《江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷（三）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷（三）（解析版）.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷(三)(满分：1 5 0 分，考试时间：1 2()分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若(。+4)(1 一i)0,其中i 为虚数单位，则复数Z =是()1 +ZA.正实数 8.负实数 C.纯虚数 D.虚数2 .已知集合4 =%及=或 二/,8 =,卜=/,其中e 是自然对数的底数，则 A fl8=()A.0 B.2,+o o C.2,+o o D.(0,2 3 .城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强,某地区
2、2 0 1 0 年至2 0 1 9 年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是()城乡居民人均可支配收入/元2010 2011 2012 2013 20H 2015 2016 2017 2018 20)9 年份A.这些年该地区居民生活水平在逐步提高B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大4 .若向量 a=(1,1),b=(-4,0),c=4 a+Z ,则|c|的最小值是()A.2 B.&C.2A/2 D.45.在(6+)”的展开式中，第 4项与第5
3、项的二项式系数相等，则系数最大的有理项是()XA.第 3项 氏第4项。.第 5项 D第 6项6 .已知函数/(幻 满足/(-%)=/(%)，且在(0,+o o)上单调递减.若 a=/(l o g0 2 3 b=/(l o g3 0.2),c =/(0.23),则,b,c的大小关系为()A.a h c B.b a cC.c a b D.c h a7.车牌识别道闸系统是一个广泛应用的智能系统，先将机动车车牌号存储在系统中，当检测的机动车车牌号与系统中存储的机动车车牌号一致时，道闸会自动打开，否则不打开，那 么“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的()A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C.
4、充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若直线汇+，=1(。0/0)经 过 点(1,1),则圆1 +；2一2办一2刀=0 面积的最小值是()a bA.8万 B4 C.27r D.无最小值二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分.9.若函数/(x)=sin(3 +)3 0,万的最小正周期为万，其图象如图所示，则下列结论中正确的 有()A.s=2,(p=3JT LjrB.函数/(x)图象的对称轴方程是x=丘+-(%e Z)C.函数/(x)的 减 区 间 是 噌+%肛 居+b r(Z e
5、Z)7TD.函数/(x)的图象向右平移:个单位长度后得到函数y=sin 2 x 的图象1 0.已 知 双 曲 线 -=1的左焦点为F,则下列结论中正确的有()4 54A.双曲线C 的准线方程是x=32 2B.双曲线C 与 双 曲 线 上-上=1有共同的渐近线5 4C.双曲线C 上到左焦点F 距离为5 的点有4 个D.过点P(4,V15)与双曲线C 只有一个公共点的直线有两条1 1.如图，在正方体A B C。-A ge，中，E是棱A 片的中点，P是线段4。(不含端点)上的一个动点,那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有()A.存在某一位置，使得直线P E 和直线8 月相交B.存在某一位置，使
6、得BC/平面AE PC.点4 与点B,到平面P B E 的距离总相等D.三棱锥 -P B E的体积不变1 2.已知函数/(x)的定义域为R,其导函数f(x)满足/(幻+1 0,且/(x+1)为奇函数，那么下列结论中正确的有()A.函数/(幻 的图象关于点(1,0)成中心对称B.对于任意的内工，不等式,(*)/(/)一 1 恒成立C.曲线)，=.f(x)上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是4 5 D.不等式f(x)+x l的解集是(l,+o o)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3 .若 Q0,关于x的 不 等 式 权+920恒成立，则实数。的最大值是.1 4 .已知过抛
7、物线C:y2=2 x(p0)的焦点F的直线/交抛物线C于 A,B 两点，线段A B 的长为8,且A B 的中点的横坐标为3,则焦点F的坐标是.1 5.干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥.“十天干 以“甲”字开始，“十二地支 以 子 字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸西、甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙西、丙成、癸己、甲寅、乙卯、丙辰癸亥.如此配对，周而复始，循环使用.在上世纪中，除了 1911年，年也是辛亥年.16.
