑求A B C 的面积与A C D 的面积之比；(2)若N C D B=g,求 cos Z A B C 的值.斛析(1)由 A3 ：C D HI)=2:3 ：4,设 A3 =2/CD=3 八 B D=t(t0).在ZABD 中ABJ_BD,AB=2/.BD=4/,所以 A D=J(2f/+(4/产=2店/cosN B A D=g,sin/B A D =等.2 分因为N B A C=,所以 sin/D A C=sin/BADcos-y-cos NBADsin A =.4 分从而_ 2SAA(Y)1 2X AB X
13、 AC X sin ZBACXAD XAC Xsin/D AC3 X 2/XAC X-y-：X2 原 XACX 窄16 分(2)在BCD 中,N C D B=g,BD=4G CD=3Z.由余弦定理得 BC2=(4/)2+(3/)2-2 X 4/X 3/X co sy=13/2.所以 B C=/l3 z.8 分由 正 弦 定 理 得 =：、口”，所以sin NC3 D=驾 兽，.10分K sin X CDD ZOs in.从而 cosNA3 C=cos（/C B D+I）=sinN（BD=.12 分x L Zb19.（本小题满分12分）p A F D,如图在长方体A B C D-A/C，中,AB
14、=2/Vh，点E在棱A 出 上，且 A 国=4 A|E.点 F 在 棱 上.，:洛 匕 外（D 求证:平面AEFJ_平面A：BF；B C（第19题）（2）若 B F 与平面A A id D 所成的角为45求二面角F-AE-133 4的余弦值.得 析 （1）证 明：因 为 四 棱 柱A BC D-A.B.C iD,是 长 方 体 所 以 四 边 形A B B A是矩形.因为 A 31 =4A i E AB=2AA所以 AA】=2Al E.在ABA1和中，N A iA B=N E A iA=90,A/3 =2AAi，AAi=2AlE.所以 A BA i s/A i AE.从 而/ABA i=/A
15、i AE.又因为N B A|A+N A 3 A i=90,所以N B A|A+N A iA E=90即 A _L A E.2 分因为四棱柱A B C D-A i&C iD 是长方体所以A F J _平面ABB,At.又因为AEU平 面ABBIAI 所以AiF_LAE.4分因为 A|BJ_AE AiFJ_AE A1B D AIF=AI.A.B.A/U 平面 A|3 F 所以八6_1_平面A】BF.又因为AEU平 面AEF,所以平面AEF_L平面 A B F.6分(2)以直线A B为/轴 直 线A D为了轴.直线AA1为之轴建立如图所示的空间直角坐标系.7分令 AB=4a则 A(0 0.0),3(
16、4a,0,0).A(0,0.2a KE(a,0.2 a).设 F(0,t.2a)(f0),所 以 辞=(-4 a,1,2 a).易知平面AAD,D的一个法向量为标=(4a,0,0),所以|前|=/2 0日+八.|AB I=4,BF-AB=-16a2.因为H F与平面A A iD J)所成的角为45所以|cos|=16a2720a2-t2 X42（第19题答图）解得 7=2 6 a,即 F(0.2 6 a,2a).9 分易知平面A B E的一个法向量为i=(0,1,0).设平面A E F的一个法向量为2=(1，之).因为A E=(a,0.2a).AF=(0 26 a,2a),A E=a i+2a
17、N=0.所以彳 一 1/i2 AF=2/3ay-l-2az=0.令P=禽，得工=一2点.)=-1,即 叱=(一2点.一1 V3).11分又|=1,|n2|=4.Hi 2 =-1-1所以 COSm n2=71TX747 =-47-因为二面角F-AE-H的平面胸是钝角，所以二面角F-AE-B的余弦值为一412分3 52 0.（本小题满分1 2 分）2 0 2 0 年将全面建成小康社会是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段.某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3 ：2.用分层抽样的方法.收集了 1 0 0 户家庭2 0 1 9 年家庭年收入数据（单位:万元）绘制的频率直方图如图
18、所示,样本中家庭年收入超过1.5 万元的有1 0 户居住在山区.（1）完成2 0 1 9 年家庭年收入与地区的列联表并判断是否有9 9.9%的把握认为该县2 0 1 9 年家庭年收入超过1.5 万元与地区有关.超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计.n(adbe)2 一 田&.,附:1 =储+)(0+)储+0)(+4)其中=+乩k2.0763.8416.63510.828P(X2 k)0.1000.0500.0100.001 根据这1 0 0 个样本数据将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策.从 2 0 2 0 年 9月到1 2 月,每月从该县2 0 1 9 年家庭
