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1、第 0 4 章 变 元 与 参 数 的 思 想 方 法 G.波 利 亚 指 出：“引 入 辅 助 元 是 引 人 注 目 的 一 步，人 的 高 明 之 处 就 在 于 当 他 碰 到 一 个 不 能 直 接 克 服 的 障 碍 时，他 会 绕 过 去；当 原 来 的 问 题 看 起 来 似 乎 不 好 解 时，就 会 想 出 一 个 合 适 的 辅 助 问 题，构 想 一 个 辅 助 问 题 是 一 项 重 要 的 思 维 活 动 本 章 把 重 点 放 在 辅 助 元 的 引 入 以 及 在 解 题 中 的 作 用，论 述 变 元 与 参 数 的 思 想 方 法.变 元 即 引 进 辅 助
2、 元，是 指 通 过 字 母 变 元（或 表 达 式）表 示，代 替 或 转 化 为 某 些 确 定 的 数 学 对 象，将 数 学 问 题 化 繁 为 简、化 难 为 易、化 未 知 为 已 知，从 而 达 到 所 求 目 标 的 一 种 思 维 倾 向，即 换 元 思 想.它 的 理 论 依 据 是 等 量 代 换.辅 助 元 素 一 般 是 通 过 分 析 条 件 和 题 型 特 征，从 解 决 问 题 的 需 要 角 度 来 确 定 的，运 用 换 元 思 想 处 理 问 题 的 具 体 操 作 过 程 中，实 施 未 知 量 或 变 最 的 替 代，其 关 键 是 确 定 替 代 关
3、 系，替 代 关 系 的 确 定 通 常 是：以 新 元 代 旧 元，以 新 式 替 旧 式，赋 旧 元 以 新 式，以 新 式 替 旧 式，从 换 元 的 形 式 来 看，常 用 的 有 比 值 代 换、根 式 代 换、变 量 代 换、初 等 函 数 代 换、常 值 代 换、三 角 代 换 等.从 思 想 方 法 的 角 度 来 看，常 有 整 体 代 换、局 部 代 换、均 值 代 换、倒 置 代 换、对 称 代 换 等.变 元 作 为 一 种 重 要 的 数 学 方 法，在 多 项 式 的 因 式 分 解、代 数 式 的 化 简、恒 等 式 或 不 等 式 的 证 明，方 程、方 程 组
4、、不 等 式、不 等 式 组 或 混 合 组 的 求 解，函 数 表 达 式、定 义 域、值 域 或 极 值 的 探 求 等 问 题 中 都 有 广 泛 的 应 用.换 元 法 的 特 点 是 原 题 中 的 旧 元 或 旧 式 是 存 在 的，为 了 问 题 容 易 解 决，用 新 元 或 新 式 来 代 替 旧 元 或 旧 式，而 参 数 则 不 同，参 数 可 以 是 原 来 就 存 在 的，可 能 原 来 没 有 把 它 作 参 变 量 看，比 如 直 线 方 程 y=履+6,若 把 攵 看 作 参 数，则 表 示 过 定 点（0,份 的 直 线 系 方 程；若 把 人 看 作 参 数
5、,则 表 示 斜 率 为 左 的 直 线 系 方 程.参 数 也 可 以 是 为 了 使 问 题 的 条 件 和 结 论 发 生 关 系 或 使 关 系 明 朗 化 而 引 进 的，参 数 的 出 现 并 不 需 要 旧 元 或 旧 式 的 依 托，参 数 是 解 析 几 何 中 的 第 三 变 量，是 桥 梁 或 探 测 器，比 如 在 解 有 关 圆、椭 圆、双 曲 线、抛 物 线 的 问 题 时，可 以 引 进 之 外 的 第 三 变 量 将 圆、椭 圆、双 曲 线、抛 物 线 的 直 角 坐 标 方 程 化 为 参 数 方 程.在 一 个 数 学 问 题 中，决 定 其 本 质 特 征
6、 的 量，都 可 称 之 为 独 立 参 数.第 十 七 讲 运 用 辅 助 元 法 巧 解 数 学 题 在 解 题 过 程 中，通 过 引 人 一 个 或 几 个 新 变 量 来 代 替 原 式 中 某 些 量 或 式 以 实 现 变 量 替 换，从 而 使 问 题 得 以 解 决，这 种 解 题 方 法 叫 作 换 元 法，又 称 辅 助 元 法，辅 助 元 法 的 理 论 根 据 是 等 量 代换.辅 助 元 法 可 以 把 分 散 的 条 件 联 系 起 来，或 者 把 隐、含 的 条 件 显 示 出 来，或 者 把 条 件 与 结 论 联 系 起 来，或 者 变 换 为 熟 悉 的
