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1、第 02章结构与模型的思想方法数学是研究空间形式与数量关系的学科，发展到今天已经形成了一个庞大的学科体系，对于这样一个分支众多的学科，各个分支都有各自的研究对象,这些对象间存在着各种关系，所谓数学结构,实际上就是数学所研究的对象及对象间关系的一种高度概括和抽象.瑞士心理学家，发生认识论创始人皮亚杰认为“全部数学都可以按照结构的建构来考虑”,数学的结构思想从反映研究问题的不同角度上可细分为数学的关系结构数学的逻辑结构和数学的知识结构.从现代系统方法论观点看，数学结构思想是把整个数学作为大系统，而将每一门数或每一个数学分支作为这个大系统的一个子系统.从而将这个大系统按结构的特征分成若干子系统.在此
2、基础上，不仅要进一步探讨各个子系统的结构特征,而且还要探讨子系统结构之间的内在联系及其本质差异.用结构思想作为统一数学各分支的思想基础，每一结构都由相应的公理系统确定.模型思想是中学数学中一种极为重要而又极为普遍的思想，数学模型是实际问题的简化和抽象，正如G.波 利 亚 在 怎样解题一书所指出的“早已解决的问题”“辅助问题”“可以模仿的正式模式 等都可称为数学模型.求解某些数学问题时，针对问题的背景、结构、特征,在直接求解存在较大困难时，通过观察，联想，恰当地构造出熟知的数学模型.通过研究该数学模型来解决原问题，这就是结构与模型的思想方法,是一种十分有效的解题策略.当然，构造的过程是一种创新思
3、维的过程.应熟知中学数学中的关系结构思想，包括等价关系、顺序关系、运算关系、同构关系，并注重于模型思想的学习与掌握，运用与深化，一般按模型模仿一模型转换一模型构建的主线进行和发展.构建数学模型是一项有意义而富有挑战性的工作，构建一个好的模型与证明深刻的定理一样富有重大意义.当然，结构与模型思想的熟练运用，数学基军知识掌握得是否扎实与宽广起关键作用.第四讲构造函数、方程、不等式模型，巧用结构思想解题构造某种数学模型简称为模型法，而模型是一种结构，这种结构是通过对原型的形象化或模拟与抽象而来的.它的思维程式是:问题T 转化为已知的数学模型T 应用已知数学模型的某些特征一问题的解决，如图2-1所示.
4、图 2-1 模型法本专题主要以例题来阐述如何根据己知条件和结论，构造函数、方程、不等式数学模型,实施转化解题.例 1 a-h(1)已知 a b 0，求证:一行-/=-c 产a+h(2)求证:i+a+b网【解题策略】若所证不等式两边符合某一函数在不同自变量时的取值特征，可构造函数，利用函数的性质来证明.第(1)问，所证不等式两边都是失，的结构,故可设函数为 x)=痣，通过函数的单调性证明;第(2)问，所证不等式两边都是十的结构,故可设函数为/(x)=F，x e，+“)，1 I X 1 I X也可通过函数单调性证明.【解:】ax(1)证明设/()=会3匕 0).因为/(x)=ax-hx a+bx-
5、2hx,-=-=1 2bxax+bx ax+bxax+bx2=1-,a b 0 .因 为 1,所以函数y=l +(1)在 R 上是增函数.s/2 _ ly2 _ 所以/(x)在 R 上是增函数，所以/(V2)/(I)，即%;十黄X(2)证明观察所证不等式左、右两边，各项的式子外形结构皆相似于的形式,1 +x构造函数 X)=；,X 0,+8).即/(X)=1 -土，由于 占 在 0,+8)上单调递减，因而/(X)在0,+8)上单调递增.令玉=k+。|,=同+同，则 有 瑙%J(X 1)/(x2),即卜+/刊 同+同一 网|n|bl+a+b l+b l+a+b l+1 4+网 1 +H 1+H【例
