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1、2014 年福建高考理科数学真题及答案第卷（选择题共 50 分）一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.复数(32)zi i的共轭复数z等于（）.23Ai.23Bi.23Ci.23Di2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A圆柱.B圆锥.C四面体.D三棱柱3.等差数列na的前n项和nS，若132,12aS，则6a().8A.10B.12C.14D4.若函数log(0,1)ayx aa且的图像如右图
2、所示，则下列函数图象正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（）.18A.20B.21C.40D6.直线:1l ykx与圆22:1O xy相交于,A B两点，则1k 是“ABC的面积为12”的（）.A充分而不必要条件.B必要而不充分条件.C充分必要条件.D既不充分又不必要条件7.已知函数 0,cos0,12xxxxxf则下列结论正确的是（）A.xf是偶函数B.xf是增函数C.xf是周期函数D.xf的值域为,18.在下列向量组中，可以把向量2,3a表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21eeB.)2,5(),2,1(21eeC.)10,6(),5,3(21e
3、eD.)3,2(),3,2(21ee9.设QP,分别为2622 yx和椭圆11022 yx上的点，则QP,两点间的最大距离是（）A.25B.246 C.27D.2610.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由ba11的展开式abba1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和篮球都取出来。.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球 5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A.555432111cb
4、aaaaaB.554325111cbbbbbaC.554325111cbbbbbaD.543255111cccccba第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题共共 100100 分）分）二、填空题：本大题共填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分。把答案填在答题卡的相应位置。分。把答案填在答题卡的相应位置。11、若变量yx,满足约束条件008201xyxyx则yxz 3的最小值为_12、在ABC中，60,4,2 3AACBC,则ABC的面积等于_13、要制作一个容器为 43m，高为m1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面
5、造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）14.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为_.15.若集合,4,3,2,1,dcba且下列四个关系：1a；1b；2c；4d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),(dcba的个数是_.三三解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 13 分）已知函数1()cos(sincos)2f xxxx.（1）若02，且2sin2，求()f的值；（2）求函
6、数()f x的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分 12 分）在平行四边形ABCD中，1ABBDCD，,ABBD CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD 平面BCD，如图.（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（本小题满分 13 分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求顾客所获的奖励额为 60
7、 元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分 13 分）已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一，四象限），且OAB的面积
8、恒为 8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。20.（本小题满分 14 分）已知函数 axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线 xfy 在点A处的切线斜率为-1.（I）求a的值及函数 xf的极值；（II）证明：当0 x时，xex 2；（III）证明：对任意给定的正数c，总存在0 x，使得当，0 xx，恒有xcex 2.21.本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，
9、并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分 7 分）选修 42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵21121A.（I）求矩阵A；（II）求矩阵1A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分 7 分）选修 44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为tytax42，（t为参数），圆C的参数方程为sin4cos4yx，（为参数）.（I）求直线l和圆C的普通方程；（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.（3）（本小题满分 7 分）选修 45：不等式选讲已知定义在 R 上的函数 21xxxf的最小值为a.（I）求a的值；（II）若rqp，为正实数，且arqp，求证：3222rq
10、p.20142014 年福建高考数学试题（理）答案年福建高考数学试题（理）答案一一.选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分.1-101-10CACBBADBDA二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分。分。11.112.2 313.16014.22e15.6三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
11、骤。16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的 图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 13分.解法一：(1)因为0,22sin,2所以2cos2.所以22211()()22222f(2)因为2111 cos21112()sin coscossin2sin2cos2sin(2)22222224xf xxxxxxxx,所以22T.由222,242kxkkZ得3,88kxkkZ.所以()f x的单调递增区间为3,88kkkZ.解法二：2111 cos21112()sin coscossin2sin2cos2sin(2)2222
12、2224xf xxxxxxxx（1）因为0,22sin,2所以4从而2231()sin(2)sin24242f（2）22T由222,242kxkkZ得3,88kxkkZ.所以()f x的单调递增区间为3,88kkkZ.17.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。满分 13 分。解：(1)因 为ABD 平 面BCD,平 面ABD 平 面,BCDBD AB平 面,ABD ABBD所以AB 平面.BCD又CD 平面,BCD所以ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEB
13、D,如图.由(1)知AB 平面,BCD BE 平面,BCD BD 平面,BCD所以,ABBE ABBD.以B为坐标原点,分别以,BE BD BA 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得1 1(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,)2 2BCDAM.则1 1(1,1,0),(0,),(0,1,1)2 2BCBMAD .设平面MBC的法向量000(,)nxyz.则00n BCn BM 即00000102xyyz.取01,z 得平面MBC的一个法向量(1,1,1)n.设直线AD与平面MBC所成角为,则6sincos,3n ADn ADn AD
14、即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分 13 分。解：(1)设顾客所获的奖励为 X.依题意,得1113241(60)2C CP XC.即顾客所获得的奖励额为 60 元的概率为12.依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.232411(60),(20)22CP XP XC.即 X 的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()20 0.560 0.540E X（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均
15、奖励为 60 元.所以先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2.以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设
16、顾客所获的奖励为1X,则1X的分布列为1X2060100P1623161X的期望为1121()206010060636E X,1X的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X.对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X,则2X的分布列为2X406080P1623162X的期望为2121()40608060636E X,2X的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案 2 奖励的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案2.19.本小题主要考查双曲线的
17、方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想。满分 13 分。解法一：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为和2,2yx yx.所以222,2,5bcacaaa,从而双曲线 E 的离心率5e.(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为222214xyaa.设直线l与 x 轴相交于点 C.当lx轴时,若直线l与双曲线 E 有且只有一个公共点,则,4OCa ABa,又因为OAB的面积为 8,所以118,48,222OC ABaaa.此时双曲线 E 的方程为221416xy.若存在满足条件的双
18、曲线 E,则 E 的方程只能为221416xy.以下证明:当直线l不与 x 轴垂直时，双曲线 E：221416xy也满足条件.设直线l的方程为ykxm,依题意,得 k2 或 k0 时，2xex，所以2222,()()22xxxxxeee当oxx时，222241()()()222xxxxexcc因此，对任意给定的正数 c，总存在0 x,当0(,)xx时,恒有2xxce.21.（1）选修 42：矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 7 分。（I）因 为 矩 阵 A 是 矩 阵1A的 逆 矩 阵,且12 2 1 130A ,所
19、以232113 21 21333A.（II）矩阵1A的特征多项式为221()43(1)(3)12f,令()0f,得矩阵1A的特征值为11或23,所以111是矩阵1A的属于特征值11的一个特征向量.211 是矩阵1A的属于特征值23的一个特征向量.（2）选修 4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的 参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 7 分。（I）直线l的普通方程为220 xya.圆 C 的普通方程为2216xy.（II）因为直线l与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线l的距离245ad,解得2 52 5a.（3）选修 4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 7 分。（I）因为12(1)(2)3xxxx,当且仅当12x 时,等号成立,所以()f x的最小值等于 3,即3a.（II）由（I）知3pqr,又因为,p q r是正数,所以22222222()(111)(111)()9pqrpqrpqr ,即2223pqr.