7、形 式，把 繁 难 的 计 算 和 推 理 论 证 简 化，从 而 达 到 化 难 为 易、化 繁 为 简、化 未 知 为 已 知 的 目 的，有 利 于 问 题 的 解 决 换 元 中 一 定 要 注 意 新 元 的 约 束 条 件 和 整 体 置 换 策 略 的 运 用，适 时 补 充 条 件 以 符 合 原 未 知 数 取 值 范 围 的 要 求.辅 助 元 法 的 基 本 步 骤 如 下：(1)把 原 问 题 中 某 个 式 子 或 某 几 个 式 子 分 别 看 成 一 个 整 体；(2)引 人 新 元 代 替 这 些 式 子，使 以 新 元 为 基 础 的 问 题 较 为 简 洁
8、易 解；(3)对 以 新 元 为 基 础 的 问 题 进 行 解 答，得 出 结 果；(4)再 代 回 原 来 的 式 子 中 求 出 原 变 量 的 结 果.合 理 运 用 辅 助 元 法 解 题 策 略，可 以 使 解 题 能 力 更 上 一 个 台 阶.(2)解 方 程：V 6x+1+，5-2+9x-2=5x 1；(3)解 方 程：(8 cP+#(27+x)2=#(8 x)(27+x)+7.解 题 策 略：通 过 换 元 化 无 理 为 有 理，思 考 的 方 法 是 对 的，但 上 述 方 程 中 无 理 式 不 止 一 个,关 键 要 认 清 这 些 无 理 式 之 间 的 关 系，
9、即 通 过 运 算 或 变 形 有 可 能 得 到 什 么 结 果，第(1)问 可 采 用 平 均 代 换，第(2)(3)问 可 引 进 两 个 新 元，寻 求 两 个 新 元 之 间 的 联 系.解：(1)令 x，=g+f,则 一、5=一.由 上 述 两 式 平 方 之 差，有 x 2 V x 2x-5 2 x t,即 2 x于 是 从 而 n一 w=1,即 d x 5=0,解 得 x=1且 x 2经 检 验，x=匕 是 原 方 程 的 解.2(2)设，5/6+1=%5/5/+9X一 2=丫,于 是 有 方 程 组;w+v=5x-l u2-v2=-3(5x-l)当 5xl/0,十 得：u-v
10、=-3 由 和 解 得：M=-(5X-4),75X2-6X+1=-(5x-4).2 2解 这 个 方 程 得：X,=2,X2=1.当 5x1=0 时，=3 适 合 原 方 程.所 以 原 方 程 的 解 是=2,=4,=(3)注 意 到 三 次 根 式 我 二 7 与 正*的 立 方 和 为 常 数.故 可 设=麻 工,u=27+x,则 3+/=35.又 由 原 方 程 得 2+v2=u+7,即 2-WV+v2=7.u3+v3 35 匚 从 而 w+v=-2-=5,u-uv+v 7“V=；(“+y)2 _(“2 _“y+y2)=；x(2 7)=6.于 是 M,V是 方 程 y2-5y+6=0
11、的 两 个 根，解 得 y=2,8=3.当=2,v=3时，玉=0；当=3,丫=2时，x2=-19.经 检 验，%=0,=一 19都 适 合 原 方 程，所 以 原 方 程 的 解 是 5=0,赴=19.例 2:(1)解 方 程：2x49,2-9X 14?+7 X 4*=0；(2)已 知 函 数/(x)=工 2+办+与+色+优 xr 0,x w R),若 实 数 a,6 使 得/(x)=0 有 实 X X根，求。2+的 最 小 值；(3)方 程 以 2-4改+1=0(0)的 两 个 正 数 解 机,满 足|lgm 一 1g 区 1,求 a 的 取 值 范 围.解 题 策 略：第(1)问 是 解
12、指 数 方 程，由 于 底 数 不 相 同，无 法 化 为 同 底，故 需 设 两 个 新 元，再 通 过 分 解 因 式 得 两 个 新 元 之 间 的 关 系 再 解 之.第(2)问，函 数 解 析 式 中 含 有 x+工 和+二,X X令 x+工=r.通 过 局 部 换 元、整 体 处 理 使 原 问 题 转 化 为 关 于 t的 二 次 函 数.又 由 于 f有 范 围 限 制,X可 采 用 变 更 主 元，即 以”为 主 元，得 到 直 线 方 程，转 化 为 点 到 直 线 的 距 离 问 题，解 题 中 出 现 尸+1的 形 式，又 一 次 局 部 换 元(中 途 换 元 在 变
