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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知函数/（x）=l n（x+l）-方，若曲线y=/（x）在点（0,7（0）处的切线方程为y=2 x,则实数。的取值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.22 .已
2、知三棱锥-A3C的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点，则三棱锥。一 A3C的体积的最大值为（）2 4 八 8 1 6A.B.-C.D.3 3 3 33 .已知集合A =0,1,2,3 ,B=x-2x0/0）,O为坐标原点，”、为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F,G 1 O G,a b且lOGRG与I，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=+x B.y=x C.y=x D.y=2 26.在边长为2 6的菱形458中，N8 A O=6 0。，沿对角线BO折成二面角4一8。一。为1 2 0 的四面体A B C。（如图），则此四面体的外接球表面积为（）A.2 8%B.7万C.1 4万 D.2 1
3、%7,若命题二 从 有2件 正 品 和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题二 在边长为4的正方形二二 二 二 内任取一点二 则二二二二 9 0：的概率为二，则下列命题是真命题的是（）A.ZAZ B.（r 二）A 二 C.二 A（r 二）D.二8.已 知 双 曲 线-=1（40,a b 0）的右焦点为尸，过原点的直线/与双曲线的左、右两支分别交于A 8两点，延长B/交 右 支 于。点，若4/_ 1尸8,|。尸|=3|尸3|,则双曲线r的离心率是（）9.如图，已知三棱锥。一ABC中，平面D46L平面A B C,记二面角。-A C-B的平面角为a,直 线 与 平 面ABC所成角
4、为夕，直线AB与平面ADC所成角为7,贝1 1 （）A.a/3yB.13ayC.ay/3 D.ya/310.如图，长方体ABC。-4中，2AB=3A4i=6,守=2而;,点7在棱A4上，若7 P,平面PBC.则Uli UUUTPBB=（）C.2I）.-211.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线C:（V+y2）3=16x2/恰好是四叶玫瑰线.y给出下列结论：曲线c 经过5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线c 上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2；曲线C围成区域的面积大于4 万；方程(V +y 2)3 =i6x 2y
5、 2(取 0)表示的曲线c 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.B.C.D.1 2 .若复数z满足(l +i)z=i (i 是虚数单位)，贝也的虚部为()1 1 1 .1 .A.B.C.l D.12 2 2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .已知函数y=/(x)的图象在点M(3,7(3)处的切线方程是y=g x +2,则/(3)+/(3)的值等于.V-2 V21 4 .已知双曲线。:0 一2r=1(。力0)的左右焦点为，鸟，过 乙 作 x 轴的垂线与。相交于A,5 两点，8与)，轴a b相交于。.若A。，片8,则双曲线C的离心率为.15.在(乌+五
6、)的二项展开式中，所有项的系数之和为102 4,则 展 开 式 常 数 项 的 值 等 于.16 .不等式以+1+历 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x 恒成立，则”的取值范围为.三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一 尤 2 4-ax 317 .(12 分)已知函数 f(x)=x ln x,g(x)=-,2(1)求 f(x)的最小值；(2)对任意不(0,+8),/(x)2 g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；1 2(3)证明：对一切x (0,+o o),都有-成立.e ex18 .(12 分)如 图，在 AABC中，点。在 8c 上，Z C A D =,
7、A C =-,co s Z A D B =-.4 2 10A(1)求s in C的值；(2)若B D =5,求AB的长.19.(12分)在平面直角坐标系x Oy中，椭 圆C：一 一 的右准线方程为x=2,且两焦点与短轴的一+=口 口 .个顶点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线/：二=二二+二与椭圆C交于A,B两 点.若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连 接O M并延长交椭圆C于N,并且一：_,求O B的长；若原点O到直线I的距离为1,并 且 示.而 _ -，当ON =O M A-/二 蜷256时，求AO AB的面积S的范围.2 0.(12分)如图，在三棱锥PABC中，
