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1、经济数学基础形成性考核册及参考答案经济数学基础作业1(-)填空题1.答案：02.答案：1 1 13.答案:y=-x-2 24.答案：2x5.设/(x)=x si n x,则(攵=.答案:(-)单项选择题Y 11.函数y=f-的连续区间是()答案：Dx+x 2A.(-00,1)U (l,+oo)B.(-oo,-2)u(-2,+00)C.(00,2)D (2,1)L J (1,4-Q O)D.(-oo,-2)u(-2,-F oo)或(-oo,l)u(l,+oo)2.下列极限计算对的的是()答案：B1 x 1Xf 0 xC.li m x si n =1*T0 x3.设 则 dy=(1 1 A.ax
2、B.d x2 x x ln lO4.若函数f(x)在点为 o处可导，A.函数/(x)在点x o处有定义C.函数，(x)在点出处连续B.li m 口1 x 1=1x-0*X v si n x 1D.li m-=1i s x).答案：BI n lO ,1,C.dx D.d.vxx则()是错误的.答案：BB.li m ”幻=A，但XT/D.函数/(x)在点x o处可微5.当X-0 时，下列变量是无穷小量的是().答案：CA.2Xsi n xB.-C.ln(l+x)D.c osxx(三)解答题1.计算极限rx 3x+2.(x-2)(x1)x 2(l)lim-=hm-=hm-I 尸 一1 (x-l)(x
3、+l)(x+1)_2rx2-5x+6.(x-2)(x-3)x-3 1(2)hm-.=hm-=hm-=-x2%-6x+8 I(%一 2)(无一 4)-2(x4)2limX TO yj X 1Xr(V1 x X+1)=lim-X T。X(A/1-X+1)lim-1-=lim*7。X(A/1-X+1)101(Jl-x+1)2_3+9 lim-x13-3-x-+-5-=hm v r2=-1(5)hm-s-i-n-3-x-=.h.m-5-x-s-i-n-3-x-3-=3-I8 3X+2X+4 I 0 2 4 3 sin 5x A 3xsin5x 5 53 H-1 TX X(6)扁 上4-11m(x 2)
4、(X+2)=4x2 sin(x-2)z2 sin(尤-2)2.设函数/*)=.1 ,xsm +b,xa,si n xx 0 x问：(1)当 为 什 么 值 时，/(x)在 x =0 处有极限存在？当。力 为什么值时,/(x)在 x =。处连续.答案：(1)当6=1,。任意时,/。)在 工=0 处有极限存在;(2)当。=匕=1时,/(x)在 x =O处连续。3.计算下列函数的导数或微分:(1)y=x2+2X+log,x-22,求 y 答案:y =2x +2*ln 2+1 x ln 2 ax+b 4,小 包 ,(2)y=-求 答案:y=cx+aa(cx+d)-c(ax+b)ad-ch(cx+d)?