13、 换 过 程 中 才 能 发 现)，在 多 次 换 元 过 程 中，新 元 的 范 围 确 定 非 常 重 要.第(3)问，方 程 ax2-4or+l=0(aw0)有 正 根,小，用 韦 达 定 理 使/+”,加 用 a 表 示，将 超 越 式|lg/n-lgn|d2=v,)=(r+1)+一 一 一 6.r+1 r+1再 令=产+1,则“=(X+L)2+I N 5(当 且 仅 当 x=工 时 取 等 号).X Xa Q由 于 y=+6 在 5,+oo)上 单 调 递 增，故 当=5 时，函 数=+6 取 最 小 值 U U4即 十 的 最 小 值 为 一.5,1(3)因 为 九/?,工 0,所
14、 以 A=16a-4aN0,故。0,从 而 可 得。a 4又 由 已 知|lg?一 lg|1,W-l 10,故-而 囱,2-10 0,n1所 以(m-)(m-10n),9 0,即 加 2+2(10H-)叫 01()1()21由 此 可 得(Z+)2 记 2 0,所 以 16早 x上 0 n a f a 10 a 1601 121由 得 a 的 取 值 范 围 范 为-/x+1；(2)解 不 等 式：x+x1 yja2+b2.cos。解 题 策 略：本 例 第(1)(2)两 问 是 解 无 理 不 等 式，一 般 将 其 转 化 为 有 理 不 等 式 组.若 运 用 换 元 法，即 抓 住 无
15、 理 式 结 构，用 一 个 变 量 进 行 代 换，则 立 即 转 化 为 有 理 不 等 式，解 之 就 不 难 了，当 然 在 解 答 时，对 于 新 元 的 取 值 范 围 应 予 以 重 视.第(3)问 是 三 角 不 等 式 证 明.可 采 用 整 体 换 提 元，即 令-btan。，通 过 寻 找 问 题 中 隐 含 的 几 何 意 义 转 化 为 解 析 几 何 知 识 证 明 是 个 好 COS。念 头 解：令 j2x+5=.0),则 x=；(一 5),于 是，原 不 等 式 可 化 为 r；(产 一 5)+1.即 一 2/-3 0,解 得 一 1/3,且 Z.0,即 0,侬
16、+5 3.由 此 解 得 原 不 等 式 解 集 为-3,22(2)令 G-x-l=t,则 2-=r+1 9.0).于 是 原 不 等 式 可 化 为 t2+t-2 0.I-_ y _ 1 V 1解 得 一 2/1,且 人.0,即 Q,v l,变 形 为.(x2-x-l.O.解 得,.2 或 _%,.2 2-K(1 R-由 此 得 原 不 等 式 的 解 集 为 匕 卫,2-1,匕 乂 2.2 2，a,八 a-b s in 0 a-b s in 0(3)证 明：令 k=-htan0=-=-cos 0 cos 0 0-(-cos O)则 上 可 看 成 是 过 A(0,a),8(cos。,b s
17、in 6)两 点 的 直 线 的 斜 率,而 动 点 B 的 轨 迹 方 程 为 f 3=1。(),y 0).当 直 线 A B与 曲 线 r+方=1(0,0)相 切 时，上 有 最 小 值，2设 过 定 点 A且 与 椭 圆/+方=1相 切 的 直 线 方 程 为 y=k x+a,代 人 椭 圆 方 程，得 W+/卜 2+24 ax+/-h2=0.令 A=0,f#p=a2-/?2,且 0,/.a2-b2 0,于 是 K=J/-2,kjk=Ja2-b2,-bland ja2-h2.cos 3例 4：(1)求 函 数 y=,尤 2+9+J r 2-8 x+1 7的 最 小 值;(2)设。0,求/
18、(x)=2c/(sinx+cos冗)-s in x c o sx-2 的 最 大 值 和 最 小 值；a(3)已 知 0。乃，证 明：2sin2a,cot,并 讨 论 a 为 何 值 时 等 号 成 立.2解 题 策 略：第 问，若 用 代 数 方 法 求 解 肯 定 较 烦 琐，观 察 本 题 结 构，联 想 到&+9 与 8x+17=J(4-4+l 分 别 是 复 数 z,=x+3i 与 Z2=(4-X)+Z 的 模，代 入 Iz J+lz.l+z J即 可 求 解.第 问，通 过 换 元 转 化 为 二 次 函 数 区 间 最 值 问 题.第(3)问，可 通 过 初 等 函 数 的 代
19、换，将 三 角 不 等 式 的 证 明 转 化 为 代 数 不 等 式 的 证 明，关 键 是 寻 找 合 适 的 代 换，而 万 能 置 换 正 合 适.解：(1)设 Z I=x+3z,z2=(4-x)+i,贝 I|z,|=yx2+9,|z21=y j(4-x)2+1,|Z I+Z2|=|4+4Z|=4V2.又 因 为|zJ+1 z?Z+z?|,所 以 lx2+9+J(4-X)。+1.4A/2.当 且 仅 当 Z=眩 2(%0)时 取 等 号，此 时 攵=3,即 x=3(4-元),x=3.故 y=J d+9+&-8 X+17的 最 小 值 是 472.(2)设 sinx+cosx=f,则/=