6、 2】若0 a L&.2(Z e Z),/a-b,求证:b -;k k+(2)己知数列 a,J,a“=21,是否存在正数A,使对一切 e N*,不等式(V i A (1 A (_ _ _ _ _1 +1 +1 +.J 而方均成立.若存在,求出的最大值.若不存在，说明理由.【解题策略】第(1)问，条 件 。一 人即为人。一 /,0。,.要证。二,则可构造二次函数k Z +1/(a)=。-储,则可利用二次函数的单调性结合不等式的基本性质完成证明而第Q)问,所证不等式两边都与相关，可采用由特殊到一般的方法.先猜测人的最大值，然后用数学归纳法证明，但证明过程相对烦琐，若构造函数，运用函数的有关性质解题
7、往往可以得到简捷的解法.【解:】(1)证明由己知则6。一。2构 造 一 次 函 数=+(,则在(o,|内为增函数，又。”J，；，,2(1 Y 1 1 1 Y 1 1 1 k-k-1/.b a a=a H -H =-=0,y 0)上动点与点(1,1)连线的斜率._ .,八 sin夕 sin-0又令 k2=tan。=-=-,cos。cos-0其几何意义是单位圆幺+丁=i(冗Q,y0)上动点与原点连线的斜率，如图2-3所示.从图形中易得（1）当 9 w（0,工）时,。&1匕，即 t a n。-；V 4 J 2 1-c o s、，八 兀、，,.八 1-s i n（2）当。=时，勺=k.=1,即 t a
8、 n 6 =-；4 1-c o s。当。e （生，工 时,0 K 1内，即t a n。i n。4 2）2 1-c o s。【例 2】求/（九）=。%-）2 +（“_ m 2 _2）的最小值；如果函数/（X）=；（?2）2+（“-8）+1（血值）,0）在 区 间；,2上单调递减，那么m n的最大值为（）.A.16B.18C.2 5【解题策略】第问，观察可知，原问题可转化为求两点p 九，4-祖2),之间的最短距离的平方.第(2)问，初看是二次型函数的单调性问题，由于解析式含双参数,单从函数角度求解是困难的，必须通过对函数图像的讨论得到关于加，的不等式组，或通过导函 数/(x),0在；,2上恒成立求
9、得约束条件,加的最大值转化为线性规划问题，由动直线与曲线相切或由基本不等式求得.【解:】观察可知，原问题可以转化为求两点足)之间的最短距离的平方.而这两个动点的参数方程依次是x=m,y=l4-m2x=n,9y =-n和V消去m得W+V=4(y.0)和 孙=9.从而问题进一步转化为求半圆d+y 2=4(y.0)和双曲线孙=9上的点之间的最短距离的平方，如图2 4所示.易得=(3正 2 =2 2 12也.解法一若m=2,则/()=(8)x+l在1,2上单调递减，有 喷 上8;若 加 2,则 x)=g(加一2)f+(-8)x +l为开口向上的二次函数，对称轴为x 有m-2若0,根2,则 x)=g(m
10、 2)f+(8)x+l为开口向下的二次函数，对称轴为x=正 生，有心二2“L.将以上三种情况所得不等式整理即?,需要满足的约束条件：m-2 m-2 2=2,或 2,.0,或 京 版 工。，作出可行域如图a-所示的阴影部分令0 n8 2?+一 12,0 m4-2n-18 0.%=“2,则=K,表示一簇反比例函数的图像，由计算可知，当反比例函数=K与直线m m2m+-12=0相切时,最大，此时切点为(3,6),左的最大值为18,故选B.【解法二】由题意得了(x)=(m 2)x+(一8),0对任意的xe-,2恒成立,.只需/,0,2m+一 12M 0,/7?+2/1 18,0又 mJ M),n0,则
11、旗上12-2 12-2 z)设/(x)=m(12-2m)=2m(6-/?)2 竺 若 J =18;当且仅当m=6-m,m =3,n=6时，等号成立.经检验 m=3满足上述条件.二6故 的 最 大 值 为18,故选B.【例3】1 丫(1)求二元函数网演封=(x +X+-+1的最小值；y j(2)已知 J 5+y2+*_ 8)2+(y _ 6)2 =20,求|3%_00的最小值【解题策略】第(1)问，观察二元函数解析式的结构特点,很像两点之间距离公式的平方，由此可试着构造图形,利用解析几何知识求解,若把二元函数看作关于x的二次函数，y为参数，则可利用二次函数极值法求解.第问,所给条件等式为动点P(