8、在三棱锥P-ABC中，PA=BC=2g.PA B C,三 棱 锥P-ABC外 接 球 的 半 径 为 后，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（2分），三棱锥P-ABC体积的最大值是（3分）.四、解答题：本 题 共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在!对意的 e N*恒成立，ak是数歹ij中的项，&SN且SE S/+2这S 2 S3 S三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问 题：已 知 数 列 /是 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列，其 前 项 和 为S“，数 列 ，是 等 比 数 列，且q =3,仇=1,%+=2,%+%=1
9、 6,是否存在正整数3使得？若攵存在，求出女的最小值；若女不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）在平面凸四边形 ABCD 中，ABBD,AB：CD：BD=2：3：4.jr（1）若NBAC=，求AA BC的面积与AACD的面积之比；47T（2）若NCD8=,求cosNABC的值.319.(本小题满分12分)如图，在长方体ABC。中，A6=2A4 点 E 在棱4 片上，且 A百=4 4 后，点 F 在棱上.(1)求证：平面AEFL平面A B F；(2)若 BF与平面A A,。所成的角为45,求二面角F-AE-B的余弦值.2 0.(本小题满分1
10、2 分)2 0 2 0 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺，目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2.用分层抽样的方法，收集了 10 0 户家庭2 0 19 年家庭年收入数据(单位：万元),绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5 万元的有10 户居住在山区.(1)完成2 0 19 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有9 9.9%的把握认为该县2 0 1 9 年家庭年收入超过 1.5 万元与地区有关.超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：V=其中k2.0763.8416.63510.8280.1000.050
11、0.0100.001(2)根 据 这 1 0 0 个样本数据，将频率视为概率，为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 2 0 2 0 年 9月到 1 2 月，每月从该县2 0 1 9 年家庭年收入不超过1.5 万元的家庭中选取1 户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求 X的分布列和数学期望E (X).2 1.（本小题满分12分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点M,N,我们把线段M N称为椭圆的通径在平面直角坐标系xO），中，椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3,圆O 以椭圆E 的短轴为直径，且通径被圆。截得的弦长为行.（1）求椭圆E 的标准
12、方程和圆。的方程.（2）设直线/：丁 =4 1 一1与椭圆 交于人，B 两点，与圆。交于P,Q 两点，是否存在实数%,使得P,Q是线段A B的三等分点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 2.(本小题满分1 2 分)已知函数/(x)=l n(x+I)-x.(1)求函数/(x)的极值；九2.1(2)若数列%满足q =2,4+求证：当wN*时，afl0,其中i 为虚数单位，则复数z =生 必 是（）1 +zA.正实数 负实数 C.纯虚数 D.虚数【答 案】A【解析】因为（。+所以z(a +6 i)(l i)(a 4-6 i)(l i)-2-0-2 .已知集合 4 =%心=/4一 2
13、 ,3 =川,=八 ,其中e 是自然对数的底数，则AP I8=（）A.0 B.2,+o o C.2,+o o D.(0,2【答 案】D【解析】因 为 4 一工2 0,所 以 A=z|-2&z2.因 为 函 数）=-的值域为（0,+8）,所以 B =y|y 0 ,从而 A 03=（0，2 .3 .城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强,某地区2 0 1 0 年至2 0 1 9 年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是（）城乡居民人均可支配收入/元70 00060 00050 00010 00030 00020 00010 0000