20、Vsin(x+)c-夜，夜,sinxcosx=-,4 2从 而/(x)=gQ)=_g-2a)2+g(aO)/_0,0=一 五 时 取 最 小 值：-2/-2国-上;2当 2a.时，=时 取 最 大 值：-2c，+2yfia-L；当 0 2 Q）的 最 小 值 为-2/2及-g;最 大 值 为(0 q 2-2a2+2/2a-2(a.四.2a C L 71（3）证 明：令 tan=f,则 由 0 0,由 万 能 公 式，原 不 等 式 可 化 为 2 2 2,2t l-t2 11+/2 1+r2 t 用 1+产 丫 乘 上 面 不 等 式 两 端，问 题 变 为 证 明 8/（1-r）“（1+产
21、丫，展 开 化 简，得 9/+6/L,0,即-（3产 一 1）；0.由 于 以 上 每 步 可 逆，故 原 不 等 式 成 立.等 号 当 且 仅 当=即 tan=立，即。=色 3 2 3 3时 成 立.7 T故 当 时;原 不 等 式 中 等 号 成 立.3第 十 八 讲 三 角 换 元 三 角 学 的 智 慧 之 果 变 量 代 换 是 借 助 于 引 入 新 变 量 来 实 现 问 题 转 化 的 一 种 解 题 策 略，新 变 量 的 引 人 没 有 固 定 的 形 式，它 依 赖 问 题 本 身 的 结 构 和 特 点，许 多 代 数 题 目 都 可 以 根 据 题 目 的 特 点，
22、应 用 三 角 函 数 进 行 适 当 的 代 换，结 合 三 角 恒 等 式，将 代 数 问 题 转 化 为 三 角 问 题，使 问 题 得 以 简 捷 地 获 解，当 然，用 三 角 函 数 或 三 角 函 数 式 代 换 代 数 式 中 的 变 量 时 应 由 旧 变 量 的 取 值 范 围 确 定 新 元 的 取 值 范 围.推 而 广 之，将 某 一 个 系 统 中 的 问 题 对 应 地 转 化 到 另 一 个 系 统 中 去 解 决，这 是 变 量 代 换 最 本 质 的 作 用.三 角 换 元 主 要 用 来 解 决 如 下 结 构 的 数 学 问 题：(1)/2(x)+g2(
23、%)=R2 型：可 设/(x)=Rcos6，g(x)=Asin去 求 解 对 伊 的 取 值 范 围 作 相 应 限 定，下 同.(2)y11al 与 型:可 设 x=acos。或 x=asin。去 解.(3)/2(x)-g2(x)=*型：可 设/(x)=Rsece,g(x)=R t a n 去 解.(4)J+/2(x)型:可 设/(x)=Rtan去 解.(5)J%2 _ R 2 或 型:可 设 X=/?5&8或 1=RcscO 去 解(6)上 y、型：可 设 尤=tan,运 用 万 能 置 换 公 式 去 解.1 犬 1+?2xiy(7)型：可 设 X=tanc,y=tan/3,运 用 两
24、角 和 或 差 的 正 切 公 式 去 解.由 函 数 式 隐 含 的 几 何 意 义，通 过 三 角 换 元 转 化 为 运 用 数 形 结 合 法 去 解，如 有 些 问 题 可 在 三 角 换 元 后 转 化 为 直 线 与 二 次 曲 线 的 关 系 问 题.例 1(1)求 函 数 y=Jx-4+，15-3x的 最 大 值 和 最 小 值;x/3(2)求 函 数 的 值 域；Vl+x2(3)求 函 数 y=x+国 2%2 4x+6 的 值 域:(4)已 知 啜 P+y2 2,求 Z=%2 一 孙+y2的 最 值.【解 题 策 略】无 理 函 数 的 最 值 或 值 域 的 求 法 是
25、一 个 难 点，难 在 如 何 才 能 去 掉 根 号 使 之 成 为 有 理 函 数，而 三 角 换 元 借 助 于 三 角 公 式 能 实 现 这 一 转 化，问 题 在 于 所 给 出 的 函 数 解 析 式 常 常 并 非 一 目 了 然 地 能 找 到 三 角 换 元 的 途 径，需 要 对 解 析 式 中 的 被 开 方 式 实 施 变 形，找 准 方 向，实 现 三 角 换 元.对 于 第(1)问 中 含 有 两 个 无 理 式，则 必 须 找 到 两 个 无 理 式 中 被 开 方 式 的 关 联，一 步 到 位 实 现 化 无 理 为 有 理、化 一 般 代 数 式 为 三