5、(cx+d)2I 1 -3(3)丁 =,求 旷 答 案：y=(3x-5)2/=-zA.v 3x-5 j 3x-5 2j(3x 5(4)y=x e ,求 y答案：y 产(x +l)e(5)y=si n/?x ,求 d y答案:yr=(e )si n Z zx +e (si n/?x)=a e si n b x +e cosbx b=ea v(tz s i n /?x +Z?c os/?x)dy=eax(asinbx+b c os bx)dxQ _ 1 J.(6)y=铲+x,求d y答案：d y=(Vx-ev)d x2 x(7)y=c osV x-e-v,求d y 答案：d y=(2x e-A-，
6、亩 F)d x2j x(8)y=si n x +si n x,求y答案:y si n T x c osx +c os/tx n=n(si n,_|xcosx+cosnx)9 y=(x +V l y =-=(1 +|(1+X2P2X)=,1=(1+-)X+A/1+X“+A/1+厂 2%+4 +x 7 1+x17i+x2c .c oJ 1 +V x-V 2X/，依g(1 0)y=2*+-尸-，求y答案：y4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或d y(1)/+y 2-孙+3x=i,求d y答案：解:方程两边关于X求导：2x +2 yy-y-xy+3 =0(2 y-x)y=y-2 x-3 ,d y=
7、dx2 y-x(2)si n(x+y)+exy=4x,求 y答案:解:方程两边关于X求导cos(x+y)(l+y)+exy(y+xyr)=4icot2、ln 2 N 1 二-X 2+6x2si n-2 6x(c os(尤 +y)+exyx)y=4-yex-c os(元 +y),_ 4-y e-cos(x+y)“xexy 4-c os(r+y)5.求下列函数的二阶导数：9 _ 7 r2(l)y=ln(l+/),求 答案：。二(1+x)(2)y=-x，求 y 及了答案:y =3 x-2-+-2,/(l)=ly/x 4 4经济数学基础作业2(一)填空题1.若 J/(x)d x =2*+2 x +c,
8、则/(x)=.答案：2、I n 2+22.j(si n x)(i r=.答案：si n x +c3.若 J /(x)d r=F(x)+c，则 J -x2)d x =.答案:一 g F(-x2)+c4.设 函 数 E 1 l n(l +x 2)d x =.答案：05.若 P(x)=f /d/，则 Px)=.答案：,-(二)单项选择题1.下列函数中，()是 心 i n/的原函数.1 ,A.c osf2答案：D2.下列等式成立的是(A.si n x d x =d(c osv)。C.2 d x =-1-d(2)。ln 2答案：CB .2 c O S J T C.-2c osx D.-c osx 2).
9、B.I n xdx=d()xD.=dx=d V x3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.A.J c os(2x +l)d x,B.|xyll-x2dxC.J x si n 2 xdxD.-dx1+x2答案：C4.下列定积分计算对的的是（).A.j 2 xA x=2C.J (x2+x3)d x =0r 16B.J d x =15D.sinjdx=0J-n答案：D5.下列无穷积分中收敛的是().+001f-d r B.f1 x J1+001IC.Lr+8e+00si n x d x答案:B（三）解答题1 .计算下列不定积分3”q x o x ,4(1)J 答案:J =J ()dxexI
10、n -e(2)庄d xV X答案:J J寸(1+2X+J)V x1 3+2x 2+*2)1/-4 3 2工=2yjX+X2+X2+C3 5f x2-4(3)-d xJ尢+2答 案:d r =1(x-2)d x =x2-2x +c(4)-dxl-2x答案：f-c L t=-d(l-2x)=-I n ll-21+cJ-2 x 2J l-2 x 2 1 1(5)J x j 2+，d r答案:1 x J 2+J d r=g J-+-x-2-d(2 +x 2)=-1(2+x2)22+c(6)d x 答案:d r=2j si n V x d V x =-2c osV x +c(7)x si n d rJ