12、x,y)到两定点A(0,0),3(8,6)的距离之和为定长20.由于|阴=10 20,则点P的轨迹为椭圆.而3x-4y 100=0是一条确定的直线，问题就转化为椭圆上动点到定直线距离的最值.本题的几何意义是求出与长轴所在直线3%-4y=0平行且与椭圆相切的两条直线3x-4y+25百=0,3x-4y-2 5 6=0,它们与直线3x 4y100=0的距离即为所求的最值.【解】【解法一】(1A(构造法)由二元函数结构特点，可将函数关系看成是点P(x,x l)和点Q y,二 的距离，k y)而点p(x,%1)的轨迹是直线x+y+l=0,点 的 轨 迹 是 双 曲 线 孙=1,所以问题就转化为直线x+y
13、+1 =0上的点和双曲线盯=1上的点的距离平方的最小值.如图2-6所示，A 3连线过原点且与直线x+y+1=0垂直时，其交点C到点8最近，此时，A,B,C3点的坐标是A(l,l),8(1,1)、4一；一；18 0=；，即网左了)的最小值是!【解法二】(二次函数极值法)首先把原函数看成关于X的二次函数2“x)=(x-y)2+X+-+1、2一 、，一 i.，1.=2x+2-y +1 x+y+11y)y)I f 1 顶点在 XQ=yH-1-1 ,2()(x 2/x 2/、2+1 二-J +1 =7 +1 ：(y =T时最小),y J y J K y)2即/(x,y)的最小值是1.(2)设 P(x,y
14、),A(0,0),8(8,6),|AB|=10 M J 2 a =2 0,2 c =1 0.即 a =10,c =5,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Qb=5 y/3-y/x2+y2+J(x _ 8 f+(y-6)2 =2 0 为中心在(4,3),焦点在直线 y =x 上的椭圆.其方程为*4)2+G T：=10 0 7 53 3 3设与直线y =-x平行的直线方程为y =-x +/几要使椭圆与直线y=-x m4 4 4有公共点的加的取值范围是原点到直线y =?x+m的距离不超过5K（即b的值）即|3 x 0-4 x 0 +4 m|5G.5解得剜”1 3.椭圆上任意点尸（x,y）均满
15、足 x 3.由一10 0 2 5屈!B x 4 y 10 0 2 5百 一10 0-10 0|10 0 +2 5 6故|3 x 4 y 1 00的最大值为10 0+2 5石，最小值为10 0-2 5 g.【例4】在平面直角坐标系my中,设定点A（a,a）,P是函数y =（尤0）图像上一动点,若点P,A之间的最短距离为20,则满足条件的实数a的所有值为，【解题策略】从题目提供的信息：P是函数y =4（x 0）图像上一动点，A（a,a）为定点，|B 4|m in=2后，构思解题方法可以朝函数方向靠拢，也可以朝解析几何方向靠拢,于是就有了两种不同的构造方法.思 考 一（函数方向）R 4的 长 度 可
16、 用 和S，a）两点之间的距离表示，势必会出现X +，的形式,通过换元t x +-,t.2,求解新元t的取值范围,将题目转化为在新元的范围内对二次X函数分类讨论求最值,从而确定。的取值.思考二(解析几何方向)1P Ai=2夜,尸 为动点，A为定点，不难发现P的 轨 迹 是 认 为 圆心,半径为2&的圆，则原问题就转化为圆(x a)2+(y-a)2=8与曲线，y =(x 0)相切x的问题,联立消y之后可利用方程根的判别式解决.【解】【解法一】设J(x 0),则|川2=&-。)2+仁一。)=x2+-L-2 +-j +2a2=(x+2 a(x+2)+加?2令f =x+4，得r.2,|E 4|2=/2