26、角 式 的 目 标，第(4)问 是 二 元 函 数，关 键 在 于 如 何 由 条 件 W+/2,实 施 三 角 换 元，且 要 总 体 考 虑，当 然 三 角 换 元 必 须 由 条 件 对 角 的 范 围 进 行 限 定.在 这 一 限 定 下 运 用 三 角 知 识，求 解 三 角 换 元 可 使 较 复 杂 的 问 题 简 单 化.【解】(1)由 于 4领 k 5,故 可 令 x=4+sin2a。领 Ja冗 2,则 原 式 变 为 y=sin a+百 cosa=2sinfa+-.I 3 J4 1当 a=R 即、=4评，取 得 最 大 值 2；当 a=,即 x=5 时，V 取 得 最 小
27、 值 1.(加 冗、(2)函 数 的 定 义 域 为 R,令 x=1皿。，.2 2 J则 y=tan _=sin。-Vcose=2sin 0-.sec。I 3)I 十 冗 八 1 5兀 八 7C 7C由 于 v，v,/.-0-.2 2 6 3 657r TT 7T而 当 时，y 为 减 函 数，此 时 2 v y v 1,6 3 2TT 7T 7T当 一 6-工 2 时，y 为 增 函 数，此 时-2,yl.故 函 数 的 值 域 为-2,1).2 3 6(3)【解 法 一】v2x2-4x+6=2(x-l)2+4,可 设 x-l=3tane1|e).则 y=&tan6+l+2sece=3+sm
28、)+i.cos。设 必=2 0 1 0,从 而“cosg sin 6=.(/7Wcos(e+0)=及(其 中 3 夕=赤 了，sm0=7 G)-正 _cos(6+0,A w.l,VW2+1y.2+.故 函 数 的 值 域 为 也+1,+oo).【解 法 二】由 解 法 一 得 u=0+sin。例 工,则“为 P(cos0,sin8)例 0,当 直 线 与 半 圆/yX2+y2=l(0 xl,ivyvl)相 切 时，d=Z-.1,解 得 左=1,数 形 结 合 易 得 4 2+1k.A,即 及+1.故 函 数 的 值 域 为、份+1,+8).(4)令 人=Axos8,y=ksin0 f 则 掇
29、Q 2.(I、又 z=Y-q+V 二 代 一 女 2 sin9cos0=女 2 1 sin20.I 2/当 左 2=2,sin 29 1 时，Zmax=3；当 42=,sin 26=1 时，zmin=g.例 2(1)已 知 实 数 o，卜 c满 足 a+c=O，2+6+。2=1，则。的 最 大 值 是（2）对 于 0 0，当 非 零 实 数 0，3满 足 4a2_2 6+4力 2_C=0，且 使|2a+6 最 大 时，的 最 小 值 为.a b c解 题 策 略 第（1）问，由 于 条 件 是 三 元 等 式，如 何 实 现 三 角 换 元 需 要 精 心 构 思，可 以 有 多 种 三 角
30、换 元 的 方 法；第（2）问，若 将 4/一 2他+4 c=O 变 形 为（2。一）+/?2=c（c 0）.联 想 到 三 角 公 式 sin?c+cos2 a=1,可 令 E r b=7 c cos a 2 b,从 而 求 2。+切 的 最 大 值 转 化 为 三 角 函 数 求 最 大 值.从 而 说 明 了 数 学 是 2a=&sin aI 2灵 动 的，通 过 思 维 完 成 构 想，一 旦 成 功 何 等 快 意，正 如 欧 阳 修 的 诗 句：“一 阅 声 长 听 不 尽，轻 舟 短 楫 去 如 飞.【解】（1）【解 法 一】将 c=-(a+b)代 入/+h2+c2=1 得/+从
31、+ab=L2j+1 4 2整 理 得(j+bci 拒,2 2 a=：2 2【解 法 二】CS，/7 7 7.则=二。的 最 大 值 为 出 3 3 3sin 2令。=%+丁，6=x-y,代 入 上 式 得 6 9+2），2=1x=由 椭 圆 的 参 数 方 程，y 二屈 A 近.A m 吟 底 a=x+y=cos，d-sin，=sm 6-一 L,6 2 3 L 6/3的 最 大 值 为 它.3【解 法 三】由 片+匕 2+=1 得+/=1 一.b=J1-a2 sin。令 d/一 Fc=J i-a cos夕 代 入+/?+/2-2 2 a b c c y/c yjc)，二 3 一 74 十 5二