14、城就T-农村2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份A.这些年该地区居民生活水平在逐步提高B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大【答 案】B【解析】人 均 可 支 配 收 入 的 增 长 并 不 是 每 一 户 家 庭 可 支 配 收 入 的 增 长,所 以B错 误.4.若向量力=G4,0),c=2 a+b,则|c|的最小值是()A.2 B.V 2 C.2 V 2 D.4【答案】C【解析】因为a
15、=(l,1),b=(4,0),所 以c=a G+b =(2一4,入)，从 而|c|=7(A-4)i+A2=/2 A2-8 A +1 6 =/2(A-2)2+8，所以当；I =2 时，|c|取最小值 2花.5 .在(6+工)”的展开式中，第4项与第5项的二项式系数相等，则系数最大的有理项是()xA.第3项 B.第4项 C.第5项。第6项【答案】B【解析】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以a=C，得篦=7.因为通项公式为T r+i=G(、/7)7 f (=),所以第4项是系数最大的有理项.6 .已知函数/(X)满足/(x)=/(x),且在(0,+8)上单调递减.若。=/(l og0 2 3)
16、,b=/(l og30.2),c =/(0.23),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.b ac C.cab D.cb a【答案】C【解析】因 为/(z)满 足/(一)=/(工)，所 以a=/(l og o.2 3)=f(l og 5 3)=/(l og s3),6=/(l og 3 5).g)0.5=l og5y5 l og53 1 0&3 0.2 3 0.又因为/(7)在(0,+8)上单调递减.所以6 V ac.7 .车牌识别道闸系统是一个广泛应用的智能系统，先将机动车车牌号存储在系统中，当检测的机动车车牌号与系统中存储的机动车车牌号一致时，道闸会自动打开，否则不打开，那 么“机动
17、车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解 析】依 题 意 知 当 且 仅 当 系统中存储了机动车甲的车牌号，道闸会自动打开.机动车甲的车牌号是否已存储在系统中并不知道，所 以 不 能 推 出 道 闸 一 定 自 动 打 开；而道闸自动打开.却不一定是机动车甲在车牌识别，也可能是机动车乙在车牌识别.因此，“机动车甲在车牌识别”是“道间自动打开 的既不充分也不必要条件.8 .若直线+2 =l(a 0,b0)经 过 点(1,1),则 圆/+；/一2 2 b=0面积的最小值是()a bA.8 B4 7 C.2 D
18、.无最小值【答案】Ar v 1 1【解析】因 为 直 线 二+/=1经 过 点(1，1)，所以一+7=1，即醒 i rr 1/1 a b a o因为 a 0,。0,所 以=。+)2.解 得 2 4,当 且 仅 当a=b =2时等号成立.由 圆x2+*4y2一2 a z 2by=0得 圆 心 坐 标 为(a,半 径 为/1+4，所 以 圆 的 面 积 S =7 t(a2+f t2)=n (a +b Y-2 a b =n L(a b)2-Z a b ,2 21 0.已知双曲线土-匕=1的左焦点为F,则下列结论中正确的有()4 5因 此 当a，=4,即a=b=2时，圆 的 面 积S取 最 小 值8
19、7 r.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，有选错的得0分，部分选对的得3 分.9.若函数/(x)=si n(3+)30,万的最小正周期为万，其图象如图所示，则下列结论中正确的 有()A.co=2,(p=irr K 7TB.函数/(x)图象的对称轴方程是x =三+看/w Z)Ji 7 7 rC.函数/(X)的减区间是 五+而，五+k G*6 Z)7TD.函数f(x)的图象向右平移y 个单位长度后得到函数3；=5 亩2 1 的图象【答案】A B C【解析】因为T=冗所以3=2因为直线1=子左侧第一个最高点的横坐标是
20、名一4=去 直 线=千右网第一个最低点的横坐标是9+=东3 4 1Z所 以 对 称 轴 方 程 是 工=+饮 AWZ).减 区 间 是 悟+时,蒋+垢 0故B和C正确.IM i t L1 4 1 w .将N=3 y=l代入检险可知少=手符合题意故A正确.要得到函数y=sin 2x的图象.应将函数/(x)的图象向右平移 个单位长度.故D错误.n4A.双曲线C的准线方程是元=3B.双曲线C与双曲线匕一二=1有共同的渐近线5 4C.双曲线C上到左焦点F距离为5的点有4个D.过点P(4,V15)与双曲线C只有一个公共点的直线有两条【答案】A B【解析】对 于A.由双曲线C的方程知a=2 =而，c=3.