8、A B P C,M是A3的中点，点。在上，平面P A C,平面2钻_ L平面P M C,ACPM为锐角三角形，求证：(1)。是P B的中点；(2)平面A B C _ L平面P M C.2 1.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，c,且满足cs in A =a s in(c+m(I )求角。的大小；(I I)若 A 6 C的面积为3石，a-b =,求c和co s(2 A-C)的值.2 2.(10 分)已知函数/(x)=X?-m x +2 1n x+4.(1)当2 =5时，求/(当的单调区间.(2)设直线/是曲线.v =/(x)的切线，若/的斜率存在最小值-2,求?的值，并求取得最
9、小斜率时切线/的方程.(3)已知f(x)分别在王，(石。)处取得极值，求证：/(莅)+/(/)2 x y,又0=孙，所以SgBc=g4,当且仅当x =y=2加 时，5间；（3,再根据线面角的最小性判定/?/即可.【详解】作A B于。七_L 4C于 E.因为平面D A B，平面A8C,平面ABC.故A C DE,AC DD,故 AC_L平 面 故 二 面 角。一 AC B为 戊=?D E D .又直线D A与平面A B C所成角为尸=ZDAD，因为D A 2 DE,)故 sin?DED?sin?D4。.故 当 且 仅 当A E重合时取等号.D E D A又直线A B与平面AOC所成角为7,且6=
10、ZDAD 为直线A B与平面A D C内的直线A D所成角，故尸2人当且仅当，平面ADC时取等号.故 a N故选：A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断，需要根据题意确定角度的正弦的关系，同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.10.D【解析】根据线面垂直的性质，可知7P_L尸3;结 合 率=2函即可证明进而求得.由线段关系及平UU UUU面向量数量积定义即可求得7P-4 B.【详解】长方体AB C D AgCiA 中，2AB =3A4=6,点7在棱A A上，若TP_L平面P8C.则7PJ_P5，乖=2国则 Z P T Al=N B P B i,所以 M A B P B ,则 研
11、=PB =1,uir uuir|Uii|.uuiii所以 7Pq 5=7P cosZ P T A=/22+12 x2 x /=2,故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.1 1.B【解析】利用基本不等式得Y +y244,可判断；x2+y2=4和(x2+y2)3=6x2y2联立解得x 2 =y2=2可判断；由图可判断.【详解】(2 2、2(x2+y2)3=1 6 x2y2 1 6 无；，,解 得/+(当且仅当f=尸=2时取等号)，则正确；将炉+y 2 =4 和+y 2 丫 =1 6/y 2 联立，解得=y 2 =2 ,即圆Y +y2=4与曲线C相
12、切 于 点(血,血)，卜 血,3),(-V2,-V2),(V 2,-A/2),则和都错误；由 孙a 即 e =V 3 .故答案为：目.【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出|A K|=?.关于圆锥曲线的问题,一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.1 5.1 5【解析】利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】因为 斗+五 的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故 仁+）的展开式的通项公式为Tr+产C2%i，令/10=0，解 得r=4,可得常数项为Ts=C%3=15,故 填1
13、5.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.16.【解析】根据题意，分离参数，转化为a W靖-/x-1只对于（）,+8）内的任意天恒成立,令X+ln x _ i,（%）=竺=-U，则只需在定义域内a W g（x）n.n即可，利用放缩法e X+l，得出X Xex+inx x+l n x+l,化简后得出g（x）描/即 可 得 出。的取值范围.【详解】解：已知改+1 +/依V xe 对于定义域（0,+纥）内的任意x恒成立，即a K 城-/1对于（0,+纥）内的任意x恒成立，X令g（X）=尤 吐 上,则只需在定义域内a W g（x）n而即可，X/、
14、xex-lnx-e,n x-l n x-l -l n x-1 g（x）=-=-=-，XXX /N x +l，当x=0时取等号，由 N x +1 可知，e+mx N x+ln x+1,当 x+ln x =0 时取等号，/、e、+n n x 1 x+ln x+l In x 1 女 =-=1，当x+ln x =0有解时,令Mx)=x+lnx(x0),则/(x)=l+，0,/z(x)在(0,+动上单调递增，又./讣1_10,二玉o e(O,+)使得(毛)=0,.超(力血=1,则。w 1,所以。的取值范围为(-8,1.故答案为：(.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉
15、及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.一1(7,4 见证明e【解析】(D先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；(2)先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；(3)构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.【详解】(1)fx)=In x+1=0/.x=e当xe(0)时，/(x)0,/。)单调递增，所以函数f(x)的最小值e e为d f(_1、)=1；e e(2)因为x 0,所以问题等价于a 2M 2X-+3=21nx+3