32、 的 最 小 值 为 2.a b c例 3(1)给 定 数 列%，且+|=I(2&),求 生 020 一“1460；数 列,也(E N)满 足：=1,a+T=!J1-a：,o=Lb,=.求 证：对 任 意 的 w N恒 有 22a 7T 2,+2b./l+l 1*a用 三 角 换 元 的 方 法 求 解 或 证 明.第（1）问，由 递 推 式 的 结 构 特 点，可 构 造 两 角 和 的 正 切 公 式 求 解.第（2）问，涉 及 两 个 递 推 数 列 且 所 给 递 推 式 又 都 是 无 理 式，若 能 通 过 巧 妙 的 三 角 换 元 并 借 助 当 xe 0,时，有 sin x
33、x 0,由 此 令 a“=sin%,=tan g,则 有 4=总=?,从 而 构 造 三 角 函 数 得 到 sina“+=a,=J l-J l-s i n2a=sin=a,=%=n+n+l 2 V V n 2 I 2数 列 4 是 首 项 为 4=1,公 比 为;的 等 比 数 列=%=鼻=%=sin鼻，同 理 可 z 2 2 得 2=t a n g/J T利 用 熟 悉 的 不 等 式：xe 0,-，则 s in x x ta n x.此 处 方=3，I 2)2)1+2则 有 sin tan=an bn=2+2a 7v 0,匕 0且 a+2 Z?=l,求 证：-+1.3+2/2；a ba
34、b（2）。，b,x,y 均 为 正 数，且 一+=1,x y（3）求 证：一 3部+，3-2为-+2 272-1-求 证：%+/.（指+扬）2；（4）设。，b,C是 正 实 数，且 4。+。+。=，求 证:2 2 2 5-1-2+l b2+c2+r 2【解 题 策 略】代 数 问 题 三 角 化，可 以 充 分 利 用 三 角 函 数 的 特 有 性 质，使 较 为 复 杂 的 不 等 式 的 证 明 问 题 得 以 简 化，但 要 注 意 角 的 范 围 和 三 角 函 数 的 有 界 性.第（1）问，通 过 三 角 换 元，弦 化 切，运 用 基 本 不 等 式 证 明；第（2）问，即 使
35、 是 三 角 换 元 也 可 以 有 多 种 证 法，可 以 通 过 这 些 方 法 错 炼 发散 思 维 能 力，力 求 对 突 破 难 点 有 所 裨 益;第（3）问，所 证 不 等 式 即 为 求 函 数 y=x+j 3 2 x x 2的 值 域 是 否 为 y e 3,2啦 1,但 是 在 运 用 三 角 换 元 时 由 于 形 式 上 不 是 很 明 朗，故 必 须 先 对 被 开 方 式 进 行 适 当 变 形，找 到 如 何 实 施 三 角 换 元 化 无 理 为 有 理 的 途 径；第/7 4-f*（4）问，由 c+a+c=6得 6=与 三，其 特 征 与 两 角 和 的 正
36、切 公 式 ac,c、tan a+tan tan(a+/?)=-三 相 似，证 明 思 路 顿 时 凸 现！1-tan a tan p(1)证 明 由。0,Z?0,a+2b-I,设=(：0$26，b=-sin-0 则 有：1 1 1 2+-T-a b cos2 0 sin2 0cos2 0+sin2 0 2sin?8+2cos2 6-7-1-cos*0 sin 03+tan?6+2 cot?8.3+2Vtan2-2cot2 3=3J 2 1当 且 仅 当 tan2e=2cot2，即 tane=2.也 就 是=从 而。=广，2 1+V2b=i 一 也 时 取 得 等 号.2(2)证 法 一 依
37、题 设=sin?6,-=cos2 3,0,-x y I 2J/.y=*i-=acsc2 0+bsec2 0=6/(1+cot2+tan2 夕)=a+b-acot1 0+btan2 0.a sin2 0 cos2 0 v 7 v 7即 x+y.（G+扬 尸.证 法 二 由 证 法 一 题 设 可 得：a=xsin?J，b=yC0S23.,.x+y-J a+y/b）2 0 x+y xsin2夕+y c o s 2 s i n c o s o xcos2 9+ysin?9.2 sin 6 cosu（、G c o s。一 后 sin。）：.。，故 原 不 等 式 得 证.证 法 三 由 证 法 一 题