17、 ar+2/2 =(r 4)2+/一2X当a 2时,|如|：m =2 2-4 a+2/2 =(2&)2,当a.2时,|P A|3=-2 =(2正 月解得a=T或a=V1 0 .【解法二】由题意可知,若a 0)相切，Xc o 1 2。O联立方程组,消去y得x 2 ax+4-F。=8,X X即(x+1 一 2 a(X+2/-1 0 =0 令 =(),得(2 a)2 -4(2 4-1 0)=0,解 得。=丽此时方 程 的 解 为X=叵 ”,，满足题意.2综上，实数a的所有值为-1,丽.第六讲构造数列、排列组合和概率模型，巧用结构思想解题数学模型是原型的一个相似变换,解题的过程实质上包含着多层次的思维
18、转化过程，如果原型所提供的信息其内在的本质与数列、排列组合、概率有关,那么这个原型可以转化为运用构造法，转化为建立数列、排列组合、概率的数学模型来解.【例1】数列 4中，4 =l,a“+=2。一3”,求通项 an；设。0,数列 4满足q =b,a=.2）,求通项an.1 +【解题策略】构造法在解决数列问题中应用非常广泛，第（1）问，形如=4+4（。1，4。0）的递推式,可由下面两种构造法求通项公式.方 法 一 由 q,+|=pa“+q 及 a“=p%+q 两式相减得 an+-an=p（at l,有4是首项为生一4,公比为P的等比数列，先求见+1-4,再利用“累加法”求.方法二若p =1,则显然
19、是以q为首项，q为公差的等差数列;若0 7 1,工0国？0.则构造数列 a“+2 满足。,用+/l =p（a“+/l）,运用待定系数法，解得4 =言，则 0 且力w l 时，有2 +an b(n-1 1-.-T-外I l-b)又L-1-=-1 1-1=-1-l-b b-bHO,.数 列|3+1-b 是首项为 日 可 公i 1 11 w-1 比为乙的等比数列，则 有 二+L =/、己 =b an-b/?（!-/?）b-b1 hl-b1,故a“=0且 A H 1【例2】对负整数4,数4a +3,7 a +l,a2+8a +3依次成等差数列.(1)求a的值；(2)若数列 4 满足=a +i w N*
20、),q=?，求a“的通项公式；(3)在的条件下,若对任意 e N*,有外,用 ，求机的取值范围.【解题策略】本例考查等差数列的概念、由数列的递推式求通项公式、由数列不等式求参数m的取值范围,三小题环环相扣,前后呼应,若前面小题没有解好,会直接影响后面小题的求解.在第(2)问的求解中可以依据递推关系的特征，用构造法构造特殊数列(等差或等比数列)求通项公式，也可以运用迭代法求解.事实上，迭代法是一种优美的且适用范围更广的解法，其难点是探求迭代后的规律,而构造法的关键是发现递推公式的特点，通过适当的变形构造新数列，由递推关系求通项公式,构造法和迭代法是两种最为基本的解题通法.第问，在有了%的通项公式
21、之后,运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离,即可求出的取值范围.【解】(D依题意有4a+3 +a 2+8a+3 =2(7 a+7),即片一2。-8=0,解得 a =-2 或 a =4.；a (一 2).【解法三】(迭代法)由 +|=(-2)n+,-2a“得 a,=-2a_,+(-2)=-2-2a_2+(-2)H-+(-2)-=(-2 _2+(-2)-+(-2)=(-2)2-2_3+(-2广+2.(-2)”二(一 2)3q_3+3-(-2)“=(一2)-%+(_1)(一 2)“=m-(-2)n-+(n-l)-(-2)n.(3)由a2n+l%对九 N*恒成立得m (2/+2H-(-2)2n+1
