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1、2021年 福 建 高 考 数 学 真 题 及 答 案 本 试 卷 共 4 页，22小 题，满 分 150分，考 试 用 时 120分 钟。注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型（B）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上，将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处 二 2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 28铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 H 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑：如
2、需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上，3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案：不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁，考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小
3、题 5 分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 集 合 A二 x|-2x4.B=2,3,4,5,则 八 0 跖 A.2 B.2,3 C.3,4,）D.2,3,42.己 知 z=2-i,则（z&+i）=A.6-2i B.4-2 i C.6+2 i D.4+2 i3.已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 衣，其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆，则 该 圆 锥 的 母 线 长 为 A.2 B.2V2 C.4 D.4.下 列 区 间 中，函 数 f（x）=7sin（x-2 单 调 递 增 的 区 间 是 A.（0
4、,彳）B.附，冗）C.（冗，妥 D.（拳 2 冗）5.已 知 是 椭 圆 C：正+亡=1 的 两 个 焦 点，点 M 在 C 上，则 慌 艮|的 最 大 值 为 9 4A.13 B.12 C.9 D.66.若 团 8:-2,则 里 芈 也 裂 二 sm 9+cos 5A.-5B.-三 5C.三 5D.-57.若 过 点（a,b）可 以 作 曲 线 y二 J 的 两 条 切 线，则 A.ebaB.ef lbC.0aebD.0ben8.有 6 个 相 同 的 球，分 别 标 有 数 字 1,2,3,4,5,6,从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次,每 次 取 1个 球，甲 表 示 事 件”第
5、 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，两 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 8”，丁 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 7，则A.甲 与 丙 相 互 独 立 B.甲 与 丁 相 互 独 立 C.乙 与 丙 相 互 独 立 D.丙 与 丁 相 互 独 立 二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2
6、分，有 选 错 的 得 0 分。9.有 一 组 样 本 数 据 Xi,x2,x0，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 yt,y2,y,其 中 yi=xi+c(i=l,2,，n),c 为 非 零 常 数，则 A.两 组 样 本 数 据 的 样 本 平 均 数 相 同 B.两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 相 同 C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 标 准 差 相 同 D.两 组 样 本 数 据 的 样 本 极 差 相 同 10.已 知 0 为 坐 标 原 点，点 Pi(cos a,sin a),p,(cos P,-sin B),P3(cos(a+B),sin(a+P
7、),A(l,0),则 A.io|=joK|B.|AK|=|AR|c.55 演=OP；.OPD.正 调=恒 区 11.已 知 点 P 在 圆(工-5)2+8-5 尸=16 上，点 A(4,0),B(0,2),则 A.点 P 到 直 线 AB的 距 离 小 于 10B.点 P 到 直 线 AB的 距 离 大 于 2C.当 NPBA 最 小 时，|PB|=3V2D.当 NPBA 最 大 时，|PB|=3V212.在 正 三 棱 柱 ABC-AB1G中，AB=A4I=1,点 P 满 足 而=XBC+而 瓦，其 中 A e 0,1,代 0,1,则 A.当 入=1时，/181P 的 周 长 为 定 值 B