21、所 以F(-3,0),准线4方程为z=故A正确.v2 J-2 L对 于B,双 曲 线C与双曲线七7 =1的渐近线方程均为店1 2 =0.故B正瑜.时于C.双 曲 线C的左支上有两个点到点F的 距 离 为5,右支上只有顶点到点F的距离为5,故C错误.对 于D.点P在双曲线C上.过 点P与渐近线平行的直线与双曲线C只有一个公共点.与双曲线C相切的直线与双曲线C也只有一个公共点，共3条.故D错误.n.如图，在正方体A6C。4 g G 2中，E是棱a用的中点，p是线段4 c (不含端点)上的一个动点,那么在点p的运动过程中，下列说法中正确的有。A.存在某一位置，使得直线PE和直线B片相交B.存在某一位
22、置，使 得BC/平面AEPC.点4与 点 到 平 面PBE的距离总相等D.三棱锥G-P B E的体积不变【答案】B CD【解析】对 于A.假设存在.则B.BL E.P四点共面.而点P不在平面BbE内.错误.对于B.因为B C平面A E D.所以当P是直线AC与平面A E D的交点时就满足要求.正确.对于C.因 为 的 中 点E在平面PBE内.所以点A 1与 点&到 平 面P/3E的距离总相等.正确.对于D.易证AC 平 面 皮；E.所 以 点P到 平 面BCE的距离为定值.从而三棱锥P-B G E的体积为定值.即三枝推CPBE的体积为定值.正确.1 2.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f
23、(x)满足/(幻+10,且/(x +1)为奇函数，那么下列结论中正确的有()A.函数/(x)的图象关于点(I,0)成中心对称B.对于任意的声x2,不等式八%)二/2)恒成立占一工2C.曲线y =/(x)上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是4 5 D.不等式/(x)+x 1的解集是(l,+o o)【答案】A B D【解析】对 于A.由f C r +D为奇函数可得函数八工)的图象关于点(1.0)成中心对称.正确.对 于B.令FC r)=f(H)+H,则FC r)=，(工)+1 0.从而FC r)为增函数，所以对于任意的 JCITJCZ，F5)T5)0,可得，5)T5)1.正琉对于C,由/C r)+
24、l 0知 曲 线 上 任 意 一 点 处 切 线 的 斜 率 均 大 于 一 1,但并不一定取到所有大于一 1的实数,所以未必有点使得在该点的斜率为1,故C不一定成立.对 于D.由函数八工)的定义域为R J(z +D为奇函数.得八1)=0.令G(Z)=/(H)+H一1.则G(1 r)=f(H)+l 0,所以G(工)为增函数.又因为G(1)=/(D +1 1=0,所以G)0的解集为(1.+8),即不等式f(z)+z l的解集是(1.+8),正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分.1 3.若x 0,关于x的 不 等 式/一 改+9 2 0恒成立，则实数。的最大值是.【答案】6【解析
25、】因为10.所以a+-9恒成立.因为.r +?2 j.r X =6.当且仅当J=3 时取等号.所以实数a的最大值是6.1 4.已知过抛物线C:y 2=2 p x(p 0)的焦点F的直线/交抛物线C于A,B两点，线段AB的长为8,且AB的中点的横坐标为3,则焦点F的坐标是.【答案】(1,0)解 析 设 A b i,y i),B(x2.r),则*,*2=3,即 H I+HZ=6.因为 A B=A F+BF=（H I+）+（S+9F+H I+/=8,所 以。=2,故焦点 F 的坐标为（1,0）.15.干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如 1911年“辛亥革命”中的“辛亥”.天干：甲、乙、丙、丁、戊
26、、己、庚、辛、壬、癸.地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥.“十天干”以“甲”字开始，“十二地支以子字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸西、甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙西、丙成、癸己、甲寅、乙卯、丙辰癸亥.如此配对，周而复始，循环使用.在上世纪中，除了 1911年，年也是辛亥年.【答案】1971【解析】当十天干使用6轮、“十二地支”使 用5轮时.恰好是一个周期,共有60个配对，所 以1911年后再过60年,即1971年也是辛亥年.16.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=2j.PA_LBC,三 棱 锥 P-ABC外接球的半径为 后，则三