38、 设 可 得：、份=&s i n。，指=J j c o s。，=4 sin+cos 8 二+ys in%行+y J/兀(3)-.-3-2X-X2=4-(X+1)2.0.-.x+l 2,设 x+l=2sin6(6-y,y)则 x+j 3-2 x-x2=2 s in 6-l+2cos。=2 及 sin(0+-1,I 4 j又 有 一 彳 轰 股 g 得 一 彳 领 P+彳 手，一 也 麴 瓦 n(e+)1.2 2 4 4 4 2 4从 而 一 3 麴 2jsin(6 H)1 2,2 14故-3领 k+A/32xx2 2V21 设 a=tan a.c-tan 0,a、/3 u 0,71由 abc+a
39、+c=b 得 ba+c _ tan a+tan.-ac 1-tan a tan 0(广 tan(a+/?)0,a+/?e 0,.2,2 2 2 2 2 2-1-=-1-a2+1 b2+1 c2+1 1+tan2 a 1+tan2(cr+)I+tan?42 2-|-2-sec2 a sec2(a+0)sec2 02 cos2 a+cos2/一 cos?(a+4)=co$2a+cos2 4 一 2cos2(a+4)+2=2 cos(tz+0)cos(a 4)_ 2 cos?(a+2,2cos(a+)-2cos2(a+)+2=-2 cos(a+)-二+-2j 2 2第 十 九 讲 变 元 四 大 策
40、 略：均 值 代 换、和 差 代 换、倒 置 代 换、常 值 代 换 换 元 法 解 题 运 用 比 较 多 的 除 了 整 体 代 换、局 部 代 换、对 称 代 换 外 尚 有 一 些 技 巧 性 较 强 的 变 元 策 略，它 们 依 次 是 均 值 代 换、和 差 代 换、倒 置 代 换、常 值 代 换.均 值 代 换 中 的 均 值 是 指 小 个 变 量 的 算 术 平 均 数，当 其 为 定 值 时 可 运 用“算 术-几 何 平 均 不 等 式”即 基 本 不 等 式 直 接 予 以 解 答 或 证 明.如 果 题 设 有 x+V=2Z(常 数)的 形 式，则 可 引 入 参
41、数 f,分 别 用 Z+f,k-f代 换 X和 y,用 和 差 代 换 解 决 某 些 数 学 问 题，简 洁 明 快.根 据 题 设 中 数 或 式 的 结 构 特 征，利 用 倒 置 变 换 的 方 法，轻 松 实 现 难 以 人 手 问 题 的 转 换，化 难 为 易，方 法 灵 活.常 值 代 换 是 指 变 换 题 中 已 知 数 与 末 知 数 的 角 色，将“已 知 暂 时 化 为“末 知，“末 知”又 暂 时 看 作“已 知”，以 此 人 手 解 题，非 常 巧 妙，独 树 一 帜.例 1(1)设 a,b,C均 为 非 负 实 数，求 证：cr+b+c+Vc2+/2(G!+力+
42、c)；2 2 1 1 17(2)设 X,y 为 正 数，x+y=l,证 明：x+y+.x y 2【解 题 策 略】运 用 基 本 不 等 式 证 明 不 等 式 有 时 会 出 现“放 缩 过 头”的 状 况，而 使 证 明 陷 入 僵 局，第(1)问，如 用/+比 2 心，则 有 五 2+户.向 石，同 理 扬+上.近 版,y/c2+a2.j2jca 于 是 有 疯+痴+而.+c，而 实 际 上，色 芋.疝,痴，等.疝，可 得 a+c.J+痴+而，两 者 矛 盾，说 明 上 述 用 笛+6 来 缩 小 l+u 有 点 过 头，所 以 用 均 值 代 换 应 当 把 握 好 放 缩 的 尺 度
43、，注 意“适 度”.第(2)问，对 于 x+y=l这 样 的 条 件，除 了 想 到 一 般 的 基 本 不 等 式 外，还 应 注 意 1的 妙 用.乘 以 1或 除 以“1”，表 达 式 的 值 均 不 变，这 样 往 往 可 以 把 原 表 达 式 表 示 成 更 有 明 显 特 征 的 表 达 式，有 利 于 证 明 过 程 的 实 施._证 明：(1)由/+比 2 必 得 2(/+尸).3+0 2,即 产 了.|1.也 即 yja2+b2.今 人 与，同 理 可 得 扬+上,等(6+0),&2+/.+）所 以 5+/+后+C+c+a?.-（。+。）H-（/?+c）H-（c+a）5/2
44、（/+。+c）2 2 2（2）,=x+y.2yxy，:.xy.又：F+y?.2xy，,2（%2+丁 2）.（%+,产，2 2/2.厂+广（X+）丁 2-4由 题 意,得 豹=；,当 且 仅 当 X=y=g 时 等 式 成 立.+1=丁+./鹿+），2（X+），）2.X2 2%2 y 2 孙 砂 2x4=8,当 且 仅 当 x=y=g 时 取“=”，所 一 以 工 2+y2 1 1 1 o 17 7+8=.x y L 2例 2(1)设 再，超 是 方 程 9 6x+l=0的 两 个 根，求 证：对 一 切 自 然 数，%；+芍 都 是 偶 数；(2)在:A B C 中，a,h,c分 别 是 角