11、2答案：j j c si n d r=-2j xdcos(Lx-2x c os+d x =-2x c os+4si n +c2 1 2 2 2(8)J ln(x +l)d x答案:J ln(x+l)d r=Jln(x+l)d(x+l)=(x +l)ln(x +l)-J(x +l)dln(x+l)=(x +l)ln(x+l)-x +c2.计算下列定积分1)J”一 世答 案口 1-根L(_ x)d r+J(x-l)d%=(x x2)|L 1 +(/(2)j答案:-1=dX-*|；=e-V e11 x J 1 +I n=dxx答町忌Td(l+lnx)=2(l+ln x)2：=2(4)2 xcos2M
12、v0 三 1答案：2 x c os2x d x=2 x J si n 2%=x si n 2 xJ o 2。2二 1 r三 1.?I 2 si n 2 x d x=0 2J(,2(5)xinxdx答案：x ln A d r=gj：ln xA x2=x2 I n 乂：一/d i n x二;(e?+1)(6)j(14-xe-A)dx答案:J；(l+x e 7)d x =X：-xdx=3-xex+xdx=5+5 经济数学基础作业3（一）填空题104-51 .设矩阵人=3-2362，则A的元素。23.答案：3212.设A,8均为3阶矩阵，且 网=同=3厕k2ABT=.答案：723.设A,8均为阶矩阵,
13、则等式（A-8）2 =1一24?+夕 成 立 的 充 足 必 要 条 件 是.答案：A 8=B A4.设A 8均为阶矩阵，（/一5）可逆,则矩阵4+3乂=乂的解乂=答案:（/一8厂 1 0 0 1 1 0 05.设矩阵4=0 2 0，则 A=.答案:A=0-00 0-3 2 11 1D.答案A2 20 0L 3（-）单项选择题1.以下结论或等式对的的是（）.A.若A,8均为零矩阵，则有A=8B.若 A B=A C,且 AH O,则 5=CC.对角矩阵是对称矩阵D.若4工0,8*0,则ABHO答案C2.设A为3x 4矩阵，3为5x 2矩阵，且乘积矩阵A CB 故意义，则。,为（）矩阵.A.2x
14、4 B .4x 2C.3x 5 D.5x 3 答案A3.设AB均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.,A.（A +B）-=A-+B-,B.（A -By=A B-1C.A=B/D.AB=BA 答案 C4.下列矩阵可逆的是（）.1 2 3A.0 2 30 0 3-1 0-1B.1 0 11 2 32 25.矩阵A=3 34 423的秩是(4).A.0 B.1C.2D.3答案B三、解答题1.计算(1)-2531101 0-2513(2)002-3 0 000()0(3)-12 5430-12=070-726341-2507由于川网21031-11I21031-1222=(-1)2+3(-1)I02
15、2251-31511-220-141|B|=102113211002-1I3-110所以|A q=|A|四=2x O =O4.设矩阵A1212Z1410，拟定定的值，使r(A)最小。案A121221410(2)+(l)x(-2)+(1)x(7)1002X 414124-7(2)(3)014一404 4-77+x(y)1 20-10 2-44409当4=二 时，r(A)=2 达成最小值。45.求矩阵A =2-53215-85431-74204-1123的秩-2-5 3 2 11-74205-85435-8543A =(1)(3)1-74202-53214-11234-1123(2)+(l)x(-
16、5)+x(-2)(4)+(l)x(-4)1-7420027-156309-5-21027-1563(A I)=(3)+(2)x(-l)(4)+(2)x(-l)r(A)=2 o-1-742o-027-156300000000006.求A1-3I-30121-11-3-3 01 12 11 00 01 0-1 0 0 1(2)+(1)x 3+x(1)1-30-90 4271 0 03 1 0-3-1 0 1(2)+(3)x 21-3 21000-1 11120 4-3-1 0 1(3)+(2)x 41-3210-1110 0 1 30 01 24 9100+x(-1)(l)+(3)x(-2)-3
17、0-5 -8 -181-30113(2)x(-l)-1 0-2 -3 -70 1 0 2 3 7(1)+(2)x(3)0 13 4 90 0 1 3 4 9答-1 1 3-13-6 -3A-1=2 3 7(2)A=-4 -2 -13 4 92 1 1案-13-6-3 1 0 0(A 7)=-4 -2-1 0 1 02 1 1 0 0 1-1 0(l)+(2)x(-3)_4 _22 10 1-3 0-1 0 1 01 0 0 1AI)=4+0)x2)3)+(1)*2)(2)+(3)(-1)(l)M-D7.设矩阵A1 23 51001-5 23-1四、1001001300101025011102-