27、棱锥P-ABC外接球的体积是（2 分），三棱锥P-ABC体积的最大值是（3 分）.【答 案 8叁上；46.【解析】由球的体积公式有乃 尸=8西 式记 三 棱 维P-A B C外 接 球 的 球 心 为O.因为 O P=Q A=Q 8=O C=H,P A=B C=2 7 3,所 以P A,B C的 中 点 均 在 以O为 球 心、点 为 半 径 的 球 面 上，从 而 异 面 直 线P A,间 的 最 大 距 离 为2倍.所 以 的 最 大 值 是:x l g x Z&X 2声）X2悟=4伍.四、解答题：本 题 共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10
28、分）在 -S i 且 S i 0,等比数列 6“的首项为名，公比为q.因为。1=3,bs=biq=1.所以 a?+d=3+d =2 即 d+q=1;心+8=3+2 4+仇q6 =6,即 24+q2=1 3.由得，q=5,d=-6（舍去）或wq=-3d =2.所以仇=、从 而b=（一3尸 一5an=2+1.2分4分6分选择条件:若SA?+x”=”(+2),则1一一L)，L Z w 十所以 J +J-+*=i x (1-)+(y-T)+()+o i o z 0 3 3“乙 L 3，L 4，3 5 -务)+(，-V 3)=4X(1+1-今 一-3).8 分vi 1 十 1，十2，L Z 十 1 十2
29、，1 1 1 1 1 1 Q Q因为中+中 所以耳+&+于是无 7 所以A的最小正整数值为1.1 0分选择条件：因为人=2+1是 大 于1的整数.要使数列出”中 的 某 一 项 是 须2+1 =（3尸7,且为大于5的奇数，8分所以当”=7时,可得的最小正整数值为4.1 0分选择条件：因为5._ 3+(2+1)=2X”=(+2),所以 S*+|-S =(6 +D(A+3)-4(A+2)=2女+3.8 分从而对于任意的正整数 .均有24+3 0.即S*S a+故 不 存 在 满 足 题 意 的.1 0分1 8.（本小题满分12分）在平面凸四边形 ABCD 中，AB1BD,AB：CD：BD=2：3：
30、4.TT(1)若ZBAC=,求4A B C 的面积与AACD的面积之比；4TT(2)若 NCDB=,求 cosN A B C的值.3【解析】(1)由 A8：CD：BD=2:3:4.设AB=2i,CD=3t,BD=4t(z 0).在AABD 中AB=2t,BD=4t,所以 AD=，(2f)2+(4i)2=Z氐、cos/BAD=空，sin/BAD=誓.2 分0 o因为N B A C=S4所以 sin ZDAC=sin ZBADcos 多T T 一cos/BADsin“275 X管72一 胃75 乂/2手=/笑Io,4 4 0 Z b Z 1U.4分c4 XAB X AC X sin ZBAC X2
31、fXACX 坐从而学-=-=i.6分yXADXACXsinZDAC 枭同 XACX 点乙L 10(2)在ABCD 中,N C D B=S BD=4z,CD=3t.o由余弦定理得 BC2=(4/)2+(3Z)2-2 X 4/X 3ZXCOS-=13/2,0所以 BC=713z.8 分由正弦定理 得 巫 工=.与 会.所 以sin/CBD=磬,.10分K sin Z_CD L)26s mT从而 cos/A BC=cos(N C B D+)=-sinN C B D =-.12 分1 9.(本小题满分12分)如图，在长方体 中，A6=2 A 4 j,点 E 在棱A 片上，且,点 F 在棱为？上.(1)
32、求证：平面AEFL平面4 8 户；(2)若 B F与 平 面 所 成 的 角 为 45,求二面角F-AE-B的余弦值.【解 析】(1)证 明：因 为 四 棱 柱A B C D-A t B i C t D t是 长 方 体.所 以 四 边 形ABBiAi是矩形.因为 A Ii=4A|E.AB=2AAi.所以 AAi=2AIE.在AABAi 和AjAE 中，NA】AB=NEAiA=90,A B=2A At,A A=2AtE,所以ABAiSAAiAE.从而 NABAi=ZA,AE.又因为NBA1A+/ABAi=90,所以NBA|A+/A|AE=90.即 A|B，AE.2 分因为四棱柱ABCD-AIB