22、o,两边同除(_2产 2,2+4+得 4m+(8)In 加+(2)(22),得？-一 对 e N 恒成立.、“，12+4 .16 16当=1 时，-最小，为 一,:.m ；:募2,由于这两个事件是互斥的,从而3个球为同色的概率为+力 -3(f +力 +2(%+970200由(1)可得 Y+J?=(+,)3 _3移(工+,)=。6 _300孙x2+y2=(x+-2xy=1(/-2孙 从而970200-294孙 x2-100 x(x-50)2-2500i=-1 1 =1 I97020033003300Q由 此 当x =50时，P为最小，此时P =9.3 3（2）证明所 证 不 等 式 一 4+s,
23、2x 2变形为4+2s1 n x eo&x.2.l +0 s i n x+j 1 +s i n x +c o s x去分母得 2+s i n r e o s x.1 +s i n x+cosx.故只 需证明 s i n x+c o s x s i n x e o s A；,1.联想概率加法公式P（A+5）=P（A）+P（B）-P（A B）.设两个独立事件24和3,且（2 4）=5 111%/（3）=以）8,由X G 0,y故 砌n x i M o s x 1,即 噫i p（A）1,噫Ip（b）1,W（A B）1.则 P（A+8）=P（A）+P（8）-P（A 8）=s i n x+c o s i
24、 r-s i r u c o s,l.二 2 +s i n x e o s x.1 +s i n x +cosx呜s i r i ,c o s x 0.4 +2 s i r i x c o s x?1 +s i n x +c o s x4 +s i n 2 x1 +V s i n（x +.2第七讲构造几何、向量模型，寻求简捷解法许多代数形式具有几何图形的特征,许多几何问题通过构造辅助图形变为规则的几何图形之后,可以巧妙地解决这些问题，使所构造的图形更具操作性,将题设条件及数量关系直接在图形中展现,然后在构造的图形中寻求问题的结论.向量集数与形于一体，它沟通了代数、几何与三角函数的内在联系，构造
25、向量模型解题被称为数形结合的典范，应用非常广泛，平面向量可以用来求解解析几何中的许多问题，在解立体几何问题时,运用空间向量法，可以使解题过程简洁明快,避免了作辅助线、证明等烦琐过程,通过向量的加（减）法、向量的数量积计算等轻松求解.【例 1】（1）已 知 为 正 数，且证明，必 手 等而卢;a b 对于正整数，定义S,为和式2 2 k-1）2 +d的最小值，其中外,。2,an是正实数,它们的和是17,存在唯一的正整数，使S,也是一个正整数,求这个正整数”.【解题策略】第（1）问为二元基本不等式及其变形公式,用代数方法证明很简单，下面给出的是构造几何图形来证明，实质也是不等式的几何解释.第问，（
26、2左-1）2+始形似勾股定理，故可以联想构造一系列的直角三角形来求解.【解】2 2 一 一则 B D =VBC2-CD2=审)-(F)=而最后，作 RtABC。三 Rt ABC。，过。作。E J.3C交 8C 于 E.B D2(V t f K)2 B a+b2产2了如 图2 7所示.+-a b由图形直观得A B B C B D B E,c1a-b图2-7 如 图2-8所示，作A 4 =1,G 员=3,G-纥=2 -1;B =a,B2C2=a2,Bn_yCn_x=an_ BnC-那么A8=才(2&-1)=BC=q +4 +”“=1 7因为 J(2 I)2+d =A G+G。2 +GT c.A C
27、 =V n4+1 72所以/+1 7?=m2,n N*，即(2 川 乂加+?)=289,因为/%+为正整数，且加+2 加一)所以2 1=1,2+2 =289,所以=1 2(舍去负根).即当=1 2时，Sl 2=1 45.【例2】(1)已知正三棱锥P A B C,点P,A,B,C都在半径为百 的球面上,若PA,P&PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的 距 离 为；若名,/均为锐角,且满足sinh+sin?+sin2y=1.小丁 sin%sin/sin37.求证：-+-.1.sin，sin/sine【解题策略】第问，利用补体方法,把正三棱锥扩展为棱长为2的正方体，以便于从整体上宏观把握,这种方法