16、在 e(0,m)上恒成立，X X3记f(%)=21nx+元 +,则a 3 2 1=sinNA05-cos 工一 cosNADB-sin=述 乂 正 +也x 巫=&I 4J 4 4 10 2 10 2 5(2)在AACZ)中，由AD ACsin C sin ZADC7 4.n AC-sin C?X 5、Q付 sin ZADC 7&1(T在AASD中，由余弦定理可得37,AB2=BD2+AD2-2BD-AD cos ZADB=52+(2/2)-2X5X2A/2 x所以AB=收.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.19.(1)(2)_ _立；迎 运.J一丁 厅工【解
17、 析】(1)根 据 椭 圆的几何性质可得到a?,b2；(2)联立直线和椭圆，利 用弦长公式可求得弦长A B,利用点到直线的距离公式求得原点到直线1的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域.【详 解】(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所 以-_、了4 J-,又 由 右 准 线 方 程 为-_ 得到_-一 J、解 得 一 =一；，所 以 一；一：一 一：一 7LJ、/,LJ J LJ LJ LJ 1所 以，椭 圆-的 方 程 为 一,J 一 .一，(2)设二(二二)而二(0,1)，则二 二,，Z7TZ-口匚=丁 口口一(住：、%+二。)因为 点-都在椭圆上，所
18、以 ,将下式两边同时乘以一再减去上式，解得所以 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.房_ _ 不口口=J匚J+匚/=4+6=子由原点二到直线二的距离为:，得,化 简得：1 +联 立 直 线-的 方 程 与 椭 圆-的 方 程：（二=二二+二，得；+、-：,-：+4-+个邑口2=0设二（二），二。二（二;,二;），则一，二 二口+口；=一 申二:/且二=8:02匚:+-）（匚二；+-）=Q+1）口 心+口 口（口+1）+口：=。+丁）-壬+-3-H-口-:=-；-+-:=L7+2D-+二r所，:公,-的面积.-n=7x；xnn=/+中叫-n j “7 +匚（0+口分-4口口:（；+；：-、一
19、、u.二：-）因为二=、-二 一二，在-为单调减函数,并 且 当 _ 时，一足，当 一 时，一皿1 匚 口一 5 一一6 “一5所 以.的 面 积-的 范 围 为.-苧争【点 睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几 何 法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,形性质来解决；（2）代 数 法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系,则考虑利用图再求这个函数从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值
20、范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.20.(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】(1)推导出 D/P A,由M是A 3的中点，能证明。是8P有中点.(2)作 C N A.P M 于点N ,推导出CN_L平面Q 4 6,从而。V_LA6,由能证明平面P M C,由此能证明平面A B C 1平面P M C.【详解】证明：(1)在三棱锥产一ABC中，,.MD平面 PA C,平 面45 c平面 QAC=4,M Du平面:.MD/PA,在AftW中，是A 3的中点，.是 有 中 点.(2)在三棱锥P ABC中，是锐角三角形，在ACPM中，可作C N L P M 于点N ,平面P A B
21、 平面P M C,平面PA8 c平面P M C =P M ,CN u 平面 PMC,CN _L 平面,.cos(2A C)=.326【解析】(I)运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简csinA=asinc+m),即可求出角C的大小:(ED通过面积公式和a b=L可以求出出。，这样用余弦定理可以求出c,用余弦定理求出cosA,根据同角的三角函数关系，可以求出sin A,这样可以求出sin2A,cos2A,最后利用二角差的余弦公式求出cos(2A-C)的值.【详解】(I)由正弦定理可知：一 =已知csinA=asin C+?,所以sin A smc 1 3 JJIJI.sin C-sin A=si
22、n A-(sin C cos y +cos C-sin A G(0,乃).sm A w 0,所以有 sin C=G cos C=tan C=V3=C.3(II)S=/?-sin C 3A/3 ah=12,a b=i 0；当 时，/,(x)0,所以.r a)=2x+*-m 2 2卜“士 一 2 =4(当且仅当21=一，即x=l时取等号),.切线/的斜率存在最小值-2,；.4-m =-2,解得：m =6,./(1)=1-6+4=-1,即切点为(1,一1),从而切线方程/：y+l=2(x 1),即：2x+y-l=0.(3)尸(x)=2x+2 m=2.一如+2,X X/(X)分别在百，w(石。)处取得
23、极值，.占，电(g H X,)是方程2厂二X+2=0,即2/一 座+2=0的两个不等正根.X加则八=帆2一1 6 0,解得：加2 1 6,且玉+/=5 0,中2=1.-./(%,)+/(工2)=+%；-(-1+x2)+8+21n(xlx2)=(芭+%2)2 2玉 为2 加(+%2)+8 +210(%1%2)/、2?m 八 I 八 八1 .m=-2 x 1 -m x一+8+21nl=-1-6,2 4 m2*/m2 16,/.-F6 2,4即不等式/（石）+/（X2）2成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.