18、3 01 2 6 1(2)100010011120-3 610120-1 30 2-70 0 10 124-1203-710-12B1223，求解矩阵方程X 4=B.(2)+(l)x(-3)102 11 0-3 1(1)+(2)x 2100-5 1 321(2)x(-l)100123-1证明题X=B A-1x=1 0-1 11.试证：若 用，之 都与A 可互换，则 4+%,用 坊 也与A 可互换。证明：+B2)A=BtA+B2A=AB1+AB,-A(Bt+B2),B、B,A=B AB2=ABt B,2.试证：对于任意方阵A,A+AT,A4T,ATA是对称矩阵。提明证醒(A+A)=A+(AT)T
19、=A1+A=A+A1(A4T)T=(AT)rAT=A4T,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA3.设A,8 均为阶对称矩阵，则 A 8 对称的充足必要条件是:AB=A 4。提醒:充足性：证明：由于A B=B 4.(AB)T=8 4 =AB必要性:证明:由于AB对称，AB=(AB)T=24,所以A5=844.设A 为阶对称矩阵，8 为阶可逆矩阵，且 5 一 1 =8，证明5-1AB是对称矩阵。证明：（8尸=BTAT（B ）r=B A（B ）r=B AB经济数学基础作业4（一）填空题1 .函数/（x）=X+,在区间 内是单调减少的.答案:（1,0）u（0,1）X2.函数y =3（x-的驻点是,极值
20、点是,它是极_ _ _ 值点.答案：兀 =1,犬=1,小P3.设某商品的需求函数为qlphlO e/,则需求弹性纥=.答案:-2 p1 1 14.行 列 式。=-1 1 1 =.答案:4-1 -1 1 1 1 1 6 5.设线性方程组A X =,且0 -1 3 2，则/时，方 程 组 有 唯 一 解.答 案:10 0 r +1 0（二）单项选择题1 .下列函数在指定区间（-0 0,+0 0）上单调增长的是（。）.A.s i nx B.e C.x 2 D.3-x答案:B2.已知需求函数q（p）=1 0 0 x 2一 ”,当=10时，需求弹性为（）.A.4x 2 72 B.4 1 n2 C.-4
21、1 n2 D.-4x 2 1n 2答案：C3.下列积分计算对的的是（）.A.fr i-e-v-e-Adx=OLi 2r I ev+eB.f-J-i 2-Xdr =0C.J Xsinj oir =0D.J J/+x3)v =0答案：A4 .设线性方程组A,X=人有无穷多解的充足必要条件是（).A.r(A)=r(A)m B.r(A)nC.m n D.r(A)=r(A)n答案:D匹+%2=a5.设线性方程组+工3=。2，则方程组有解的充足必要条件是().X+2X2+X3=3A .。1 +。2+。3=0C.4+的 一。3=0B.q 七+。3=0D.-q +的 +%=0答案：C三、解答题1 .求解下列可
22、分离变量的微分方程:(1)y =ex+J答案:包=6 2 VdxJ eydy=e dx-ey-e +c答案：J 3y 2 dy =J xexdx y3=xex-ev+c2 .求解下列一阶线性微分方程：(1)/-=(x+l)3x+12a答 案：(无)=-应(无)=(X +1)3，代 入 公 式 密X+1y =J (%+l)3eM x+c =e2g+dx+c=e 2 3,(x+i)3(x+i)-2dx+c y=(x +i)2(l%2+x +c)(2)yr-=2xsin2xxj f dx:|1 dx答案：(x)=,q(x)=2xsin2x,代入公式得y =2xsin2 xe Jx d x+cx J=
23、*j 2xsin 2 xe dx+c2xsin2xl +cl-J f sin2M2x+c|y-x(-cos2x+c)3.求解下列微分方程的初值问题：(1)y =e 2 s,)，(0)=0答 案：，=e e7|edy=J e dx,e，=+c,把 y(0)=0 代入 e。=ge+c,C=-,ev2=-e21+2(2)xyf+y -e=0,y(l)-0答案：y +1 y =eJx ，P(X)=,1 Q(X)=e一x，代入公式得X x X Xy =enx en xd x+c =x d x+c,把 y =0 代 入J 丫 J Y Y Y1 /t 、y =-(e+c),c=-exy =_1(，e-e)、
24、X4.求解下列线性方程组的一般解：x 4-2X3-x4=0(1 )X +x2 3犬3 +2X4=02X +5X3-3X4=0答案：|“1=-2匕+%（其 中 是 自 由 未 知 量）所以，方程的一般解为产 2*3=（其 中 是 自 由 未 知 量）x2=x3-x42xi-工2+X3+-1(2)(X +2X2 _ +4X4=2X +7X2-4X3+1 lx4=5答案(A2b)=11-1 1 1 12-1 4 27 -4 1 1 5(1),(2)1 2-1 4 22-1 1 1 11 7 -4 1 1 5(2)+(l)x(-2)+x(-1)1 2-1 4 20 -5 3-7 -30 5-3 7 3