28、便是整体构造，目的在于从更广阔的范围内处理局部问题,是一种重要的解题方法.在本书数形结合的思想方法一章中，也会介绍过数形结合的桥梁一一构造法，其中有一道例题是：己知/均为锐角，i l cos2a +cos3/?+cos2/=1.求证：tana+tan/+tan/.3夜,其题设正是长方体的一个重要性质(读者可在本书相关章节中查阅).本例第(2)问正是上述这道例题的拓展,所不同的是上面所举的例题中，是长方体的体对角线与从一端点出发的三条棱所成的角，而本小题中的是长方体的体对角线与从一端点出发的三条面对角线所成的角，证明过程中除了运用二元基本不等式之外还需运用柯西不等式,这类题从三角函数角度证明极其
29、烦琐,构造立体图形则证明过程简捷明快.【解】(1)依题意构造一个棱长为2的正方体，则正三棱锥P-A B C即为该正方体的一个角(从顶点P出发的3条棱分别为PA,PB,PC),且球心刚好就是以点P为一个端点的体对角线P Q的中点，易知平面A8C与P Q交于P Q的一个三等分点,且P。J平面ABC,进而可得球心到截面ABC的距离d=(2)证明如图2 9所示，设a,5 c为长方体A8CQ A g G 2的3条棱，其对角线AG与3个面,即与面A C,面、面4片所成角分别为&/7,/,1=/6 4。,/?=/。小。，y=做,A =yja2+b2+c2贝ij sin a=CC,AG y/a2+b2+c2s
30、in =4 =21byj(r +b2+c2sin/=AC*】a72+b2+c2皿+皿+包/八+-J，,sin 尸 sin/sina ba1+/?2+c2)+/2+c2)ca2+b2+c2(C3830+V a c)1(2+&2+c2)2bc+ab+ca.-r-(c2+&2+a2)2=1.当且仅当 a=b=c,即 a=p=y 时取等号.a2+b2+c2【例3】(1)已知7 0由。+240$&=25,求12114的值；(2)求函数y=2s欣+3C O+-4的最值;c o s x-2(3)求函数 y =Jx：+2x +2+-2x +2 的最小值;(4)设演y E R+,且x +2y =10,求函数w
31、=V+y1的最小值；(5)若实数x,y满足方程f+y 2-2x -4y +1 =0,求代数式上的取值范围.x +2【解题策略】这一组题在其相应的知识范围内都是可以解决的，但是若构造向量，利用向量知识求解显得既简洁又巧妙.对于(1),在三角函数范围内可以有多种解法,运用向量运算则别具一格.对于，变形后构造向量,利用卜力|,同网 即可求得函数最值，对 于(3),在向量中有不少含不等式结构的式子，如：1 4-间圈同+忖,。山殁女“同 忖，对所给函数解析式通过构造向量,利用上述不等式求有关函数的最值.对于(4),设 向 量=(a,Z?),则比与方的数量积为：=|洲 臼=a x+加从而有:m n,|m|
32、r t|,当且仅当历与同向时取等号：|加.,得V+2(，：+”)一,当且仅当?与A同向时取等号,上式结论可以推广到空间向量,读者可a+b自行推导.对 于 ，壬 可 以 看 作 圆 上 一 点P(x,y)与定点(-2,0)连线斜率,求斜率的范围，若构造向量 利 用(m-H)2,|ni|2-|n|2即可求得其取值范围【解】(1)注意到系数满足72+242=252,可构造向量m=(7,24),=(25sin4z,25cosa)，于是由7同=|“=|m|H|=252，可得加=，即7=25sina,24=25cosa,故 tana=.(2)由原函数解析式变形得2sinx+(3y)cosx=4 2y,构造