8、.当|1=1时，三 棱 锥 P-BC的 体 积 为 定 值 C.当 人 言 时，有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得&PJ.8PD.当|1=押，有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得 41kL平 面 ABJ三.选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分 13.已 知 函 数 f(x)=x?(a-2*-2T)是 偶 函 数，贝 ija=14.已 知 0为 坐 标 原 点，抛 物 线 aytnZpxlpX)的 焦 点 为 F,P为 C上 一 点，PF与 x轴 垂 直，Q为 x轴 上 一 点，且 PQJ_OP,若 1FQ|=6,则 C的 准 线 方 程 为 一 15.函 数
9、 f(x)=|2x-l|-21nx的 最 小 值 为 16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时，发 现 此 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折.规 格 为 20dmX12dm的 长 方 形 纸.对 折 1 次 共 可 以 得 到 10dmX2dm.20dmX6dm两 种 规 格 的 图 形，它 们 的 面 积 之 和 5/240 dm；对 折 2 次 共 可 以 得 5dmX12dm,10dmX6dm,20dmX3dm三 种 规 格 的 图 形，它 们 的 面 积 之 和 53=180dml以 此 类 推.则 对 折 4 次 共 可 以 得
10、到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为:如 果 对 折 n 次，那么 靖 四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(10分)已 知 数 列 1 满 足 an+1、n+L n为 奇 数 a+2,n为 偶 数(1)记 b/&n，写 出 瓦，尼，并 求 数 列 工 的 通 项 公 式;(2)求 5 的 前 20项 和 18.(12 分)某 学 校 组 织 一 带 一 路”知 识 竞 赛，有 A,B 两 类 问 题 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选 择 类 并 从 中 随 机
11、抽 IR一 个 问 题 问 答，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束；若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答，无 论 回 答 正 确 与 否，该 同 学 比 赛 结 束.A 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20分，否 则 得 0 分：B 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 80分，否 则 得。分。己 知 小 明 能 正 确 回 答 A 类 问 题 的 概 率 为 0.8,能 正 确 回 答 B 类 问 题 的 概 率 为 0.6.且 能 正 确 回 答 问 题 的 概 率 与 P1
12、答 次 序 无 关。(1)若 小 明 先 回 答 A 类 问 题，记 X 为 小 明 的 累 计 得 分，求 X 的 分 布 列：(2)为 使 累 计 得 分 的 期 望 最 大，小 明 应 选 择 先 答 哪 类 问 题？并 说 明 理 由。19.(12 分)记/XABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a.,b.,c,已 知 炉=ac,点 D 在 边 A C 上，BDsinZABC=asinC.(1)证 明:BD=b：若 AD=2DC.求 cos N ABC.20.(12 分)如 图，在 三 棱 锥 A-BCD中.平 面 ABD J_平 面 BCD,AB=AD.0 为 BD的
13、 中 点.(D 证 明：OACD：(2)若 aOCD是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形.点 E 在 棱 AD上.DE=2EA.且 二 面 角 E-BC-D的 大 小 为 45,求 三 棱 锥 A-BCD的 体 积.21.(12 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，己 知 点 瓦(-47,0),已(47,0),点 M 满 足|MF-|MF/=2.记 M 的 轨 迹 为 C.(D求 C 的 方 程；(2)设 点 T 在 直 线 x=:上，过 T 的 两 条 直 线 分 别 交 C 于 A,B 两 点 和 P,Q 两 点，且|TA|-|TB|=|TP|-|TQ|,求 直 线 AB的