33、 C DI是长方体.所以A F，平 面ABBA1.又因为AEU平 面ABB1A1.所以AiFJ_AE.4分因为 A|B_LAE,A,FAE,A|BC|A|F=AI，AIB,A】FU 平面 A|BF.所以八七上平面 ABF.又因为AEU平 面AEF.所以平面AEFJ_平面AiBF.6分(2)以直线A B为 轴 直 线A D为y轴 直 线A A i为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.7分令 AB=4。则 A(0,0,0),B(4a.0,0),A1(0,0,2a),E(a 9 0.2 a).设 F(0,t,2a所 以 正=(-4 a,t,2 a).易知平面A A D D的一个法向量为AB=(4a,0
34、,0),所以|诟|=/2 0。2+八，|A B|=4a.BF /W=-1 6 a 因为B F与平面AAi。所成的角为45,所以 1|cos BF.A B)|=:吗-=咚，J20a 2十八 x*2解 得，=26 a,即F(0,2点a.2a).9分易知平面A B E的一个法向量为1 =(0,1,0).设平面A E F的一个法向量为2 =Cr,y,z).因 为 荏=(a,0,2a).A F=(0,2悟a 2a),A E=ar+2az=0,所以 一-n2 1A户=2乃”+2az=0.令 之=倍 得 上=一2再，多=一1,即 产 一2后-b 73).11分又|=1,|n2|=4,n 2 =-1，一 1
35、1所以 cos=7T77=r.1X4 4因为二面角F-AE-B的平面角是钝角.所以二面角F-A E-B的余弦值为一.12分2 0.(本小题满分1 2 分)2 0 2 0 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺，目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2.用分层抽样的方法，收集了 1 0 0 户家庭2 0 1 9 年家庭年收入数据(单位：万元),绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5 万元的有1 0 户居住在山区.(1)完成2 0 1 9 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有9 9.9%的把握认为该县2 0 1 9 年家庭年收入超过
36、1.5 万元与地区有关.超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计.n(ad-bc):.附 了 =(a+-+d)(a+r)S+d)其中+。+4k2.0763.8416.63510.8280.1000.0500.0100.001(2)根 据 这 100个样本数据，将频率视为概率，为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 2020年 9 月到 12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取1 户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求 X 的分布列和数学期望E(X).从而【解析】(1)因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2,且采用分层抽样
37、.所以样本中平原地区家庭户数是60.山区家庭户数是4 0.1 分由频率直方图知家庭年收入超过1.5万元户数的频率为(0.5+0.4+0.D X 0.5=0.5,所以家庭年收入超过1.5 万元的户数为100X0.5=50.家庭年收入不超过1.5 万元的户数为 10050=50,.2 分超 过L5万元不 超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100.3 分由 2X2 列联表知 a=40,6=20.c=10,d=30,=100,所以X2=100X(40X302OX1O)260X40X50X50=16.710828.4 分又因为 P(Z2 10.828)=0.00b.5 分