33、向量 a=(2,3-)力=(siar,cos).则|4一2y卜|4力同也|=+(3-,解 得:釉3.,_ 1 Ynax _ 3,ymin 一 (3)所给函数为根式的和，通过对根号内的二次三项式配方,使之转化为向量的模,即原函数可化为y=J(x+1)2+F+J(x 1)2+(_1)2,设a=(x+l,l)/=(工_1,_ 1).,一。圜a|+他 卜2A/2 y.:.min=272(4)设 2 =(x,y),=(1,2)，由定义有 m-n=x+2y=10,|m|2=x2+y2,|n|2=5,从而2,2 .12 l|2 102w=x+y=m.-7=20.5当且仅当相与同向，即t =2 o时取等号，1
34、 2/.当 =2,=4时，卬=V+/取得最小值20.(5)设,=:，则.=依+2 4 x+2方程f +y2 2x 4y+l=0 可化为(x l)2+(y 2)2=4.故可将式写成一女,(xl)+l(y 2)=3左 一2.构造向量m=(九 一 l,y 2),=(一2,1),则|/7 i|=5/(x-l)2+(y-2)2=2,同=yjk2+1-m-n=3k-2.0，5由(/得(3k 2)4(%-+1),解得 O i j t ,故所求一2一 的取值范围是x+2【例 3】如图2-1 0 所示，己 知 三 棱 锥 ABC的侧棱。4,。&0 C两两垂直，且0 4 =1,。8 =0。=2,：是。的中点.(1
35、)求。点到面A3 C的距离；(2)求异面直线BE与AC所成的角；(3)求二面角EA 8 C的大小.图 2-10【解题策略】运用空间向量解立体几何问题,体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体几何从“形”到“形”的推理方法,是构造法思想的体现,通过构造向量把立体几何问题转化到空间向量系统内求解,从而降低了思维难度，使问题变得程序化,这是用空间向量求解立体几何问题的独到之处,在建立恰当的空间直角坐标系的条件下，本题的解法归纳如下：(1)点面距离P为平面a外一点，”,分别为平面a的斜向量和法向量，d为 P到a的距离，则 J =|a|-|c os(,n)|=p.(2)异面直线的夹角：设两异面直线外。
36、所成角为夕。,0分别是a,。的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是(0,，则有c os6 =kos(a,b)卜 作.(3)二面角：设。是两相交平面%;7所成的二面角(或其补角)，是平面a的一个法向量，是平面月的一个法向量，则cose=|cosn,|=也同I闻【解】(1)如图2-11所示，。为原点，。&OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有40,0,1),8(2,。，0)，。(0,2,0),后(0,1,0),设平面 ABC的法向量为4=(x,y,z).则由4 A B知勺 A B =2 x-z=Q,由勺 J _ AC知科-A C =2 y-z =0.取 勺=(1,1,2),In,-0 2 J6则点。到面A B C的距离d=1,1=/=X-.同 V1+1 +4 3(2)EB=(2,-l,0),AC=(0,2,-l)cos(EB-AC).二 广=，所以异面直线B E与A C所成的角为arccos-/75x75 5 5(3)设 平 面E A B的法向量为=(x,y,z),则由4，AB知4 A8=2 x-z=0,由 n,_L 屈 知 n,.S=2xy=0,取%=(1,2,2).由(1)知平面A B C的法向量为4=(1,1,2),r,.t v,-n,1 +2+4 7 7/6则 由 丽=叩=或7 M故二面角E-A B-C的大小为arccos、一.18图 2-11