14、斜 率 与 直 线 PQ的 斜 率 之 和 22.(12 分)已 知 函 数 f(x)=x 1-lnx)(D讨 论 f(x)的 单 调 性(2)设 a,b 为 两 个 不 相 等 的 正 数,且 blna-alnb=a-b证 明：2+：ea b新 高 考 I卷 数 学 答 案 解 析 1.B2.C3.B4.A5.C6.C7.D8.B9.C D10.A C11.A C D12.B D13.a=l.设 前 2 0项 和 为 乳/.S2o=(ai+aa+,+ajg)+(a2+al+*,+a20)=145+155=30018.(1)解：由 题 意 得 x=0,20,100.P(x=0)=0.2P(x=
15、20)=0.8 X 0.4=0.32P(x=100)=0.48X 0p 0.220 1000.32 0.4815.11 6,5：240(3-嗤)17.(1)解：由 题 意 得 b5=a2=ai+l=2,b2=a 1=33+1=5Vbi=a2=aI+l,a2-ai=l.(2)解：小 明 先 选 择 B,得 分 为 y/.y=0,80,100P(y=0)=0.4P(y=80)=0.6 X 0.2=0.12P(y=100)=0.6 X 0.8=0.48同 理 y0 80 100b?-aq-as+l-a2+3 a.i-a2-3.aSi-3P0.4 0.12 0.48bn=a 2n-加-2=3.叠 加
16、可 知 a?尸 a：=l+3(n-l)a2n=3n1 bn=3n-L验 证 可 得 b尸 斑=2,符 合 上 式.(2)解：a2 n=觎-+1a2n-i=a2n-l=3 n-2.Ex=54.4 Ey=57.6 小 明 应 先 选 择 B.19.C历 6(1)由 正 弦 定 理 圣 七 232二 7-2 C C 13 1=b2=-c2=cosS48c=3+一 了=X)%=a c 3 不 6综 上 cos N?!BC=E得 一=工,即 sm/48C=四 sinABC sine c又 由 BDsm4BC=asinc,得 BD竺 皆=asinc,即 B?：b=ac=BD=bb-=ac J(2)由 AD
17、=2DC,将 而=2近 即 丽=河=河=1 而|2=-9 BA2+9 BC2+9-BABC=b E/+铝 9 9 9 Zac=116=3产+6a=6 a=-Hac+3c=0b-=ac J=a W c 或 a*a Zc=b2=-c2=cosABCa c2lU2=ac 2 2ac20.(1)证 明：由 已 知，AABD中 AB=AD且 0 为 BD中 点.-.AOBD又 平 面 ABD_L平 面 BCD.AO_L 平 面 BCD 且 CDu平 面 BCD/.AOI CD(2)由 于 AOCD为 正 三 角 形，边 长 为 1.-.OB=OD=OC=CD/BCD=90。取 0D中 点 H,连 结 C
18、 H,则 CH_LOD以 H为 原 点，HC,HD,HZ为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 由 可 知，平 面 BCD的 法 向 量 沆=(0,0.1)设 C(竺 Q O),B(0,-1,0),D(0,i,0)则 万 J=vDE=2EA 2 2 2 DE=qDA=：.BE=D E-D B=(0,；5 6)且 前=(4.0)设 五 J平 面 BEC n=(x,y,z)，.更&=0,即 俨 产=。G BE=0+-A z=0一 l 2.n=(V 3.-l.-)h由 于 二 面 角 E-BC-D为 45A 丫 三.X 舄 x T x 2 x l=T21.(1)c=VT7,2a=2,
19、a=l,b=4C表 示 双 曲 线 的 右 支 方 程：=1(x 1)(2)设 7(m),设 直 线 A B 的 方 程 为 y=能 卜 一；)+m,4(x1,y1),B(x:,y2)一 的(x-三)+m,得 16炉-kf(r 一 x+；)+2klm(x-+m2=16(16 k f)x2+(kf-2ktm)x k f+m2-16=0A TAITB=(1+狂)&-；)(小 一 到=(1+狂)-m2 1216-k f=(1+k?m+12k；162设%Q=后,同 理 可 得 ITPIITQI=(1+后)h=1所 以(1+后)第 f=(l+后)能 得 后 16k；=16kg.22v k、*k2:.k、
20、=-k2即 的+治=022.(1)f(x)=x-xlnxf(x)=1-inx-1=-lnx(x0)令 f(x)0,则 OVxVL令 f(x)l f(x)的 单 调 增 区 间 为(0,1),单 调 减 区 间 为(l,+8).g(x)在(1,2)上 单 调 递 增,，g(q)g=0,H P f(q)f(2-q)再 设 p+q 0,当 xe(e,+8)时，f(x)oq e*.*0 P e-1 1要 证 q f(e-p)即 证 当 Pe(0,1)时，Wf(P)/(e-p)设 h(x)=f(x)-f(e-x),x e(0,l)h(x)=f(x)+f(e-k)=-Inx-In(e-x)=-lnx(e-
21、x)设”-炉=1 小 于 1 的 根 为%,则 用 x)在(0,右)单 调 递 增，在(右,1)单 调 递 减.4(x)4(l)=Al)-f(e-l)0证 毕 即 坦 吧=四 曲，即 f=f e)a b a b令 p=q=3不 妨 设 O V p V IV q,下 面 证 明 2Vp+qVe.先 证 p+q 2,当 p 2 2时 结 论 显 然 成 立.当 qW(1,2)时，p+q2,则 p2-q,.2-q f(2-q).即 证 当 q(1,2)时，由 f(p)f(2-q)令 g(x)=f(x)-f(2-x).g(x)=ff(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2x)=-ln-(x*l)z+l当 x(l,2)时，-(x-l)2+l 0,