19、年收入不超过1.5 万元的家庭中选取 1 户作为“县长联系家庭”记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X.求 X 的分布列和数学期望E（X）.=解 新（1）因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3 :2 且采用分层抽样.所以样本中平原地区家庭户数是6 0,山区家庭户数是4 0.1 分由频率直方图知家庭年收入超过1.5 万元户数的频率为（O.5+O.4+0.1）X 0.5=0.5,所以家庭年收入超过1.5 万元的户数为1 0 0 X 0.5 =5 0.家庭年收入不超过1.5 万元的户数为 1 0 0 5 0=5 0,.2 分从而3分超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区1030
20、40总计50501003 6由 2X2 列联表知 a=40.6=20,c=10.4=3 0 =100.所 以Y =100X(40X3 0-20X10)2-60X40X50X50-6.7A0.828.I分又因为 P（12210.828）=0.001,.5 分所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关.6分（2）记“从2019年家庭年收入低于1.5万元的家庭中选取1户是山区家庭”为事件A.则P(A)=3 0563 _5从2020年9月到12月.每月选1户，所以共选4次.从而X1B（4.上）且X的可能取值为0,1 2,3,4.8分则 P（x=o）=传）；蒜，P（x=1
21、）=cj x（f）1x（|）3=,P（X=2）=C?X（|）ZX（f）=g.p（x=3）=a x（f）Jx（f）,=g|./q&RIP（X=4）=传）=砺,.1。分所以X的分布列如下：于是 E,(,Xv).=0AXV 诙16+,1.vX 港96+,2OXv演216+,33XV,2数16+,4 X砒81=亏12.X01234P16625966252166252166258162512分21.（本小题满分12分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭画交于点M.N.我们把线段M N称为椭圆的通径.在平面直角坐标系M y中,椭圆E的中心在坐标原点,焦点在/轴上.，通径长为3圆O以椭圆E的短轴为直径,且通
22、径被网O截得的弦长为笈.（1）求椭圆E的标准方程和圆（）的方程.（2）设直线/沙=如、一1与椭圆E交于AB两点，与圆O交于P,Q两点，是否存在实数殷使得PQ是线段A 3的三等分点？若存在,求出直线/的方程;若不存在，请说明理由.解 析 （1）设 椭 圆E的标准方程为，+，=1（。6 0）,焦距为2 c.则a23 7=+/将/=c 代入椭圆E的方程得了=土一.b2因为通径长为3,所 以 2 X-=3 .2 分a因为圆（）以椭圆E 的短轴为直径.所以设圆O的方程为+3 2=.因为通径被圆。截得的弦长为2笈.所以2=/+（）2.4 分a2=62-f-c2,a=，b2由J2XJ=3.解 得%=反 2=
23、/+（尸，鼠一】才 2 y2所以椭圆E的标准方程为了+七=1 圆O 的 方 程 为 小+力=3.6 分（2）记 A B 的中点为T.假设存在 仙 使 得 P,Q 是线段A 3的三等分点则P T=Q T.所以OTJ_AB即瓦万 4.=-1.8 分设 A C-，y i）,B（.r2,y2）*T（I3,y3）.j-2 v2将 y=k jr 1 代入Tl-=1.整理得（3 +44*）x28.r8=0,4 3由根与系数的关系得4+八=益、?3 十缺10分所以X31|+7 2 _ 联-2=3+止联 一3y,k s+J t7 l 3+te-y Q O O O当A#0 时一5 i 于是瓦4 4加尸77 XZr
24、-.这与儿”kAlt=1X30 软 44 4矛盾不符合题意；当4=0 时.将？=-1 代 入:十 方=1/2+3 2=3.得才八”=土 等/,（3=&不 符合题意.所以假设不成立，故不存在实数Q 使 得 P.Q 是线段A 3的三等分点.12分22.（本小题满分】2 分）已知函数八）=ln（z+l）I.1）求 函数/（/）的极值；3 sM +1若数列 满 足。,=2.尸 “，求证：当C N.时 皿4e,其 中e是自然对数的底数.丁 解 新 (1)依题意知函数/1)的 定 义 域 为(-1,+co),f/(x)=-i =2分一才中.令/(i)=0得 x=0则有:4分X(-L 0)0(0.4-0 0
25、)/(X)十0-/(X)极大值所以函数/(.r)的极大值为/(0)=0,无极小值.14-1(2)证明：因为 a i=2,所以2=1 Xai=4.E,7/+】.1 因为”+】=/一a“，所以。”+1 =(1+1，两边同时取对数得Ina“+i=ln(1 +ln a”.由(1)知/()=ln(x 4-l)-r 在(0,+8)上为减函数,且/(0)=0,所 以/(，)=ln(，+l)，V 0恒成立即In(+1)，恒成立.6分8分所以 lna”+i=l n(n-7)+Ina“d +lna”V-7-rrH-lnaM=r 4lnaw n1 n nn-1)n 1 n从 而In V1)-|-lnurt-i岛-尚)+一 总)+1(七一尚)+(尚一润)+(-!)+卜 3+,+(*)+(-y)+ln a2=1-r-1-ln 4.一1所以 In a.V l+ln 4,即 e,+ln4=4e.综上当 ME N 时.a.V 4 e.12分39