38、所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关.6 分（2）记“从2019年家庭年收入低于1.5万元的家庭中选取1户是山区家庭”为事件A.则P（A）型=8,50 5,从2020年9月 到12月,每月选1户.所以共选4次，从 而XB（4,日）,且X的可能取值为0,1,2,3,4,则 P（X=0）=信）=蔑，8分P（X=1）=CJX（f）,xP（X=2）=C?X（y）隹）3,5 f 625隹=吗 5/625216625P（X=3）=Q X（f）1X（f），=P（X=4）=佶）嚏,.10分所 以X的分布列如下:X01234169621621681r625625625625
39、62581 12于是 E（X）=0X熟+1XbZn96625卜2X216625卜3X2166254-4X625512分2 1.（本小题满分12分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点M,N,我们把线段M N 称为椭圆的通径在平面直角坐标系xOy中，椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3,圆0 以椭圆E 的短轴为直径，且通径被圆。截得的弦长为行.（1）求椭圆E 的标准方程和圆。的方程.（2）设直线/：丁 =4 一1与椭圆 交于八，B 两点，与圆。交于P,Q 两点，是否存在实数攵，使得P,Q是线段A B 的三等分点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【解 杆？】（
40、1）设 椭 圆E的标准方程为.+*=1（“。），焦 距 为 2（，则a2=b2b?将工=c 代入桶B E 的方程得=土.b?因为通径长为3.所以2 X-=3.2 分a因为圆（）以椭圆E 的短轴为直径.所以设圆（）的方程为I 2+/=小.因为通径被圆O 截得的弦长为2笈，所以出=,2+（）2.4 分a2=b2+c2,介a=2,b2由 2 X 1=3.解 个 6=乃，从=/+（&）L G y2所以椭圆E 的标准方程为了+=1,圆。的方程为一+/=3.6 分(2)记A B的中点为T.假设存在人使得P,Q是线段A B的三等分点.则P T=Q T,所以O T _L AB.即瓦万 左 山=-1.8分设 A
41、(j i，ji),B(xi,jz).T(.X3 jj).I?1 y 2将 尸 儿r-l代入了+全=】.整理得(3+4/川 一8儿r-8=0,由根与系数的关系得与+以=翟 云，.1 0分3十”_ 皿+工2 _ 4 A 4 A 3所以工3 2-3+4 2*y3k 3+4/T 3+4吠当4#0时.儿江=22于是M,八=-g x&=-怖，这 与k(rr,AAB=-1Xz0 4佗 软 4矛盾,不符合题意；当 4=0 时，将 y =-1 代入宁+3=1，M+y2=3M”AB =,”p.Q=y 不符合题意.所以假设不成立.故不存在实数A,使 得P,Q是线段A B的三等分点.1 2分2 2.(本小题满分1 2
42、 分)已知函数/(x)=l n(x+l)-x.(1)求函数/(x)的极值；+(2)若数列%满足q =2,%讨求证：当 wN*时，an 4 e,其中e 是自然对数的底数.n【解析】(1)依题意知函数/(工)的定义域为(-1.4-0 0)./，(工)=不3 1 =令/&)=0,得 上=0.则有：X(-1.0)0(0,+oo)人工)+0/(X)极大值所以函数/(广)的极大值为 0)=0.无极小值.1分（2）证明：因为a i=2.所以。2=斗1乂=4.因为。=萼n4”，所以 a.+i=(l +/)a”，两边同时取对数得l na R+=l n(l+*)+l na e.6分由(1)知fC z)=l nC r+D一工在(0,+8)上为减函数，且 0)=0,所以/(/)=16+1)恒成立即l n(/+l)v/恒成立.8分所以 Ina.+i=l n(n-+l na.V +l na”V,1+l naM=r +l nan,n2/n2 n(n 1)-1 n从 而Ina.1(2-)+(1-)+l na.-z-2 n-P 3 nZf（力 尚）+（总 3）+（呆方）+卜。3（尚 尚）+（尚 尚）+6t）+（1/）+叱所以 In a 1 1V l +In 4,即 a.V e =4 e.综上，当 “G N 时,a“V 4 e.1 2分