25、1 6 41 0 -F l 2-1 4 21 2-1 4 253 7 330-5 3-7 -31()1-.-()1-(3)+(2)(2)x(-)5 5 5(l)+(2)x(-2)5-0 0 0 0 050 0 0 0 0-0 0 0X=-X3-%4+-3 7 3X2 =丁3-X4+-（其中X1,乙 是自由未知量）4-53-506-57-505.当/l为什么值时，线性方程组xx-x2-5&+4X4=22x,-x2+3X3 x4=13%1-2X2 2X3+3X4=3lx-5X2-9X3+10X4=2有解,并求一般解。答案:-1 -12-1(A b)=3-2_ 7 -5+(2)x(-1)-10(4)
26、+(2)x(-2)00-5 4 2p-1 -5 4 2(2)+(l)x(-2)3-1 10 1 13-9 3(3)+(l)x(-3)-2 3 30 1 13-9 -3(4)+(l)x(-7)9 1()A()2 26-18 4 14一-1 -5 4 21 0 8-5-11 1 3-9 -3(1)+(2)0 1 1 3-9 -30 0 0 00 0 0 0 00 0 0 2-80 0 0 0 2-8f X.=-8 x,+5xd 1.当4=8 有解】1 3 4%2 1 3尤 3+9%4 35.a涉为什么值时，方程组%,-x2-x3=1玉 +-2$-2$+3X2+ax3=b（其中X1,乙 是自由未知量
27、）答，-i-i rA=1 1 -2 2 3 a b(2)+(l)x(-l)(3)+(l)x(-l)-1-10 20 4案-1 1-1 1a+1 Z?-1+x(-2)1 1 1 10 2-1 10 0 a+3 b-3当a=-3 且b。3 时,方程组无解；当a w-3 时，方程组有唯一解；当a=3 且人=3 时，方程组无穷多解。6 .求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C（q）=1 0 0 +0.2 5/+6 q （万元）,求:当“=1 0 时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小?答案:C(1 0)=1 8 5(万元)/、c(q)KX)八”,C
28、(q)-.=-1-0.25 夕 +6 q,q q心(1()=1 8.5(万元/单位)c q)=0.5q +6,C (1 0)=l l (万元/单位)cq=3=+o.25q +6,=一 粤+0.25 =0,当产量为20个单位时可使平均成本达q q q成最低。(2).某 厂 生 产 某 种 产 品q件 时 的 总 成 本 函 数 为C(q)=20 +4 q +0.0 1/(元)，单位销售价格为 =1 4-0.0 0 (元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大?最大利润是多少.答案：R(q)=1 4 q 0.0 1/，L(q)=R(q)c q)=1 0 q 0.0 2/20,L=1 0-0.0 4
29、t 7 =0当产量为25 0个单位时可使利润达成最大，且最大利润为(25 0)=1 23 0 (元)。(3 )投产某产品的固定成本为3 6 (万元),且边际成本为C=24 +4 0(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解:当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案：C=C(6)C(4)=(24 +4 O)dq =(r+4 O q)|：=1 0 0(万元)c(q)=(2 q+40)dq+3 6 =y2+40q+3 6,c(g)=+4 0 +,3 6c (q)T =0,当x =6 (百台)时可使平均成本达成最低.(4)已知某产品的边际成本C(g)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(q)=1 2 0.0 2q，求:产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0件，利润将会发生什么变化？答案：/()=R(q)c(q)=1 0 0.0 2q =0,当产量为5 0 0件时，利润最大.j%0_ 0 O 2q)由=(1 0 g _0.O l q 2)凰=_25(元)*500即利润将减少25元.