45、A，B，C 的 对 边，设 a+c=2，TTA-C=,求 sinB的 值；(3)已 知，q,r.O,+4+厂=1.证 明：+qr+rp)2+9pqr.【解 题 策 略】本 例 各 题 用 和 差 代 换 证 明 或 求 解，可 起 到“降 元”的 作 用，从 而 变 繁 为 简，化 难 为 易.【解】(1)证 明：由 方 程 根 与 系 数 关 系，*+=6,xtx2=1.故 令 占=3+f,x2=3-t,由 再%2=1 得(3+力(3 力=1.产=8.-=Zsin2,故 7Cn(7 1 7 t 2sin，cos=4sin，cosg.t)G sin 0,cos0.6(6 2)贝 U cos 0
46、=，sin 9=，4 4J39因 此 sin B=sin20=2sincos0-8(3)证 明 设 p=g+a,q=；+b,r=g+c，则 a+O+c=O.原 不 等 式 等 价 于 4(ab+hc+6rc)9abe.根 据。，b,c的 对 称 性，不 妨 设 或 鲂 c,J.G,。，a+b.O,c=-(a+b).4(ah+hc+ac)-4(a2+b2+ab,9abc=-9ab(a+b).故 原 不 等 式=4(a?+出?).9ab(a+b).当 她,0时，原 不 等 式=4(a+b)2-而,9(a+公，显 然 成 立；当 成 0 时，原 不 等 式 o4(a+)2-ab,9ab(a+b).u
47、+b p+q,4(。-+b+cibj.-3ab显 然 成 立，4(+b2+ab)鹿-3ab-9ab(a+h)-9abe.综 上，原 不 等 式 得 证.例 3 已 知 数 列 an,若 对 e N,都 有。“0且 a；,an-an+.试 证：a-(eN*).【解 题 策 略】本 例 是 数 列 不 等 式 的 证 明，直 接 证 明 难 以 入 手，用 数 学 归 纳 法 涉 及 放 缩 法 也 非 易 事，若 把 条 件 片 an-a“+i变 形 为。用 d=an(l-an),再 取 倒 数 得/二。,研 究 倒 数 数 列 J,的 特 点 可 开 辟 一 条 证 题 的 新 路，事 实 上
48、，当 我 们 遇 到 数 列。“有 某 种 性 质 难 以 入 手 时，转 化 为 先 研 究|L 的 性 质 往 往 可 以 达 到 解 题 目 的.证 明：.为 且 点%-%+1，则%+P，4-4：=%(1-%)，得 0 册 1.,_ L 1，”+(1-)=1 1 1+1 X,(1-)%(1 一 4)a 1一 4 1 1 1,即-:-,贝 I J%册 1一。以 上 各 式 相 加，得：-一 1,二 一(n-l)+(-1)+1=.an a an aan 2 乒=9I x八 yj I x 八 y J I x 八 y）（尤 y）yx,y e R+,e R+)x yx+y=当 且 仅 当,y x
49、即=丫=?时 取.二 原 不 等 式 得 证.一=一 2（2）原 方 程 化 为（无 一 50）2+5+而+5 0）2+5=20 令 5=y,则 式 为 近 一 5后+3+7（x+5V3）2+y2=20 设 P（x,y）,（5后,0），F2（5瓜 0），则 式 即 为|尸 耳|+|尸 闾=20.即 动 点 P（x,y）到 两 定 点 耳（56,0），鸟（56,0）的 距 离 之 和 等 于 20,且 国 用=2C=1 0 G，可 见 动 点 尸 的 轨 迹 是 椭 圆.其 标 准 方 程 为 工+二=1.100 25:y2=5，=经 检 验 知，它 们 都 是 原 方 程 的 根.第 二 十
50、讲 参 变 分 离-种“反 客 为 主”的 解 题 法 通 常 解 答 数 学 问 题 总 是 习 惯 于 把 注 意 力 集 中 在 主 变 元 上，思 考 探 求 参 变 元 的 取 值 或 其 范 围，这 种 思 考 问 题 的 方 法 当 然 可 以，但 不 一 定 是 一 条 好 的 思 路，即 使 能 解 但 其 过 程 会 非 常 烦 琐.若 密 切 注 意 命 题 的 求 解 趋 势，依 从 条 件 与 结 论 的 内 在 联 系 变 换 思 考 方 向，视 其 参 变 元 为 主 变 元 进 行 研 究，推 导，也 能 找 到 解 决 问 题 的 途 径，有 时 还 能 获